当前位置:首页 >> 高二数学 >>

2.2.2 反证法


2.2.2

反证法

直接证明: 直接证明: (1)综合法 综合法——由因导果 综合法 由因导果
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Qn Q

(2)分析法 分析法—— 执果索因 分析法
Q ? P1 P1 ? P2 P2 ? P3



得到一个明显 成立的结论

引例1: 引例 :
个球分别染成红色或白色。 将9个球分别染成红色或白色。那么 无论怎样染,至少有5个球是同色的。 无论怎样染,至少有5个球是同色的。你 能证明这个结论吗? 能证明这个结论吗? 间接证明: 间接证明: 不是直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法。 推得命题成立的证明方法。 反证法是一种常用的间接证明的方法。 反证法是一种常用的间接证明的方法。 是一种常用的间接证明的方法

反证法: 反证法: 假设命题结论的反面成立, 假设命题结论的反面成立,经过正确的 推理,引出矛盾,因此说明假设错误, 推理,引出矛盾,因此说明假设错误,从而 证明原命题成立, 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。 证法。

反证法的思维方法: 反证法的思维方法:
正难则反

经过正确 一般地,假设原命题不成立, 一般地,假设原命题不成立, 因此说明假设错 的推理,最后得出矛盾。 的推理,最后得出矛盾。 这样的证明 从而证明了原命题成立, 误,从而证明了原命题成立, 方法叫做反证法 归谬法)。 反证法( 方法叫做反证法(归谬法)。 其过程包括: 其过程包括: 反设——假设命题的结论不成立; 假设命题的结论不成立; 反设 假设命题的结论不成立 归谬——从假设出发,经过一系列正确的 从假设出发, 归谬 从假设出发 推理,得出矛盾 矛盾; 推理,得出矛盾; 存真——由矛盾结果,断定反设不真,从 由矛盾结果,断定反设不真, 存真 由矛盾结果 而肯定原结论成立。 而肯定原结论成立。

归缪矛盾: 归缪矛盾: (1)与已知条件矛盾; 与已知条件矛盾; (2)与已有公理、定理、定义矛盾; 与已有公理、定理、定义矛盾; (3)自相矛盾。 自相矛盾。

例1

已知a≠0,证明x的方程ax=b 已知a≠0,证明x的方程ax=b a≠0

有且只有一个根。 有且只有一个根。
b 证 由 a ≠0 因 方 至 有 个 x = : 于 , 此 程 少 一 根 a

假 方 ax +b = 0(a ≠ 0)至 存 两 根 设 程 少 在 个

妨 其 的 根 别 x x x 不 设 中 两 分 为 1, 2且 1 ≠x2

则 ax 1 = b , ax 2 = b

∴ ax1 = ax 2

∴ ax1 - ax 2 = 0
∴ a(x1 - x 2) 0 a( =
∵ x1 ≠ x 2,x1 - x 2 ≠ 0

∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 与已知a 矛盾,
故假设不成立,结论成立。 故假设不成立,结论成立。

应用反证法的情形: 应用反证法的情形: (1)直接证明困难 直接证明困难; (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论 需分成很多类进行讨论. (2)需分成很多类进行讨论. 3)结论为 至少” 结论为“ 至多” (3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题 类命题; 多个” ---类命题; 唯一”类命题; (4)结论为 “唯一”类命题;

正难则反! 正难则反

常见否定用语 ---没有 是---不是 ---不是 有---没有 ---不等 成立-- --不成立 等---不等 成立--不成立 都是--不都是, --不都是 都是--不都是,即至少有一个不是 都有--不都有, --不都有 都有--不都有,即至少有一个没有 都不是-部分或全部是, 都不是-部分或全部是,即至少有一个是 唯一-- --至少有两个 唯一--至少有两个 至少有一个有( )--全部没有 不是) 全部没有( 至少有一个有(是)--全部没有(不是) 至少有一个不-----全部都 至少有一个不-----全部都 -----

例3:证明:圆的两条不全是直径的相交 证明: 弦不能互相平分. 弦不能互相平分. 已知: AB、CD相交于 相交于P 已知:在⊙O中,弦AB、CD相交于P,且 AB、CD不全是直径 AB、CD不全是直径 求证:AB、CD不能互相平分 不能互相平分。 求证:AB、CD不能互相平分。
C A O P B D

例 1

用反证法证明: 用反证法证明:圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。 的相交弦不能互相平分。
A O P C B D

