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温州十校联考2014高二理科数学下学期期末试题及答案


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一、选择题(每小题 4 分,共 40 分)
2 1.若集合 M ? x x ? 4, x ? R , N ? {x |1 ? x ? 3, x ? R} ,则 M ? N ? ( ▲ )

?

?

A.

{x | ?2 ? x ? 1}

B. {x |1 ? x ? 2}

C. {x | ?2 ? x ? 2}

D. {x | x ? 2}
x

2.下列函数中,在区间 ? 0, ?? ? 上为增函数的是( ▲ )

1 A. y ? x

B. y ? ? x ? 1

C. y ? ln ? x ? 2?

?1? D. y ? ? ? ?2?

3. 已知 ?ABC 中,“ sin A ? A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

1 ? ”是“ A ? ”的( ▲ ) 2 6
B.必要而不充分条件
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D.既不充分也不必要条件

4.已知圆的方程为 x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 0 ,设该圆中过点 M (?3,5) 的最长弦、最短弦分别为 AC , BD ,则

AC ? BD 的值为( ▲ )
A.

10 ? 26

B. 10 ? 2 26

C. 10 ? 2 6

D. 10 ? 4 6

5.已知 ? , ? 是两个不同的平面, m, n 是两条不同的直线,则下列命题不 正确 的是( ▲ ) . .. A.若 m // n, m ? ? ,则 n ? ? C.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? 6.将函数 y ? sin( 2 x ? A. x ? B.若 m // ? , ? ? ? ? n ,则 m // n D.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ?

?
6

) 图象向左平移

? 个单位,所得函数图象的一条对称轴的方程是( ▲ ) 4
C. x ?

?
12

B. x ?

?
6

?
3

D. x ? ?

?
12

7.设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn 。若 q ? 2 , S100 ? 36 ,则 a1 ? a3 ? ... ? a99 ? ( ▲ ) A.24 B. 12 C.18 D.22

A ? A B O ? C 8. 若 ?ABC 的外接圆的圆心为 O , 半径为 1 , 若O
A.

? 0, 且| O A | |? A B|

AC ?B , 则C

等于 ( ▲ )

3 2

B. 3

C. 3

D. 2 3 X| k |B| 1 . c|O |m

x2 y 2 P 为 C 的右支上一点, ? ? 1的左右焦点分别为 F1 , F2 , 9. 已知双曲线 C : 且 PF2 ? F 则 ?PF 1F 2 1F2 , 9 16
的面积等于( ▲ ) A. 24 B. 36 C. 48 D. 96

10.定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? ?

?log 1 ( x ? 1), x ? [0,1) ?
2

? ?1? | x ? 3 |, x ? [1,??)
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,则函数

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A. 2 ? 1
a

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C. 1 ? 2
?a

F ( x) ? f ( x) ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为( ▲ )
B. 2
?a

?1

D. 1 ? 2

a

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分)

3) 在不等式 2 x ? y ? 4 表示的平面区域内,则 m 的取值范围为___▲___. 11.若点 P(m,
1 2.若 sin(? ? ? ) ? ?

1 ?? ? ,? ? ? , ? ? ,则 cos? ? ___▲___ 2 ?2 ?

13.如果一个几何体的三视图如图所示, 其中正视图中△ABC 是边长为 2 的正三 角形,俯视图为正六边形,那么该几何 体的侧视图的面积为____▲____.

2 14. x,y ? R,且xy ? 0 ,则 ? ?x ?
2

?

? 4) 和抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F , 15. 已知点 A(0, 若线段 FA 的中点 B 在抛物线上, 则 B 到该抛物
线准线的距离为___▲___. 16. 已知数列 ?an ? 满足递推关系式 an?1 ? 2an ? 2 n ? 1 (n∈N ), 且?
*

1 ?? 1 ? ? ? 4 y 2 ? 的最小值为___▲__. 2 ?? 2 y ?? x ?

? an ? ? ? ? 为等差数列,则 ? 的值是___ n ? 2 ?

▲___. 17.对于函数 f ( x) ? lg x ? 2 ?1 ,有如下三个命题: ① f ( x ? 2) 是偶函数; ② f ( x ) 在区间 ? ??,2? 上是减函数,在区间 ? 2, ??? 上是增函数; ③ f ( x ? 2) ? f ( x) 在区间 ? 2, ??? 上是增函数. 其中正确命题的序号是 ▲ .(将你认为正确的命题序号都填上)

三、解答题(本大题共 4 小题,共 52 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 18. (本题满分 12 分)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a , b , c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac (1)求 B; (2)若△ABC 的面积 S= 4 3 , a =4,求边 b 的长度. 新 课 标 第 一 网

w

w w .x k b 1.c o m

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19.(本题满分 12 分)设等差 数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S 4 ? 4S 2 , a4 ? 2a2 ? 1. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足

bn 1 ? n , n ? N ? ,设 Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,试比较 Tn 与 3 的大小. an 2

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20. (本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 为矩形, 平面 ABEF ? 平面 ABCD, EF//AB,

?BAF ? 90 ,AD=2,AB= AF=2EF=l,点 P 在棱 DF 上.
(1)若 P 为 DF 的中点,求证:BF//平面 ACP (2)若二面角 D-AP-C 的余弦值为

6 ,求 PF 的长度. 3

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w

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x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点,且椭圆的长 a 2 b2 轴长为 4 2 ,左右顶点分别为 A,B,经过椭圆左焦点的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点.
21. (本小题满分 14 分)已知抛物线 y 2 ? 8x 的焦点为椭圆 (1)求椭圆标准方程:
新 课 标 xk b1. c om

