当前位置:首页 >> 数学 >>

线面、面面平行、线面、面面垂直(学生)


立体几何空间点、线、面的位置关系 1.五种位置关系,用相应的数学符号表示 (1)点与线的位置关系:点 A 在直线 l 上 (2)点与面的位置关系:点 A 在平面 ? 内 (3)直线与直线的位置关系:a 与 b 平行 (4)直线与平面的位置关系:直线 a 在平面 ? 内 相交于点 A ;点 B 不在直线 l 上 ;点 B 在平面 ? 外 ;a 与 b 相交于点 O ;直线 a 与平

面 ?

;直线 a 与平面 ? 平行

(5)平面与平面的位置关系:平面 ? 与平面 ? 平行 平面 ? 与平面 ? 相交于 a 平 行 问 题

(一)直线与直线平行 1.定义:在同一平面内不相交的两条直线平行 2.判定两条直线平行的方法: (1) 平行于同一条直线的两条直线互相平行 (公理 4) , 记为 a//b,b//c ? a//c (2)线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面 和 这 个 平 面 相 交 , 那 么 这 条 直 线 和 交 线 平 行 。 记 为 :
a // ? , a ? ? , ?

? ? b ? a // b .

(3)两个平面平行的性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它 们的交线平行。 (4)线面垂直的性质定理:如两条直线同垂直与一个平面,则这两条直线平行 (二)直线与平面平行 1.定义:直线 a 与平面 ? 没有公共点,称直线 a 平行与平面 ? ,记为 a// ? 2. 线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线 平行,那么这条直线和这个平面平行。定理模式: .

a ? ?? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?
3、 ? 找线线平行常用的方法:

①中位线定理

②平行四边形

③比例关系

④面面平行-线面平行

1

① 中位线定理
例题:已知如图:平行四边形 ABCD 中, BC ? 6 ,正方形 ADEF 所在平面与平面 ABCD 垂直,G,H 分别是 DF,BE 的中点. (1)求证:GH∥平面 CDE; (2)若 CD ? 2, DB ? 4 2 ,求四棱锥 F-ABCD 的体积. H _ G _ E F

D _ C _ B _

A _

又例: 《高考零距离》P124 例 1

练习:1、如下图所示:在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4, 点 D 是 AB 的中点。 求证:AC1∥平面 CDB1;

2. 如图, ABCD ? A1 B1C1 D1 是正四棱柱侧棱长为 1,底 面边长为 2,E 是棱 BC 的中点。 (1)求证: BD1 // 平面 (2)求三棱锥 D ? D1 BC 的体积. C 1 DE ;

D1 A1 D B1

C1

C E B

A

2

3 、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 底面 ABCD ,

PD ? 4, DC ? 3 , E 是 PC 的中点。
P

(1)证明: PA // 平面BDE ; (2)求 ?PAD 以 PA 为轴旋转所围成的几何体体积。
E C B

D

A

4、 《高考零距离》P125。1

②平行四边形
例 2、 如图, 在矩形 ABCD 中, AB ? 2 BC , P, Q 分别为线段 AB, CD 的中点, EP ⊥ 平面 ABCD .求证: AQ ∥平面 CEP ; (利用平行四边形)

练习:①如图,PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,E、F 分别是 AB、PD 的中点。求证:
AF∥平面 PCE;
P

G

F

A E B C

D

3

②如图,已知 P 是矩形 ABCD 所在平面外一点, PD ? 平面ABCD ,M,N 分别是 AB,PC 中点。求证: MN // 平面PAD
P N
D

C

A

M

B

③ 如图,已知 AB?平面 ACD,DE//AB,△ACD 是正三角形,AD = DE = 2AB,且 F 是 CD 的中点.⑴求证:AF//平面 BCE; E B

A C F D

④、已知正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点.求证: C1O // 面 AB1D1 .
D1 A1 D O A B B1 C1

C

③比例关系
例题 3、 P 是平行四边形 ABCD 平面外一点, M、 N 分别是 PB、 BC 上的点, 且 求证:MN//平面 PCD(利用比例关系)

BM BN , ? PM NC

4

练习: 如图, 四边形 ABCD 为正方形,EA ? 平面 ABCD ,EF//AB ,AB = 4, AE = 2, EF = 1 . (Ⅱ)若点 M 在线段 AC 上,且满足 CM ?