已知:如图, 已知:如图,在⊙O中,弦AB、 中 、 CD交于点 ,且AB、CD不是直径 交于点P, 不是直径. 交于点 、 不是直径 求证: 不被P平分 求证:弦AB、CD不被 平分 、 不被 平分. 连结 AD、BD、BC、AC, 、 、 、

证明:假设弦AB、 被 平分 证明:假设弦 、CD被P平分, 平分,

因为弦AB、CD被P点平分 所以四边形ACBD是平行四边形 点平分, 因为弦AB、CD被P点平分,所以四边形ACBD是平行四边形 所以 ∠ACB = ∠ADB, ∠CAD = ∠CBD 因为 ABCD为圆内接四边形 为圆内接四边形 o o 所以 ∠ACB+ ∠ADB= 180 , ∠CAD+ ∠CBD= 180 因此 ∠ACB = 90o , ∠CAD = 90o 所以,对角线AB、 均为直径 均为直径, 所以,对角线 、CD均为直径,

这与已知条件矛盾, 这与已知条件矛盾,即假设不成立 所以, 不被P平分 所以,弦AB、CD不被 平分。 、 不被 平分。

例 1

用反证法证明: 用反证法证明:圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。 的相交弦不能互相平分。
A O D

已知:如图, 已知:如图,在⊙O中,弦AB、 中 、 CD交于点 ,且AB、CD不是直径 交于点P, 不是直径. 交于点 、 不是直径 求证: 不被P平分 求证:弦AB、CD不被 平分 、 不被 平分.

证法二
平分, 证明:假设弦 、CD被P平分, 证明:假设弦AB、 被 平分
P C B

由于P点一定不是圆心 ,连结OP, 由于 点一定不是圆心O,连结 , 点一定不是圆心 根据垂径定理的推论, 根据垂径定理的推论,有 OP⊥AB,OP⊥CD, ⊥ , ⊥ , 即过点P有两条直线与 都垂直, 有两条直线与OP都垂直 即过点 有两条直线与 都垂直,

这与垂线性质矛盾, 这与垂线性质矛盾,即假设不成立
所以, 不被P平分 所以,弦AB、CD不被 平分。 、 不被 平分。

演练反馈
2、平面内有四个点,没有三点共线, 平面内有四个点,没有三点共线, 证明:以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 证明: 证明:假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个 点为A、B、C、D。考虑点D在 ? C AB 之内或之外两种情况。 (1)如果点D在 A D C B

? C 之内,根据假设, AB
所以

? ADC , ? ADB , ? BDC 都为锐角三角形
∠ADC + ∠ADB + ∠BDC < 270
o

这与一个周角为360°矛盾。 °矛盾。 这与一个周角为

演练反馈
2、平面内有四个点,没有三点共线, 平面内有四个点,没有三点共线, 证明:以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 证明: (1)如果点D在 A

? C 之外,根据假设, AB D ?ABC , ?ADC , ?BAD, ?BCD
都是锐角三角形,即

∠BAD+ ∠ABC+ ∠BCD+ ADC< 360
C B 所以,综上所述,假设不成立,从而题目结论成立 所以,综上所述,假设不成立,从而题目结论成立。 即这些三角形不可能都为锐角三角形。 即这些三角形不可能都为锐角三角形。

o

这与四边形内角和矛盾。 这与四边形内角和矛盾。

总结提炼 用反证法证明命题的一般步骤是什么? 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么 用反证法证明命题的一般步骤是什么 ①反设 ②归谬 ③结论

2.用反证法证题 矛盾的主要类型有哪些 用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些 用反证法证题 矛盾的主要类型有哪些? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以 是与题设矛盾,与假设矛盾 与已知定义、 与假设矛盾,与已知定义 是与题设矛盾 与假设矛盾 与已知定义、 公理、定理矛盾,自相矛盾等. 公理、定理矛盾,自相矛盾等.

例2 已知直线a,b和平面α, 如果a ? α,b ? α,且a // b, 求证:a // α
β
α

a
b
p

推理 合情推理 (归纳、类比) 归纳、类比) 证明 直接证明 分析法、综合法) (分析法、综合法) 间接证明 反证法) (反证法) 演绎推理 三段论) (三段论)

数学—公理化思想 数学 公理化思想

1、设{a n }是公比为 q的等比数列, S n是它的前 n项和, (1)求证:数列 {S n }不是等比数列 (2)数列{S n }是等差数列吗?为什么 ?

