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《高考数学总复习系列》高中数学必修1


《高考数学总复习系列》高中数学必修一
第一章、集合
一、基础知识(理解去记) 定义 1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示;集合 中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素 x 在集合 A 中,称 x 属于 A,记为 x ? A ,否则称 x 不 属于 A,记作 x ? A 。 例如,通常用 N,Z,Q,B,Q+分

别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集,不含任何 元素的集合称 为空集,用 ? 来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法,如 {1,2,3};描述法:将集 合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}, {x x ? 0} 分 别表示有理数集和正实数集。 定义 2 子集:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素,则 A 叫做 B 的 子集,记为 A ? B ,例如 N ? Z 。规定空集是任何集合的子集,如果 A 是 B 的子集,B 也是 A 的子集, 则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集,而且 B 中存在元素不属于 A,则 A 叫 B 的真子集。 便于理解: A ? B 包含两个意思:①A 与 B 相等 、②A 是 B 的真子集 定义 3 交集, A ? B ? {x x ? A且x ? B}. 定义 4 并集, A ? B ? {x x ? A或x ? B}. 定义 5 补集,若 A ? I , 则C1 A ? {x x ? I , 且x ? A} 称为 A 在 I 中的补集。 定义 6 集合 {x a ? x ? b, x ? R, a ? b} 记作开区间 (a, b) ,集合

{x a ? x ? b, x ? R, a ? b} 记作闭区间 [a, b] ,R 记作 (??,??).
定义 7 空集?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 补充知识点 对集合中元素三大性质的理解 (1)确定性 集合中的元素,必须是 确定的.对于集合 A 和元素 a ,要么 a ? A ,要么 a ? A ,二者必居其一.比 如:“所有大于 100 的数”组成一个集合,集合中的元素是确定的.而“较大的整数”就不能构成一个集 合,因为它的对象是不 确定的.再如,“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合. (2)互异性 对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的.任何两个相同的对象在同一集合中时,只能算作 这个集合中的一个元素.如:由 a , a 组成一个集合,则 a 的取值不能是 0 或 1. (3)无序性 集合中的元素的次序无先后之分.如:由 1 , 2, 3 组成一个集合,也可以写成 1 , 3, 2 组成一个集合,它们 都表示同一个集合. 帮你总结:学习集合表示方法时应注意的问题 (1)注意 a 与 ?a? 的区别. a 是集合 ?a? 的一个元素,而 ?a? 是含有一个元素 a 的集合,二者的关系是
2

a ? ?a? .
(2)注意 ? 与 ?0? 的区别. ? 是不含任何元素的集合,而 ?0? 是含有元素 0 的 集合.[来源:学#科#网] (3)在用列举法表示集合时,一定不能犯用{实数集}或 ?R? 来表示实数集 R 这一类错误,因为这里“大 括号”已包含了“所有”的意思.

用特征性质描述法表示集合时,要特别注意这个集合中的元素是什么,它应具备哪些特征性质,从而 准确地理解集合的意义.例如: 集合 ( x,y) y ?

?

x 中的元素是 ( x,y) ,这个集合表示二元方程 y ? x 的解集,或者理解为曲线

?

y ? x 上的点组成的点集;[来源:学_科_网]

x ? 中的元素是 x ,这个集合表示函数 y ? ? 集合 ? y y ? x ? 中的元素是 y ,这个集合表示函数 y ?
集合 x y ? 集合 y ?

x 中自变量 x 的取值范围; x 中函数值 y 的取值范围;

?

x 中的元素只有一个(方程 y ?

?

x ),它是用列举法表示的单元素集合.

(4)常见题型方法:当集合中有 n 个元素时,有 2n 个子集,有 2n-1 个真子集,有 2n-2 个非空真子集。 二、基础例题(必会) 例 1 已知 A ? y y ? x ? 4 x ? 3,x ? R , B ? y y ? ? x ? 2 x ? 2,x ? R ,求 A ? B .
2 2

?

?

?

?

正解:∵ y ? x ? 4 x ? 3 ? ( x ? 2) ? 1≥ ?1 ,
2 2

y ? ? x 2 ? 2 x ? 2 ? ?( x ? 1)2 ? 3 ≤ 3 ,
∴A ?? y ≥ y ?1? , B ? ? y y ≤ 3? , ∴ A ? B ? ? y ?1 ≤ y ≤ 3? .

解析:这道题要注意研究的元素(看竖线前的元素),均是 y,所以要求出两个集合中 y 的 范围再求交集,A 中的 y 范围是求表达式的值域、因此此题是表示两个函数值域的集合.
4,a ? 2a ? a ? 7 , 例 2 若 A ? 2,
3 2

?

?

1 ? ? 5? ,试求实数 a . B ? ?1 ,a ? 1 ,a 2 ? 2a ? 2, ? (a 2 ? 3a ? 8),a 3 ? a 2 ? 3a ? 7 ? ,且 A ? B ? ?2, 2 ? ?

