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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.3.1 函数的单调性与导数教案 新人教A版选修1-1


3.3.1

函数的单调性与导数

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能 能探索并应用函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间, 能由导数信息绘制函数大 致图象. 2.过程与方法 通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严密推理的良好思维习惯,让学生 感知从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程. 3.情感、态度与价值观 通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结,引导学生养成自主学习的 学习习惯. ●重点、难点 重点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间. 难点:利用导数信息绘制函数的大致图象. 采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量,通过数形结合,图、表并用,使抽象的知 识直观化,形象化,以促进学生的理解,以达到突破重点、难点的目的.

(教师用书独具)

●教学建议 为还课堂于学生, 突出学生的主体地位, 本节课宜运用“问题——解决”课堂教学模式, 采用发现式、 启发式的教学方法. 通过问题激发学生求知欲, 使学生主动参与教学实践活动, 在教师的指导下发现、分析和解决问题,总结规律,培养积极探索的科学精神.
1

为使学生积极参与课堂学习,宜采取以下学习方法: 1.合作学习:引导学生分组讨论,合作交流,共同探讨问题; 2.自主学习:引导学生通过亲身经历,动口、动脑、动手参与数学活动; 3.探究学习:引导学生发挥主观能动性,主动探索新知. ●教学流程 错误!? 错误!? 错误!? 错误!? 错误!? 错误!? 错误!

(对应学生用书第 55 页)

1.理解在某区间上函数的单调性与导数的关系.(难点) 课标解读 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.(重点) 3.能够根据函数的单调性求参数.(难点)

函数的单调性与其导数的

正负的关系 【问题导思】 1.导数的几何意义是什么? 【提示】 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数等于 y=f(x)的图象, 在 x=x0 处切线的斜率. 2.若函数 y=f(x)在 x∈[a,b]的图象上任一点的切线的斜率均为正值,则 y=f(x)在

x∈[a,b]的单调性是怎样的?
【提示】 单调递增的. 1.一般地,设函数 y=f(x),在区间(a,b)上 (1)如果 f′(x)>0,则 f(x)在该区间上单调递增. (2)如果 f′(x)<0,则 f(x)在该区间上单调递减. 2. 导数值 切线的斜率 倾斜角 曲线的变 化趋势 函数的 单调性
2

>0 <0

>0 <0

锐角 钝角

上升 下降

递增 递减

(对应学生用书第 55 页)

导数与函数图象的关系 设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图 3-3-1 所示,则导函数 y =f′(x)可能为( )

图 3-3-1

【思路探究】 (1)y=f(x)的图象在 y 轴左侧是上升的, 对应的导数图象是怎样的?(2) 函数在 y 轴右侧先增再减最后又增,对应的导数又该如何呢? 【自主解答】 由函数的图象知:当 x<0 时,函数单调递增,导数应始终为正;当 x >0 时,函数先增后减再增,导数应先正后负再正,对照选项,只有 D 正确. 【答案】 D

判断函数与导数图象间对应关系时, 首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的 图象,其次再注意以下两个方面: (1)函数的单调性与其导函数的正负的关系:在某个区间(a,b)内,若 f′(x)>0,则 y =f(x)在(a,b)上单调递增;如果 f′(x)<0,则 y=f(x)在这个区间上单调递减;若恒有

f′(x)=0,则 y=f(x)是常数函数,不具有单调性.
3

(2)导数与函数图象的关系

函数值增加得越来越快

函数值增加得越来越慢

f′?x?>0且越来越大 f′?x?>0且越来越小

函数值减少得越来越快 绝对值越来越大

函数值减少得越来越慢 绝对值越来越小

f′?x?<0且越来越小 f′?x?<0且越来越大

图 3-3-2 已知函数 y=xf′(x)的图象如图 3-3-2 所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数, 下列四个图象中,y=f(x)的图象大致是( )