导学: P26 变式提升 2

类题演练 3
P27 1 ~ 4

例1:用反证法证明: 用反证法证明: 如果a>b>0, 如果a>b>0,那么 a> b a>b>0

不成立, 证:假设 a > b不成立,则 a ≤ b

与已知a 矛盾, 若 a = b,则a = b, 与已知a > b矛盾,
若 a < b,则a < b, 与已知a > b矛盾, 与已知a 矛盾,

故假设不成立, 成立。 故假设不成立,结论 a > b成立。

求证: 是无理数。 例4 求证: 2 是无理数。
是有理数, 证:假设 2 是有理数,

m 则 存 在 互 质 的 整 数 m, n使 得 2 = , n 2 2 ∴ m = 2n ∴ m = 2n
2 2 2 2

是偶数,从而m必是偶数,故设m ∴m2是偶数,从而m必是偶数,故设m = 2k(k∈N?)

从而有4 从而有4k = 2n ,即n = 2k 互质矛盾! 也是偶数, 这与m ∴ n 2 也是偶数, 这与m,n互质矛盾!
所以假设不成立, 是有理数成立。 所以假设不成立,2是有理数成立。

作业
证明: 关于x 1: 若p1 p2 = 2(q1 + q 2 ),证明: 关于x的方程 x + p1x + q1 = 0与x + p2 x + q 2 = 0中至少有一 个有实根. 个有实根.
2 2

均为实数, 2 : 若 a ,b ,c 均为实数 ,且 a = x - 2 y + b = y - 2z +
2

2

π
2

,

π

3 6 中至少有一个大于0 求证 : a ,b ,c 中至少有一个大于 0 .

,c = z - 2x +

2

π

,

思考? 思考?
三个人, 撒谎, A、B、C三个人,A说B撒谎,B说 撒谎, 都撒谎。 C撒谎,C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎,为什么? 是在撒谎,为什么?
分析:假设 没有撒谎 则C真. 分析 假设C没有撒谎 假设 没有撒谎, 真 - - -- -那么 假且 假; 那么A假且 那么 假且B假 由 A假 , 知 B真 . 这与B假矛盾. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 那么假设C没有撒谎不成立; 必定是在撒谎. 则C必定是在撒谎.

思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 思考题: 丙三箱共有小球384个 384 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内, 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数, 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内, 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内, 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 乙、丙三箱原有小球数 :208个 :112个 :64个 甲:208个,乙:112个,丙:64个


相关文章:
人教版选修【1-2】2.2.2《反证法》习题及答案
人教版选修【1-2】2.2.2反证法》习题及答案_数学_高中教育_教育专区。数学·选修 1-2(人教 A 版) 2.1 合情推理与演绎推理 反证法 2.2.2 ? 达标训...
2.2.2 反证法
2.2.2 反证法_法律资料_人文社科_专业资料。2.2.2 反 证 法 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题. ...
2.2.2反证法
2.2.2反证法_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2.2.2反证法 学案序号: 课型:主导课 执笔教师:张玉强 授课时间:2016 年月 号 济南高新区实验中学 高二年级...
2.2.2 《反证法》
2.2.2反证法》_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2.2.2 反 证 法 1.了解间接证明的一种基本方法——反证法,了解反证法的思 考过程、特点. 2. 掌握...
2.2.2 反证法
海林林业一中数学学案§2.2.2 教材导读 1、一般地,假设 后 选修 2-2 姓名: 时间: 年 月 日 反证法 【练习 2】 若函数 f(x)在区间[a,b]上是增函数...
2015-2016高中数学 2.2.2反证法练习 新人教A版选修1-2
2015-2016高中数学 2.2.2反证法练习 新人教A版选修1-2_数学_高中教育_教育专区。2.2.2 反 证法 1.了解间接证明的一种基本方法——反证法,了解反证法的...
选修2-2反证法教案
选修2-2反证法教案_数学_高中教育_教育专区。选修2-2反证法教案2.2.2 反证法一、 教学目标 (1)了解反证法的基本原理; (2)掌握运用反证法的一般步骤; (3)...
2.2.2 反证法
2.2.2 反证法_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2.2.2 反 证法 1.了解间接证明的一种基本方法——反证法,了解反证法的思考过程、特点. 2.掌握反证法证...
2.2 综合法、分析法和反证法
2.2 综合法、分析法和反证法_数学_高中教育_教育专区。高二数学必修五导学案课题:§2.2 综合法、分析法和反证法 学习目标 编号:课时:1 课型:新授课 1.了解...
2-2-2 反证法
[解析] A、B 是既不充分也不必要条件,C 是充分不必要条件, 只有 D 正确,可用反证法证明;若 a>c 或 b>d 不成立,则 a≤c 且 b≤d, 相加得, a+b...
更多相关标签: