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初三数学中考第二轮专题复习之开放性综合题(苏科版)


初三数学中考第二轮复习之开放性综合题
一、知识网络梳理 开放型试题重在开发思维,促进创新,提高数学素养,所以是近几年中考试题的热点考 题。这类题目要求学生通过观察、分析、比较、概括,总结出题设反映出的某种规律,进而 利用这个规律解决相关问题.这类试题主要考查学生的逻辑判断能力和归纳推理能力。 题型 1? 条件开放与探索 条件开放探索题的明确特征是缺少确定的条件,问题所需补充的条件不是得出结论的必 要条件,所需补充的条件不能由结论推出. 题型 2? 结论开放与探索 给出问题的条件,让解题者根据条件探索相应的结论,并且符合条件的结论往往呈现多 样性,或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断,甚至要求解题者探求条件在变化中 的结论, 这些问题都是结论开放性问题. 它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想, 发现规律,得出结论,这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力. 题型 3? 解题方法的开放与探索 策略开放性问题,一般指解题方法不惟一或解题途径不明确的问题,这类问题要求解题 者不墨守成规,善于标新立异,积极发散思维,优化解题方案和过程。 二、知识运用举例 (一)条件开放 例 1.已知(x1,y1),(x2,y2)为反比例函数 y ?

k 图象上的点,当 x1<x2<0 时, x

y1<y2,则 k 的一个值可为___________(只需写出符号条件的一个 k 的值) ..
解: 答案不唯一,只要符合 k<0 即可,如 k= —1,或 k= —2……. 例 2.如图,已知,在△ABC 和△DCB 中,AC=DB,若不增加任何字母与辅助线,要使 △ABC≌△DCB,则还需增加一个条件是__. A D

B

图1

C

解:答案不惟一.如:AB=DC;∠ACB=∠DBC;∠A=∠D=Rt∠….

-1-

例 3 已知点 P( x,y ) 位于第二象限,并且 y ≤ x ? 4 , x, y 为整数,写出一个符合上述 .. 条件的点 P 的坐标: .

, , 1) 2) , 答: (?1 3) , (?1 2) , (?11) , (?2, , (?2, , (?31) 六个中任意写出一个即可 ,
例 4 如图,四边形 ABCD 是矩形,O 是它的中心,E、F 是对角线 AC 上的点. (1)如果__________ ,则Δ DEC≌Δ BFA(请你填上能使结论成立的一个条件); (2)证明你的结论. 分析:这是一道探索条件、补充条件的开放型试题,解决这类问题的方法是假设结论成 立,逐步探索其成立的条件. 解:(1)AE=CF(OE=OF;DE⊥AC;BF⊥AC;DE∥BF 等等) (2)∵四边形 ABCD 是矩形,∴AB=CD,AB∥CD,∠DCE =∠BAF 又∵AE=CF,∴AC-AE=AC-CF,∴AF=CE,∴Δ DEC≌Δ BAF 说明:考查了矩形的性质及三角形全等的判定.

D E A

C

? O
图2

F B

例 5 已知:∠MAN=30°,O 为边 AN 上一点,以 O 为圆心,2 为半径作⊙O,交 AN 于 D,E 两点,设 AD=x. (1)如图(1)当 x 取何值时,⊙O 与 AM 相切; (2)如图(2)当 x 为何值时,⊙O 与 AM 相交于 B,C 两点,且∠BOC=90°.

图3 【解答】(1)在图(1)中,当⊙O 与 AM 相切时,设切点为 F. 连结 OF,则 OF⊥AM,? ∵在 Rt△AOF 中,∠MAN=30°, ∴OF=

1 1 OA.∴2= (x+2),∴x=2, 2 2

∴当 x=2 时,⊙O 与 AM 相切. (2)? 在图(2)中,过点 O 作 OH⊥BC 于 H.
-2-

当∠BOC=90°时,△BOC 是等腰直角三角形, ∴BC= OB2 ? OC 2 ? 22 ? 22 =2 2 , ∵OH⊥BC,∴BH=CH,∴OH= 在 Rt△AHO 中,∠A=30°, ∴OH=