【解析】 由 y=xf′(x)的图象可知当 x>1 时,x>0 且 f′(x)>0,所以当 x>1 时,

f(x)单调递增,只有 C 成立.故选 C.
【答案】 C

求函数的单调区间 求下列函数的单调区间.
4

(1)y=2x -3x (2)f(x)=3x -2ln x. 【思路探究】 求定义域 → 求导数 →
2

3

解不等式y′<0和y′>0 → 写单调区间 【自主解答】 (1)由题意得 y′=6x -3. 令 y′=6x -3>0,解得 x<- 当 x∈(-∞,-
2 2 2

2 2 或 x> , 2 2

2 2 )时,函数为增函数,当 x∈( ,+∞)时,函数也为增函数. 2 2 解得- 2 2 <x< , 2 2

令 y′=6x -3<0, 当 x∈(- 2 2 , )时,函数为减函数. 2 2

故函数的递增区间为(-∞,-

2 2 2 2 )和( ,+∞),递减区间为(- , ). 2 2 2 2

(2)函数的定义域为(0,+∞),

f′(x)=6x- =2· x

2

3x -1 .

2

x

3x -1 令 f′(x)>0,即 2· >0.

2

x

且 x>0,可解得 x>

3 ; 3
2

3x -1 令 f′(x)<0,即 2· <0,

x

由 x>0 得,0<x< ∴f(x)的增区间为(

3 , 3 3 3 ,+∞),减区间为(0, ). 3 3

1.在利用导数求函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解题过程中,只能在 定义域内讨论,定义域为实数集 R 可以省略不写. 2.当求得的单调区间不止一个时,单调区间要用“,”或“和”字等隔开,不要用符 号“∪”连接,如(1)题中的增区间.

(1)求函数 f(x)=2x -9x +12x-3 的单调区间;
5

3

2

(2)求函数 y=x -2x +x 的单调区间. 【解】 (1)此函数的定义域为 R,

3

2

f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).
令 6(x-1)(x-2)<0,解得 1<x<2, 所以函数 f(x)的单调递减区间是(1,2). 令 6(x-1)(x-2)>0,解得 x>2 或 x<1, 所以函数 f(x)的单调递增区间是(2,+∞),(-∞,1). (2)此函数的定义域为 R.

y′=3x2-4x+1,
1 2 令 3x -4x+1>0,解得 x>1 或 x< . 3 1 3 2 因此 y=x -2x +x 的单调递增区间为(1,+∞),(-∞, ). 3 1 2 再令 3x -4x+1<0,解得 <x<1. 3 1 3 2 因此 y=x -2x +x 的单调递减区间为( ,1). 3

判断含有字母参数的函数的单调性 讨论函数 f(x)=

bx (-1<x<1,b≠0)的单调性. x2-1

【思路探究】 (1)函数的定义域是怎样的?函数是奇函数还是偶函数?(2)若先讨论 x ∈(0,1)上的单调性,能否判断 f′(x)在(0,1)上的正负?b 的取值对其有影响吗? 【自主解答】 f(x)的定义域为(-1,1);函数 f(x)是奇函数, ∴只需讨论函数在(0,1)上的单调性.

x′·?x2-1?-x?x2-1?′ ∵f′(x)=b· 2 2 ?x -1?
=-

b?x2+1? 2 2, ?x -1?
2 2 2

当 0<x<1 时,x +1>0,(x -1) >0,

x +1 ∴- 2 2<0. ?x -1?
∴当 b>0 时,f′(x)<0.∴函数 f(x)在(0,1)上是减函数; 当 b<0 时,f′(x)>0,∴函数 f(x)在(0,1)上是增函数; 又函数 f(x)是奇函数,而奇函数的图象关于原点对称,从而可知: 当 b>0 时,f(x)在(-1,1)上是减函数;

2

6

当 b<0 时,f(x)在(-1,1)上是增函数.

