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北京市丰台区2012年高三二模理科数学试题


北京市丰台区 2012 年高三二模 数学(理科)
第一部分 (选择题 共 40 分)

2012.5

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.复数

1? i 的虚部是 2?i
(B) ? i

(A) ?i<

br />
3 5

(C) –1

(D) ?

3 5

2.一个正四棱锥的所有棱长均为 2,其俯视图如右图所示,则该正四棱锥的正 视图的面积为 (A) (C) 2 3.由曲线 y ?

2

(B)

3

(D) 4
俯视图

1 与 y=x,x=4 以及 x 轴所围成的封闭图形的面积是 x 31 23 (A) (B) 32 16 1 (C) ln 4 ? (D) ln 4 ? 1 2

4.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 63,则判断框中应填

开始 (A) n ? 7 (B) n ? 7 (C) n ? 6 (D) n ? 6 S ? 0 ,n ?1,a ? 3 5.盒子中装有形状、大小完全相同的 3 个红球和 2 个白球,从中随机 取出一个记下颜色后放回,当红球取到 2 次时停止取球.那么取球次 S ? S ?a 数恰为 3 次的概率是

18 125 44 (C) 125
(A)

36 125 81 (D) 125
(B)

n ? n ?1 a ?a?2
否 是 输出 S 结束

???? ??? ? 6.在△ABC 中,∠BAC=90? 是 BC 中点,AB=4,AC=3,则 AD ? BC = ,D
(A) ?7 (C)

7 (B) ? 2
(D) 7

7 2

7.已知函数 y ? sin ax ? b (a ? 0) 的图象如图所示,则函数 y ? loga ( x ? b) 的图象可能是

丰台区高三二模数学(理科)第 1 页 共 10 页

(A)

(B)

(C)

(D)

8.已知平面上四个点 A1 (0,0) , A2 (2 3,2) , A3 (2 3 ? 4, 2) , A4 (4,0) .设 D 是四边形 A1 A 2 A3 A4 及其内 部的点构成的点的集合,点 P 是四边形对角线的交点,若集合 S ? {P ? D | | PP |?| PAi | , i ? 1, 2,3, 4}, 0 0 则集合 S 所表示的平面区域的面积为 (A) 2 (B) 4

(C) 8

(D) 16

第二部分 (非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在极坐标系中,圆 ? ? 2sin ? 的圆心的极坐标是____.
10. 已知椭圆

x2 y2 则该椭圆的离心率为______. ? 2 ? 1 (m ? 7) 上一点 M 到两个焦点的距离分别是 5 和 3, m2 m ? 7
P C
2007 41

11.如图所示,AB 是圆的直径,点 C 在圆上,过点 B,C 的切线交于点 P,AP 交圆
于 D,若 AB=2,AC=1,则 PC=______,PD=______.

12.某地区恩格尔系数 y (%) 与年份 x 的统计数据如下表: 年份 x 恩格尔系数 y(%) 2004 47 2005 45.5 2006 43.5

D

A

B

? ? 从散点图可以看出 y 与 x 线性相关,且可得回归方程为 y ? bx ? 4055.25 ,据
此模型可预测 2012 年该地区的恩格尔系数(%)为______.

丰台区高三二模数学(理科)第 2 页 共 10 页

13.从 5 名学生中任选 4 名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,且每科竞赛只有 1 人参加,若甲 不参加生物竞赛,则不同的选择方案共有 种. 14. 在平面直角坐标系中,若点 A , B 同时满足:①点 A , B 都在函数 y ? f ( x) 图象上;②点 A , B 关 于原点对称,则称点对( A , B )是函数 y ? f ( x) 的一个“姐妹点对” (规定点对( A , B )与点对( B , A ) 是同一个“姐妹点对” .那么函数 f ( x) ? ? )

? x ? 4, x ? 0, 的“姐妹点对”的个数为_______;当 2 ? x ? 2 x, x ? 0,

函数 g ( x) ? a x ? x ? a 有“姐妹点对”时, a 的取值范围是______.