1 BC= 2 . 2

1 1 OA,∴ 2 = (x+2),∴x=2 2 -2. 2 2

∴当 x=2 2 -2 时,⊙O 与 AM 相交于 B,C 两点,且∠BOC=90°. 【点评】解答这类问题往往是把结论反过来当条件用,本例利用了圆的切线性质和垂径 定理,构造特殊直角三角形,使问题得以求解. (二)结论开放 例 1 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,D 为垂足.由以上两个 条件可得________.(写出一个结论) 解:∠1=∠2 或 BD=DC 或△ABD≌△ACD 等.
B D C A 12

图4

例 2:已知一次函数图像经过 P(1,2),写出满足条件的一个一次函数的解析式:(只要 满足条件的答案均可) 解析:该题是一道结论开放的试题,其实只要掌握平面内,经过一点的直线有无数条,就不 难求出经过点 P(1,2)的直线有:y=2x 或 y=3x-1 或 y=-3+x 或 y=x+1…… 例 3 已知矩形 ABCD 和点 P, 当点 P 在边 BC 上任一位置 (? 如图①所示)时,易证得结论:PA2+PC2=PB2+PD2,请 你探究: P? 点分别在图②、 图③中的位置时, 2、 2、 当 ? PA PB PC2 和 PD2 又有怎样的数量关系?请你写出对上述两种情况 的探究结论,? 并利用图②证明你的结论. 答:对图②的探究结论为__________. 对图③的探究结论为_________. 图5

-3-

证明:如图 2. 结论均是:PA2+PC2=PB2+PD2. 证明:如图②过点 P 作 MN⊥AD 交 AD 于点 M,交 BC 于点 N. ∵AD∥BC,MN⊥AD,∴MN⊥BC 在 Rt△AMP 中,PA2=PM2+MA2 在 Rt△BNP 中,PB2=PN2+BN2 在 Rt△DMP 中,PD2=DM2+PM2 在 Rt△CNP 中,PC2=PN2+NC2 ∴PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2 PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2 ∵MN⊥AD,MN⊥NC,DC⊥BC. ∴四边形 MNCD 是矩形. ∴MD=NC. 同理 AM=BN. ∴PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2. 即 PA2+PC2=PB2+PD2. 【评析】本题也是一道结论开放题,通过阅读题目已知条件及要求,不难探究出正确结 论,但是说明理由时,有一定的难度.正确作出辅助线,创造使用勾股的条件,是解决问题 的关键. (三)综合开放 例 1 如图,△ABC 中,AB=AC,过点 A 作 GE∥BC, 角平分线 BD、CF 相交于点 H,它们的延长线分别交 GE 于点 E、G.试在图中找出 3 对全等三角形,并对其中一对 全等三角形给出证明. B 解:△BCF≌△CBD. △BHF≌△CHD. CFA. (注意答案不唯一) 证明△BCF≌△CBD. ∵AB=AC. ∴∠ABC=∠ACB. ∴∠BCF= △BDA≌△ 图7 C F H D G A E

∵BD、CF 是角平分线.

1 1 ∠ACB,∠CBD= ∠ABC. 2 2
-4-

∴∠BCF=∠CBD.

又 BC=CB.

∴△BCF≌△CBD.

例 2 已知抛物线 y ? ?( x ? m) 2 ? 1与 x 轴的交点为 A、 B(B 在 A 的右边),与 y 轴的交点为 C. (1)写出 m ? 1 时与抛物线有关的三个正确结论; (2)当点 B 在原点的右边,点 C 在原点的下方时,是 否存在△BOC 为等腰三角形的情形?若存在,求出 m 的 值;若不存在,请说明理由; 图8