1.利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是判断或证明不等 式 f′(x)>0(f′(x)<0)在给定区间上恒成立. 一般步骤为: ①求导数 f′(x); ②判断 f′(x) 的符号;③给出单调性结论. 2.导数的正负决定了函数的增减,当导函数中含有参数时,应注意对参数进行分类讨 论.

求函数 y=x+ (b≠0)的单调区间.

b x

b b x2-b 【解】 函数 y=x+ (b≠0)的定义域为{x|x≠0},y′=1- 2= 2 . x x x
①当 b<0 时,在函数定义域内 y′>0 恒成立,所以函数的单调递增区间为(-∞,0) 和(0,+∞); ②当 b>0 时,令 y′>0,解得 x> b或 x<- b,所以函数的单调递增区间为(-∞, - b)和( b,+∞);令 y′<0,解得- b<x< b且 x≠0,

























(



b , 0) 和 (0 ,
).

b

(对应学生用书第 57 页)

导数在解决单调性问题中的应用 (12 分)设函数 f(x)=ax- -2ln x. (1)若 f′(2)=0,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围. 【思路点拨】

a x

7

a 2 【规范解答】 (1)∵f(x)的定义域为(0,+∞),f′(2)=0,且 f′(x)=a+ 2- , x x a 4 ∴a+ -1=0,∴a= .3 分 4 5
4 4 2 2 2 ∴f′(x)= + 2- = 2(2x -5x+2), 5 5x x 5x 1 由 f′(x)>0 结合 x>0,得 0<x< 或 x>2, 2 1 ∴f(x)的递增区间为(0, ]和[2,+∞), 2 1 递减区间为( ,2).6 分 2 (2)若 f(x)在定义域上是增函数,则

f′(x)≥0 对 x>0 恒成立,8 分 a 2 ax -2x+a ∵f′(x)=a+ 2- = , 2 x x x
∴需 x>0 时 ax -2x+a≥0 恒成立 10 分 化为 a≥ ∵ 2x 对 x>0 恒成立, x2+1
2 2

2x 2 = ≤1,当且仅当 x=1 时取等号. x2+1 1 x+ x

∴a≥1,即 a∈[1,+∞).12 分

1.求函数的单调区间首先要确定函数的定义域,再求出使导数的值为正或负的 x 的范 围,写单调区间时,要注意以上两范围求交集. 2.已知函数的单调性求参数的范围,是一类非常重要的题型,其基本解法是转化为

f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在给定区间上恒成立问题.
8

1.函数的单调性与其导函数的关系:在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么 y =f(x)在这个区间内单调递增; 如果 f′(x)<0, 那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递减; 如果恒有 f′(x)=0,那么函数 f(x)在这个区间内为常函数.

2.用导数判断函数的单调性和求单调区间,实际上就是在函数的定义域范围内解决导数的 正 负 问 题 , 对 于 含 有 字 母 参 数 的 函 数 , 要 注 意 对 参 数 进 行 分 类 讨 论 .

(对应学生用书第 57 页)

1.f(x)在(a,b)内可导,若 f′(x)<0,则 f(x)在(a,b)内是( A.增函数 C.奇函数 【解析】 易知导函数 f′(x)<0 时,f(x)单调递减. 【答案】 B 1 2 2.函数 y=4x + 单调递增区间是( B.减函数

)

D.偶函数

x

) B.(-∞,1)
9

A.(0,+∞)

?1 ? C.? ,+∞? ?2 ?
1 1 2 【解析】 由 y=4x + ,得 y′=8x- 2.

D.(1,+∞)

x

x

1 1 令 8x- 2>0,得 x> . x 2 【答案】 C 3.函数 y=2-3x 在区间(-1,1)上的增减性为( A.增函数 C.先增后减
2

) B.减函数 D.先减后增

【解析】 y′=-6x,故当 x∈(-1,0)时,y′>0;当 x∈(0,1)时,y′<0,所以原 函数在区间(-1,1)上先增后减. 【答案】 C 1 2 4.求函数 y= x -ln x 的单调递减区间. 2 【解】 函数的定义域为(0,+∞),

y′=x- ,令 y′=x- ≤0 得 0<x≤1, x x

1

1

∴ (0,1].



















