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江西省九校2013届高三第一次联考数学理科试卷


江西省九校 2015 届高三第一次联考数学试卷(理科)
主命题: 乐平中学 许敏 副命题:余江一中 宋卫华 总分:150 分

时长:120 分钟
注意事项:

答题前考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内。答案填写在答题 .. 卷 上对应题目的答案空格内,答案写在试卷上无效。考试结束后,交回答题卷。 .<

br />
一、选择题(每小题 5 分,合计 50 分.每小题只有唯一正确选项,请填写在答题 纸中相应的位置) 1.已知集合 M ? {x | ?3 ? x ? 5}, N ? {x | x ? ?5或x ? 5} , M ? N 等于( A {x | ?5 ? x ? 5} D {x | x ? ?3或x ? 5} 2.已知向量 a =(1,2) , a ? b =5, | a ? b |? 2 5 ,则 | b | 等于( A、 5 3.定义运算 B、 2 5 C、5 D、25 ) B {x | x ? ?5或x ? ?3} C {x | ?3 ? x ? 5} )

a, b c, d

? ad ? bc ,则符合条件

z, 1 ? 2i 1 ? i, 1? i

? 0 的复数 z 的共轭复数 ....z 对

?

应的点在( ) A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

4.若 x, y ? R, 则“ log2 ?xy ? 4 x ? 2 y ? ? 3 ”是“ x 2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 25 ? 0 ”成立 的条件( ) A.充分不必要 B.充要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要 ? ? (? x + )(?>0)与函数 g ( x) ? cos(2x ? ? )(|? |? ) 的对称轴 5.设函数 f ( x) ? 2 sin 4 2 完全相同,则 ? 的值为( A. ? ) C.

? 4

B.

? 4

? 2

D. ?

? 2

6.某市端午期间安排甲.乙等 5 支队伍参加端午赛龙舟比 赛,若在安排比赛赛道时不将甲安排在第一及第二赛道上, 且甲和乙不相邻,则不同的安排方有( ) A.56 种 B.48 种 C.42 种 D.36 种 7.定义在 R 上的函数 g=f(x)满足 f(4-x)=f(x) , (x -2)f′(x)<0,若 x1<x2,且 x1+x2>4,则( )
1

A、f(x1)<f(x2) B、f(x1)>f(x2) C、f(x1)=f(x2) D、f(x1)与 f(x2)的大小不确定 8,执行如图所示的程序框图,输出的 y 值最接近的是( )

4 2 A, 3

B.

4 3

C. 3

D.

3 2


9.某正多面体的三视图如图所示,该几何体的体积是( A. 8 B.

8 3

C. 4

D.

4 3

10. 设函数 f(x)= ex (sin x ? cosx) (0≤ x ≤2013π ) ,则函数 f(x)的各极 大值之和为(

e? 1 ? e 2013? A. 1 ? e? e? 1 ? e1007 ? C. 1 ? e?

?

? ?



e? 1 ? e1007 ? B. 1 ? e 2?

?

?

?

e? 1 ? e 2014 ? D. 1 ? e 2?

?

?

二、填空题 (每小题 5 分,合计 25 分,请将答案填到答题纸上。其中 15 题为选做 题,若两题都作答,则只按第 1 题给分) 11. ? 2 ? x dx ?
0 4

. .

12.在△ABC 中,AB=7,BC=5,CA=6,则 AB ? BC = 13.设双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 1只有一个公共点,则双 2 a b

曲线的离心率为 14. 以下命题: 1) 若 a ? b ? a ? b , 则 a ∥ b ;

.

1 2) a ? (?1,1) 在 b ? (3,4) 方向上的投影为 ; 5
3)若函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图像关于直线 y ? x 对称, 则 函 数 y ? f ? 2x ? 与 y ?
1 g ? x ? 的图像也关于直线 y ? x 对称; 2

2

1 4)已知△ABC 中, PN ? ( PA ? PB ? PC ) 则向量 ? ( AB ? AC)(? ? 0) 所在直线必 3

过 N 点。 其中所有真命题的序号是 .

