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高三文科数学试题


高三文科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 5 页.考试时间 120 分钟.满分 150 分.答题前,考生务必用 0.5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规 定的位置.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分) 注意事项:每小题选出答案后,用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动

,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. A ? {x | x ? 1} , B ? {x | x2 ? 2 x ? 0},则 A ? B ? (A) (0,1) (B) (??, ?2) (C) (?2, 0) (D) (??, ?2) ? (0,1)
是 开始 输入 x

2. i ? z ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,则 z ? (A) 1 ? i (B) 1 ? i (C) ?1 ? i (D) ?1 ? i

x?0



3.若 a ? b ,则下列不等式成立的是 (A) ln a ? ln b (C) a 2 ? b 2
1 1

f ( x) ? 4 x

f ( x) ? 2x

(B) 0.3a ? 0.3b (D) 3 a ? 3 b
输出

f ( x)
结束

4.根据给出的算法框图,计算 f (?1) ? f (2) ? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4

第 4 题图

5.某班级统计一次数学测试后的成绩,并制成了如下的频率分布表,根据该表估计该班 级的数学测试平均分为
分组 人数 频率

?60,70? ?70,80? ?80,90? ?90,100?
5 0.1
(B) 81

2
主视图

15 0.3

20 0.4

10 0.2
(D) 83

3 2
俯视图 第 6 题图

(A) 80

(C) 82

6.某三棱锥的主视图与俯视图如图所示,则其左视图的面积为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6

7.已知函数 f ( x) ? sin 2 x 向左平移 的说法正确的是 (A)图象关于点 ( ? (C)在区间 [?

?
6

个单位后,得到函数 y ? g ( x) ,下列关于 y ? g ( x)

?
3

, 0) 中心对称

(B)图象关于 x ? ? (D)在 [ ?

?
6

轴对称

5? ? , ? ] 单调递增 12 6

? ?

, ] 单调递减 6 3

8. 从 集 合 {2, 3, 4, 5} 中 随 机 抽 取 一 个 数 a , 从 集 合 {1, 3, 5} 中 随 机 抽取 一 个 数 b , 则 向 量

?? ? m ? (a, b) 与向量 n ? (1, ?1) 垂直的概率为
(A)

1 6

(B)

1 3

(C)

1 4

(D)

1 2

9.已知 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,且 l ∥ ? ,则下列选项正确的是 (A)若 l ∥ m ,则 m ∥ ? (C)若 l ? m ,则 m ? ? 10.双曲线 (B)若 m ∥ ? ,则 l ∥ m (D)若 m ? ? ,则 l ? m

y 2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? 2 ,则双曲线的渐近线方程为 16 m
(B) y ? ?

(A) y ? ? x

3 x 3

(C) y ? ?2 x

(D) y ? ?

1 x 2

11.函数 f ( x) ? ( x ? 2)( ax ? b) 为偶函数,且在 (0, ??) 单调递增,则 f (2 ? x) ? 0 的解 集为 (A) {x | x ? 2或x ? ?2} (C) {x | x ? 0或x ? 4} (B) {x | ?2 ? x ? 2} (D) {x | 0 ? x ? 4}

12.已知 a ? 1 , 设函数 f ( x) ? a x ? x ? 4 的零点为 m ,g ( x) ? loga x ? x ? 4 的零点为 n , 则 mn 的最大值为 (A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 共 90 分)

第Ⅱ卷(非选择题

注意事项: 1. 请用 0.5 毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置. 书写的答案如需改 动,要先划掉原来的答案,然后再写上新答案.中学联盟 2. 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效.在试题卷上答题无效. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.函数 f ( x) ? x ? 2ln x 的单调递减区间是____________________.
2

14. 已知圆 O 过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两焦点且关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 O 的方程为 6 2

________________.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 15.设 x, y 满足约束条件 ? 4 x ? 3 y ? 0 ,则 z ?| x ? 4 y | 的最大值为_____________. ? x ? ?3 ?
16.函数 y ? f ( x) 的定义域为 (??, ?1) ? (1, ??) , 其图象上任一点 P( x, y) 满足 x 2 ? y 2 ? 1, 则 下列说法中

①函数 y ? f ( x) 一定是偶函数;

②函数 y ? f ( x) 可能是奇函数;

③函数 y ? f ( x) 在 (1, ??) 单调递增;④若 y ? f ( x) 是偶函数,其值域为 (0, ??) 正确的序号为_______________.(把所有正确的序号都填上) 三、解答题:本大题共6小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (1+cos? , ? sin ? ) . (Ⅰ)若 ? ?