正解:∵A∩B={2,5},∴由 a ? 2a ? a ? 7 ? 5 ,
3 2

解得

a ? 2 或 a ? ?1 .[来源:学,科,网 Z,X,X,K]
2

当 a=1 时, a ? 2a ? 2 ? 1 与元素的互异性矛盾,故舍去 a ? 1 ;

, 0, 5, 2, 4? ,此时 A ? B ? ?2, 4, 5? ,这与 A ? B ? ?2, 5? 矛盾,故又舍去 a ? ?1 ; 当 a ? ?1 时, B ? ?1 4, 5? , B ? ?1 , 3, 2, 5, 25? ,此时 A ? B ? ?2, 5? 满足题意,故 a ? 2 为所求. 当 a ? 2 时, A ? ?2,
解析:此题紧 紧抓住集合的三大性质:①确定性 ②互异性 ③无序 性 三、趋近高考(必懂) 1.(2010 年江苏高考 1)设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a=______________ 方法:将集合 B 两个表达式都等于 3,且抓住集合三大性质。【答案】1.

2. (2010.湖北卷 2.) 设集合 A= {( x, y ) |

x2 y 2 x B= {( x, y ) | y ? 3 } ,则 A∩B 的子集的个数是 ( ? ? 1} , 4 16



A. 4 B.3 C.2 D.1 方法:注意研究元素,是点的形式存在,A 是椭圆,B 是指数函数,有数形结合方 法,交于两个点,说明 集合中有两个元素,还要注意,题目求子集个数,所以是 22=4【答案】A

集合穿针 转化引线(最新)
一、集合与常用逻辑用语 3.若 p : 3x ? 8 x ? 4 ? 0,q : ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,则 ?p 是 ?q 的(
2

).

(A)充分条件 (C)充要条件
2

(B)必要条件 (D)既不充分又不必要条件

解析:∵ p : 3x ? 8 x ? 4 ? 0 ,即 x ? ∴ ?p :

2 或 x ? 2, 3

2 ≤ x≤2. 3

∵ q : ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,即 x ? ?1 或 x ? 2 , ∴ ?q : ?1≤ x ≤ 2 . 由集合关系知: ?p ? ?q ,而 ?q ? ?p . ∴ ?p 是 ?q 的充分条件,但不是必要条件.故选(A).[来源:学#科#网] 4. 若 k ? R ,则“ k ? 3 ”是“方程 (A)充分条件 (C)充要条件 解析:方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线”的( k ?3 k ?3

).

(B)必要条件 (D)既不充分又不必要条件

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线 k ?3 k ?3
3? ) ? 0 k 或? k ?3 ?3 .故选(A).

? (k ? 3 )k ( ?
二、集合与函数

,Q ? {x y ? ? x ? 2,x ? R} ,那么 P ? Q 等于( 5.已知集合 P ? { y y ? ? x ? 2,x ? R}
2

).

(A)(0,2),(1,1) (C){1,2}

(B){(0,2),(1,1)} (D) { y y ≤ 2}
2

解析:由代表元素可知两集合均为数集, 又 P 集合是函数 y ? ? x ? 2 中的 y 的取值范围,故 P 集合
2 的实质是函数 y ? ? x ? 2 的值域. 而 Q 集合则为函数 y ? ? x ? 2 的定义域, 从而易知 P ? Q ? { y y ≤ 2} ,

选(D).[来源:学§科§网 Z§X§X§K] 评注:认识一个集合,首先要看其代表元素,再看该元素的属性,本题易因误看代表元素而错选(B) 或(C).

三、集合与方程

,B ? {x x ? 0} ,且 A ? B ? ? ,求实数 p 的取值范围. 6.已知 A ? {x x ? ( p ? 2) x ? 1 ? 0,x ? R}
2

解析:集合 A 是方程 x ? ( p ? 2) x ? 1 ? 0 的解集,
2

则由 A ? B ? ? ,可得两种情况:[来源:学|科|网] ① A ? ? ,则由 ? ? ( p ? 2) ? 4 ? 0 ,得
2 2

?4 ? p ? 0 ;

②方程 x ? ( p ? 2) x ? 1 ? 0 无正实根,因为 x1 x2 ? 1 ? 0 , 则有 ?

? ? ≥ 0, 于是 p ≥ 0 . ? ?( p ? 2) ? 0,

综上,实数 p 的取值范围为 { p p ? ?4} . 四、集合与不等式 7. 已知集合 A ? {a ax 2 ? 4 x ? 1≥ ?2 x 2 ? a恒成立} ,B ? {x x 2 ? (2m ? 1) x ? m(m ? 1) ? 0} , 若 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围. 解析:由不等式 ax ? 4 x ? 1≥ ?2 x ? a 恒成立,
2 2

可得

2 (a ? 2 x ) ?

4 x? a (? ≥ 1, )

0

(※)

(1)当 a ? 2 ? 0 ,即 a ? ?2 时,(※)式可化为 x ≥

3 ,显然不符合题意. 4
? a ? 2 ? 0, ? ? ≤ 0,

(2)当 a ? 2 ? 0 时,欲使(※)式对任意 x 均成立,必需满足 ?

