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1977河北高考数学试题


1977 年普通高等学校招生考试数学(河北省)试题及答案
1.解答下列各题: (1)叙述函数的定义 答:略
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

(2)求函数 y ? 1 ?

1 2 ? 3x
2 3

的定义域

王新敞
奎屯

新疆

解:由 2 ? 3x ? 0解得 x ? . (3)计算 [1 ? (0.5) ?2 ] ? (? 解:原式=2
王新敞
奎屯 新疆

27 3 ) . 8

1

(4)计算 log4 2. 解:原式=
1 2
王新敞
奎屯 新疆

(5)分解因式 x2y-2y3. 解:原式= y( x ? 2 y)(x ? 2 y).
4? 25? 3? ? cos ? tg (? ). 3 6 4 ? ? ? 3 解:原式= (? sin ) ? cos ? tg ? ? . 3 6 4 4

(6)计算 sin

2.证明:从圆 O 外一点 P 向这个圆所引的两条切线 PA、PB 所成的角 APB 被 PO 平分(本题要求写出已知、求证、证明并画图)
王新敞
奎屯 新疆

解:已知:圆 O 及圆 O 外一点 P,PA、PB 是圆 O 的切线,A、B 是切 点(如图) ,

求证:∠OPA=∠OPB 证明:联结 OA、OB ∴∠OAP=∠OBP=90
0
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

A

P

O

在直角△OPA 与直角△OPB 中,∵OA=OB,OP=OP, ∴△OPA≌△OPB,∠OPA=∠OPB 3.证明: 证:左边=
?
王新敞
奎屯 新疆

B

sin 2? ? 1 1 1 ? tg? ? . 1 ? cos 2? ? sin 2? 2 2

2 sin ? ? cos? ? sin 2 ? ? cos2 ? (sin ? ? cos?) 2 ? 2 cos?(cos? ? sin ?) 2 cos2 ? ? 2 sin ? cos?
sin ? ? cos ? 1 1 ? tg? ? =右边 2 cos ? 2 2
王新敞
奎屯 新疆

4.已知 2 lg x ? lg 2 ? lg( x ? 6), 求 x 解:由原方程可得
lg 2 x 2 ? lg( x ? 6),

3 2 x 2 ? x ? 6 ? 0,? x ? 2, x ? ? (增根) 2

故原方程的解为 x=2. 5.某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃,其两邻边借用夹角 为 1350 的两面墙,另外两边是总长为 30 米的篱笆(如图,AD 和 DC 为墙) , 问篱笆的两边各多长时, 苗圃的面积最大?最大面积是多少? 解:如图,设 BC 长为 x,苗圃面积为 S. 过 D 作 DE⊥AB 交 AB 于 E. 由已知条件可得 AB=30-x, ∠DAB=450,
A 450 E D 1350 C

B

AE=DE=BC=x, CD=BE=AB-AE=30-2x,
?S ? 1 1 3 (CD ? AB ) ? BC ? (60 ? 3x) x ? ? ( x ? 10) 2 ? 150 . 2 2 2
王新敞
奎屯 新疆

由此可知,当 x=10 时,S 取最大值 所以,当 BC=10 米,AB=20 米时, 苗圃面积最大,这时 S=150 米 2
王新敞
奎屯 新疆

6. 工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器 (上面开口) , 使其容积为 208 立方米,高为 4 分米,上口边长与下底面边长的比为 5:2,做这样的容器需要多少平方米的铁皮?(不计容器的厚度和加 工余量,不要求写出已知、求解,直接求解并画图即可) 解:设正四棱台形容器上口边长 AB=5x,则下底面边长 A1B1=2x, 设表面积为 S
王新敞
奎屯 新疆

因正四棱台的体积
E

C F A C1 E1 D1 A1 H E F B1 F1 D

B

1 V ? h( s1 ? s 2 ? s1 s 2 ). 3 1 ? 208 ? ? 4 ? [(5 x) 2 ? (2 x) 2 ? 5 x ? 2 x], 3 2 ? x ? 4,? x ? 2, ? AB ? 10(分米), A1 B1 ? 4(分米). 由此可得 1 S ? A1 B1 ? 4 ? ? ( AB ? A1 B1 ) ? FF1 2 1 10 ? 4 2 ? 4 2 ? 4 ? ? (10 ? 4) ? 4 2 ? ( ) 2 2 ? 156(平方分米) ? 1.56(平方米)
2