?

?

?
3

, ? ? (0, ? ) ,且 a ? b ,求 ? ;

?

?

(Ⅱ)若 ? =? ,求 a ? b 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分)某单位招聘职工,经过几轮筛选,一轮从 2000 名报名者中筛选 300 名进入二轮笔试, 接着按笔试成绩择优取 100 名进入第三轮面试,最后从面试对象中综合考察 聘用 50 名. (Ⅰ)求参加笔试的竞聘者能被聘用的概率; (Ⅱ)用分层抽样的方式从最终聘用者中抽取 10 名进行进行调查问卷,其中有 3 名女职工, 求被聘用的女职工的人数; (Ⅲ)单位从聘用的三男和二女中,选派两人参加某项培训,至少选派一名女同志参加的概 率是多少? 19.(本小题满分 12 分)已知正项数列{an } ,其前 n 项和 Sn 满足 8Sn ? an 2 ? 4an ? 3, 且 a2 是 a1 和

? ?

a7 的等比中项..
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log 2

an ? 3 ,求数列 {bn } 的前 99 项和. 4( n ? 1)

20.(本小题满分 12 分)如图,矩形 ABCD 所在的平面和平面 ABEF 互相垂直,等腰梯形 ABEF 中, AB ∥ EF , AB =2, AD ? AF ? 1 , ?BAF ? 60 , O , P 分别为 AB , CB 的中点, M C 为底面 ?OBF 的重心.
?

(Ⅰ)求证:平面 ADF ? 平面 CBF ; (Ⅱ)求证: PM ∥平面 AFC ; (Ⅲ)求多面体 CD ? AFEB 的体积 V . 21.(本小题满分 13 分)
x

P
D O A B M F
2

E

设函数 f ( x) ? ae ( x ? 1) (其中 e ? 2.71828.... ) , gx () x ? b x ? ?2 处有相同的切线. (Ⅰ)求函数 f ( x ) , g ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [t , t ? 1] (t ? ?3) 上的最小值; (Ⅲ)判断函数 F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 2 零点个数.

,已知它们在 x ? 0

22.(本小题满分 13 分)过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左顶点 A 做斜率为 2 的直线,与椭 a 2 b2
??? ? ? 6 ??? BC . 13

圆的另一个交点为 B ,与 y 轴的交点为 C ,已知 AB ?

(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ) 设动直线 y ? kx ? m 与椭圆有且只有一个公共点, 且与直线 x ? 4 相交于点 Q , 若x轴 上存在一定点 M (1,0) ,使得 PM ? QM ,求椭圆的方程.

高三文科数学试题参考答案
一、选择题

D D D A C,
二、填空题

A C A D B, C B
15. 19 16. ②

1) 14. x2 ? ( y ?1)2 ? 5 13. (0,
三、解答题 17. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)∵ a ? b ∴ a ? b ? cos ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 0

?

?

? ?

----------------1 分

sin ? ? 0 3 3 3 ? 1 整理得 cos( ? ? ) ? ? ----------------------3 分 3 2 ? 2? ? 4? ? 2 k? 过 ? ? ? ? 2k? , k ? z ----------------------4 分 ∴? ? ? 3 3 3 3
∵? ?

?

3

∴ cos

?

? cos

?

cos ? ? sin

?

∵ ? ? (0, ? ) ∴ ? ? (Ⅱ) a ? b ? cos ? ? cos 令 t ? cos ? , t ???1,1?

?

3

--------------6 分 ----------------------8 分 ----------------------9 分 ----------------------11 分 ----------------------12 分

? ?

2

? ? sin 2 ? ? cos ? ? 2cos2 ? ?1

? ? 1 9 a ? b ? 2t 2 ? t ? 1 ? 2(t ? ) 2 ? 4 8 ? ? ? ? 1 9 ∴当 t ? 1 时, a ? bmax ? 2 ,当 t ? ? 时, a ? b min ? ? 4 8 ? ? 9 ∴ a ? b 的取值范围为 [? , 2] . 8

18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:设参加笔试的竞聘者能被聘用的概率 P , 依题意有: P ?