1 CA , 求证: EM // 平面 FBC ; 4
E F A
M

D C

B

④面面平行-线面平行
例 题 4 、 如 图 , 矩 形 ABCD 和 梯 形 BEFC 所 在 平 面 互 相 垂 直 , BE//CF , (Ⅰ)求证:平面 ABE//平面 CDF ? BCF= ? CEF= 90 ? ,AD= 3 ,EF=2。 (II)求证:AE//平面 DCF; (利用面面平行-线面平行)

D
A B

C

F
E

练习:1、如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD ,

PD ? AB ? 2 , E , F , G 分别为 PC 、 PD 、 BC 的中点.
(1)求证: ; PA // 面EFG ; (2)求三棱锥 P ? EFG 的体积.

5

2、如图,在直三棱柱

ABC ? A1B1C1 中, ?ACB ? 90 ,
0

C1

E, F , G 分别是 AA1 , AC, BB1 的中点,且 CG ? C1G .
(Ⅰ )求证: CG // 平面BEF ;

A1

B1

E
F A

C

G

B

3 、 如 图 所 示 , 正 方 形 ADEF 与 梯 形 ABCD 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 ,

E M D N C

AD ? CD, AB // CD, CD ? 2AB ? 2AD . 在 EC 上找一点 M , 使 F
得 BM // 平面 ADEF ,请确定 M 点的位置,并给出证明.

A

B

4、 (2012 山东文) 如图, 几何体 E ? ABCD 是四棱锥, △ ABD 为正三角形, CB ? CD, EC ? BD . (Ⅰ)求证: BE ? DE ; (Ⅱ)若∠ BCD ? 120? ,M 为线段 AE 的中点, 求证: DM ∥平面 BEC .

6

练习:1、在空间中,下列四个命题: ①两条直线都和同一平面平行,则这两条直线平行; ②两条直线没有公共点,则这两条直线平行; ③两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行; ④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行。 其中正确命题的个数( ) A、3 B、2 C、 1 D、0

2、一条直线 l 上有相异三个点A、B、C、到平面 ? 的距离相等,那么直线 l 与 平面 ? 的关系是( ) l ? ? l A、 // ? B、 C、l 与 ? 相交但不垂直 D、l // ? 或 l ? ? 3. 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和 这个平面相交,那么这条直线和交线平行。定理模式:
a // ? , a ? ? , ?

? ? b ? a // b .

例题: 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 。 若底面 ABCD 为平行四

边形, E 为 PC 的中

点, 在 DE 上取点 F , 过 AP 和点 F 的平面与 平面 BDE 的交线为 FG , 求证:AP // FG 。

证明:连 AC 与 BD,设交点为 O,连 OE。

7

练习:1、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且与底面 ABCD 垂直,底 面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? , N 是 PB 中点,过 A、N、D 三点的平面交 PC 于 M .求证: AD // MN ; P M D N A B C

2、 (2012 浙江高考)如图,在侧棱锥垂直底面的四棱锥 ABCD-A1B1C1D1 中, AD∥BC,

AD⊥AB,AB= 2 。AD=2,BC=4,AA1=2,E 是 DD1 的中点,F 是平面 B1C1E 与直线
AA1 的交点。 (1)证明:EF∥A1D1;

3.如图,四边形 ABCD 是矩形,平面 ABCD ? 平面 BCE,BE ? EC. (1) 求证:平面 AEC ? 平面 ABE;(面面垂直性质) (2) 点 F 在 BE 上,若 DE//平面 ACF,求

BF 1 的值。 (线面平行的性质 ) BE 2

8

(三).两个平面的位置关系有两种:相交(有一条交线) 、平行(没有公共点) 1. 两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平 行于一个平面,那么这两个平面平行。
a?? ? ? 定理的模式: b ? ? ? ? a b ? P ? ? ? // ? a // ? ? ? b // ? ? ?

2.垂直于同一直线的两个平面互相平行 例、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 、G 分别是 AB 、 AD 、C1D1 的中点.
求证:平面 D1EF ∥平面 BDG .

练习:如图所示,在正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中,E、F、G、H 分别 是 BC、CC1、C1D1、A1A 的中点.求证:

(1)EG∥平面 BB1D1D; (2)平面 BDF∥平面 B1D1H.

9

3. 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面; (2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。

? // ? ? ? ? ? ? ? b ? ? a // b ? ? ? ? a? ?

