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高中数学常见思想方法总结


高中常见数学思想方法
我们通常认为数学思想就是人对数学知识的本质认识, 是从某些具体的数学内容和对数 学的认识过程中提炼上升的数学观点,它在认识活动中被反复运用,带有普遍的指导意义, 是建立数学和用数学解决问题的指导思想.而且数学思想方法是数学学科的精髓,是数学素 养的重要内容之一,学生只有领会了数学思想方法,才能有效地应用知识,形成能力,在我们 解决问题、 进行数学思维时,也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.所以我们总结了以下 几种常见的数学方法并附带例题加以说明,让学生对数学思想方法有更深刻的认识.

方法一

函数与方程的思想方法

函数是中学数学的一个重要概念,它渗透在数学的各部分内容中,一直是高考的热点、 重点内容.函数的思想,就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,建立 函数特征,重在对问题的变量的动态研究,从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思 路.方程的思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型 (方程、不等式或方程与不等式的混合组) ,然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问 题获解. 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性 质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研 究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质, 达到化难为易,化繁为简的目的.有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问 题的目的. 高考数学命题近年来经历了以“知识立意”到以“问题立意”再发展为以“能力立意” 的过程,试图体现突出能力与学习潜能的考查,使知识考查服务于能力考查;试图突出数学 的思想方法的层次,即数学思想方法、逻辑学中的方法和具体的数学方法.函数与方程的思 想方法作为基本的数学思想方法之一,在知识的互相联系、互相沟通中起到了纽带作用.因 此,函数与方程的思想方法一直为近几年的高考重点,大小试题中均有体现.用函数与方程 的思想方法解题时,要领悟其实质,充分考虑其可行性,不可生搬硬套.

【例 1】 设等差数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn ,已知 a3 ? 12, S12 ? 0, S13 ? 0 . (1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S1 、 S2 、?、 S12 中哪一个值最大,并说明理由. 【分析】 (1)利用公式 an 与 Sn 建立不等式,容易求解 d 的范围; (2)利用 Sn 是 n 的 二次函数,将 Sn 中哪一个值最大,变成求二次函数中 n 为何值时 Sn 取最大值的函数最值问 题. 【解】 (1) 由 a3 = a1 ? 2d =12,得到 a1 =12-2 d , 所以 S12 =12 a1 +66 d =12(12-2 d )+66 d =144+42 d ? 0,

S13 =13 a1 +78 d =13(12-2 d )+78 d =156+52 d ? 0.
解得: ?

24 ? d ? ?3 . 7

(2)解法一: (函数的思想)

1 1 5 Sn = na1 ? n(n ? 1)d ? dn 2 ? (12 ? d )n 2 2 2

d ? 1? 24 ? ? d ? 1 ? 24 ? ? = ?n ? ? 5 ? ?? ? ? ? 5 ? ?? 2 ? 2? d ?? 2 ? 2 ? d ??
2

2

2

? 1? 24 ? ? 因为 d ? 0 ,故 ? n ? ? 5 ? ? 最小时, Sn 最大. 2? d ?? ? ? ? 1? 24 ? ? 24 1? 24 ? ? d ? ?3 得 6 ? n ? ? 5 ? ? ? 6.5 ,故正整数 n =6 时 ? n ? ? 5 ? ? ? 最 由? 2? d ?? 7 2? d ? ?
小,所以 S6 最大. 解法二: (方程的思想) 由 d ? 0 可知 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a13 . 因此,若在 1 ? n ? 12 中存在自然数 n ,使得 an ? 0 , an?1 ? 0 , 则 Sn 就是 S1 , S2 , ? , Sn 中的最大值.
2

d ? ? S12 ? 0 ?a6 ? 0 ?a1 ? 5d ? ? ? 0 , ?? ?? 2 ? ? S13 ? 0 ?a7 ? 0 ? a1 ? 6d ? 0 ?