50 1 ? . 300 6

----------------------3 分

(Ⅱ)解:设被聘用的女职工的人数为 x ,则 x ? 被聘用的女职工的人数为 15 人

3 ? 50 ? 15 10
----------------------6 分 ----------------------7 分

(Ⅲ)设聘用的三男同志为 a, b, c ,两个女同志记为 m, n

选派两人的基本事件有: ? a, b? , ? a, c ? , ? a, m? , ? a, n? , ? b, c ? , ? b, m? , ?b, n ? , ----------------------9 分 ? c, m? , ?c, n? , ? m, n ? , 共 10 种。 至少选一名女同志有 ? a, m? , ? a, n ? , ? b, m? , ?b, n ? , ? c, m? , ? c, n ? , ? m, n ? 为 7 种 ----------------------10 分 ∵每种情况出现的可能性相等,所以至少选派一名女同志参加的概率 P ?

7 ? 0.7 10

----------------------12 分 19. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) 由 8Sn ? an 2 ? 4an ? 3 ① 知 8Sn?1 ? an?12 ? 4an?1 ? 3 (n ? 2, n ? N ) ② 由①-②得 8an ? (an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? 4an ? 4an?1 整理得 (an ? an?1 ? 4)(an ? an?1 ) ? 0 (n ? 2, n ? N ) ----------------------3 分 ----------------------1 分

∵{an } 为正项数列∴ an ? an?1 ? 0, ,∴ an ? an?1 ? 4 (n ? 2, n ? N ) ----------------------4 分 所以 {an } 为公差为 4 的等差数列,由 8a1 ? a12 ? 4a1 ? 3, 得 a1 ? 3 或 a1 ? 1 ----------5 分

当 a1 ? 3 时, a2 ? 7, a7 ? 27 ,不满足 a2 是 a1 和 a7 的等比中项. 当 a1 ? 1 时, a2 ? 5, a7 ? 25 ,满足 a2 是 a1 和 a7 的等比中项. 所以 an ? 1 ? (n ?1)4 ? 4n ? 3. 由 an ? 4n ? 3 得 bn ? log 2 ( ----------------------7 分(Ⅱ)

an ? 3 n , ) ? log 2 4(n ? 1) n ?1

----------------------8 分

所以 b1 ? b2 ? b3 ? ? b99 ? log 2

1 2 3 99 ? log 2 ? log 2 ? ? log 2 2 3 4 100 1 2 3 99 1 ? log 2 ? ? ? ? ? log 2 ? ? log 2 100 2 3 4 100 100

----------------------10 分 ----------------------12 分

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? 矩形 ABCD 所在的平面和平面 ABEF 互相垂直,且 CB ? AB ∴ CB ? 平面 ABEF , 又 AF ? 平面 ABEF ,所以 CB ? AF
? 又 AB ? 2 , AF ? 1 , ?BAF ? 60 ,由余弦定理知 BF ? 3 ,
2 2 2 ∴ AF ? BF ? AB 得 AF ? BF

----------------------1 分

----------------------2 分 ----------------------3 分 ----------------------4 分

AF ? CB ? B ∴ AF ⊥平面 CFB ,

? AF ? 平面 AFC ;∴平面 ADF ? 平面 CBF ;
∴ PH ∥ CF ,又∵ AF ? 平面 AFC ,∴ PH ∥平面 AFC 连结 PO ,则 PO ∥ AC , AC ? 平面 AFC , PO ∥平面 AFC

(Ⅱ)连结 OM 延长交 BF 于 H ,则 H 为 BF 的中点,又 P 为 CB 的中点, -------------------5 分 -----------------6 分 ----------------7 分

PO ? PO1 ? P ∴平面 POO1 ∥平面 AFC ,
PM ? 平面 AFC

PM / /平面 AFC
(Ⅲ)多面体 CD ? AFEB 的体积可分成三棱锥 C ? BEF 与 四棱锥 F ? ABCD 的体积之和 在等腰梯形 ABCF 中,计算得 EF ? 1 ,两底间的距离 EE1 ? 所以 VC ? BEF ?

----------------------8 分

----------------------9 分

3 2
----------------------10 分 ----------------------11 分 ----------------------12 分

1 1 1 3 3 S?BEF ? CB ? ? ?1? ?1 ? 3 3 2 2 12

1 1 3 3 VF ? ABCD ? S? ABCD ? EE1 ? ? 2 ?1? ? 3 3 2 3
所以 V ? VC ? BEF ? VF ? ABCD ?