E1

F1

故共需铁皮 1.56 平方米

王新敞
奎屯

新疆

7.已知:如图,MN 为圆的直径,P、C 为圆上两点,连 PM、PN,过 C 作 MN 的垂线与 MN、MP 和 NP 的延长线依次相交于 A、B、D,求证:

AC2=AB·AD

王新敞
奎屯

新疆

证:在△ABM 与△AND 中, ∠BAM=∠NAD=900 ∠AMB=∠ADN=900-∠MND, ∴△ABM∽△AND,
M

D

C B

P

N A

AB:AN=AM:AD, AN·AM=AB·AD……① 又∵在直角△MCN 中,AC⊥MN, ∴AC2=AM·AN………② 由①,②得 AC2=AB·AD 8.下列两题选做一题
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

(甲)已知椭圆短轴长为 2,中心与抛物线 y2=4x 的顶点重合,椭圆 的一个焦点恰是此抛物线的焦点,求椭圆方程及其长轴的长 解:设所求之椭圆方程为
x2 y2 ? ?1 a2 b2
王新敞
奎屯 新疆

∵2b=2,∴b=1. 由抛物线方程 y2=4x 可知它的焦点而(1,0) ,所以点(1,0)也是 椭圆的一个焦点,于是 c=1,从而 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2, a ? 2, 故所求之椭圆方程为
x2 ? y 2 ? 1 ,长轴的长为 2 2 2
王新敞
奎屯 新疆

(乙)已知菱形的一对内角各为 600,边长为 4,以菱形对角线所在 的直线为坐标轴建立直角坐标系,以菱形 600 角的两个顶点为焦点,

并且过菱形的另外两个顶点作椭圆,求椭圆方程

王新敞
奎屯

新疆

解:设以菱形内角为 600 的一对顶点为端点的对角线所在的直线 为 X 轴,建立直角坐标系 设欲求之椭圆方程为
Y

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

王新敞
奎屯

新疆

B C' 300 O B' C X

由图及已知条件可得 b=BO=BC·sin30 =2
a =BC=4.
0

故所求之椭圆方程为
x2 y2 ? ? 1. 16 4

参考题 1.将函数 f ( x) ? e x 展开为 x 的幂级数,并求出收敛区间 (e=2.718 为
王新敞
奎屯 新疆

自然对数的底)
解 : ? f ( x) ? e x ,? f ?( x) ? f ??( x) ? ? f n ( x) ? e x . ? f (0) ? f ?(0) ? f ??(0) ? ? f n (0) ? 1. 函数在区间? r ? x ? r上, 有 | f n ( x) |?| e x |? e r (n ? 1,2?)

所以函数 e x 可以在区间[-r,r]上展开成幂级数,因为 r>0 是任意的, 所以,函数 e x 在区间 (??,??) 上可展成幂级数,特别的它的马克劳林 级数是
x2 x3 xn e ? 1? x ? ? ??? ?? 2! 3! n!
x

2.利用定积分计算椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 所围成的面积 a2 b2

王新敞
奎屯

新疆

解:因为椭圆 积为
s ? 4? ydx ? 4?
0 ? a a 0

x2 y2 ? ? 1 关于 x 轴和 y 轴都是对称的,所以所求之面 a2 b2

a ? a 2 ? x 2 dx.令x ? a sin ?.(0 ? ? ? ) b 2
? ?

则 a 2 ? x 2 ? a 2 ? a 2 sin 2 ? ? a cos?, dx ? a cos?d? ? s ? 4? 2 b 1 ? cos 2? ? a ? cos? ? a ? cos?d? ? 4ab? 2 (cos?) 2 d? ? 4ab? 2 d? 0 a 0 0 2 ? ? ? ? 2ab[ ? ? 2 cos 2?d?] ? 2ab ? ? ?ab. 2 0 2


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