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平面向量知识点归纳


第一章 平面向量 2.1 向量的基本概念和基本运算 16、向量:既有大小,又有方向的量.数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度.零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾

相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ; ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

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? b

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? ? 设?、 则? ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? ? ? x2 , y2 ? ,
19、向量数乘运算:

x1 ??

x2 y ? ,1 y2
?

?.

? ??? ? ? ? ???? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

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?a ? ? a ;
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②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当

?

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? ? ? ? 0 时, ? a ? 0 .
⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a .

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b b ?0 设 a ? ? x1 , y1 ? , 其中 b ? 0 , 则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时, 向量 a 、 b ? ? x2 , y2 ? ,
共线. 2.2 平面向量的基本定理及坐标表示

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21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 内的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、?2 ,使 a ? ?1e1 ? ? (不共线的向量 e1 、e2 作 2e 2 .

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为这一平面内所有向量的一组基底) 22、 分点坐标公式: 设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点,? 1 、?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , 当 ?1? ? ? ??2 时, 点 ? 的坐标是 ? 2.3 平面向量的数量积 23、平面向量的数量积(两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 ) : ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .
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? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? 时,就为中点公式。) (当 ? ? 1 , ?. 1? ? ? ? 1? ?

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a ?b ? a b ; ⑵性质: 设 a 和 b 都是非零向量, 则① a ? b ? a ? b ? 0 . ②当 a 与 b 同向时,
2 当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b .

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?2

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⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
2 2 若 a ? ? x, y ? , 则 a ? x ? y , 或 a ?

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? ? x 2 ? y 2 . 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 则

? ? a?b? x 0. 1 x 2 ? y 1 y 2 ?
设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

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? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ? ? ? ? ? . 2 2 2 a b x1 ? y12 x2 ? y2
知识链接:空间向量 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明, 求值的应用进行总结归纳. 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴.直线的方向向量: 若 A、B 是直线 l 上的任意两点,则 AB 为直线 l 的一个方向向量;与 AB 平行的任意非 零向量也是直线 l 的方向向量. ⑵.平面的法向量: 若向量 n 所在直线垂直于平面 ? , 则称这个向量垂直于平面 ? , 记作 n ? ? , 如果 n ? ? , 那么向量 n 叫做平面 ? 的法向量. ⑶.平面的法向量的求法(待定系数法) : ①建立适当的坐标系. ②设平面 ? 的法向量为 n ? ( x, y, z) .

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③求出平面内两个不共线向量的坐标 a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 ) .

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? ? ? ?n ? a ? 0 ④根据法向量定义建立方程组 ? ? ? . n ? b ? 0 ? ?
⑤解方程组,取其中一组解,即得平面 ? 的法向量. (如图)

1、 用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行 设直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a 、 b ,则要证明 l1 ∥ l2 ,只需证明 a ∥ b ,即 a ? kb(k ? R) . 即:两直线平行或重合 ⑵线面平行 两直线的方向向量共线。

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①(法一)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 的法向量是 u ,则要证明 l ∥ ? ,只需证明

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? ? ? ? a ? u ,即 a ? u ? 0 .
即:直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外 ②(法二)要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方 向向量是共线向量即可. ⑶面面平行 若平面 ? 的法向量为 u , 平面 ? 的法向量为 v , 要证 ? ∥ ? , 只需证 u ∥ v , 即证 u ? ? v . 即:两平面平行或重合 两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直 设直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a 、 b ,则要证明 l1 ? l2 ,只需证明 a ? b ,即 a ? b ? 0 . 即:两直线垂直 ⑵线面垂直 两直线的方向向量垂直。

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①(法一)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 的法向量是 u ,则要证明 l ? ? ,只需证明 a ∥ u ,即 a ? ? u . ②(法二)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 内的两个相交向量分别为 m 、 n ,若

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? ?? ?a ? m ? 0 ? , 则l ? ? . ?? ? a ? n ? 0 ? ?
即: 直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的法向量共线 内两条不共线直线的方向向量都垂直。 ⑶面面垂直 直线的方向向量与平面

若平面 ? 的法向量为 u ,平面 ? 的法向量为 v ,要证 ? ? ? ,只需证 u ? v ,即证 u ? v ? 0 . 即:两平面垂直 两平面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角 已知 a , b 为两异面直线,A,C 与 B,D 分别是 a , b 上的任意两点, a , b 所成的角为 ? ,

?