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? cos x( 3 cos x ?sin x) ? 3 . (Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ] 上的最小值,并求使 y ? f ( x) 取得最小值时的 x 的值.

? 3

? 2

16.(本小题共 13 分) 某商场举办促销抽奖活动,奖券上印有数字 100,80,60,0.凡顾客当天在该商场消费每超过 1000 . 元,即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张,商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金(单位:元) .设奖券 上的数字为 ξ,ξ 的分布列如下表所示,且 ξ 的数学期望 Eξ=22. ξ P 100 0.05 80 a 60 b 0 0.7

(Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)若某顾客当天在商场消费 2500 元,求该顾客获得奖金数不少于 160 元的概率.

丰台区高三二模数学(理科)第 3 页 共 10 页

17.(本小题共 14 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为矩形,平面 ABEF⊥平面 ABCD, EF // AB,∠BAF=90? , AD= 2,AB=AF=2EF =1,点 P 在棱 DF 上. (Ⅰ)若 P 是 DF 的中点, (ⅰ) 求证:BF // 平面 ACP; (ⅱ) 求异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值; (Ⅱ)若二面角 D-AP-C 的余弦值为

6 ,求 PF 的长度. 3

F E P

A

D

B

C

18.(本小题共 13 分) 已知数列{an}满足 a1 ? 4 , an?1 ? an ? p ? 3n ? 1 (n ?N? ,p 为常数), a1 , a2 ? 6 , a3 成等差数列. (Ⅰ)求 p 的值及数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}满足 bn ?

4 n2 ,证明: bn ? . 9 an ? n

19.(本小题共 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 C 的焦点在 y 轴上, 且抛物线上的点 P(x0, 4)到焦点 F 的距离为 5. 斜 率为 2 的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点. (Ⅰ)求抛物线 C 的标准方程,及抛物线在 P 点处的切线方程; (Ⅱ) AB 的垂直平分线分别交 y 轴和抛物线于 M, 两点 若 N (M, 位于直线 l 两侧) 当四边形 AMBN N , 为菱形时,求直线 l 的方程.

20.(本小题共 13 分) 设函数 f ( x) ? x ln x ? (a ? x) ln(a ? x) (a ? 0) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)证明:对 ? x1,x2∈R+,都有 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ( x1 ? x2 ) ?ln( x1 ? x2 ) ? ln 2? ; (Ⅲ)若

? xi ? 1 ,证明: ? xi ln xi ? ? ln 2n
i ?1 i ?1

2n

2n

. (i ,n?N* )

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)
丰台区高三二模数学(理科)第 4 页 共 10 页

北京市丰台区 2012 年高三二模


题号 答案 1 D 2 A

学(理科)参考答案
3 C 4 D 5 B 6 B 7 C 8 B

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. (1,

?
2

)

10.

7 4

11. 3 ,

3 7 7

12.31.25 13. 96 14.1, a ? 1 注:第 11 题第一个空答对得 2 分,第二个空答对得 3 分;第 14 题第一个空答对得 3 分,第二个空答对得 2 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.解:因为 f ( x) ? cos x( 3 cos x ? sin x) ? 3 = 3 cos x ? sin x cos x ? 3
2

= 3(

1 ? cos 2 x 1 ) ? sin 2 x ? 3 2 2



3 1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 2 2 2 ? 6 3 . 2

= cos(2 x ? ) ?

(Ⅰ) f ( ) ? cos(2 ?

? 3

? ? 3 ? )? 3 6 2
????????7 分

=?

3 3 ? ? ? 3. 2 2
? 2

(Ⅱ)因为 x ? [0, ] , 所以

? ? ?? ? 2x ? ? . 6 6 6
? 5? 3 ? ? ,即 x ? 时,函数 y ? f ( x) 有最小值是 ?1 ? . 6 12 2
????????13 分

当 2x ?