故在 S1 、 S2 、?、 S12 中 S6 的值最大. 【点评】 数列的通项公式及前 n 项和公式实质上是定义在自然数集上的函数,因此可 利用函数思想来分析,即用函数方法来解决数列问题;也可以利用方程的思想,利用不等式 关系,将问题进行算式化,从而简洁明快.由此可见,利用函数与方程的思想来解决问题, 要求灵活地运用、巧妙的结合,发展了学生思维品质的深刻性、独创性.

x2 y2 ? ? 1 的左右顶点为 A,B, 【例 1】 在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆 9 5
右顶点为 F,设过点 T( t, m )的直线 TA,TB 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) , 其中 m>0, y1 ? 0, y 2 ? 0 (1)设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹;
2 2

(2)设 x1 ? 2, x 2 ?

1 ,求点 T 的坐标; 3

A

O

F

B

(3)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关). 【解】 (1)由题意知 F (2,0) , A(3,0) ,设 P( x, y) ,则

( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 4
化简整理得 x ?

9 . 2
1 5 1 20 代人椭圆方程分别求出 M ( 2, ) , N ( , ) 3 3 3 9
① ②

(2)把 x1 ? 2 , x 2 ? 直线 AM : y ?

1 ( x ? 3) 3 5 直线 BN : y ? ? ( x ? 3) 6
①、②联立得 T ? 7, (3) T (9, m) , 直线 TA : y ?

? 10 ? ?. ? 3?

m 3(m 2 ? 80) 40 ( x ? 3) ,与椭圆联立得 M (? , 2 ) 2 12 m ? 80 m ? 80 m 3(m 2 ? 20) 20 ( x ? 3) ,与椭圆联立得 N ( 2 ,? 2 ) 6 m ? 20 m ? 20

直线 TB : y ?

20 ? 直线 MN : y ? 2 m ? 20

40 20 ? 2 ? 3(m 2 ? 20) ? m ? 80 m ? 20 x? ? ?, 3(m 2 ? 80) 3(m 2 ? 20) ? m 2 ? 20 ? ? ? m 2 ? 80 m 2 ? 20
2

化简得 y ?

20 10 ? 3(m2 ? 20) ? ?? 2 ?x? ? m2 ? 20 m ? 40 ? m2 ? 20 ?

令 y ? 0 ,解得 x ? 1 ,即直线 MN 过 x 轴上定点 (1,0) . 【点评】 本题主要考查求简单曲线的方程,考查直线与椭圆的方程等基础知识,考查 运算求解能力和探究问题的能力.而且,本题在解决问题时,无论求点的坐标,还是求点 P 的轨迹方程, 都灵活运用了方程的思想, 特别是在证明过程中更是很好地利用方程的有关知 识,使问题画繁为简,华难为易.

方法二

数形结合的思想方法

数形结合,是中学数学最重要的思想方法之一.著名数学家华罗庚先生说: “数与形,本 是相倚依,焉能分作两边飞;数无形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分 家万事休;切莫忘,几何代数流一体,永远联系切莫分离.”这精辟地阐述了数形结合的重 要性,它不仅是一个重要的数学思想,而且是一种重要的解题方法,因而数形结合的能力必 然是历年高考的一个重点.所谓数形结合的思想方法, 就是由数学问题所呈现的条件和结论, 通过研究数式问题的几何意义, 或者研究几何问题的代数意义, 设法沟通数学问题在数量关 系和空间形式的内在联系,使隐含条件明朗化,复杂问题简单化,抽像问题具体化,开拓题 的新思路,以便最终找到解决问题的带有数形信息转换特征的数学方法. 正确利用数形结合,应注意三个原则: (1)等价性原则 数形信息的转换应该是等价的、充要的.要注意由于图形的直观性,往往可以成为严格 推证的启导,但有时不能完整表现数的一般性,考虑问题可能不完备. (2)双向性原则 数形结合的含意是双向的, 即考虑问题既注意代数问题几何化, 也注意几何问题代数化, 而不仅仅指前者. (3)简单性原则 有了解题思路,思考用几何方法,还是代数方法,还是两者兼而用之,要取决于解题的

