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2012年高三质检二数学(文科)试卷及答案


2012 年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二) 高三数学(文科)
注意事项:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上.

第 I 卷(选择题 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. sin15

0 =
?

A.

1 2

B.-

1 2

C.

3 2

D.-

3 2

2.已知全集 U ? N,集合 P ? {1,2,3,4,5}, Q ? {1,2,3,6,8},则 P ? (CUQ) = A.{1,2,3} 3.复数 z ? A. i B.{4,5} C.{6,8} D.{1,2,3,4,5}

1 i ? ,则 z = 1? i 1? i B.- i C.1+ i

D.1- i

4.已知中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线的离心率为 5 ,则它的渐近线方程为 A. y ? ?2 x B. y ? ?

5 x 2
2

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? 6x
2

5.已知命题 p1 : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ; p2 : ?x ?[1,2] ,使得 x ? 1 ? 0 .以下命题为真命题的为 A. ?p1 ? ?p2 B. p1 ? ?p2 C. ?p1 ? p2 D. p1 ? p2

6.函数 f ?x ? 满足 f ?0? ? 0 ,其导函数 f ?? x ? 的图象如下图,则 f ?x ? 在[-2,1]上的最小值为 A.-1 B.0 C.2 D.3

7.已知平面向量 a 、 b ,| a |=1,| b |= 3 ,且| 2a ? b |= 7 ,则向量 a 与向量 a ? b 的夹角为 A.

?
2

B.

?
3

C.

?
6

D. ?

8.图示是计算 1+

1 1 1 + +?+ 值的程序框图, 3 5 29

则图中(1)处应填写的语句是 A. i ? 15 ? B. i ? 15 ? C. i ? 16 ? D. i ? 16 ? 9.一个袋子中有 5 个大小相同的球,其中 3 个白球与 2 个黑球, 现从袋中任意取出一个球,取出后不放回,然后再从袋中任意取 出一个球,求第一次为白球第二次为黑球的概率为

A.

3 5

B.

3 10

C.

1 2

D.

6 25

10.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

4 B.6+ 5 C.4+2 5 D.6+2 5 3 11.已知正三棱柱内接于一个半径为 2 的球,则正三棱柱 的侧面积取得最大值时,其底面边长为
A.

A. 6

B. 2

C. 3

D.2

12.对向量 a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 ) 定义一种 运算“ ? ” a ? b ? (a1 , a2 ) ? (b1, b2 ) ? (a1b1, a2b2 ) , : 已知动点 JP、Q 分别在曲线 y ? sin x 和 y ? f ( x) 上运动,且 OQ ? m ? OP ? n (其中 O 为坐标原点),

????

??? ?

1 ? 若 m ? ( ,3), n ? ( , 0) ,则 y ? f ( x) 的最大值为 2 6 1 A. B.2 C.3 D. 3 2

第 II 卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题至第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题 至第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 f ( x) ?

x 2 ? x 的定义域为
?



14.在 ?ABC 中, ?A ? 60 , BC ? 2, AC ?

2 6 ,则 ?B ? 3



?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 15.已知点 Q (5,4),动点 P ( x , y )满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则| PQ |的最小值为 ?y ?1 ? 0 ?



16.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,则经过点 F 、 M (4,4) 且与抛物线的准线相切的圆的个数为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)



已知数列{ an }为公差不为零的等差数列, a1 =1,各项均为正数的等比数列{ bn }的第 1 项、第 3 项、 第 5 项分别是 a1 、 a3 、 a21 . (I)求数列{ an }与{ bn }的通项公式; (Ⅱ)求数列{ an bn }的前 n 项和.

18.(本小题满分 l2 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,ABCD 为菱形,

? ABC=60 ? ,EC ? 面 ABCD,FA ? 面 ABCD,
G 为 BF 的中点,若 EG//面 ABCD. (I)求证:EG ? 面 ABF; (Ⅱ)若 AF=AB=2,求多面体 ABCDEF 的体积. 19.(本小题满分 12 分) 某班甲、乙两名同学参加 l00 米达标训练,在相同条件下两人 l0 次训练的成绩(单位:秒)如下:

(I)请画出适当的统计图;如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的 100 米比赛,从成绩的稳定性 方面考虑,选派谁参加比赛更好,并说明理由(不用计算,可通过统计图直接回答结论). (Ⅱ)经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计,甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5]之间, 现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于 0.8 秒的概率. 20.(本小题满分 12 分) 点 P 为圆 O : x2 ? y 2 ? 4 上一动点,PD ? x 轴于 D 点,记线段 PD 的中点 M 的运动轨迹 为曲线 C. (I)求曲线 C 的方程; (II)直线 l 经过定点(0,2)与曲线 C 交于 A、B 两点,求△OAB 面积的最大值. 21.(本小题满分 l2 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x , a ∈R) ( . 2