? ?x ? c o s 15 . (坐标系与参数方程选做题)曲线 ? (? 为 参 数 ) 与 曲 线 ? ?y ? 1? s i n

? 2 ? 2? cos? ? 0 的交点个数为



(不等式选讲选做题)设函数 f ( x) ? | x ? 1| ? | x ? 2 | ?a ,若函数 f ( x) 的定义 域为 R,则实数 a 的取值范围是 三、解答题(共 6 小题,合计 75 分) 16. (本题满分 12 分) 。

等差数列 {an } 的各项均为正数,a1 ? 3 , 前 n 项和为 Sn ,{bn } 为等比数列, b1 ? 2 , 且 b2 S2 ? 32, b3 S3 ? 120 . (1)求 an 与 bn ;(2)求数列 ?an ? bn ?的前 n 项和 Tn

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=sin(2x-
?
6

)+2cos2x-1(x∈R)

(1) 求 f(x)的单调递增区间。 (2) 在△ABC 中,三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 f(A) = ,b、a、c 成等差数列,且 AB ? AC ? 9 ,求 a 的值。
1 2

18、 (本小题满分 12 分) 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏,按照规则,甲先从 6 道备选题中 一次性抽取 3 道题独立作答, 然后由乙回答剩余题,每人答对其中 2 题就停止答 题,即闯关成功。已知在 6 道被选题中,甲能答对其中的 4 道题,乙答对每道题 的概率都 。 (1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率;
(2)设甲答对题的个数为ξ ,求ξ 的分布列及数学期望。

2 3

3

19. (本题满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 底 面 ABCD , PA ? AB ? 1 , AD ? 3 ,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动. (1)点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系,并说明理由; (2)求证:无论点 E 在 BC 边的何处,都有 PE ? AF ;[ (3)当 BE 为何值时, PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45°.

20.(本小题满分 13 分)如图是由两个全等的圆锥组成的几何体, O1 , O2 分别是 上底面和下底面的圆心,0 是两个圆锥的交点,AB, A1B1 分别是上下底

面的直径,已知 O1O2 ? 4 且 AB= A1B1 =4,现有一个平行于 o1o2 的平面去截这 个连体圆锥,所得到截图的简易图形如图所示。 (1) 求所截得双曲线的离心率 (2) 若点 P 的坐标(0,1) ,过双曲线上焦点 F1 (0.,c)做一条直线与双曲 线交与 E,F 两点,无论直线怎么移动都满足 PE ? PF 为一个定值,求满 足上述条件的双曲线的标准方程.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? x (1)求 f ( x) 的单调区间;
1 1? af ? x ? ? x ? x 2 ? (2)证明 ?a ? ? ? ?,? ? ,有 2 在 (0, ??) 内恒成立 2? ?

(3) n ? N * ,求证:

1 1 1 n ? ? .........? ? ln 2 ln 3 ln(n ? 1) n ? 1

江西省九校 2011 届高三第一次联考数学理科试题答案
4

一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D C A C B C D D 二、填空题 (每小题 5 分,合计 25 分,请将答案填到答题纸上。其中 15 题为选做 题,若两题都作答,则只按第 1 题给分) 2. 4 12. -19 13.

5

14. 1234

15(坐标系与参数方程选做题)2 (不等式选讲选做题) a ? 3 三、解答题(共 6 小题,合计 75 分) 16. (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,

an ? 3 ? (n ? 1)d , bn ? 2qn?1

?S3b3 ? (9 ? 3d )2q 2 ? 120 ?(9 ? 3d )q2 ? 60 依题意有 ? ,即 ? , ? (6 ? d )q ? 16 ? S2b2 ? (6 ? d )2q ? 32
6 ? d ? ? ? ?d ? 2 ? 5 解得 ? (舍去) , , 或者 ? 10 ?q ? 8 ?q? ? 3 ?

故 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ?1, bn ? 2n 。 (2) Tn ? n2 ? 2n ? 2n?1 ? 2 17,1)易得
f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

)

? ?? ? 即 f(x)的单调区间为 ?k? ? , k? ? ?, k ? z ————6 分 3 6? ?
(3) 易得 A ?

?
3

,由 b,a,c 成等差数列得 2a=b+c

AB? AC ? 9, 所以bccos A ? 9, 所以bc ? 18
由余弦定理得, a2 ? b2 ? c2 ? 2b cos A ? ?b ? c? ? 3bc
2
2 2 所以 a ? 4a ? 3?18,即a ? 3 2 ——————12 分

B、解答: (1)设甲乙闯关成功的事件 A,B.

5

则 p( A) ?

2 c1 1 2 7 ? 2? 1 2 4 ? c2 ? , p( B) ? ?1 ? ? ? c3 ? (1 ? ) 2 ? 3 c6 5 3 3 27 ? 3?