当x?

5? 3 时,函数 y ? f ( x) 有最小值是 ?1 ? . 12 2

16.解:(Ⅰ)依题意, E? ? 100 ? 0.05 ? 80a ? 60b ? 0 ? 0.7 ? 22 ,
丰台区高三二模数学(理科)第 5 页 共 10 页

所以 80a ? 60b ? 17 . 因为 0.05 ? a ? b ? 0.7 ? 1 , 所以 a ? b ? 0.25 . 由 ?

?80a ? 60b ? 17, ?a ? 0.1, 可得 ? ?a ? b ? 0.25, ?b ? 0.15.

????????7 分

(Ⅱ)依题意,该顾客在商场消费 2500 元,可以可以抽奖 2 次. 奖金数不少于 160 元的抽法只能是 100 元和 100 元; 100 元和 80 元; 100 元和 60 元;80 元 和 80 元四种情况. 设“该顾客获得奖金数不少于 160 元”为事件 A, 则 P( A) ? 0.05 ? 0.05 ? 2 ? 0.05 ? 0.1 ? 2 ? 0.05 ? 0.15 ? 0.1? 0.1 ? 0.0375 . 答:该顾客获得奖金数不少于 160 元的概率为 0.0375. 17. (Ⅰ)(ⅰ)证明:连接 BD,交 AC 于点 O,连接 OP. 因为 P 是 DF 中点,O 为矩形 ABCD 对角线的交点, 所以 OP 为三角形 BDF 中位线, 所以 BF // OP, 因为 BF ? 平面 ACP,OP ? 平面 ACP, 所以 BF // 平面 ACP. ????????4 分 (ⅱ)因为∠BAF=90? , 所以 AF⊥AB, 因为 平面 ABEF⊥平面 ABCD, B 且平面 ABEF ∩平面 ABCD= AB, 所以 AF⊥平面 ABCD, 因为四边形 ABCD 为矩形, ????????13 分

F E P

A O C

D

所以以 A 为坐标原点,AB,AD,AF 分别为 x,y,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系 O ? xyz .

1 1 所以 B(1, 0, 0) , E ( , 0,1) , P (0,1, ) , C (1, 2, 0) . 2 2 ??? ? ??? ? 1 1 所以 BE ? (? , 0,1) , CP ? ( ?1, ?1, ) , 2 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? BE ? CP 4 5 ? ??? ? ? 所以 cos ? BE, CP ?? ???? , | BE | ? | CP | 15 B
即异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值为
x

z F E P

A

D y

C

4 5 . 15
(Ⅱ)解:因为 AB⊥平面 ADF, 所以平面 APF 的法向量为 n1 ? (1,0,0) . 设 P 点坐标为 (0, 2 ? 2t , t ) , 在平面 APC 中, AP ? (0, 2 ? 2t, t ) , AC ? (1, 2,0) ,
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????????9 分

??

??? ?

??? ?

所以 平面 APC 的法向量为 n2 ? ( ?2,1,

?? ?

?? ?? ? ?? ?? ? | n1 ? n2 | ? 所以 cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? | n1 | ? | n2 |
解得 t ?

2t ? 2 ), t

2 (?2)2 ? 1 ? ( 2t ? 2 2 ) t

?

6 , 3

2 ,或 t ? 2 (舍) . 3

此时 | PF |?