即?

?a ? ?2,
2 ?4 ? 4(a ? 2)(a ? 1) ≤ 0,

解得

A ? {a a ≥ 2} .
2

集合 B 是不等式 x ? (2m ? 1) x ? m(m ? 1) ? 0 的解集, 可求得 B ? {x m ? x ? m ? 1} , 结合数轴,只要 m ? 1 ? 2 即可,解得 五、集合与解析几何

m ? 1.

2 0 x ≤ 2} , 例 6 已知集合 A ? {( x,y ) x ? mx ? y ? 2 ? 0} 和 B ? {( x,y ) x ? y ? 1 ? 0,≤

如果 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围. 解析:从代表元素 ( x,y) 看,这两个集合均为点集,又 x ? mx ? y ? 2 ? 0 及 x ? y ? 1 ? 0 是两个曲
2

线 方 程, 故 A ? B ? ? 的 实 质为 两个 曲 线有 交 点的 问题 ,我 们 将其 译 成数 学语 言即 为 :“ 抛 物线

x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0 与线段 x ? y ? 1 ? 0(0 ≤ x ≤ 2) 有公共点,求实数 m 的取值范围.”
? x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0, 由? ,得 ? x ? y ? 1 ? 0(0 ≤ x ≤ 2),

x2 ? ( m ?1 ) x ? 1 ? ≤ 0 (≤ 0x
∵ A ? B ? ?,



2 )



∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解. 首先,由 ? ? (m ? 1) ? 4 ≥ 0 ,得 m ≥ 3 或 m ≤ ?1 .
2

当 m≥3 时,由 x1 ? x2 ? ?(m ? 1) ? 0 及 x1 x2 ? 1 知,方程①只有负根,不符合要求; 当 m ≤ ?1 时,由 x1 ? x2 ? ?(m ? 1) ? 0 及 x1 x2 ? 1 ? 0 知,方程①有两个互为倒数的正根,故必有一 根在区间 (0, 1] 内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内. 综上,所求 m 的取值范围是 (??, ? 1] .

第二章、函数
一、基础知识(理解去记) 定义 1 映射,对于任意两个集合 A,B,依对应法则 f,若对 A 中的任意一个元素 x,在 B 中都有唯一一 个元素与之对应,则称 f: A→B 为一个映射。 定义 2 函数,映射 f: A→B 中,若 A,B 都是非空数集,则这个映射为函数。A 称为它的定义域,若 x∈ A, y∈B,且 f(x)=y(即 x 对应 B 中的 y),则 y 叫做 x 的象,x 叫 y 的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。 通常函数由解析式给出,此时函数定 义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围,如函数 y=3 x -1 的 定义域为{x|x≥0,x∈R}.[来源:Zxxk.Com] 定义 3 反函数, 若函数 f: A→B (通常记作 y=f(x)) 是一一映射, 则它的逆映射 f-1: A→B 叫原函数的反函数, -1 通常写作 y=f (x). 这里求反函数的过程是: 在解析式 y=f(x)中反解 x 得 x=f-1(y), 然后将 x, y 互换得 y=f-1(x), 最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如:函数 y=

1 1 的反函数是 y=1- (x ? 0). 1? x x

补充知识点: 定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。 定理 2 在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。 定义 4 函数的性质。 (1) 单调性: 设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2∈I 并且 x1< x2, 总有 f(x1)<f(x2)(f(x)>f(x2)), 则称 f(x) 在区间 I 上是增(减)函数,区间 I 称为单调增(减)区间。 (2) 奇偶性: 设函数 y=f(x)的定义域为 D, 且 D 是关于原点对称的数集, 若对于任意的 x∈D, 都有 f(-x)=-f(x), 则称 f( x)是奇函数;若对任意的 x∈D,都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于 y 轴对称。 (3)周期性:对于函数 f(x),如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域内每一个数 时,f( x+T)=f(x) 总成立,则称 f(x)为周期函数,T 称为这个函数的周期,如果周期中存在最小的正数 T0,则这个正数叫做 函数 f(x)的最小正周期。 定义 5 如果实数 a<b,则数集{x|a<x<b, x∈R}叫做开区间,记作(a,b),集合{x|a≤x≤b,x∈R}记作闭区 间[a,b],集合{x|a<x≤b}记作半开半闭区间(a,b],集合{x|a≤x<b}记作半闭半开区间[a, b),集合{x|x>a}记 作开区间(a, +∞),集合{x|x≤a}记作半开半闭区间(-∞,a]. 定义 6 函数的图象,点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数 y=f(x)的图象,其中 D 为 f(x)的定义域。通过画图不

难得出函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0); (1)向右平移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象; (2)向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象; (3)向下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象; (4)与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称; (5)与函数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称; (6)与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称;(7)与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。 定理 3 复合函数 y=f[g(x)]的单调性,记住四个字:“同增异减”。例如 y= 减函数,y=

1 , u=2-x 在(-∞,2)上是 2? x

1 1 在(0,+∞)上是减函数,所以 y= 在(-∞,2)上是增函数。 u 2? x
一、基础知 识(初中知识 必会)