5 3 12

21.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ) f ?( x) ? aex ( x ? 2) , g ?( x) ? 2 x ? b 由题意,两函数在 x ? 0 处有相同的切线. ----------------------1 分

? f ?(0) ? 2a, g ?(0) ? b,? 2a ? b, f (0) ? a ? g (0) ? 2,? a ? 2, b ? 4 ,

? f ( x) ? 2ex ( x ? 1), g ( x) ? x2 ? 4x ? 2 .

----------------------3 分

(Ⅱ) f ?( x) ? 2ex ( x ? 2) ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?2 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?2 ,

? f ( x) 在 (?2, ??) 单调递增,在 (??, ?2) 单调递减. ?t ? ?3,?t ? 1 ? ?2

----------------------4 分

① 当 ?3 ? t ? ?2 时, f ( x ) 在 [t , ?2] 单调递减, [?2, t ? 1] 单调递增, ∴ f ( x)min ? f (?2) ? ?2e?2 . ② 当 t ? ?2 时, f ( x ) 在 [t , t ? 1] 单调递增, ----------------------5 分

? f ( x)min ? f (t ) ? 2et (t ?1) ;
?2 ? ??2e (?3 ? t ? ?2) ? f ( x) ? ? t ? ?2e (t ? 1) (t ? ?2)

----------------------6 分

(Ⅲ)由题意 F ( x) ? 4e x ( x ? 1) ? x2 ? 4 x 求导得 F ?( x) ? 4ex ( x ? 1) ? 4ex ? 2 x ? 4 ? 2( x ? 2)(2e x ?1) , ----------------------8 分

由 F ?( x) ? 0 得 x ? ? ln 2 或 x ? ?2 ,由 F ?( x) ? 0 得 ?2 ? x ? ? ln 2 所以 F ( x) 在 (??, ?2),(? ln 2, ??) 上单调递增,在 (?2, ? ln 2) 上单调递减----------10 分

? F ( x)极小值 =F(-ln2)=2+2ln2-(ln2)2 ? 2 ? ln 2(2 ? ln 2) ? 0
F (?4) ? 4e?4 ? (?4 ? 1) ?16 ? 16 ? ?12e?4 ? 0
故函数 F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 2 只有一个零点. 22. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)∵A (?a, 0) ,设直线方程为 y ? 2( x ? a) , B( x1 , y1 ) 令 x ? 0 ,则 y ? 2a ,∴ C (0, 2a) , ∴ AB ? ( x1 ? a, y1 ), BC ? (?x1,2a ? y1 )

----------------------11 分 ----------------------12 分 ----------------------13 分

----------------------2 分 ----------------------3 分

??? ?

??? ?

? 6 ??? BC 13 6 6 13 12 (2a ? y1 ) ,整理得 x1 ? ? a, y1 ? a ∴ x1 ? a = (? x1 ), y1 ? 13 13 19 19
∵ AB ? ∵B 点在椭圆上,∴ (

??? ?

--------------------4 分

13 2 12 2 a 2 b2 3 ) ? ( ) ? 2 ? 1 ,∴ 2 ? , 19 19 b a 4

----------------------5 分



3 1 a2 ? c2 3 ? , 即 1 ? e 2 ? ,∴ e ? 2 4 2 a 4

----------------------6 分

(Ⅱ)∵

b2 3 ? , 可设 b2 ? 3t.a 2 ? 4t , a2 4
----------------------7 分

∴椭圆的方程为 3x2 ? 4 y 2 ?12t ? 0 由?

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12t ? 0 ? y ? kx ? m

得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12t ? 0

----------------------8 分

∵动直线 y ? kx ? m 与椭圆有且只有一个公共点 P ∴ ? ? 0 ,即 64k 2 m2 ? 4(3 ? 4m2 )(4m2 ?12t ) ? 0 整理得 m ? 3t ? 4k t
2 2

----------------------9 分

设 P ( x1 , y1 ) 则有 x1 ? ? ∴ P(?

3m 8km 4km ?? , y1 ? kx1 ? m ? 2 2 3 ? 4k 2 2(3 ? 4k ) 3 ? 4k
----------------------10 分

4km 3m , ) 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

又 M (1,0) ,Q (4, 4k ? m) 若 x 轴上存在一定点 M (1,0) ,使得 PM ? QM , ∴ (1 ?

4km 3m ,? ) ? (?3, ?(4k ? m)) ? 0 恒成立 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
2 2

整理得 3 ? 4k ? m ,
2 2 ∴ 3 ? 4k ? 3t ? 4k t 恒成立,故 t ? 1

----------------------12 分

所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

----------------------13 分


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