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湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 理 新人教A版


华中师范大学第一附属中学 2014——2015 学年度下学期期中考试 数学(理)
选择题(每小题 5 分,共 10 题) 1.函数在上可导,且其导函数为. 则( ). A. B.f ( 3 )-f ( 1 ) C. ( f ( 3)-f ( 1 ) )

D. 0

2.设 a、b 为两条不同的直线,为两个不重合的平面,给出下列四个命题: ①若∥,则;②若与所成的角相等,则 a∥b; ③若,∥,则;④若,∥, ,则. 其中正确的命题序号是( ) A.①② B.③④ 3. 函数. 则其图象大致为( ).

C.①④

D.①③

A B C 4.设,则的值为( ). A.0 B.1 C. 5. 函数的单调递减区间为(0,4), 则实数 k 应满足的条件为( A. B. C. D.k=2 6.下列式子中错误的个数为( ). 1).; 2).; 3).; 4).. A.0 B.1 C.2 D.3 7.如图,在平行六面体 AC1 中,设,M 点为 AC 的中点,点 N 满足则用表示的表达式为( ). A. B. C. D.

D D. ).

8.若,则曲线 y=f(x)在点( 0,f(0) )处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( ). A.10ln3 B. C.1 D. 9.如图,P 是二 面角棱 AB 上一点,分别在
-1-

半平面内引射线 PM 及 PN,使得, 且.那么二面角的大小为( ). A. B. C. D. 10.函数满足,且 f(x)在 R 上的导函数为 f ’(x),满足 ,则不等式的解集为( A. B. C.( D. ).

11.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题, 他们在沙滩上画 点或用小石子来表示数 ,按照点或者小石子能排列的形状对数进行分类 .如下图中的实心点个 数分别为 1,5,12,22,……这些数被称为“五角形数”.其中第一个五角形数记作,第二个五角形数 记作,第三个五角形数记作,……按此规律继续下去,若,则 n 的值为( ).

A.10

B.28

C.29

D.30

12.已知函数,,其中,若对于,使得成立,则 a 的取值范围为( ). A. ) B. C. [1, D. [1, 二.填空题(每个小题 5 分,共 5 小题). 13.一沿直线运动的质点,其速度关于时间 t(单位:秒)的方程为(单位:米/秒).则该质点 从计时开始到走完 120 米的路程所用的时间是_____________秒. 14.过原点(0,0)作函数图象的切线,则切线方程为________________. 15.如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点, CA=CB=CD=BD=2, AB=AD=,则点 E 到 平面 ACD 的距离为______________. 16.已知,两边同时取定积分可得: . 即 . 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算: ______________ 三.解答题.(第 17 题 10 分,第 18 至 22 题每题 12 分) 17.已知,. 记,在上为偶函数. (1).求参数 a、b 的值; (2).若函数的图象与直线 y=3 恰有 3 个不同的交点,求实数 m 的取值范围.

A1
18.在直三 棱柱 ABC-A1B1C1 中,, AC=,BC=1,CC1=,D 是 CC1 的中点. (1).求证:平面 A1ACC1 平面 AB1C1;

A D C B C 12 B1

(2).求二面角 A1—AB1—C1 的正弦值.

19.某大型钢铁企业每天生产都需要消耗大量的煤炭,从而也排出大量的粉尘影响当地的空气 质量. 现已知,该企业每天消耗 x(单位:百吨)煤时,当天可获得的利润为函数(单位:万 元).该企业附近设有环境监测站,经过对大量监测数据的分析,发现该企业每天测得的粉尘 排放含量与当天煤炭的消耗量(单位:百吨)的平方成正比, 而与监测点和该企业之间的距离 (单位:米)成反比. 数据表明,某天该企业消耗了 1000 吨煤炭时,距该企业 200 米处的 A 监测点处测得空气中的粉尘含量为 8 个单位. (1)该企业每天消耗 x(百吨)煤炭时,A 监测点监测到的粉尘含量为 C(x)个单位,求 C(x) 的表达式. (2)为治理粉尘改善空气质量,当地 政府决定向该企业收取治污费. 将以 A 监测点数据为标 准,按该企业每天排放粉尘含量 1.25 万元/单位收取治污费. 则该企业每天消耗多少百吨煤炭 量时,可获得当天的最大纯利润.