(I)若 a =-1,求 f (x) 的单调递增区间。 (Ⅱ)当 x ? 1 时, f (x) ? ln x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 请考生在第 22~24 三题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB 为圆 O 的直径,P 为圆 O 外一点,过 P 点作 PC ? AB 于 C,交圆 O 于 D 点,PA 交圆 O 于 E 点,BE 交 PC 于 F 点. (I)求证: ? P= ? ABE; (Ⅱ)求证:CD =CF·CP. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, Ox 轴为
2

1 ? ?x ? t a n ; ? ? 极轴建立极坐标系,曲线 C1 的方程为 ? ( ? 为参数) ,曲 线 C2 的极坐标方程为 : 1 ?y ? . 2 ? t an ? ?

? (cos? ? sin ? ) ? 1,若曲线 C1 与 C2 相交于 A、B 两点.
(I)求|AB|的值; (Ⅱ)求点 M(-1,2)到 A、B 两点的距离之积. 24.(本小题满分 l0 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | . (I)求不等式 f (x) ≤6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f (x ) > a 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2011-2012 年度高三复习质量检测二 数学(文科答案)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1-5 ABDCC 6-10 ABBBD 11-12AC 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. ? ??,0? ? ?1, ??? 14. 45
?

15.5

16.2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d, 数列 {bn } 的公比为 q, 由题意得: a32 ? a1a21 , ????2 分

? (1 ? 2d )2 ? 1? (1 ? 20d ) ,
4d 2 ? 16d ? 0 ,
? d ? 0 ,? d ? 4, 所以 an ? 4n ? 3 .??????4 分
于是 b1 ? 1, b3 ? 9, b5 ? 81, ?bn ? 的各项均为正数, ,所以 q=3,

?bn ? 3n?1 .??????6 分
(Ⅱ) anbn ? (4n ? 3)3
n?1

,

?Sn ? 30 ? 5 ? 31 ? 9 ? 32 ? ?? (4n ? 7) ? 3n?2 ? (4n ? 3) ? 3n?1 . 3Sn ? 31 ? 5 ? 32 ? 9 ? 33 ? ?? (4n ? 7) ? 3n?1 ? (4n ? 3) ? 3n .??????8 分
两式两边分别相减得:

?2Sn ? 1 ? 4 ? 3 ? 4 ? 32 ? 4 ? 33 ????????10 分

? 1 ? 4(3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ?1 ) ? (4n ? 3) ? 3n 4 ? 3 ? (1 ? 3n?1 ) ? 1? ? (4n ? 3) ? 3n 1? 3 ? (5 ? 4n) ? 3n ? 5
? Sn ? (4n ? 5)3n ? 5 .?????12 分 2

18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:取 AB 的中点 M,连结 GM,MC. 可得 GM //FA, 因为 EC ? 面 ABCD, F A ? 面 ABCD, 所以 CE//FA, ∴EC//GM.?????2 分 ∵面 CEGM ? 面 ABCD=CM, EG// 面 ABCD, ∴EG//CM,?????4 分 ∵在正三角形 ABC 中,CM ? AB,又 FA ? CM ∴EG ? AB, EG ? AF, ∴EG ? 面 ABF.?????6 分 (Ⅱ) V = VB? ACEF ? VD? ACEF ,?????8 分

1 S ACEF ? BD ,??????10 分 3 1 1 ? ? (1 ? 2) ? 2 ? 2 3 ? 2 3 .?????12 分 3 2 ?
19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 茎叶图

??4 分

或 ????4 分 从统计图中可 以看出, 乙的成绩 较为集中, 差异程 度较小, 应选派乙 同学代表班级参 加比赛更好; ??

6分 (Ⅱ)设甲同学的成绩为 x ,乙同学的成绩为 y ,则

x ? y ? 0.8 ,?????8 分
得 ?0.8 ? x ? y ? 0.8 ? x , 如 图 阴 影 部 分 面 积 即 为

3 ? 3 ? 2.2 ? 2.2 ? 4.16 ,????10 分
则 P( x ? y ? 0.8) ? P(?0.8 ? x ? y ? 0.8 ? x)

?

4.16 104 ? .?????12 分 3 ? 3 225

20.(本小题满分 12 分)

? x ? x0 ? x0 ? x ? 解: (Ⅰ)设 P ? x0 , y0 ? , M ? x, y ? ,由 ? ,???2 分 1 ,得 ? ? y0 ? 2 y ? y ? 2 y0 ?
代入 x ? y ? 4 ,得
2 2

x2 ? y 2 ? 1,轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆.?????4 分 4

(Ⅱ)依题意 l 斜率存在, 其方程为 y ? kx ? 2 , 由?