注:复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证,求导之后是显然的。

1.二次函数:当 a ? 0 时,y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数,其对称轴为直线 x=另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0),其中 x0=-

b , 2a

b ,下同。 2a

2.二次函数的性质:当 a>0 时,f(x)的图象开口向上,在区间(-∞,x0]上随自变量 x 增大函数值减小(简 称递减),在[x0, -∞)上随自变量增大函数值增大(简称递增)。当 a<0 时,情况相反。 3.当 a>0 时,方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0?①和不等式 ax2+bx+c>0?②及 ax2+bx+c<0?③与函数 f(x)的关 系如下(记△=b2-4ac)。[来源:学科网] 1)当△>0 时,方程①有两个不等实根,设 x1,x2(x1<x2),不等式②和不等式③的解集分别是{x|x<x1 或 x>x2} 和{x|x1<x<x2},二次函数 f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点,f(x)还可写成 f(x)=a(x-x1)(x-x2). 2)当△=0 时,方程①有两个相等的实根 x1=x2 =x0= ?

和空集 ? ,f(x)的图象与 x 轴有唯一公共点。 3)当△<0 时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是 R 和 ? .f(x)图象与 x 轴无公共点。 当 a<0 时,请读者自己分析。 4.二次函数的最值:若 a>0,当 x=x0 时,f(x)取最小值 f(x0)= 取最大值 f(x0)=

b b ,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x ? ? } 2a 2a

4ac ? b 2 b ,若 a<0,则当 x=x0= ? 时,f(x) 4a 2a

4ac ? b 2 .对于给定区间[m,n]上的二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),当 x0∈[m, n]时,f(x)在[m, 4a

n]上的最小值为 f(x0); 当 x0<m 时。 f(x)在[m, n]上的最小值为 f(m); 当 x0>n 时, f(x)在[m, n]上的最小值为 f(n) (以上结论由二次函数图象即可得出)。 定义 1 能判断真假的语句叫命题,如“3>5”是命题,“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、 “且”、 “非”的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。[来源:Z|xx|k.Com] 一定注意: “p 或 q”复合命题只有当 p,q 同为假命题时为假,否则为真命题;“p 且 q”复合命题只有 当 p, q 同时为真命题时为真,否则为假命题;p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。 定义 2 原命题:若 p 则 q(p 为条件,q 为结论);逆命题:若 q 则 p;否命题:若非 p 则 q;逆否命题: 若非 q 则非 p。[来源:学.科.网] 一定注意: 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 一定注意: 反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。 定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真,则记为 p ? q 否则记作 p ? q.在命题“若 p 则 q”中,如果已知 p ? q, 则 p 是 q 的充分条件;如果 q ? p,则称 p 是 q 的必要条件;如果 p ? q 但 q 不 ? p,则称 p 是 q 的充分 非必要条件;如果 p 不 ? q 但 p ? q,则 p 称为 q 的必要非充分条件;若 p ? q 且 q ? p,则 p 是 q 的充 要条件。

二、基础例题(必懂) 1.数形结合法。 例 1(09.江西) 求方程|x-1|= 【解】 分别画出 y=|x-1|和 y= 方程有一个正根。 [来源:Zxxk.Com]
4 2 例 2 (2010.广西模拟) 求函数 f(x)= x ? 3 x ? 6 x ? 13 ?

1 的正根的个数. x

1 的图象,由图象可知两者有唯一交点,所以 x

y 1 x x 1 x

x4 ? x2 ?1 的
2

最大值。 【解】 f(x)= ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? ( x ? 1) ? ( x ? 0) ,记点 P(x, x-2),A(3,2),B(0,1),则
2 2 2 2 2

f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。
2 2 因为|PA|-|PA|≤|AB|= 3 ? ( 2 ? 1) ? 10 ,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点时等号成立。

所以 f(x)max= 10 . 2.函数性质的应用。
2 ? ?( x ? 1) ? 1997 ( x ? 1) ? ?1 例 3 (10、全国) 设 x, y∈R,且满足 ? ,求 x+y. 3 ? ?( y ? 1) ? 1997 ( y ? 1) ? 1

【解】 设 f(t)=t3+1997t,先证 f(t)在(-∞,+∞)上递增。事实上,若 a<b,则 f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0,所以 f(t)递增。 由题设 f(x-1)=-1=f(1-y),所以 x-1=1-y,所以 x+y=2. 例 4 (10、全国) 奇函数 f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,又 f(1-a)+f(1-a2)<0,求 a 的取值范围。 【解】 因为 f(x) 是奇函数,所以 f(1-a2)=-f(a2-1),由题设 f(1-a)<f(a2-1)。 又 f(x)在定义域(-1,1)上递减,所以-1<1-a<a2-1<1,解得 0<a<1。 例 5 (10、全国) 设 f(x)是定义在(-∞,+∞)上以 2 为周期的 函数,对 k∈Z, 用 Ik 表示区间(2k-1, 2k+1], 已知当 x∈I0 时,f(x)=x2,求 f(x)在 Ik 上的解析式。 【解】 设 x∈Ik,则 2k-1<x≤2k+1, 所以 f(x-2k)=(x-2k)2. 又因为 f(x)是以 2 为周期的函数, 所以当 x∈Ik 时,f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2. 例 6 (10·全国) 解方程:(3x-1)( 9 x ? 6 x ? 5 ? 1)+(2x-3)( 4 x ? 12 x ? 13 +1)=0. 【解】 令 m=3x-1, n=2x-3,方程化为
2 2