20. 在 如 图 所 示 的 多 面 体 ABCDE 中 , 平 面 ACD , 平 面 ACD , 且 AC=AD=CD=DE=2AB=2. (1).请在线段 CE 上找到点 F 的位置,使得恰有直线 BF//平面 ACD,并证明你 的结论; (2).在线段 CE 上取一点 M,记直线 AM 与平面 ACD 所成角为, 记二面角 M-AC-D 的大小为.问是否存在一点 M, 使得成立. 若存在,记,求出 t 的值;若不存在,请说明理由.

21.设函数. (1).若 a=1,b=-1,求函数的极值; (2).若 x=2 是函数 f(x)的一个极值点,试以 a 表示出 b 并确定 f(x)的单调区间; (3).在(2)的条件下,设 a>0,函数。若存在, 使得成立,求 a 的取值范围.

22.定义 :若在上为增函数,则称 f(x) 为“k 次比增函数”(). 已知,其中 e 为自然对数的底数. (1).若 f(x)是“2 次比增函数” ,求实数 a 的取值范围; (2).当 a=1 时,求函数在上的最小值; (3).求证: .

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一.选择题 1 D 2 C 3 B 4 D 5 B 6 A 7 D 8 B 9 D 10 B 11 B 12 D

二.填空题 13. 10 14. 或 15 . 三.解答题 17.解: (1) 为奇函数

16.

○ 1式 又为偶函数,可得○ 2 式 ........4 分 联立○ 1 、○ 2 式可得: (2) 令 当时, ;当时,. ........8 分 则依题意可知,

............2 分 ........5 分

........10 分

18.解:法一: (1)记与的交点为点 G. 依题意可知 ---------2 分 又 , 即可得---------5 分 -----------6 分 (2) ,则由三垂线定理可知 ----------9 分

-------------12 分 法二向量法略解: 以 C 为原点,CB 为 x 轴,CC1 为 y 轴,CA 为 z 轴建立坐标 系. (1)由计算可知,平面 AB1C1 的法向量为, 又 (2)法向量为则得. 则得的平面角的正弦值为 19. 解: (1) (2)依题意可知(万元) ………………8 分 令
-4-

………………3 分 ………………5 分

当 ………………11 分 可知该企业每天消耗 15(百吨)煤炭时,可获得当天的最大利润. 20.解:法一: (1)当点 F 为 CE 中点时符合题意。 --------1 分 取 CE 中点为 F 点,连 BF;取 CD 中点 G,连 AG、FG. --------5 分 --------6 分 (2)存在,且. 假设存在此 M 点符合题意,并记. 过点 M 作

………………12 分

--- -----7 分

--------9 分 由于点 M 在线段 CE 上,则 M-AC-D 即为 E-AC-D,过 D 作 DN,连 EN. 由于,则由三垂线定理可知 -------10 分 可得成立,即得(舍) 则满足的 M 点符合题意. -------12 分 法二向量法略解: (1).以 D 点为原点, DA 为 x 轴,DE 为 z 轴建立空间直角坐标系 当点 F 为 CE 中点时,C(1,,0),E(0,0,2),可得 F(). 又 B(2,0,1),则. 可取平面 ACD 法向量为 不在平面 ACD 内, (2).记,可得 M(,2t), . . 由计算可得平面 MAC 法向量为 则得,解得(舍) 则满足的 M 点符合题意. 21.解:(1) 若 ………………2 分 (2)若 x=2 为 f(x)的一个极值点,则 ………………3 分 依题意可知 . …5分 .
-5-

………………4 分

…6 分 综上所述, …7 分 (3) 由上问可知,当 且

………………9 分 另一方面, 在[0,4]上单增,则其值域为, ………………10 分 则要使存在,使得成立,只需 即. ………………12 分 22.解:(1)依题意可得上为增函数. 则上恒成立. 即上恒成立,也即上恒成立. 而时成立. 实数 a 的取值范围为 ………………3 分 (2)当 a=1 时, 可令得 x=1. 当,上单增; 当,上单减; 则 x=1 时,取得极小值. .,在上单减 ., .,在上单增 综上所述, (3).由上问可知 x>0 时,.…8 分 ………………7 分 … …………9 分

………………4 分

………………12 分

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