(对应学生用书第 109 页)

一、选择题

图 3-3-3 1. 函数 y=f(x)的图象如右图 3-3-3 所示, 则导函数 y=f′(x)的图象可能是( )

10

【解析】 由函数的图象可知,在区间(-∞,0)和(0,+∞)上,函数 f(x)均为减函 数,故在这两个区间上,f′(x)均小于 0. 【答案】 D 2.(2013·吉林高二检测)函数 f(x)=x -3x+1 的单调递减区间为( A.(-1,1) C.(-∞,-1) +∞) 【解析】 f′(x)=3x -3,令 f′(x)=3x -3<0 得-1<x<1. ∴原函数的单调递减区间为(-1,1). 【答案】 A 3.定义在 R 上的函数 f(x),若(x-1)·f′(x)<0,则下列各项正确的是( A.f(0)+f(2)>2f(1) B.f(0)+f(2)=2f(1) C.f(0)+f(2)<2f(1) D.f(0)+f(2)与 2f(1)大小不定 【解析】 当 x>1 时,f′(x)<0,f(x)是减函数, ∴f(1)>f(2). 当 x<1 时,f′(x)>0,f(x)是增函数, ∴f(0)<f(1).因此 f(0)+f(2)<2f(1). 【答案】 C 4.(2013·天水高二检测)已知函数 f(x)=x -ax-1,若 f(x)在(-1,1)上单调递减, 则 a 的取值范围为( A.a≥3 C.a≤3
2 3 2 2 3

)

B.(1,2) D.(-∞,-1),(1,

)

) B.a>3 D.a<3
2

【解析】 ∵f′(x)=3x -a,由题意 f′(x)≤0 在(-1,1)上恒成立,即 3x -a≤0 在(-1,1)上恒成立,∴a≥3x 在(-1,1)上恒成立,又∵0≤3x <3,∴a≥3,经验证当 a =3 时,f(x)在(-1,1)上单调递减.
11
2 2

【答案】 A

图 3-3-4 5.(2013·临沂高二检测)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数如图 3-3-4 所示,那 么 y=f(x),y=g(x)的图象可能为( )

【解析】 由图可以看出 f′(x)和 g′(x)均大于 0,即 f(x)和 g(x)均为增函数.y=

f′(x)递减,则 y=f(x)的切线斜率随着 x 的增大而减小,即 y=f(x)的增速逐渐减慢;y
=g′(x)递增, 则 y=g(x)的切线的斜率随着 x 的增大而增大, 即 y=g(x)的增速不断加快. 由

f′(x0)=g′(x0)可知 y=f(x)和 y=g(x)在 x=x0 处的切线斜率相同,故选 D.
【答案】 D 二、填空题 6.(2013·惠州高二检测)函数 f(x)=xln x 的单调减区间为________. 【解析】 函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1. 1 1 令 f′(x)<0 得 x< ,又 x>0,∴f(x)的减区间为(0, ). e e 1 【答案】 (0, ) e 7 .已知函数 f(x) =x + x +mx+ 1 在 R 上不是单调函数,则实数 m 的取值范围是 ________. 【解析】 f′(x)=3x +2x+m, ∵f(x)在 R 上非单调,∴f′(x)有两个相异零点. ∴Δ =4-12m>0, 1 ∴m< . 3
2 3 2

12

1? ? 【答案】 ?-∞, ? 3

?