m( m ? 4 +1)+n( n ? 4 +1)=0. ① 若 m= 0,则由①得 n=0,但 m, n 不同时为 0,所以 m ? 0, n ? 0.
2 2

ⅰ)若 m>0,则由①得 n<0,设 f(t)=t( t ? 4 +1),则 f(t)在(0,+∞)上是增函数。又 f(m)=f(-n),所以 m=-n,
2

所以 3x-1+2x-3=0,所以 x= .

4 5

ⅱ)若 m<0,且 n>0。同理有 m+n=0,x= 综上,方程有唯一实数解 x= . 3.配方法。

4 ,但与 m<0 矛盾。 5

4 5

例 7 (经典例题) 求函数 y=x+ 2 x ? 1 的值域。[来源:Z+xx+k.Com][来源:Zxxk.Com]

1 [2x+1+2 2 x ? 1 +1]-1 2 1 1 1 = ( 2 x ? 1 +1)-1≥ -1=- . 2 2 2 1 1 1 当 x=- 时,y 取最小值- ,所以函数值域是[- ,+∞)。 2 2 2
【解】 y=x+ 2 x ? 1 = 4.换元法。 例 8 (经典例题) 求函数 y=( 1 ? x + 1 ? x +2)( 1 ? x +1),x∈[0,1]的值域。[来源:学科网]
2

【解】令 1 ? x + 1 ? x =u,因为 x∈[0,1],所以 2≤u2=2+2 1 ? x ≤4,所以 2 ≤u≤2,所以
2

2?2 ≤ 2

u2 u?2 u?2 2 ≤2,1≤ ≤2,所以 y= ,u ∈[ 2 +2,8]。 2 2 2 所以该函数值域为[2+ 2 ,8]。[来源:学*科*网]
5.判别式法。 例 9 求函数 y=

【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ① 当 y ? 1 时,①式是关于 x 的方程有实根。 所以△=9(y+1)2-1 6(y-1)2≥0,解得

x 2 ? 3x ? 4 的值域。 x 2 ? 3x ? 4

1 ≤y≤1. 7

又当 y=1 时,存在 x=0 使解析式成立, 所以函数值域为[

1 ,7]。 7

6.关于反函数。 例 10 (10 年宁夏)若函数 y=f(x)定义域、值域均为 R,且存在反函数。若 f(x)在(-∞,+ ∞)上递增,求证: y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。[来源:学#科#网] 【证明】设 x1<x2, 且 y1=f-1(x1), y2=f-1(x2),则 x1=f(y1), x2=f(y2),若 y1≥y2,则因为 f(x)在(-∞,+ ∞)上递增, 所以 x1≥x2 与假设矛盾,所以 y1<y2。 即 y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)递增。

4x ? 1 ,解方程:f(x)=f-1(x). 3x ? 2 2 1 【解】 首先 f(x)定义域为(-∞,- )∪[- ,+∞);其次,设 x1, x2 是定义域内变量,且 3 4 5( x 2 ? x1 ) 2 4 x 2 ? 1 4 x1 ? 1 ? x1<x2<- ; = >0, 3 3 x 2 ? 2 3x1 ? 2 (3x 2 ? 2)(3 x1 ? 2) 2 1 所以 f(x)在(- ∞,- )上递增,同理 f(x)在[- ,+∞)上递增。 3 4
例 11 (经典例题)设函数 f(x)= 4 在方程 f(x)=f-1(x)中,记 f(x)=f-1(x)=y,则 y≥0,又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x,所以 x≥0,所以 x,y∈[-

1 ,+∞). 4

若 x ? y,设 x<y,则 f(x)=y<f(y)=x,矛盾。 同理若 x>y 也可得出矛盾。所以 x=y. 即 f(x)=x,化简得 3x5+2x4-4x-1=0, 即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0, 因为 x≥0,所以 3x4+5x3+5x2+5x+1>0,所以 x=1. 7.待定系数法。 例 1 (经典例题) 设方程 x2-x+1=0 的两根是α ,β ,求满足 f(α )=β ,f(β )=α ,f(1)=1 的二次函数 f(x). 【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a ? 0), 则由已知 f(α )=β ,f(β )=α 相减并整理得(α -β )[(α +β )a+b+1]=0, 因为方程 x2-x+1=0 中△ ? 0, 所以α ? β ,所以(α +β )a+b+1=0.[来源:学科网] 又α +β =1,所以 a+b+1=0. 又因为 f(1)=a+b+c=1, 所以 c-1=1,所以 c=2. 又 b=-(a+1),所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由 f(α )=β 得 aα 2-(a+1)α +2=β , 所以 aα 2-aα +2=α +β =1,所以 aα 2-aα +1=0. 即 a(α 2-α +1)+1-a=0,即 1-a=0, 所以 a=1, 所以 f(x)=x2-2x+2. 8.方程的思想 例 2 (10.全国) 已知 f(x)=ax2-c 满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围。 【解】 因为-4≤f(1)=a-c≤-1, 所以 1≤-f(1)=c-a≤4.

