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正弦定理和余弦定理应用举例


第八节 正弦定理和余弦定理应用举例 强化训练 1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40 ,灯塔B在观察 站C的南偏东60 ,则灯塔A在灯塔B的( A.北偏东10 C.南偏东10 答案:B
? ? ? ?

) B.北偏西10 D.南偏西10
? ?

解析:如图所示,由已知 ?ACB

? 180 -40 -60 =80 ,
? ? ? ?

? ? ? ? 又AC=BC,∴ ?A ? ?ABC ? 50 ,60 -50 =10 .

∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10 . 2.海上有三个小岛,其中小岛A,B相距10海里,从A岛望B岛和C岛成60 视角,从B岛望C岛和A岛 成75 视角,则B,C间距离是( A.5海里 C.10海里 答案:B
? ? ? ? 解析: ?ACB ? 180 -60 -75 =45 , ? ?

?

) B. 5 6 海里 D. 10 6 海

根据正弦定理 ? BC ? AB ? sin60 ? 5 6 . ?
?

sin45

3.在△ABC中,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则A等于( A.90 ? C.135 答案:B 解析:由题知 (b ? c) ? a ? 3bc?
2 2
?

) B.60 ? D.150
?

∴ b ? c ? a ? bc .
2 2 2
2 2 2 1 ? ∴cos A ? b ? c ? a ? .∴A=60 .

2bc

2

4.如图,在△ABC中,若A=120 ,AB=5,BC=7,则 S? ABC ?
?

.

答案: 15 3

4

? 2 2 2 解析:在△ABC中,由余弦定理得 BC ? AB ? AC ? 2AB ? AC cos120 ,

即 49 ? 25 ? AC 2 ? 5 AC? 解之得AC=3.

S? ABC ?

1 AB ? AC sin A ? 15 3 . 4 2

5.(2011 安 徽 高 考 , 文 16) 在 △ ABC 中 ,a,b,c 分 别 为 内 角 A,B,C 所 对 的 边 长 ,

a ? 3? b ? 2?1 ? 2 cos(B+C)=0,求边BC上的高.
解:∵A+B+C=180 ,∴B+C=A. 又1+2cos(B+C)=0,∴1+2cos(180 -A)=0, 即1-2cosA=0,cos A ?
? ? ? ?

1 . 2
?

又0 <A<180 ,∴A=60 . 在△ABC中,由正弦定理
?

a ? b 得,sinB= bsinA ? 2sin60? ? 2 ? a 2 sinA sinB 3
?

又∵b<a,∴B<A,B=45 ,C=75 .
? ? ? ∴BC边上的高 AD ? AC ? sin C ? 2 sin75 = 2 sin(45 +30 )

? 2( sin45? cos30? ? cos45? sin30? )
? 2( 2 ? 3 ? 2 ? 1 ) ? 3 ? 1 . 2 2 2 2 2
见课后作业A 题组一 三角形综合应用问题 1.(2011上海高考,文8)在相距2千米的A、B两点处测量目标C,若 ?CAB ? 75 ? ?CBA ? 60 , 则A、C两点之间的距离是 千米.
? ?

答案: 6 2.从A处望B处的仰角为 ? ? 从B处望A处的俯角为 ? ? 则 ? 、 ? 的关系为( A. ? ? ? C. ? ? ? ? 90 答案:B 解析:根据仰角和俯角的定义可知 ? ? ? .
?

)

B. ? ? ? D. ? ? ? ? 180
?

3.在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60 ,塔基的俯角为45 ,那么这座塔吊的高是 ( )

?

?

3) m 3 C. 10( 6 ? 2) m
A. 20(1 ? 答案:B
?

B. 20(1 ? 3) m D. 20( 6 ? 2) m

4.某人向正东方向走x km后,他向右转150 ,然后朝新方向走3 km,结果他离出发点恰好 3 km, 那么x的值为( ) A. 3 B. 2 3 C. 2 3 或 3 D.3 答案:C 5.一船向正北方向航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航 行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60 ,另一灯塔在船的南偏西75 ,则这只船的速度是每 小时( ) A.5海里 C.10海里 B. 5 3 海里 D. 10 3 海里
? ?