?
3 2

8. (2013·洛阳高二检测)若函数 f(x)=x +bx +cx+d 的单调递增区间为(-∞, -1) 和(2,+∞),则 b=________,c=________. 【解析】 ∵f′(x)=3x +2bx+c,由题意知 x<-1 或 x>2 是不等式 3x +2bx+c> 3 c 2 0 的解集,∴-1,2 是方程 3x +2bx+c=0 的两个根,∴-1+2=- ,-1×2= ,∴b= 2 3 3 - ,c=-6. 2 3 【答案】 - 2 三、解答题 9.已知函数 f(x)=ax +bx +c 的图象经过点(0,1),且在 x=1 处的切线方程是 y=x -2. (1)求 y=f(x)的解析式; (2)求 y=f(x)的单调递增区间. 【解】 (1)由题意得:f(0)=1,f′(1)=1,f(1)=-1.
4 2 2 2

-6

?c=1,
∴?4a+2b=1,

?

? ?a+b+c=-1,

a= , 2 ? ? 9 ∴? b=- , 2 ? ?c=1.
5

5 4 9 2 ∴f(x)= x - x +1 2 2 3 10 3 10 3 3 (2)f′(x)=10x -9x,由 10x -9x>0 得 x> 或- <x<0, 10 10 3 10 3 10 ∴f(x)的单调增区间为(- ,0),( ,+∞). 10 10 3 3 2 10.已知函数 f(x)=ax -3x +1- ,讨论函数 f(x)的单调性.

a

【解】 由条件可知 a≠0, 2 2 ∴f′(x)=3ax -6x=3ax(x- ).

a

∴当 a>0 时,

f′(x)>0? x<0 或 x> , a

2

13

f′(x)<0? 0<x< . a f(x)在(-∞,0),( ,+∞)上是增函数,在(0, )上是减函数; a a
当 a<0 时, 2 2

2

f′(x)<0? x< 或 x>0, a f′(x)>0? <x<0. a f(x)在(-∞, ),(0,+∞)上是减函数,在( ,0)上是增函数. a a
2 2 综上,a>0 时,f(x)在(-∞,0),( +∞)上是增函数,在(0, )上是减函数; 2 2 2

2

a

a

a<0 时 f(x)在(-∞, ),(0,+∞)上是减函数,在( ,0)上是增函数. a a
11.已知 f(x)=e -ax-1. (1)求 f(x)的单调增区间; (2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围. 【解】 (1)∵f(x)=e -ax-1,∴f′(x)=e -a. 令 f′(x)≥0 得 e ≥a, 当 a≤0 时,有 f′(x)>0 在 R 上恒成立; 当 a>0 时,有 x≥ln a. 综上,当 a≤0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当 a>0 时,f(x)的单调增区间为[ln a,+∞). (2)∵f(x)=e -ax-1,∴f′(x)=e -a. ∵f(x)在 R 上单调递增, ∴f′(x)=e -a≥0 恒成立, 即 a≤e ,x∈R 恒成立. ∵x∈R 时,e ∈(0,+∞),∴a≤0.
x x x x x x x x x

2

2

因 0].







a













(







(教师用书独具)

14

1 已知 x>1,证明:ln x+ >1.

x

1 【证明】 令 f(x)=ln x+ (x>1),

x

1 1 x-1 ∴f′(x)= - 2= 2 ,

x x

x

∵x>1,∴f′(x)>0, 1 ∴f(x)=ln x+ 在(1,+∞)上单调递增,

x

∴f(x)>f(1)=ln 1+1=1. 1 从而 ln x+ >1,

x

命题得证.

已知 x>0,证明:1+2x<e . 【证明】 设 f(x)=1+2x-e ,则 f′(x)=2-2e =2(1-e ), 当 x>0 时,2x>0,e >e =1,∴f′(x)=2(1-e )<0, ∴函数 f(x)=1+2x-e 在(0,+∞)上是减函数. ∵函数 f(x)=1+2x-e 是连续函数, ∴当 x>0 时,f(x)<f(0)=0, ∴当 x>0 时,1+2x-e <0,即 1+2x<e .
2x 2x 2x 2x 2x 0 2x 2x 2x 2x

2x

15


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