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3.2.1几类不同增长的函数模型(共2课时)


高一数学备课组集体备课

3.2.1 几类不同增长的函数模型
(共2课时)
主备人:唐强 2013.11.5

有人说,一张普通的 报纸对折30次后,厚 度会超过10座珠穆朗 玛峰的高度,会是真 的吗?

“陛下,请您在这张棋盘的第一个小格内, 赏给我一粒麦子,在第二个小格内给两粒, 第三格内给四

粒,用这样下去,每一小格 内都比前一小格加一倍。陛下,把这样摆 满棋盘上所有64格的麦粒,都赏给您的 仆人吧! ”

“爱卿,你 所求的并不多 啊!”

我们来看两个具体问题:
例1 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案 供你选择,这三种方案的回报如下:
方案一:每天回报40元;

方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;
方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番。 请问,你会选择哪种投资方案呢?

投资方案选择原则:投入资金相同,回报量多者为优. (1)比较三种方案每天回报量; (2)比较三种方案一段时间内的累计回报量.

分析: 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型, 再通过比较它们的增长情况,为选择投资方案提供依据。

解:设第x天所得回报为y元,则 方案一:每天回报40元。函数关系为y=40 (x∈N*) ; 方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报 10元。函数关系为y=10x (x∈N*); 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天 翻一番。函数关系为y=0.4×2x-1 (x∈N*)。

我们来计算三种方案所得回报的增长情况:
x/天 1 2 3 4 5 方案一 y /元 40 40 40 40 40 0 0 0 增长量/元 y /元 10 20 30 40 50 10 10 10 方案二 增长量/元 y /元 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 0.4 0.8 方案三 增长量/元

1.6
3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 ? 107374182.4

0
0 0 0

10
10 10 10

6
7 8 9

40
40 40 40

60
70 80 90

12.8
25.6 51.2 102.4

0
? 0

10
? 10

?
30

?
40

?
300

?
214748364.8

三个函数的图象
我们看到,底数 为2的指数函数 模型比线性函数 模型增长速度要 快得多.从中你 对“指数爆炸” 的含义有什么新 的理解?

除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑回报的 累积值.你能把前11天回报的累积值算出来吗?

累计回报表
方案 天数 1
40 10 0.4

2
80 30 1.2

3
120 60 2.8

4
160 100 6

5
200 150 12.4

6
240 210 25.2

7
280 280 50.8

8
320 360 102

9
360 450 204.4

10
400 550 409.2

11
440 660 816.8






结 论

投资1~6天,应选择方案一;投资 7天,应选择方案一或方案二 ; 根据以上分析 ,你认为该作出何种选择 ?

投资8~10天,应选择方案二;
投资11天(含11天)以上,应选择方案三。

由例1得到
实际问题

解决实际问题的步骤:
解决
实际问题的解

读 懂 问 题

抽 象 概 括
数学问题

还 原 说 明

演 算

推 理
数学问题的解

例2 某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一
个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按
销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随着销售利润x

(单位:万元)的增加而增加,但资金数不超过5万元,同时奖
金不超过利润的25%。现有三个奖励模型:y=0.25x, y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求呢?

思考 本题中涉及了哪几类函数模型?实质是什么?
本例涉及了一次函数、对数函数、指数函数三类函 数模型,实质是比较三个函数的增长情况。

思考 怎样才能判断所给的奖励模型是否符合公司 的要求呢?

要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元, 以及奖励比例是否超过25%进行分析,才能做出正确 选择。
由于公司总的利润目标为1000万元,所以人员 销售利润一般不会超过公司总的利润。于是只需在 区间[10,1000]上,检验三个模型是否符合公司的要

求即可。

借助计算机作出三个函数的图象

三个函数的图象如下

可以看到:在 区间[10,1000] 上只有模型 y=log7x+1的 图象始终在

y=5的下方

通过计算确认上述判断

对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增, 当x=20时, y=5 ,因此x∈(20,1000)时,y>5, 因此该模型不符合要求。 对于模型y=1.002x,由函数图象,并利用计 算器,可知在区间(805,806)内有一个点x0满足 1.002x0 =5,由于它在[10,1000]上递增,因此 当x>x0时,y>5,因此该模型也不符合要求。

对于模型y=log7x+1
(1) 由函数图象可以看出,它在区间[10,1000]上

递增,而且当x=1000时,y=log71000+1≈4.55<5,
所以它符合奖金不超过5万元的要求。 (2) 再计算按模型y=log7x+1奖励时,奖金是否不超 过利润的25%,即当x∈ [10,1000]时,是否有

log7 x ? 1 y ? ? 0.25 成立。 x x

令 f(x)= log7x+1-0.25x,x∈[10,1000].利用计算机 作出函数f(x)的图象,由图象可知它是递减的,因此 f(x) ≤f(10) ≈-0.3167<0,

即 log7x+1<0.25x 所以,当x∈ [10,1000], log7 x ? 1 ? 0.25 时 x 说明按模型y=log7x+1
奖励,奖金不会超过利润的25%.

综上所述,模型y=log7x+1确实能符合公司要求.