? x2 ? 4 y2 ? 4 ? y ? kx ? 2
2

2 2 ,消去 y 整理得 4k ? 1 x ? 16kx ? 12 ? 0 ,

?

?

? ? ?16k ? ? 4 ? 4k 2 ? 1? ?12 ? 4(4k 2 ? 3)
2 由 ? ? 0 ,得 4k ? 3 ? 0

① ,则

设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?

x1 ? x 2 ?

?16k 12 ,x x ? 2 1 2 2 4k ? 1 4k ? 1

②???6 分

AB ?

?1 ? k 2 ? ?? x1 ? x2 ?2 ? 4x1x2 ? ? ? ?
2 1? k 2

?? ?16k ?2 12 ? 1 ? k 2 ? ?? 2 ? ? 4 ? 2 ? ? 4k ? 1 ? ?? 4k ? 1 ? ? ?
④????8 分



原点到直线 l 距离为 d ? 由面积公式及③④得

S?OAB ?4
?4

1 4k 2 ? 3 ? ? AB d ? 4 2 (1 ? 4k 2 ) 2 4k ? 3 (4k ? 3) ? 8(4k 2 ? 3) ? 16
2 2 2

,

1 4k 2 ? 3 ? 8 ? 16 4k 2 ? 3

?4

1 ? 1 ,?????10 分 16

当且仅当 4k ? 3 ?
2

16 2 ,即 4k ? 3 ? 4 时,等号成立. 2 4k ? 3

此时 S?OAB 最大值为 1.????12 分 21. (本小题满分 12 分)
/ 解: (Ⅰ) 若 a ? ?1 时, f ( x ) ? x ?

1 ,( x ? 0 )??????2 分 x

由 f / ( x) ? 0 得 解得 x ? 1 ,

x2 ?1 ? 0 ,又 x ? 0 x

所以函数 f (x) 的单调递增区间为 (1,??) . (Ⅱ)依题意得 f ( x) ? ln x ? 0 ,即 ∴ (a ? 1) ln x ? ?

????4 分

1 2 x ? a ln x ? ln x ? 0 , 2

1 2 x , 2

1 2 x ∵ x ? 1 ,∴ ln x ? 0 ,∴ a ? 1 ? 2 ln x 1 ? x2 ∴ a ? 1 ? ( 2 ) max ln x ? 1 2 x 设 g (x) ? 2 , ln x ?
g / ( x) ?
1



????6 分

? x ln x ? (ln x)

1 x 2 , 2

令 g / ( x) ? 0 ,解得 x ? e 2 当 1 ? x ? e 时, g ( x) ? 0 , g (x) 在 (0, e ) 单调递增;????8 分
/
1 2

1 2

当 x ? e 时, g ( x) ? 0 , g (x) 在 (e ,??) 单调递减; ????10 分
/

1 2

1 2

1

∴ g (x) max = g (e 2 ) ? ?e , ∴ a ?1 ? ?e 即 a ? 1 ? e . ??????12 分 22. (本小题满分 10 分) 证明: (Ⅰ)依题意, ?AEB ? ?ACP ? 90 ,
0

? 所以在 Rt ?ACP 中, ?P ? 90 ? ?PAB; ?????2 分 ? 在 Rt ?ABE 中, ?ABE ? 90 ? ?PAB; ????4 分

所以 ?P ? ?ABE. ?????5 分 (Ⅱ)在 Rt?ADB 中, CD ? AC ? CB ,????6 分
2

由①得 ?BCF ∽ ?PCA , ∴

BC CF ? ,?????8 分 PC AC
2

∴ CD ? BC ? AC ? CF ? CP
2

,

CP 所以 CD ? CF ? .?????10 分
23. (本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ) C1 : y ? x2 ( x ? 0),

? 2 t, ? x ? ?1 ? ? 2 ,???2 分 C2 : x ? y ? 1 ? 0 ,则 C 2 的参数方程为: ? (t 为参数) 2 ?y ? 2 ? t. ? ? 2
代入 C1 得 t ? 2t ? 2 ? 0 ,?????4 分
2

? AB ? t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ? 10 .?????6 分
(Ⅱ) MA ? MB ? t1t 2 ? 2 .????10 分 24. (本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ)原不等式等价于

3 3 ? ? 1 ?x ? , ?? ? x ? , 或? 2 2 2 ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6, ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6. ? ?
1 ? ?x ? ? , 或? 2 ??(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6. ?
解,得

??????3 分

3 1 3 1 ? x ? 2或 ? ? x ? 或 ? 1 ? x ? ? . 2 2 2 2
?????? 6 分

即不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2}

| (Ⅱ)? 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) |? 4 . ??????8 分
? a ? 4 . ?????? 10 分


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