(3)请你提出一个对任意的 m 值都能成立的正确命题(说明:根据提出问题的水平层 次,得分有差异). 解:当 m=1 时,抛物线解析式为 y=-

( x ?1) +1,可从对称轴、顶点坐标、开口方向、
2

最值、增减性等多方面去写出许多正确结论,任写三个就可;(2)存在.m=2;(3)是 结论开放题,答案有许多,如:抛物线 y=- 为 1 或函数最大值为 1 等. 例 3 如图 9,直线 AC ∥ BD ,连结 AB ,直线 AC,BD 及线段 AB 把平面分成①、②、 ③、 ④四个部分, 规定: 线上各点不属于任何部分. 当动点 P 落在某个部分时, 连结 PA,PB , 构成 ?PAC , ?APB , ? PBD 三个角.(提示:有公共端点的两条重合的射线所组成的 角是 0 角.) (1)当动点 P 落在第①部分时,求证: ?APB ? ?PAC ? ?PBD ; (2)当动点 P 落在第②部分时, ?APB ? ?PAC ? ?PBD 是否成立(直接回答成立或 不成立)? (3)当动点 P 在第③部分时,全面探究 ?PAC , ?APB , ? PBD 之间的关系,并写 出动点 P 的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明. ③ ③ ③
?

( x?m)

2

+1 与 x 轴总有交点,顶点纵坐标

A


C
P
① ②

A

C
① ②

A

C


B


D

B
④ 图9
-5-

D

B


D

解:(1)解法一:如图 9-1 延长 BP 交直线 AC 于点 E ∵ AC∥BD , ∴ ∠PEA = ∠PBD . ∵ ∠APB = ∠PAE + ∠PEA , ∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD .

解法二:如图 9-2 过点 P 作 FP∥AC , ∴ ∠PAC = ∠APF . ∵ AC∥BD , ∴FP∥BD .

∴ ∠FPB =∠PBD . ∴ ∠APB =∠APF +∠FPB =∠PAC + ∠PBD . 解法三:如图 9-3, ∵ AC∥BD , ∴ ∠CAB +∠ABD = 180°

即 ∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°. 又∠APB +∠PBA +∠PAB = 180°, ∴ ∠APB =∠PAC +∠PBD . (2)不成立. (3)(a)当动点 P 在射线 BA 的右侧时,结论是

∠PBD=∠PAC+∠APB .
(b)当动点 P 在射线 BA 上, 结论是∠PBD =∠PAC +∠APB . 或∠PAC =∠PBD +∠APB 或 ∠APB = 0°,

∠PAC =∠PBD(任写一个即可).
(c) 当动点 P 在射线 BA 的左侧时, 结论是∠PAC =∠APB +∠PBD . 选择(a) 证明: 如图 9-4,连接 PA,连接 PB 交 AC 于 M ∵ AC∥BD ,

-6-

∴ ∠PMC =∠PBD . 又∵∠PMC =∠PAM +∠APM , ∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB . 选择(b) 证明:如图 9-5 ∵ 点 P 在射线 BA 上,∴∠APB = 0°. ∵ AC∥BD , ∴∠PBD =∠PAC .

∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB 或∠PAC =∠PBD+∠APB 或∠APB = 0°,∠PAC =∠PBD. 选择(c) 证明: 如图 9-6,连接 PA,连 接 PB 交 AC 于 F ∵ AC∥BD , ∴∠PFA =∠PBD .

∵ ∠PAC =∠APF +∠PFA , ∴ ∠PAC =∠APB +∠PBD . 例 4、(1)如图 1,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,CD=a,AB=b,E 为 AD? 边上的一点, EF∥AB,且 EF 交 BC 于点 F.某学生在研究这一问题时,发现如下事实:

DE a?b =1 时,有 EF= ; AE 2 DE a ? 2b ②当 =2 时,有 EF= ; AE 3 DE a ? 3b ③当 =3 时,有 EF= . AE 4 DE 当 =k 时,参照上述研究结论,请你猜想用 a、b 和 k 表示 EF 的一般结论,并给出 AE
①当 证明: (2)现有一块直角梯形田地(如图 2 所示),其中 AB∥CD,AD⊥AB,AB=310m, CD=170m,AD=70m.若要将这块地分成两块,均为直角梯形,且面积相等.请你给出具体 分割方案. 解题思路:(1)猜测当