例 题 : 已 知 在 正 方 体 ABCD- A1 B1C1 D1 中 , E,F 分 别 是

D1

C1 D1和D1 A1 上的点,点 P 在正方体外,平面 PEF 与正方体相
A1
交于 AC,求证: EF / /平面ABCD D

C1 B1

C B

A

10

空间线面垂直、面面垂直
一、直线与平面垂直:直线与平面内任意一条直线都垂直 垂线、垂面、垂足、画法

二、线面垂直的判定判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都 垂直,那么这条直线垂直于这个平面。

三、线面垂直的性质定理:如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线垂直 这个平面内的任何一条直线。

四、证线线垂直的方法: ① 菱形的对角线互相垂直 ③ 圆的直径所对的圆周角为直角

② 等腰三角形底边的中线垂直底边 ④ 利用勾股定理

⑤ 间接法,用线面垂直的性质定理( l ? b, b ? ? ? l ? b )

①菱形的对角线互相垂直:
例题。已知 E,F 分别是正方形 ABCD 边 AD,AB 的中点,EF 交 AC 于 M,GC 垂直于 ABCD 所在平面。 求证:EF⊥平面 GMC.

G

D E M A F B

C

练习:如图 ABCD- A1 B1C1 D1 是底面为正方形的长方体,求证:
(1)BD ? 平面 ACC1 A (2) BD ?

D
A D

C B

AC1

C B

A

P
11

A C

B

②等腰三角形底边的中线垂直底边 例1、 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90 , AP ? BP ? AB ,
PC ? AC .求证: PC ? AB ;
P

A C

D

B

练习:1、在三棱锥 A-BCD 中,AB=AC,BD=DC,求证: BC ? AD

③圆的直径所对的圆周角为直角
例题 3、如图 AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上异于 A、B 的任 P H O A C B

PA 意一点,
(2)若 AH 面 PBC.

? 平面 ABC, (1) 图中共有多少个直角三角形?

? PC ,且 AH 与 PC 交于 H,求证:AH ? 平

④利用勾股定理
例 4、 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 底面 ABCD 是边长为 1 的正方形, 侧棱 AA1 ? 2 , E 是侧棱 BB1 的中点。求证: AE ? 平面 A1D1E ; 证明:? ABCD ? A1 B1C1 D1 为长方体,
A1 D1 B1 C1

E D C

A

12 B

练 习 : 如 图 , 四 棱 锥 P-ABCD 的 底 面 是 边 长 为 1 的 正 方 形 , (1) PA ? 平面 ABCD PA ? CD, PA ? 1, PD ? 2 ,求证: (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积.
P

A B C

D

⑤间接法,用线面垂直的性质定理( l ? b, b ? ? ? l ? b )
例题:如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ?DAB ? 60? ,

AB ? 2 AD, PD ? 底面ABCD ,证明: PA ? BD ;

p

D a

C

A

2a

B

练习 1: 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC=3, BC=4, AB=5,
(Ⅰ)求证: AC ? BC1 ; AA1 ? 4 ,点 D 是 AB 的中点。

练习2: 如图,四边形 ABCD 为矩形, BC ? 平面 ABE , F 为 CE 上的点,且 BF ? 平 面 ACE . 求证: AE ? BE ; 证明:因为 BC ? 平面ABE , AE ? 平面ABE , D F A B E C

13

《高考零距离》P125 例题 P126 2 P127 3 五、面面垂直 (1)两个平面垂直的定义:相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。 (2)两平面垂直的判定定理: (线面垂直 ? 面面垂直) 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。

例 1 如图,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直⊙O 所在的平面,C 是圆 上不同于 A,B 的任意一点,求证:平面 PAC⊥平面 PBC.

例题: 《高考零距离》P127 1、2 练习 1: 如图, 棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形, B1C ? A1B

D在 2、如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, E 、 F 分别是 A1B 、 AC 1 的中点,点

B1C1 上, A1D ? B1C 。
求证: (1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1FD ? 平面 BB1C1C .

14

3、如图, ABCD 是正方形,SA⊥平面 ABCD,BK⊥SC 于 K,连结 DK, 求证(1)平面 SBC⊥平面 KBD

s

K

D

C

A

(3)两平面垂直的性质定理: (面面垂直 ? 线面垂直) 若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

例 1:如图,在四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD, O 为 AD 中点.,求证:PO⊥平面 ABCD;

例 2:如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ?DAB ? 60 且边长为 a 的菱形,侧
0

面 PAD 是等边三角形,且平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1)若 G 为 AD 的中点,求证: BG ? 平面 PAD ; (2)求证: AD ? PB ;

练习:1、如图 AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上异于 A、B 的任意一点, PA (1)图中共有多少个直角三角形?(2)若 AH 面 PAC ? 平面 PBC.(3) AH ? 平面 PBC

