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二面角专题习题


求二面角专题

4

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如何用空间向量求解二面角
求解二面角大小的方法很多,诸如定义法、三垂线法、垂面法、 射影法、向量法等若干种。而这些方法中最简单易学的就是向量法, 但在实际教学中本人发现学生利用向量法求解二面角还是存在一些 问题,究其原因应是对向量法的源头不尽了解。本文就简要介绍有关 这类问

题的处理方法,希望对大家有所帮助。 在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题. 对于空 间向量 a 、 b ,有 cos< a , b >=
?
?

?

?

? ?

a? b

| a |?|b|

?

?

.利用这一结论,我们可以

较方便地处理立体几何中二面角的问题. 例1 在四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正

三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD.求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大 小. 证明: 建立如图空间直角坐标系,并设正方形边 长为 1,依题意 得 AB = (0,1,0),是面 VAD 的法向量, 设 n = (1,y,z)是面 VDB 的法向量,则
? ?? ?? ? y ? ?1, ? ? n? VB ? 0, ? n = (1,-1,- ?? ? ?? ?? 3 ? ? n? VB ? 0. ?z ? ? 3 ? ?
?

z V

?? ?

D A x B

C y

3 )。 3

∴cos< AB , n >

?? ?

?

?? ? ?

AB ? n

| AB | ? | n |

?? ?

?

=-

21 , 7

又由题意知,面 VAD 与面 VDB 所成的二面角为锐角,所以其大小为
arccos 21 7

例 2 如图, 直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, ∠ACB = 90 ? , AC=1,CB= 2 ,侧棱 AA1=1,侧面 AA1B1B 的两条对角 线交点为 D,B1C1 的中点为 M.
B

A D C B1

A1

C1 M

⑴求证 CD⊥平面 BDM; ⑵求面 B1BD 与面 CBD 所成二面角的大小. 解:⑴略 ⑵如图,以 C 为原点建立坐标系.设 BD 中点为 G,连结 B 1 G,则 依 G(
?? ?
?? ? 1 1 1 1 3 2 2 , , ), BD = (- , , ), 4 4 2 2 4 2

z A D C G B x B1 C1 M y A1

B1G = (-
?? ?

3 1 2 ,- , ), 4 4 4
?? ?

∴ BD · B1G = 0,∴BD⊥B 1 G. 又 CD⊥BD,∴ CD 与 B1G 的夹角 ? 等于所 求二面角的平面角. ∴ cos ? =
CD? B1G | CD | ? | B1G |
?? ? ?? ? ?? ? ?? ?
?? ?

?? ?

=-

3 . 3 3 . 3

所以所求二面角的大小等于 ? -arccos

例 3 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.求二 面角 C—PB—D 的大小

z

解:如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点,设 DC ? a 设点 F 的坐标为 ( x0 ,y0 ,z0 ) ,
?? ?

P F E C G B

PA = ? PB ,则 ( x0 ,y0 ,z0 ? a) ? ? (a,a ,?a) .

?? ?

D A x

y

从而 x0 ? ?a,y0 ? ?a,z0 ? (1 ? ? )a .所以
?? ?

PE =

(? x0 ,

a a 1 1 ? y0 , ? z0 ) ? (?? a, ( ? ? )a, (? ? )a) . 2 2 2 2

由条件 EF⊥PB 知,PE · PB = 0, 即 ? ?a 2 ? ( ? ? )a 2 ? (? ? )a 2 ? 0 , 解得 ? ? . ∴点 F 的坐标为 ( , , ) ,且 PE ? (? , ,? ) ,
?? ? a a 2a FD ? (? ,? ,? ) , 3 3 3
?? ? ?? ?

?? ?

?? ?

1 2

1 2

1 3

a 3

a 3

2a 3

?? ?

a 3

a 6

a 6

∴ PB · FD ? ?

a 2 a 2 2a 2 ? ? ? 0 ,即 PB ? FD ,故 ?EFD 是二面角 C 3 3 3

—PB—D 的平面角.
?? ? a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 6 ∵ PE · FD = ? ? ? ? ,且 | PE |? ? ? ? a, 9 18 9 6 9 36 36 6
?? ? ?? ?

| FD |?

?? ?

a 2 a 2 4a 2 6 ? ? ? a, 9 9 9 3
?? ? ?? ?

∴ cos ?EFD ?

PE ? FD

| PE || FD |

?? ?

?? ?

?

a2 6 6 6 a? a 6 3

?

1 ? ,∴ ?EFD ? . 3 2

所以,二面角 C—PB—D 的大小为 .

? 3

例4
AO B

已知三棱柱 OAB — O1 A 1 B 1 中,平面 OBB1O1 ⊥平面 OAB ,∠
z
O
1

= 90 ? ,∠ O1OB = 60 ? ,且 OB = OO1 = 2,

OA = 3 ,求二面角 O1 —AB— O 的大小.

B1

解:以 O 为原点,分别以 OA , OB 所在 的直线为 x, y 轴, 过 O 点且与平面 AOB 垂直 的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系. 如图,

A1

O

B

y

则 O (0,0,0), O1 (0,1, 3 ),A( 3 ,0, A
x

0), A1 ( 3 ,1, 3 ),B(0,2,0). ∴ AO1 = (- 3 ,1, 3 ), AB = (- 3 ,2,0). 显然 OZ 为平面 AOB 的法向量,取 n1 = (0,0,1),设平面 O1 AB 的 法向量为 n2 = (x,y,z),则
n 2 · AO1 = 0, n 2 · AB = 0.
? ? ? ?? ?

? ??

? ??

? ??

?

? ??

即? ? 1).

?? 3 x ? y ? 3 z ? 0 ? ?? 3 x ? 2 y ? 0

,令 y = 3 ,x = 2,z = 1,则 n2 = (2, 3 ,

?

n 2 >= ∴cos< n1 ,

?

?

n1 ? n 2 | n1 | ? | n 2 |
? ?

?

?

=

1 2 2

=

? ? 2 2 n 2 >= arccos , 即< n1 , . 4 4

故二面角 O1 —AB— O 的大小为 arccos

2 . 4


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