DE a ? kb =k 时,EF= .? 可利用三角形相似和平行线等分线 AE 1? k

段成比例定理来完成证明;(2)利用第(1)题结论,应在 AD 上找一合适点 E,过 E 作 EF∥AB 交 BC 于 F,? 这样可将原梯形分割成上、下两块直角梯形,利用它们的面积相等, 可确定 E 的位置.
-7-

(1)

(2) 图 10

(3)

解:(1)猜想 EF=

a ? kb . 1? k

证明:如图 3,过点 E 作 BC 的平行线交 BC 于 G,交 CD 的延长线于 H 点. ∵AB∥CD,∴△DHE∽△AGE, ∴

DH DE = =k. AG AE

又 EF∥AB∥CD,∴CH=EF=GB, ∴DH=EF-a,AG=b-EF. ∴

EF ? a a ? kb =k,可得 EF= . b ? EF 1? k DE 170 ? 310k 70k , DE ? =k,则 EF= . AE 1? k 1? k

(2)在 AD 上取一点 E,作 EF∥AB 交 BC 于点 F. 设

若 S 梯形 DCFE=S 梯形 ABFE,则 S 梯形 ABCD=S 梯形 DCFE. ∵梯形 ABCD、DCFE 为直角梯形. ∴

170 ? 310 1 170 ? 310k 70k ? 70 ? 2 ? (170 ? )? . 2 2 1? k 1? k

化简得:12k2-7k-12=0, 解得 k1=

4 3 ,k2=- (舍去). 3 4

∴DE=

70 k =40(m). 1? k

所以只需在 AD 边上取点 E,使 DE=40m,作 EF∥AB(或 EF⊥DA),? 即可将梯形 分成两个直角梯形,且它们的面积相等. 评析: 此题是将阅读理解与探索猜想嫁接在一起的新型考题, 要求学生通过观察进行分 析和比较,从特殊到一般去发现规律,能概括地用数学符号表达出来,并会运用结论解题.

三、知识巩固训练
-8-

1、多项式 x2+px+12 可分解为两个一次因式的积,整数 p 的值是____(写出一个 即可) 2、请写出一个开口向上,对称轴为直线 x=2,且与 y 轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的 解析式__________________________ 3、平移抛物线 y ? x2 ? 2x ? 8 ,使它经过原点,写出平移后抛物线的一个解析式 ____________________ 4、请给出一元二次方程 x2 ? 8x ? ________=0 的一个常数项,使这个方程有两个不相等 的实数根. 5、如图,△ABC 中,D、E 分别是 AC、AB 上的点,BD 与 CE 交于点 O.给出下列三个条 件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD. (1)上述三个条件中,哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形(用序 .... 号写出所有情形); (2)选择第(1)小题中的一种情形,证明△ABC 是等腰三角形. 6、 在正方形 ABCD 中, P 是 CD 上一动点, 点 连结 PA, 分别过点 B、 作 BE⊥PA、 D DF⊥PA,垂足分别为 E、F,如图①. (1)请探索 BE、DF、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系.若点 P 在 DC? 的延长 线上(如图②),那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系?若点 P 在 CD? 的延 长线上呢(如图③)?请分别直接写出结论; (2)请在(1)中的三个结论中选择一个加以证明.

7、在平面几何中,我们可以证明:周长一定的多边形中,正多边形面积最大. 使用上面的事实,解答下面的问题: 用长度分别为 2、3、4、5、6(单位:cm)的五根木棒围成一个三角形(允许连接,但 不允许折断),求能够围成的三角形的最大面积.

-9-

8、如图,已知 A(-1,0),E(0,-

2 ),以点 A 为圆心,以 AO? 长为半径的圆交 x 2

轴于另一点 B,过 B 作 BF∥AE 交⊙A 于点 F,直线 FE 交 x 轴于点 C. (1)求证:直线 FC 是⊙A 的切线; (2)求点 C 的坐标及直线 FC 的解析式; (3)有一个半径与⊙A 的半径相等,且圆心在 x 轴上运动的⊙P,若⊙P 与直线 FC? 相交于 M,N 两点,是否存在这样的点 P,使△PMN 是直角三角形?若存在,求出点 P 的 坐标;? 若不存在,请说明理由.

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