5 . 3

????????14 分

18.解: (Ⅰ)因为 a1 ? 4 , an?1 ? an ? p ? 3n ? 1 , 所以 a2 ? a1 ? p ? 31 ? 1 ? 3 p ? 5 ; a3 ? a2 ? p ? 32 ? 1 ? 12 p ? 6 . 因为 a1 , a2 ? 6 , a3 成等差数列, 所以 2( a2 ? 6 )= a1 + a3 , 即 6 p ? 10 ? 12 ? 4 ? 12 p ? 6 , 所以 p ? 2 . 依题意, an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 , 所以当 n≥2 时, a2 ? a1 ? 2 ? 31 ? 1 ,

a3 ? a2 ? 2 ? 32 ? 1 ,
??

an?1 ? an?2 ? 2 ? 3n?2 ? 1,
an ? an?1 ? 2 ? 3n?1 ? 1 .
相加得 an ? a1 ? 2(3n?1 ? 3n?2 ? ?? 32 ? 3) ? n ?1, 所以 an ? a1 ? 2
n

3(1 ? 3n?1 ) ? (n ? 1) , 1? 3

所以 an ? 3 ? n . 当 n=1 时, a1 ? 31 ? 1 ? 4 成立, 所以 an ? 3 ? n .
n

????????8 分
n

(Ⅱ)证明:因为 an ? 3 ? n ,
丰台区高三二模数学(理科)第 7 页 共 10 页

所以 bn ?

n2 n2 ? n. (3n ? n) ? n 3
(n ? 1)2 n2 ?2n2 ? 2n+1 ? n= , (n ?N* ) . n +1 n ?1 3 3 3

因为 bn ?1 ? bn ?

若 ?2n +2n ? 1 ? 0 ,则 n ?
2

1? 3 ,即 n ? 2 时 bn?1 ? bn . 2

又因为 b1 ? 所以 bn ?

1 4 , b2 ? , 3 9
????????13 分

4 . 9

19.解: (Ⅰ)依题意设抛物线 C: x2 ? 2 py( p ? 0) , 因为点 P 到焦点 F 的距离为 5, 所以点 P 到准线 y ? ?

p 的距离为 5. 2 p ? 1, p ? 2 . 2
????????4 分

因为 P(x0,4),所以由抛物线准线方程可得 所以抛物线的标准方程为 x2 ? 4 y .

1 2 1 x ,所以 y ' ? x ,点 P(± 4,4), 4 2 1 1 所以 y ' |x ??4 ? ? (?4) ? ?2 , y ' |x ? 4 ? ? 4 ? 2 . 2 2
即 y? 所以 点 P (-4,4)处抛物线切线方程为 y ? 4 ? ?2( x ? 4) ,即 2 x ? y ? 4 ? 0 ; 点 P (4,4)处抛物线切线方程为 y ? 4 ? 2( x ? 4) ,即 2 x ? y ? 4 ? 0 .

P 点处抛物线切线方程为 2 x ? y ? 4 ? 0 ,或 2 x ? y ? 4 ? 0 .
(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? 2 x ? m , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

????????7 分

? x2 ? 4 y 2 联立 ? ,消 y 得 x ? 8 x ? 4m ? 0 , ? ? 64 ? 16m ? 0 . ? y ? 2x ? m
所以 x1 ? x2 ? 8 , x1 x2 ? ?4m , 所以

x1 ? x2 y ? y2 ? 4, 1 ? 8? m, 2 2

即 AB 的中点为 Q(4,8 ? m) . 所以 AB 的垂直平分线方程为 y ? (8 ? m) ? ?

1 ( x ? 4) . 2

丰台区高三二模数学(理科)第 8 页 共 10 页

因为 四边形 AMBN 为菱形, 所以 M (0, m ? 10) , M , N 关于 Q(4,8 ? m) 对称, 所以 N 点坐标为 N (8, m ? 6) ,且 N 在抛物线上, 所以 64 ? 4 ? (m ? 6) ,即 m ? 10 , 所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 10 . ????????14 分

20.解: (Ⅰ) a ? 1 时, f ( x) ? x ln x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ,( 0 ? x ? 1 ), 则 f ?( x) ? ln x ? ln(1 ? x) ? ln 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 当0 ? x ?

x . 1? x

1 . 2

1 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, ) 是减函数, 2 2 1 1 当 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 ( ,1) 是增函数, 2 2 1 1 1 所以 f ( x ) 在 x ? 时取得最小值,即 f ( ) ? ln . 2 2 2
(Ⅱ)因为 f ( x) ? x ln x ? (a ? x) ln(a ? x) , 所以 f ?( x) ? ln x ? ln(a ? x) ? ln 所以当 x ?