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???? ??? ? AC ? BD 则 cos ? ? ???? ??? ?. AC BD
⑵求直线和平面所成的角 ①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的 角
王新敞
奎屯 新疆

②求法: 设直线 l 的方向向量为 a , 平面 ? 的法向量为 u , 直线与平面所成的角为 ? ,a 与

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? u 的夹角为 ? , 则 ? 为 ? 的余角或 ? 的补角
的余角.即有:

? ? a ?u sin ? ? cos ? ? ? . a u

⑶求二面角 ①定义:平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从一条直 线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 每个半平面叫做 二面角的面
王新敞
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二面角的平面角是指在二面角 ? ? l ? ? 的棱上任取一点 O, 分别在两个半平面内作射 线 AO ? l , BO ? l ,则 ?AOB 为二面角 ? ? l ? ? 的平面角. 如图: A

B
O

l B

O

②求法: 设二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面的法向量分别为 m 、 再设 m 、 n, n 的夹角为 ? , 二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,则二面角 ? 为 m 、 n 的夹角 ? 或其补角 ? ? ? .

A

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根据具体图形确定 ? 是锐角或是钝角:

?? ? m?n ◆如果 ? 是锐角,则 cos ? ? cos ? ? ?? ? , m n ?? ? m?n 即 ? ? arccos ?? ? ; m n ?? ? m?n ◆ 如果 ? 是钝角,则 cos ? ? ? cos ? ? ? ?? ? , m n
?? ? ? m?n ? 即 ? ? arccos ? ? ?? ? ? . ? m n? ? ?
5、利用法向量求空间距离 ⑴点 Q 到直线 l 距离

若 Q 为直线 l 外的一点, P 在直线 l 上, a 为直线 l 的方向向量, b = PQ ,则点 Q 到直线 l 距离为 ⑵点 A 到平面 ? 的距离 若点 P 为平面 ? 外一点,点 M 为平面 ? 内任一点, 平面 ? 的法向量为 n ,则 P 到平面 ? 的距离就等于 MP 在法向量 n 方向上的投影的绝对值. 即 d ? MP cos n, MP

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? ??? ?

1 ? ? ? ? h ? ? (| a || b |) 2 ? (a ? b ) 2 |a|

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??????

? ???? ???? n ? MP ? MP ? ? ???? n MP ? ???? n ? MP ? ? n
⑶直线 a 与平面 ? 之间的距离 当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平面的距离相等。由此可知,直线到平面的 距离可转化为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离。

? ???? n ? MP 即d ? ? . n
⑷两平行平面 ? , ? 之间的距离

利用两平行平面间的距离处处相等,可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。

? ???? n ? MP 即d ? ? . n

⑸异面直线间的距离 设向量 n 与两异面直线 a , b 都垂直, M ? a, P ? b, 则两异面直线 a , b 间的距离 d 就是 MP 在向量 n 方向上投影的绝对值。

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? ???? n ? MP 即d ? ? . n
6、三垂线定理及其逆定理 ⑴三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也 和这条斜线垂直
王新敞
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P
O

PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? ? A ? ? a ? PA a ? ? , a ? OA ? ?

A

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a

概括为:垂直于射影就垂直于斜线. ⑵三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也 和这条斜线的射影垂直
王新敞
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PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? ? A ? ? a ? AO a ? ? , a ? AP ? ?
概括为:垂直于斜线就垂直于射影. 7、三余弦定理 设 AC 是平面 ? 内的任一条直线,AD 是 ? 的一条斜线 AB 在 ? 内的射影,且 BD⊥AD,垂 足为 D.设 AB 与 ? (AD)所成的角为 ? 1 ,AD 与 AC 所成的角为 ? 2 ,AB 与 AC 所成的角为 ? . 则

cos? ? cos?1 cos? 2 .
B A ?
?1 ?2 ?

D C

8、 面积射影定理

S ? ? S射 ? ,平面 ? 与平面 ? 所成的二面角的大小为锐二面角 ? ,则

已知平面 ? 内一个多边形的面积为 S S原 ,它在平面 ? 内的射影图形的面积为

? ?

cos? ?

S ' S射 = . S S原

9、一个结论 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分别为

?1、? 2、?3 ,则有 l 2 ? l12 ? l22 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1 ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ?3 ? 2 .
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).

基础练习
一选择题 1.如图,点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,则以图中点 A,B,C,D,E,F,O 中 的任意一点为起点,与起点不同的另一点为终点的所有向量中,除向量外,与向量共线的向 量共有( ) A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个 解析:选 D.与向量共线的向量有,,,,,,,,共 9 个,故选 D.

2.设不共线的两个非零向量 e1,e2,且 k(e1+e2)∥(e1+ke2),则实数 k 的值为( A.1 B.-1 C .± 1 D.0

)

答案:A

3.已知向量是不共线向量 e1,e2,给出下列各组向量: 1 ①a=2e1,b=e1+e2;②a=2e1-e2,b=-e1+ e2; 2 ③a=e1+e2,b=-2e1-2e2;④a=e1+e2,b=e1-e2. 其中共线的向量组共有( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个

答案:B

4. 已知 E、 F 分别为四边形 ABCD 的边 CD、 BC 边上的中点, 设=a, =b, 则=( 1 A. (a+b) 2 1 C. (a-b) 2 1 B.- (a+b) 2 1 D. (b-a) 2

)

答案:B

5.下列计算正确的有(

)

①(-7)× 6a=-42a;②a-2b+(2a+2b)=3a; ③a+b-(a+b)=0. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

解析:①对,②对,③错,因为 a+b-(a+b)=0. 答案:C 1.化简-+所得结果是( A. B.C.0 ) D.