8 5 f(2)- f(1), 3 3 8 5 8 5 所以 ×(-1)+ ≤f(3)≤ × 5+ × 4, 3 3 3 3
又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)= 所以-1≤f(3)≤20. 9.利用二次函数的性质。 例 3 (经典例题) 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a ? 0), 若方程 f(x)=x 无实根, 求证: 方程 f(f(x))=x 也无实根。 【证明】若 a>0,因为 f(x)=x 无实根,所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且开口向上,所以对 任意的 x∈R,f(x)-x>0 即 f(x)>x,从而 f(f(x))>f(x)。 所以 f(f(x))>x,所以方程 f(f(x))=x 无实根 。 注:请读者思考例 3 的逆命题是否正确。 10.利用二次函数表达式解题。 例 4 (经典例题)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)=x 的两根 x1, x2 满足 0<x1<x2< (Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,求证:x<f(x)<x1; (Ⅱ)设函数 f(x)的图象关于 x=x0 对称,求证:x0<

1 , a

x1 . 2

【证明】 因为 x1, x2 是方程 f(x)-x=0 的两根,所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2), 即 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x. (Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,x-x1<0, x-x2<0, a>0,所以 f(x)>x. 其次 f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+

1 ]<0,所以 f(x)<x1. a

综上,x<f(x)<x1. (Ⅱ)f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,

a( x1 ? x 2 ) ? 1 x1 ? x 2 1 , ? ? 2a 2 2a x x 1 1? 1? 所以 x0 ? 1 ? 2 ? ? ? x2 ? ? ? 0 , 2 2 2a 2 ? a? x 所以 x 0 ? 1 . 2
所以 x0= 11.构造二次函数解题。 例 5 (经典例题) 已知关于 x 的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1,求证:方程的正根比 1 小,负根比-1 大。 【证明】 方程化为 2a2x2+2ax+1-a2=0. 构造 f(x)=2a2x2+2ax+1-a2, f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0, 所以 f(x)在区间(-1,0)和(0,1)上各有一根。[来源:Zxxk.Com] 即方程的正根比 1 小,负根比-1 大。 12.定义在区间上的二次函数的最值。 例 6 (经典例题)当 x 取何值时,函数 y= 【解】 y=1-

x4 ? x2 ? 5 取最小值?求出这个最小值。 ( x 2 ? 1) 2

1 5 1 ,令 2 ? 2 ? u,则 0<u≤1。 2 x ? 1 ( x ? 1) x ?1
2

1? 19 19 ? , ? ? 10 ? 20 20 1 19 且当 u ? 即 x= ? 3 时,ymin= . 10 20
y=5u2-u+1=5 ? u ? 例 7 设变量 x 满足 x2+bx≤-x(b<-1),并且 x2 +bx 的最小值是 ? 【解】 由 x2+bx≤-x(b<-1),得 0≤x≤-(b+1). ⅰ)-

? ?

2

1 ,求 b 的值。 2

b2 b2 1 b ,? ? ? ,所以 b2=2,所以 b ? ? 2 (舍去)。 ≤-(b+1),即 b≤-2 时,x2+bx 的最小值为4 4 2 2 b ⅱ) - >-(b+1),即 b>-2 时,x2+bx 在[0,-(b+1)]上是减函数, 2 1 3 所以 x2+bx 的最小值为 b+1,b+1=- ,b=- . 2 2 3 综上,b=- . 2
13.一元二次不等式问题的解法。 例 8 (经典例题) 已知不等式组 ?

?x 2 ? x ? a ? a 2 ? 0 ? x ? 2a ? 1

①②的整数解恰好有两个,求 a 的取值范围。

【解】 因为方程 x2-x+a-a2=0 的两根为 x1= a, x2=1-a, 若 a≤0,则 x1<x2.①的解集为 a<x<1 -a,由②得 x>1-2a. 因为 1-2a≥1-a,所以 a≤0,所以不等式组无解。 若 a>0,ⅰ)当 0<a<