3

则甲乙至少有一人闯关成功的事件是 1 7 128 p( A) ? P( B) ? 1 ? ? ? 15 27 135 ——————6 分 (2)由题意可知, ? 的可能值是 1,2

? P( ? )

1 1 5

2 4 5

1 4 9 ??? ? ? 1? ? 2 ? ? ——————12 分 5 5 5 19..解:(1)当点 E 为 BC 的中点时,EF 与平面 PAC 平行.

∵在△PBC 中,E、F 分别为 BC、PB 的中点,∴EF∥PC. 又 EF?平面 PAC,而 PC?平面 PAC,∴EF∥平面 PAC. (2)证明: 建立如图所示空间直角坐标系, 则

P(0,0,1),B(0,1,0), F(0, , ),D( 3,0,0),
设 BE=x(0≤x≤ 3),则 E(x,1,0), → → 1 1 PE·AF=(x,1,-1)·(0, , )=0,∴ 2 2 ⊥AF. (3)设平面 PDE 的法向量为 1 2 1 2

PE

m=(p,q,1),

?m·→ PD=0 由? → ?m·PE=0

,得 m=(

1 x ,1- ,1). 3 3

→ 而AP=(0,0,1),依题意 PA 与平面 PDE 所成角为 45°, → 2 |m·AP| 所以 sin45°= = ,∴ 2 → |m||AP| 1 1 x +(1- )2+1 3 3 = 1 , 2

6

得 BE=x= 3- 2或 BE=x= 3+ 2> 3(舍). 故 BE= 3- 2时,PA 与平面 PDE 所成角为 45°. 20..解:1)
y 2 x2 如图所示 设双曲线的标准方程为 2 ? 2 ? 1 a b

设 AC=m 所以 O1 C=2-m∵ △ACD∽△AO O1 ∴CD=m
∴a=2? m ∴

y2 x2 ? ?1 (2 ? m)2 b2

在 RT 三角形 O1 CM 中 O1 C=2-m O1 M=2,所以 CM= 4m ? m2 ∴双曲线经过点 M( 4m ? m2 ,2)代入方程可得 解得 b ? a 由于 c ? a ? b
2 2 2

4 4m ? m 2 ? ?1 (2 ? m)2 b2

∴ c ? 2a
2

2

∴离心率 e ?

2 ————————————6 分 2 ,所以可设双曲线的方程为 y 2 ? x2 ? ?

2)由第一问可得双曲线离心率 e ?

设 E 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,F 点的坐标 ( x2 , y2 ) ∴双曲线的上焦点坐标(0, 2? )∴直线 L 的方程为 y ? kx ? 2? 联立方程 y ? kx ? 2? 和 y ? x ? ? 可得
2 2

k 2 x2 ? 2 2? kx ? 2? ? x2 ? ?
、 (k 2 ?1) x2 ? 2 2? kx ? ? ? 0

x1 x2 ?

?
k ?1
2

直线方程可变现为 x ?

y ? 2? 2 2 与 y ? x ? ? 联立的 k
?2? ? k 2 ? ?2 2? y1 ? y2 ? 2 2 k ?1 k ?1

(k ?1) y ? 2 2? y ? 2? ? k ? ? 0 、 y1 y2 ?
2 2 2

?? ? = ( x1 , y1 ?1) ?? ?( x2 , y2 ?1) PE PF ? ? ?? ? = x1 x2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ∴ ?? PE PF

7

?2 2? ?2? ? k 2 ? = 2 + k ?1 k 2 ?1 k 2 ?1

?

=

?2? ? k 2? 2 2? ?k 2? ? ? ? 2 2? 为一个定值 ? 2 ? k 2 ?1 k 2 ?1 k ?1 k 2 ?1 ?
y 2 x2 ? ? 1 ——————13 分 2 2

?

所以 ?? ? 2 2? = ? ∴ ? =2∴

21 解 :1)

f (1x ) ?

1? x x

x ? (0,1)是f ( x)单调递增区间

x ? (1,??)是f ( x)单调递减区间___4 分

5)

af ? x ? ? x ?

1 2 1 2 x 2 即 Q( x) ? x ? aInx ? (a ? 1) x ? o 成立 2

Q(1x ) ? x ?

a ( x ? a )( x ? 1) ? (a ? 1) ? x x

1? ? 又 a ? ? ? ?,? ? , Q(1x ) 在(0,1)小于 0,Q(x) 递减。 2? ?

Q(1x ) 在(1,+ ? )大于 0,Q(x) 递增。
Qmin=Q(1)=1+a-a-1=0
1 1? af ? x ? ? x ? x 2 ? 即 ?a ? ? ? ?,? ? , 有 _-------------------9 2 在 (0, ??) 内恒成立。 2? ?

分-

8

9


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