答案:C
? ? ? 解析:如图,依题意有 ?BAC ? 60 ??BAD ? 75 ,所以 ?CAD ? ?CDA ? 15 ,

从而CD=CA=10. 在Rt△ABC中,可得AB=5,于是这只船的速度是 5 ? 10( 海里/小时).

0?5

6.有一长为1千米的斜坡,它的倾斜角为20 ,现要将倾斜角改为10 ,且坡高不变,则坡底要伸长 ( ) ? A.1千米 B.sin10 千米 C.cos10 千米 答案:A 答案: 400
?

?

?

D.cos20 千米
? ?

?

7.在200 m高的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30 、 ,则塔高为 60

m.

3

解析:如图所示,设塔高为h m.由题意及图可知,

(200 ? h) ? tan60 ? ? 200 ? ? tan60 解得: h ? 400 m. 3
8.在△ABC中,若 a ? 3? b ? 2? c= 答案:60
?

6 ? 2 ? 则A= 2

.

2 2 2 解析:cos A ? b ? c ? a ? 2bc

2? 8? 4 3 ?3 4 2 2? 6 ? 2 2

?

3 ?1 ?1. 2 ? 2 ? ( 3 ? 1) 2

9.在△ABC中 ? a ? 3 2? b ? 2 3? cos C ? 1 ? 则 S? ABC ?

3

.

答案: 4 3 解析:∵在△ABC中,cos C ? 1 ? ∴sin C ?

3

1 2 2 ?S ab sin C ? 4 3 . ? ABC ? 3 2

10. △ ABC 中 ??A??B??C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 若 a,b,c 以 此 顺 序 成 等 差 数 列 , 且

?A ? ?C ? 120 ? ,则sinA= 15 ? 3 1 5? 3 答案: 8 8
解析:因为2b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sin C ? 4 sin B cos B =2sin A ? C ? cos A ? C .

,sinC=

.

2

2

2 2 A ? C ? cos B ? 0? 因为sin 2 2 所以2sin B ? cos A ? C ? 1 ? 2 2 2 15 ? sin B ? 15 ? 即sin B ? 1 ? cos B ? 2 4 8 2 4 15 . ① 因此sinA+sin C ? 4 A ? C ? sin A ? C 又sinA-sinC=2cos 2 2 3 ? 3? ② =2sin B ? 2 2 4 15 ? 3 ? sin C ? 15 ? 3 . 由①②得sin A ? 8 8
11.如图,一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔10千米,速度 为180千米/小时,飞行员先看到山顶的俯角为30 ,经过2分钟后又看到山顶的俯角为75 ,求山 顶的海拔高度.
? ?

? ? ? ? 解:在△ABP中 ? ?BAP ? 30 ? ?APB ? 75 -30 =45 ? AB ? 180 ? 2 ? 6 .

60 AB BP ? 根据正弦定理 ? ? sin?APB sin?BAP 6 ? BP ? BP ? 3 2 . sin45? sin30? BP ? sin75 ? ? 3 2 ? sin(45 ? +30 ? ) ? 3 ? 3 3 . 2 3 ? 3 3 ? 17 ? 3 3 ( 所以,山顶P的海拔高度为 h ? 10 ? 千米). 2 2 ? ? 12.在海岸A处,发现北偏东45 方向,距离 A( 3 ? 1)n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75
的方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h的速度追截走私船,此时,走私船 正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30 方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私 船?
?

解:设缉私船用t h在D处追上走私船,如图,则有 CD ? 10 3t? BD ? 10t .在△ABC中,

∵ AB ? 3 ?1? AC ? 2??BAC ? 120 , ∴由余弦定理,得
?

BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos ?BAC ? ( 3 ?1)2 ? 22 ? 2( 3 ?1) ? 2 cos120 ? =6.
∴ BC ? 6 . 又 ?CBD ? 90 +30 =120 , 在△BCD中,由正弦定理,得
? ? ?

sin ?BCD ? BD ? sin?CBD

CD ? 10t ? sin120 ? 1 . 2 10 3t ? ∴ ?BCD ? 30 ,
?
?

即缉私船沿北偏东60 方向能最快追上走私船.??


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