1 时,x1<x2,①的解集为 a<x<1-a. 2

因为 0<a<x<1-a<1,所以不等式组无整数解。 ⅱ)当 a=

1 时,a=1-a,①无解。 2

ⅲ)当 a>

1 时,a>1-a,由②得 x>1-2a, 2

所以不等式组的解集为 1-a<x<a. 又不等式组的整数解恰有 2 个, 所以 a-(1-a)>1 且 a-(1-a)≤3, 所以 1<a≤2,并且当 1<a≤2 时,不等式组恰有两个整数解 0,1。 综上,a 的取值范围是 1<a≤2. 14.充分性与必要性。 例 9 (经典例题) 设定数 A,B,C 使得不等式 A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0 ① 对一切实数 x,y,z 都成立,问 A,B,C 应满足怎样的条件?(要求写 出充分必要条件,而且限定用只涉及 A,B,C 的等式或不等式表示条件) 【解】 充要条件为 A,B,C≥0 且 A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA). 先证必要性,①可改写为 A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2≥0 ② 若 A=0,则由②对一切 x,y,z∈R 成立,则只有 B=C,再由①知 B=C=0,若 A ? 0,则因为② 恒成立,所以 A>0,△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0 恒成立,所以(B-A-C)2-4AC≤0,即 A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA) 同理有 B≥0,C≥0,所以必要性成立。 再证充分性,若 A≥0,B≥0,C≥0 且 A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA), 1)若 A=0,则由 B2+C2≤2BC 得(B-C)2≤0,所以 B=C,所以△=0,所以②成立,① 成立。 2)若 A>0,则由③知△≤0,所以②成立 ,所以①成立。 综上,充分性得证。 15.常用结论。 定理 1 若 a, b∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.——绝对值不等式 【证明】 因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|,所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|, 所以|a+b|≤|a|+|b|(注:若 m>0,则-m≤x≤m 等价于|x|≤m). 又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理 1 得证。 定理 2 若 a,b∈R, 则 a2+b2≥2ab;若 x,y∈R+,则 x+y≥ 2 xy . 注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况,在不等式证明一章中详细论证。

第三章、基本初等函数
一、基础知识(必会) 1.指数函数及其性质:形如 y=ax(a>0, a ? 1)的函数叫做指数函数,其定义域为 R,值域为(0,+∞),当 0<a<1 时,y=ax 是减函数,当 a>1 时,y=ax 为增函数,它的图象恒过定点(0,1)。
1 m n

2.分数指数幂: a n ?

a , a n ? n a m , a ?n ?

1 ?n ,a ? an

m

1
n

am



3.对数函数及其性质:形如 y=logax(a>0, a ? 1)的函数叫做对数函数,其定义域为(0,+∞),值域为 R, 图象过定点(1,0)。当 0<a<1,y=logax 为减函数,当 a>1 时,y=logax 为增函数。 4.对数的性质(M>0, N>0); 1)ax=M ? x=logaM(a>0, a ? 1); 2)loga(MN)= loga M+ loga N;

M )= loga M- log a N;4)loga Mn=n loga M(万能恒等式) N log c b 1 5)loga n M = loga M;6)aloga M=M; 7) loga b= (a,b,c>0, a, c ? 1). log c a n a 5. 函数 y=x+ (a>0)的单调递增区间是 ? ?,? a 和 a ,?? ,单调递减区间为 ? a ,0 和 0, a 。 x
3)loga(

?

? ?

?

?

? ?

?

(请同学自己用定义证明) 6.连续函数的性质:若 a<b, f(x)在[a, b]上连续,且 f(a)·f(b)<0,则 f(x)=0 在(a,b)上至少有一个实根。 二、基础例题(必懂) 1.构造函数解题。 例 1 已知 a, b, c∈(-1, 1),求证:ab+bc+ca+1>0. 【证明】 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1)),则 f(x)是关于 x 的一次函数。 所以要证原不等式成立,只需证 f(-1)>0 且 f(1)>0(因为-1<a<1). 因为 f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0, f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0, 所以 f(a)>0,即 ab+bc+ca+1>0. 例 2 (06) (柯西不等式)若 a1, a2,?,an 是不全为 0 的实数,b1, b2,?,bn∈R,则( ≥(

?a
i ?1

n

2 i

)·(

?b
i ?1

n

2 i



?a b
i ?1 i n

n

i

)2,等号当且仅当存在 ? ? R,使 ai= ?bi , i=1, 2, ?, n 时成立。

【证明】 令 f(x)= ( 因为

?a
i ?1
n

n

2 i

)x -2(

2

?a b
i ?1 i

n

i

)x+

? b = ? (a
i ?1 2 i i ?1

n

n

i

x ? bi ) 2 ,

?a
i ?1

2 i

>0,且对任意 x∈R, f(x)≥0,

所以△=4( 展开得(

?a b
i ?1 n i

n

i

)-4(
n

?a
i ?1

2 i

)(
n

?b
i ?1

n

2 i

)≤0.

? ai2 )( ? bi2 )≥( ? ai bi )2。
i ?1 i ?1 i ?1

等号成立等价于 f(x)=0 有实根,即存在 ? ,使 ai= ?bi , i=1, 2, ?, n。 ***注释:根据许多省市的 2011 年高考大纲,柯西不等式已经淡化,同学只需大致了解就即可,不需深入 做题。 例 3(10.全国卷) 设 x, y∈R+, x+y=c, c 为常数且 c∈(0, 2],求 u= ? x ? 【解】u= ? x ? =xy+

? ?

1 ?? 1? y? ? 的最小值。 ?? ? x ?? y? ?

? ?

1 ?? 1? x y 1 1 y? ? =xy+ ? ? ≥xy+ +2· ?? ? ? x ?? y? y x xy xy

x y ? y x

1 +2. xy

( x ? y) 2 c 2 c2 1 ? ,设 f(t)=t+ ,0<t≤ . 4 4 4 t 2 2 ? c ? c 因为 0<c≤2,所以 0< ≤1,所以 f(t)在 ? ? 0, 4 ? 上单调递减。 4 ? ?
令 xy=t,则 0<t=xy≤

c2 c2 4 c2 4 所以 f(t)min=f( )= + ,所以 u≥ + +2. 4 4 c2 4 c2 c2 4 c 当 x=y= 时,等号成立. 所以 u 的最小值为 + +2. 4 c2 2
2.指数和对数的运算技巧。 例 4 (经典例题) 设 p, q∈R+且满足 log9p= log12q= log16(p+q),求 【解】 令 log9p= log12q= log16(p+q)=t,则 p=9 t , q=12 t , p+q=16t,

q 的值。 p

所以 9 t +12 t =16 t,即 1+ ? ? ? ? ? . 记 x= 又

?4? ?3?

t

?4? ?3?

2t

q 12 t ? 4 ? 1? 5 ? t ? ? ? ,则 1+x=x2,解得 x ? . p 9 2 ?3?

t

q q 1? 5 >0,所以 = . 2 p p
1 1 1 1 ? ? ? ,求 x y z w

例 5 (经典例题)对于正整数 a, b, c(a≤b≤c)和实数 x, y, z, w,若 ax=by=cz=70w,且 证:a+b=c. 【证明】 由 ax=by=cz=70w 取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70.

1 1 1 1 1 1 lga= lg70, lgb= lg70, lgc= lg70, y x z w w w ?1 1 1? 1 1 1 1 1 ? ? ? 相加得 (lga+lgb+lgc)= ? lg70,由题设 ? ? ? , ? ? x y z w w ?x y z?
所以 所以 lga+lgb+lgc=lg70,所以 lgabc=lg70. 所以 abc=70=2×5×7. 若 a=1,则因为 xlga=wlg70,所以 w=0 与题设矛盾,所以 a>1. 又 a≤b≤c,且 a, b, c 为 70 的正约数,所以只有 a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c. 例 6 (经典例题) 已知 x ? 1, ac ? 1, a ? 1, c ? 1. 且 logax+logcx=2logbx,求证 c2=(ac)log ab. 【证明】 由题设 logax+logcx=2logbx,化为以 a 为底的对数,得[来源:学科网]

log a x 2 log a x ? , log a c log a b 因为 ac>0, ac ? 1,所以 logab=logacc2,所以 c2=(ac)logab. log a x ?
注:指数与对数式互化,取对数,换元,换底公式往往是解题的桥梁。 3.指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未 知数范围的讨论。 例 7 (经典例题)解方程:3x+4 x +5 x =6 x. 【解】 方程可化为 ? ? ? ? ? ? ? ? =1。设 f(x)= ? ? ? ? ? ? ? ? , 则 f(x)在(-∞,+∞)上是减函 数,因为 f(3)=1,所以方程只有一个解 x=3.
x? y ? ? y 12 ?x 例 8 (经典例题) 解 方程组: ? x ? y (其中 x, y∈R+). 3 ? ?x ?y

?1? ?2?

x

?2? ?3?

x

?5? ?6?

x

?1? ?2?

x

?2? ?3?

x

?5? ?6?

x

【解】 两边取对数,则原方程组可化为 ?

?( x ? y ) lg x ? 12 lg y . ?( x ? y ) lg y ? 3glx

①②

把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx,所以[(x+y)2-36]lgx=0. 由 lgx=0 得 x=1,由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得 x+y=6, 代入①得 lgx=2lgy,即 x=y2,所以 y2+y-6=0. 又 y>0,所以 y=2, x=4. 所以方程组的解为 ? [来源:Zxxk.Com]

? ? x1 ? 1 ? ? x2 ? 4 ;? . ? ? y1 ? 1 ? ? y2 ? 2

例 9 已知 a>0, a ? 1,试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。

?( x ? ak ) 2 ? x 2 ? a 2 ? 【解】由对数性质知,原方程的解 x 应满足 ? x ? ak ? 0 .①②③ ? 2 2 ?x ? a ? 0
若 ①、②同时成立,则③必成立, 故只需解 ?

?( x ? ak ) 2 ? x 2 ? a 2 ? x ? ak ? 0

.

由①可得 2kx=a(1+k2), ④[来源:学#科#网] 当 k=0 时,④无解;当 k ? 0 时,④的解是 x=

若 k<0,则 k2>1,所以 k<-1;若 k>0,则 k2<1,所以 0<k<1. 综上,当 k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时,原方程有解。[来源:Z#xx#k.Com]

1? k 2 a(1 ? k 2 ) ,代入②得 >k. 2k 2k


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