答案:C 2.在△ABC 中,||=||=||=1,则|-|的值为( A.0 B.1 C. 3

) D.2

答案:B

3.已知向量 a∥b,且|a|>|b|>0,则向量 a+b 的方向( A.与向量 a 方向相同 B.与向量 a 方向相反 C.与向量 b 方向相同 D.与向量 b 方向相反

)

答案:A

4.在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,+=λ,则 λ=________.

答案:2

5.向量(+)+(+)+等于( A. B.

) C. D.

解析:(+)+(+)+=(+)+(+)+=++=.故选 C. 答案:C 1.如果 e1、e2 是平面 α 内所有向量的一组基底,那么( A.若实数 λ1、λ2 使 λ1e1+λ2e2=0,则 λ1=λ2=0 B.空间任一向量 a 可以表示为 a=λ1e1+λ2e2,这里 λ1、λ2 是实数 C.对实数 λ1、λ2,λ1e1+λ2e2 不一定在平面 α 内 D.对平面 α 中的任一向量 a,使 a=λ1e1+λ2e2 的实数 λ1、λ2 有无数对 )

答案:A

2. 如果 3e1+4e2=a,2e1+3e2=b, 其中 a, b 为已知向量, 则 e1=________, e2=________. 答案:e1=3a-4b e2=-2a+3b 3.设 e1,e2 是平面内一组基底,如果=3e1-2e2,=4e1+e2,=8e1-9e2,则共线的三 点是( ) B.B、C、D

A.A、B、C

C.A、B、DD.A、C、D

答案:C

4. 设 e1, e2 是平面内所有向量的一组基底, 则下面四组向量中, 不能作为基底的是( A.e1+e2 和 e1-e2 B.3e1-2e2 和 4e2-6e1 C.e1+2e2 和 e2+2e1 D.e2 和 e1+e2 解析:∵4e2-6e1=-2(3e1-2e2), ∴3e1-2e2 与 4e2-6e1 共线,故选 B. 答案:B 1.若=(2,3),且点 A 的坐标为(1,2),则点 B 的坐标为( A.(1,1) C.(3,5) B.(-1,1) D.(4,4) )

)

答案:C

2.已知平行四边形 OABC(O 为原点),=(2,0),=(3,1),则 OC 等于( A.(1,1) C.(-1,-1) B.(1,-1) D.(-1,1)

)

解析:==-=(3,1)-(2,0)=(1,1),故选 A. 答案:A

3.若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于( 1 3 1 3 A.- a+ bB. a- b 2 2 2 2 3 1 C. a- b 2 2 3 1 D.- a+ b 2 2

)

答案:B 1.若 a=(2,3),b=(4,-1+y),且 a∥b,则 y=( A.6 B.5 C.7 D .8 )

答案:C 3 2 2.已知点 M 是线段 AB 上的一点,点 P 是平面上任意一点,= + ,若=λ,则 λ 等于 5 5 ( ) 3 A. 5 2 B. 5 3 C. 2 2 D. 3

解析:用,表示向量,. 3 2 2 2 3 2 3 3 2 ∵=+=+ + =- + ,=+=-+=- + +=- + ,∴= . 5 5 5 5 5 5 5 5 3 答案:D 1.若向量 a、b 满足|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 60° ,则 a· a+a· b 等于( 1 A. 2 C.1+ 3 2 3 B. 2 D.2 )

1 3 解析:选 B.a· a+a· b=|a|2+|a||b|cos60° =1+ = . 2 2 2.设 a,b,c 是任意的非零向量,且相互不共线,则下列结论正确的是( ) A.(a· b)c-(c· a)b=0 B.a· b=0?a=0 或 b=0 C.(b· c)a-(a· c)b 不与 c 垂直 D.(3a+4b)· (3a-4b)=9|a|2-16|b|2 解析:选 D.由于数量积是实数,因此(a· b)c,(c· a)b 分别表示与 c,b 共线的向量,运算结果 不为 0,故 A 错误;当 a⊥b,a 与 b 都不为零向量时,也有 a· b=0,故 B 错误; [(b· c)a-(a· c)b]· c=(b· c)a· c-(a· c)b· c=0,故 C 错误; 2 2 (3a+4b)· (3a-4b)=9a -16b -12a· b+12a· b 2 2 =9|a| -16|b| .