????????4 分

x . a?x

a 时,函数 f ( x ) 有最小值. 2

? x1,x2∈R+,不妨设 x1 ? x2 ? a ,则

x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? x1 ln x1 ? (a ? x1 ) ln(a ? x1 ) ? 2 ?

x1 ? x2 x ?x ln( 1 2 ) 2 2
????????8 分

? ( x1 ? x2 ) ?ln( x1 ? x2 ) ? ln 2? .
(Ⅲ) (证法一)数学归纳法 ⅰ)当 n ? 1 时,由(Ⅱ)知命题成立. ⅱ)假设当 n ? k ( k∈N*)时命题成立,

即若 x1 ? x2 ? ? ? x2k ? 1 ,则 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ??? x2k ln x2k ? ? ln 2 .
k

当 n ? k ? 1 时,

x1 , x2 ,?, x2k ?1 ?1 , x2k ?1 满足 x1 ? x2 ? ?? x2k?1 ?1 ? x2k?1 ? 1 .
设 F ( x) ? x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ?? x2k?1 ?1 ln x2k?1 ?1 ? x2k?1 ln x2k?1 , 由(Ⅱ)得 F ( x) ? ( x1 ? x2 )ln[( x1 ? x2 ) ? ln 2] ? ?? ( x2k?1 ?1 ? x2k?1 )ln[( x2k?1 ?1 ? x2k?1 ) ? ln 2]
丰台区高三二模数学(理科)第 9 页 共 10 页

= ( x1 ? x2 )ln( x1 ? x2 ) ? ?? ( x2k?1 ?1 ? x2k?1 )ln( x2k?1 ?1 ? x2k?1 ) ? ( x1 ? x2 ? ... ? x2k?1 )ln 2 = ( x1 ? x2 )ln( x1 ? x2 ) ? ?? ( x2k?1 ?1 ? x2k?1 )ln( x2k?1 ?1 ? x2k?1 ) ? ln 2 . 由假设可得 F ( x) ? ? ln 2k ? ln 2 ? ? ln 2k ?1 ,命题成立. 所以当 n ? k ? 1 时命题成立. 由ⅰ),ⅱ)可知,对一切正整数 n∈N*,命题都成立, 所以 若

?x
i ?1

2n

i

? 1 ,则

? x ln x ? ? ln 2
i ?1 i i

2n

n

. (i ,n?N* )

????????13 分

(证法二)若 x1 ? x2 ? ? ? x2n ? 1 , 那么由(Ⅱ)可得

x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ?? x2n ln x2n ? ( x1 ? x2 )ln[( x1 ? x2 ) ? ln 2] ? ?? ( x2n ?1 ? x2n )ln[( x2n ?1 ? x2n ) ? ln 2] ? ( x1 ? x2 )ln( x1 ? x2 ) ? ?? ( x2n ?1 ? x2n )ln( x2n ?1 ? x2n ) ? ( x1 ? x2 ? ... ? x2n )ln 2 ? ( x1 ? x2 )ln( x1 ? x2 ) ? ?? ( x2n ?1 ? x2n )ln( x2n ?1 ? x2n ) ? ln 2 ? ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 )ln( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) ? ?( x2n ?1 ? x2n )ln( x2n ?1 ? x2n ) ? 2ln 2 ? ? ? ( x1 ? x2 ? ... ? x2n )ln[( x1 ? x2 ? ?? x2n ) ? ln 2] ? (n ?1)ln 2 ? ? ln 2n .
????????13 分

(若用其他方法解题,请酌情给分)

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