? 平面 ABC,

? PC ,且 AH 与 PC 交于 H,求证:平
p

H O A
15

B

2、在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点. 求证:平面 BEF⊥平面 PAD

C

P E D

A

F C B

3、如图,正方形 ABCD 所在平面与以 AB 为直径的半圆 O 所在平面 ABEF 互相垂直,P 为半圆 1 直线 AP⊥平面 PBC。②平面 PBC⊥平面 APC 周上异于 A,B 两点的任一点,求证:○

2 AB ,ABED 是边长为 a 的正方形,平面 2 ABED⊥底面 ABC,且,若 G、F 分别是 EC、BD 的中点, (Ⅰ)求证:GF// 底面 ABC; (Ⅱ)求几何体 ADEBC 的体积 V。
4、如图,三角形 ABC 中,AC=BC= E D

F G B A

C

16

,B,C,D 为空间四点.在 △ ABC 中, 5、如图, A

D

AB ? 2,AC ? BC ? 2 .等边三角形 ADB 以 AB 为轴运
动. (Ⅰ)当平面 ADB ? 平面 ABC 时,求 CD ;
B A

C

五、体积问题

1. 如图, ABCD ? A1 B1C1 D1 是正四棱柱侧棱长为 1,底面边长为 2,E 是棱 BC 的中点。 (1)求证: BD1 // 平面 C 1 DE ; D1 (2)求三棱锥 D ? D1 BC 的体积.

C1

A1 D

B1 C E B

A

练习 1 : 三棱锥 P ? ABC 中, ?PAC 和 ?PBC 都是边长为

2 的等边三角形,
P

AB ? 2 , O、D 分别是 AB、PB 的中点. (1)求证: OD / / 平面 PAC (2)求证:平面 PAB ⊥平面 ABC ;

(3)求三棱锥 A ? PBC 的体积.
A O

D C B

17

2、如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AA 1 ? 1 , AD ? 2 , E 是 BC 的中点. (I)求证:平面 A1 AE ? 平面 D1 DE ; (II)求三棱锥 A ? A1 DE 的体积. A1 B1 A D1

C1 D

B

E

C

ABCD, 3、 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中,PD垂直于底面 底

P

面 ABCD 是 直 角 梯 形 ,

DC // AB, ?BAD ? 90o , 且
E D D A C B

AB ? 2 AD ? 2 DC ? 2 PD ? 4 (单位: cm ) ,E为PA的

中点。 (1)如图,若主视方向与AD平行,请作出该 几何体的左视图并求出左视图面积; (2)证明:
DE // 平面PBC;

18

4、已知某几何体的直观图(图 1)与它的三视图(图 2),其中俯视图为正三角形,其它两个 视图是矩形.已知 D 是这个几何体的棱 A1C1 上的中点。 (Ⅰ)求出该几何体的体积; (3

3)
A1

C1 D B1

(Ⅱ)求证:直线 BC1 / /平面AB1D ; (Ⅲ)求证:平面 AB1 D ? 平面AA 1D .

C 3 A B

3

5、已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆) ,根据 图中标出的数据, (Ⅰ)求这个组合体的体积; (Ⅱ)若组合体的底部几何体记为

ABCD ? A1 B1C1 D1 , 其 中 A1 B1 BA 为 正 方 形 . ( i ) 求 证 :
(ii) 求证:P 为棱 A1 B1 上一点, 求 AP ? PC1 A1 B ? 平面AB1C1 D ; 的最小值.

19

六:等体积法求高(距离) :h 如:三棱锥 V F ? BEC = V B ? EFC
1 1

1 h S 3 ?BEC
1

=

1 S BE 3 ?EFC1

例题(2010 广东文数)如图,弧 AEC 是半径为 a 的半圆,AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点, 点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED,FB= 5a (1)证明:EB ? FD (2)求点 B 到平面 FED 的距离.

练习 1:已知 ABC―A 1 B 1 C 1 是正三棱柱,棱长均为 5 ,E、F 分别是 AC、A 1 C 1 的中点, (1)求证:平面 AB 1 F∥平面 BEC 1 (2)求点 A 到平面 BEC 1 间的距离 A1 F C1 B1 E

A

C

B

20

2、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ;四边形 ABCD 是菱形,边长为 2,

?BCD ? 60? ,经过 AC 作与 PD 平行的平面交 PB 与点 E , ABCD 的两对角线
交点为 F . (Ⅰ)求证: AC ? DE ; (Ⅱ)若 EF ? 3 ,求点 D 到平面 PBC 的 距离.

P

E D F C

A
例题

B

3、如图 4,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC ,

△PAD 是等边三角形,已知 BD ? 2 AD ? 4 , AB ? 2DC ? 2 5 .
(1)求证: BD ? 平面 PAD ; (2)求三棱锥 A ? PCD 的体积.