1.a=(-4,3),b=(5,6),则 3|a|2-4a· b 等于( A.23 B.57 C.63 D.83

)

解析:选 D.∵|a|= (-4)2+32=5,a· b=-4× 5+3× 6=-2,∴3|a|2-4a· b=3× 52-4× (- 2)=83.故选 D. 2.已知 A(2,1),B(3,2),C(-1,4),则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 解析:选 B.· =(1,1)· (-3,3)=-3+3=0.故选 B. 1? 1 2 1.设坐标原点为 O,已知过点? 的 ?0,2?的直线交函数 y=2x 的图象于 A、B 两点,则· 值为( ) 3 4 A. B. 4 3 3 4 C.- D.- 4 3 1 1 解析:选 C.由题意知直线的斜率存在可设为 k,则直线方程为 y=kx+ ,与 y= x2 联 2 2 1 1 立得 x2=kx+ , 2 2 ∴x2-2kx-1=0,∴x1x2=-1,x1+x2=2k, 1?? 1? 2 1 k(x1+x2) y1y2=? ?kx1+2??kx2+2?=k x1x2+4+ 2 1 1 =-k2+k2+ = , 4 4 1 3 ∴· =x1x2+y1y2=-1+ =- . 4 4 二填空题 2.已知 A,B,C 是不共线的三点,向量 m 与向量是平行向量,与是共线向量,则 m =________. 解析:∵A,B, C 不共线,∴与不共线, 又 m 与,都共线, ∴m=0. 答案:0

6. 已知||=|a|=3, ||=|b|=3, ∠AOB=120° , 则|a+b|=________.

答案:3 5.已知向量 a,b 不共线,实数 x,y 满足(3x-4y)a+(2x-3y)b =6a+3b,则 x-y=________.

解析:由题意,得 3x-4y=6 且 2x-3y=3,解得 x=6,y=3, ∴x-y=3.

答案:3 6.如下图所示,已知 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 BC、CD 的 中点,EF 与 AC 交于点 G,若=a,=b,用 a、b 表示=________.

解析:∵E、F 分别为相应边中点, 3 3 3 3 ∴= = (a+b)= a+ b. 4 4 4 4 3 3 答案: a+ b 4 4 4. 已知 a=(1,2), b=(2,3), 实数 x, y 满足 xa+yb=(3,4), 则 x=________.

答案:-1 π 5.若将向量 a=( 3,1)按逆时针方向旋转 得到向量 b,则 b 的 2 坐标为________.

答案:(-1, 3)

6.已知平行四边形 ABCD 中,A(1,1),B(6,1),C(8,5),则点 D

的坐标为________.

答案:(3,5)

7.作用于原点的两个力 F1=(2,2),F2=(1,3),为使它们平 衡,需加力 F3=________. 答案:(-3,-5) 3. 已知?ABCD 四个顶点的坐标为 A(5,7), B(3, x), C(2,3), D(4, x),则 x=__________.

答案:5
3.已知向量 a,b 满足|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则 b 在 a 上的投影是________. 解析:b 在 a 上的投影是|b|cos〈a,b〉=2cos60°=1. 答案:1 4.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x2+|a|x+a· b=0 有实根, 则 a 与 b 的夹角的取值范围是 ________. 解析:由于|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x2+|a|x+a· b=0 有实根,则|a|2-4a· b≥0,设向量 1 2 |a| a·b 4 π ? 1 a 与 b 的夹角为 θ,则 cosθ = ≤ = ,∴θ ∈? ?3,π?. |a||b| 1 2 2 |a| 2 π ? 答案:? ?3,π? 4.在边长为 2的等边三角形 ABC 中,设 =c,=a,=b,则 a· b+b· c+c· a=__________.
AB

解析:a· b+b· c+c· a= 2× 2×cos 120°×3=-3. 答案:-3 5.已知|a|=|b|=1,|3a-2b|=3,则|3a+b|=________. 解析:由已知|3a-2b|=3,得 9|a|2-12a·b+4|b|2=9, 1 ∴a·b= . 3 ∴|3a+b|= (3a+b)2= 9|a|2+6a·b+|b|2=2 3. 答案:2 3

.在平面直角坐标系中,O 为原点,已知两点 A(1,-2),B(-1,4),若点 C 满足=α+ β,其中 0≤α≤1 且 α+β=1,则点 C 的轨迹方程为________. 解析:∵α+β=1,∴β=1-α, 又∵=α+β=α+(1-α), ∴-=α(-),∴∥, 又 B 与有公共点 B,∴A、B、C 三点共线, ∵0≤α≤1,∴C 点在线段 AB 上运动, ∴C 点的轨迹方程为 3x+y-1=0(-1≤x≤1). 答案:3x+y-1=0(-1≤x≤1) 三解答题


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