(2)记 ? ABD 与 ? ABC 的面积分别为 S1 和 S2 ,且 S1 ? S2 ? 2 ,求直线 l 方程; (3)椭圆的上顶点 G 作直线 m 、 n ,使 m ? n ,直线 m 、 n 分别交椭圆于点 P 、 Q .问: PQ 是否过一 定点,若是求出该点的坐标;若不是,请说明理由.w
W w .X k b 1.c O m

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2013 学年第二学期温州市十校联合体期末考试 高二数学(理科)参考答案及评分标准

三、解答题(本大题共 4 小题,共 52 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 18. 解: (1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以 a2+c2-b2=-ac. a2+c2-b2 1 由余弦定理得 cos B= =- ,xKb 1.C om 2ac 2 因此 B=120°. ???????????????????????6 分 1 1 3 3 (2)由 S= ac sin B= ac· = ac=4 3,得 ac=16,又 a=4,知 c=4. ??8 分 2 2 2 4
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所以 A=C=300, 由正弦定理得 b=

a sin B =4 sin A

3.??????? ???12 分

19.解: (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 由 S4=4S2,a4=2a2+1 得 ? 因此 an=2n-1,n∈N*. bn 1 (2)由已知 = n,n∈N*, an 2

?4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d 解得 a1=1,d=2. ??4 分 ?a1 ? 3d ? 2a1 ? 2d ? 1.
??????v ???5 分

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由(1)知 an=2n-1,n∈N*,所以 bn= 2n-1 1 3 5 又 Tn= + 2+ 3+?+ n , 2 2 2 2 2n-3 2n-1 1 1 3 Tn= 2+ 3+?+ n + n 1 , 2 2 2 2 2+ 两式相减得 2n-1 2 2 2 1 1 T = +? 2+ 3+?+2n? ?- 2n+1 2 n 2 ?2 2 2n-1 3 1 = - n 1- n 1 , 2 2- 2+ 2n+3 所以 Tn=3- n . 2

2n-1 ,n∈N*. 2n

???6 分

???9 分

???11 分
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故 Tn<3

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???12 分

20.解:(Ⅰ)证明:连接 BD,交 AC 于点 O,连接 OP. 因为 P 是 DF 中点,O 为矩形 ABCD 对角线的交点, 所以 OP 为三角形 BDF 中位线, F 所以 BF // OP, E P 因为 BF ? 平面 ACP,OP ? 平面 ACP, 所以 BF // 平面 ACP. ????????4 分 D A (II)因为∠BAF=90? ,所以 AF⊥AB, O 因为 平面 ABEF⊥平面 ABCD, B C 且平面 ABEF ∩平面 ABCD= AB, 所以 AF⊥平面 ABCD, 因为四边形 ABCD 为矩形, 所以以 A 为坐标原点,AB,AD,AF 分别为 x,y,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系 z ???6 分 O ? xyz . 所以 B(1, 0, 0) , E ( , 0,1) ,, C (1, 2, 0) . 因为 AB⊥平面 ADF,所以平面 APF 的法向量为

1 2

F E P

n1 ? (1,0,0) . ??8 分 设 P 点坐标为 (0, 2 ? 2t , t ) ,
[来源学

A B x C

D y

在平面 APC 中, AP ? (0, 2 ? 2t, t ) , AC ? (1, 2,0) , 所以 平面 APC 的法向量为 所以 cos ? n1 , n2 ??

n2 ? ( ?2,1,

2t ? 2 ), t

???10 分

| n1 ? n2 | ? | n1 | ? | n2 |

2 2t ? 2 2 ) t 5 此时 | PF |? . 3 (?2)2 ? 1 ? (

?

6 , ???12 分 3

解得 t ?

2 ,或 t ? 2 (舍). 3
2

????14 分

21 解 (I)由题设可知抛物线 y ? 8x 的 焦点坐标为(2,0)X|k 故椭圆中的 c=2,又椭圆的 a= 2 2 所以 b ? a ? c ? 4
2 2 2

| B| 1 .

c |O |m

x2 y 2 ? ?1 故椭圆标准方程为: 8 4 (II)由题意可设直线 l : x ? my ? 2 ,代入椭圆方 程得

???4 分

(m2 ? 2) y 2 ? 4my ? 4 ? 0
设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,A(- 2 2 ,0),B( 2 2 ,0)

4m , ???6 分 m2 ? 2 1 4m |? 4 于是 S1 ? S 2 ? ? 4 2? | y1 ? y2 |? 2 2 | 2 2 m ?2 解得 m= ? 2 ,故直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 。 ???8 分 ( III ) 易 知 G(0 , 2) , 直 线 m 、 n 的 斜 率 显 然 存 在 , 设 直 线 m : y ? kx ? 2 , 代 入 椭 圆 方 程 得
则 y1 ? y2 ?

x 2 ? 2(kx ? 2) 2 ? 8 ,即 (2k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 0 ,
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解得 P? ??

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?

8k 2 ? 4k , 2 2 ? 1 ? 2k 1 ? 2k

2

? ? ?. ?

同理,直线 n 的方程为 y ? ? 故直线 PQ 的方程为 y ?

? 8k 1 2k 2 ? 4 ? x ? 2 , Q? ?k2 ? 2 , k2 ? 2 ? ? .?????? k ? ?
????12 分

10 分

2 ? 4k 2 k 2 ? 1 ? 8k ? ? ?x ? ?, 2 3k ? 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ?

k 2 ?1 2 x ? http://www.x kb1.co m 即 3k 3 2? ? 所以,直线 PQ 经过定点 ? 0 , ? ? . ????14 分 3? ? y?

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