P

D A

C B

4.如图,己知 ?BCD 中, ?BCD ? 90 , BC ? CD ? 1, AB ? 平面BCD ,
0

且 ?ADB ? 600 , E, F分别是AC,AD上的动点,

AE AF = =? ,(0<? <1) AC AD

(1)求证:不论 ? 为何值,总有 EF ? 平面ABC; (2)若 ? =

1 , 求三棱锥 A-BEF 的体积. 2

21

5 、 (2012 广 东 文 数 ) 如 图 5 所 示 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , AB ? 平 面 PAD ,

AB / /CD, PD ? AD , E 是 PB 中点,
1 AB , PH 为 ?PAD 中 AD 边上的高。 2 (1)证明: PH ? 平面 ABCD ;
F 是 DC 上的点,且 DF ?
(2)若 PH ? 1, AD ? 2, FC ? 1 ,求三棱锥 E ? BCF 的体积; (3)证明: EF ? 平面 PAB .

6、 (2012 佛山一模)如图,三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 底面 ABC ,

?BCA ? 90 , PB ? BC ? CA ? 4 , E 为 PC 的中点,
M 为 AB 的中点,点 F 在 PA 上,且 AF ? 2 FP .
(1)求证: BE ? 平面 PAC ; (2)求证: CM / / 平面 BEF ; (3)求三棱锥 F ? ABE 的体积.

22

7、如图所示四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,四边形 ABCD 中, AB ? AD , BC // AD , PA ? AB ? BC ? 2 , AD ? 4 , E 为 PD 的中 点, F 为 PC 中点. (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)求证: CD ? 平面 PAC ; (3)在棱 PC 上是否存在点 M(异于点 C) ,使得 BM∥平面 PAD, 若存在,求 的值,若不存在 ,说明理由。 ;

8、(惠州市 2013) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC ,

AB ? BC , D 为 AC 的中点, A1 A ? AB ? 2 , BC ? 3 .
(1)求证: AB1 / / 平面 BC1D ; (2) 求四棱锥 B ? AAC 1 1 D 的体积.

A1

A

D B1

B

C1

C

23


相关文章:
线面、面面平行、线面、面面垂直(学生)
线面面面平行线面面面垂直(学生)_数学_高中教育_教育专区。立体几何空间点、线、面的位置关系 1.五种位置关系,用相应的数学符号表示 (1)点与线的位置...
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面面面平行和垂直的八大定理 一、线面平行。 1、判定定理:平面外一条...更加实用的性质是:一个平 面的垂线垂直于该平面内任一直线。 )四、面面垂直...
线面、面面平行、垂直例题
线面面面平行、垂直例题_数学_高中教育_教育专区。第 12 讲§ 2.2.1 ...直线 l 的垂面,它们的唯一公共点 P 叫做垂足.(线线垂直 ? 线面垂直) 2....
线面平行面面平行(学生版版)
线面平行面面平行(学生版版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。直线、平面...(2)面面平行的传递性(α∥β,β∥γ?α∥γ); (3)利用线面垂直的性质(...
高一(必修二)线面平行、垂直的证明
数学高一(必修二)专题系列之 1.球的面积和体积公式 S 球面 = 2.平行 (1)线面平行: (2)面面平行: 3.垂直 (1)线面垂直: (2)面面垂直: 4.二面角: ;...
必修2立体几何线面、面面平行、线面、面面垂直学案答案(重要上课用)
必修2立体几何线面面面平行线面面面垂直学案答案(重要上课用)_数学_高中...记为: (4)线面垂直的性质定理:如两条直线同垂直与一个平面,则这两条直线...
线面、面面的平行与垂直
转化的思想 二、转化的思想 ①解决空间线线线面面面平行垂直关系的问题...d 分别平行(即 a∥c,b∥d), 那么 a、b 所在平面与 c,d 所在平面平行;...
线面垂直与面面垂直垂直练习题
线面垂直与面面垂直垂直练习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2012 级综合...数学必修(2)线面,面面平... 4页 免费 线面,面面 垂直平行练... 19页 ...
线面平行、垂直经典练习题
数学必修(2)线面,面面平... 4页 免费 线面垂直--经典练习题 4页 免费 线面,面面 垂直平行练... 暂无评价 19页 免费 线面,面面 垂直平行练... 19页...
更多相关标签:
平面向量的平行与垂直 | 平行与垂直ppt | 平行与垂直 | 平行与垂直教学设计 | 平行与垂直教学反思 | 平行与垂直评课 | 平行与垂直教学视频 | 平行与垂直说课稿 |