实际 问题

读懂问题 基础

将问题 抽象化
过程

数学 模型 关键

解决 问题
目的

几种常见函数的增长情况: 常数函数 没有增长 一次函数 直线上升 指数函数 指数爆炸

练习:课本98页课后练习。
作业:教材P107 习题3.2 1-4

第二课时

探究:

讨论函数:
y ? kx ? k ? 0 ? ,
y ? a ? a ? 1? ,
x

y ? log a x ? a ? 1? , y ? x

n

? n ? 0?

在区间 ?0,??? 上的增长情况.

以四个函数为例探究四类函数的增长差异:

y ? 2 x, y ? 2 , y ? x , y ? log 2 x
x 2

1.由表格数据观察四者的增长速度。

2.由图象观察四者的增长速度。

函数y=2x,y=2x,y=x2,y=log2x的函数值表:
x y=2x y=2x y=x2 y=log2x

0.2
0.4

0.6 1.2

1 2 2 1

1.4 2.8 2.639 1.96

2 4 4 4

2.6 5.2 6.063 6.76

3 6 8 9

4 8 16 16

1.149 1.516 0.04 0.36

-2.32 -0.737

0

0.485

1

1.379

1.585

2

函数y=2x,y=2x,y=x2,y=log2x的图象:
y= 2 x y y=x2

y= 2x

y=log2x

1
o 1 2 4

x

结论1:

一般地,对于指数函数y=ax (a>1)和 幂函数y=xn (n>0),通过探索可以发现:
在区间(0,+∞)上,无论n比a大多少,

尽管在x的一定范围内,ax会小xn,但由
于ax的增长快于xn的增长,因此总存在

一个x0,当x>x0时,就会有ax>xn.

结论2:
一般地,对于指数函数y=logax (a>1)和 幂函数y=xn (n>0),通过探索可以发现:

在区间(0,+∞)上,随着x的增大, logax增大得越来越慢,图象就像是渐渐

地与x轴平行一样。尽管在x的一定范围 内, logax可能会大于xn,但由于logax的 增长慢于xn的增长,因此总存在一个x0, 当x>x0时,就会有logax<xn.

综上所述:
(1) 在区间(0,+∞)上,y=ax (a>1),y=logax (a>1)和y=xn (n>0)
都是增函数。 (2) 随着x的增大, y=ax (a>1)的增长速度越来越快,会远远 大于y=xn (n>0)的增长速度。 (3) 随着x的增大,y=logax (a>1)的增长速度越来越慢,会远

远小于y=xn (n>0)的增长速度。
总存在一个x0,当x>x0时,就有: logax<kx<xn<ax

种函数模型的性质:
函数性质
在(0,+∞) 上的增减性

y=ax (a>1) 增函数 越来越快 随x的增大 与y轴靠近

y=logax (a>1) 增函数 越来越慢

y=xn (n>1) 增函数 相对平衡

增长的速 度 图象的变 化

随x的增大 随n值而不 与x轴平行 同

1、指数函数是爆炸式增长 2、幂函数的增长速度是随底数的增大而向y轴靠近 3、对数函数增长速度相对慢一些

你能用同样的方法讨论函数:
y ? a ? 0 ? a ? 1? , y ? x n ? n ? 0 ?
x

在区间 ?0,??? 上的衰减情况吗?

y ? log a x ? 0 ? a ? 1? ,

小结
实际 问题 读懂 问题 基础 将问题 抽象化 过程 数学 模型 关键 解决 问题 目的

几种常见函数的增长情况: 常数函数 没有增长 一次函数 直线上升 指数函数 指数爆炸

1.当x越来越大时,增长速度最快的是 ( D)

A. y ? 100 x C. y ? x
100

B. y ? 100 ln x D. y ? 100 ? 2
x

2.一次实验中,x,y函数关系与下列哪
类函数最接近( A )
x 1 2 3 4 5 6

y

0.25

0.49

0.76

1

1.26
x

1.51

A. y ? k x ? b C. y ? ax ? b
2

B. y ? a ? b

b D. y ? a ? x

3.一次实验中,x,y函数关系与下列哪
类函数最接近( C )
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12

u

1.5

4.04

7.5

12
t

18.01

A.u ? log 2 t t ?1 C.u ? 2
2

B.u ? 2 ? 2 D.u ? 2t ? 2

4. 函数 y ? 2 x与 y ? x 2 交点个数( D )

A.0

B.1
x

C.2

D.3

5. f ?x ? ? 3 , g ?x ? ? 2 x, x ? R 时有( A )

C. f ? x ? ? g ? x ?

A. f ?x ? ? g ?x ?

D.g ?x ? ? f ?x ?

B.g ? x ? ? f ?x ?

6.

D

小结:
1.几种常见函数的增长情况: 常数函数 没有增长 一次函数 直线上升 指数函数 对数函数 指数爆炸 “慢速”增长 实际问题的解 还 原 说 明 数学问题的解 推理

2.解决实际问题的步骤:
实际问题

读 懂 问 题

抽 象 概 括

演算

数学问题

作业:教材P101 练习


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