简单性原则,而不能形而上学地让几何问题代数化,代数问题几何化成为一种机械模式. 运用数形结合的思想方法解题的途径主要有三条: 第一,以形助数:把一些数式的几何意义明朗化,构造出解题的几何模型,突显问题的 直观性,使解题思路变得形像而通畅; 第二,以数助形:利用几何图形或图像图表中隐含的数式特征,构造出解题的代数模型 (必要时建立坐标系),突显问题的本质,另辟解题的捷径; 第三,数形互助:根据问题的需要,将以形助数和以数助形二方面结合运用. 数形结合的应用是广泛的,数与形的结合点主要集中在以下几个方面: 1.研究函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、值域与最值等),可从函数图像 的直观性得到鲜明的启示. 2.利用数轴与坐标系(包括直角坐标系、极坐标系),使数与点对应,使函数与图像、方 程与曲线结合,使代数与几何联结.这样,可利用坐标或向量的运算,探索几何图形的相关 性质;利用函数图像与方程曲线的直观性,探索函数或方程的性质. 3.从统计图表、图像中,收集分析出“数”的信息,由破译的数量关系建立代数模型, 探索相关的结论.这类数形信息的转换能力是近年高考的新亮点. 4.三角函数与单位圆、三角函数曲线的联系. 5.复平面与复数、向量的沟通. 6.利用类比法、换元法(如三角换元)、构造法、坐标法等构造代数问题的几何模型、几 何问题的代数模型,开辟解题的新思路.

,] 【例 1】 (12 年上海模拟)若函数 y ? f ( x)( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x ) ,且 x ? [ ?11

?lg( x ? 1), ? 1 ? 时, f ( x ) ? 1 ? x 2 ,函数 g ( x ) ? ? ? , ? x ?0, ?
[?5,6] 内的零点个数为_________.

x ?1 x?0 0 ? x ?1
,则函数 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 在区间

【答案】 9 【 解 】 由 题 意 , 直 接求 解 会 很 麻 烦 , 且 不 易得 到 正 确 的 答 案 , 所 以该 题 中 求 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 的零点,可以转化为求 f ( x) 与 g ( x) 两函数图像的交点.则画出 f ( x) 与

g ( x) 的图像,由于 f ( x) 在 x ? [ ?1,1] 上为 f ( x) ? 1 ? x2 ,且为周期函数,周期为 2,而 g ( x) 是 分段函数,注意其图像共分为三部分,如图,可等共有 9 个交点,其中有一个易错点,即其中 1 个交点为(1,0)很容易被遗漏.

【点评】 要求 h( x) ? f ( x) ? h( x) 在区间 [?5,6] 内的零点的个数, 可转化为求 f ( x ) 与

h( x) 交点的个数,可以作出图形,观察图形易得交点的个数.本题体现了数形结合的思想,
正是运用数形结合的思想方法解题的途径中的以形助数. 【例2】 函数 y=f(x)的图像为圆心在原点的两段圆弧, 试解不等式 f(x)>f(-x)十 x. 【解】 解法一: (以数助形) 由题意及图像,有 f ( x) ? ?

? 1? x2 ? ?? 1 ? x 2 ?

0 ? x ?1 ?1 ? x ? 0



2 (1)当 0<x≤1 时, f(x)>f(-x)+x 得 1 ? x >- 1 ? ( ? x ) +x, 解得 0<x<
2

2 5 ; 5

2 (2)当-1≤x<0 时, 得- 1 ? x > 1 ? ( ? x ) +x, 解得-1≤x<-
2

2 5 , 5

∴ 原不等式的解集为[-1, - 解法二: (数形互助)

2 5 2 5 )∪(0, ). 5 5

由图象知 f(x)为奇函数, 原不等式为 f(x)> ∴

x x 2 5 , 而方程 f(x)= 的解为 x=± , 2 2 5

据图像可知原不等式解集为[-1, -

2 5 2 5 )∪(0, ). 5 5

【点评】 本题以形看数(解式,奇偶性) ,以数解形(曲线交点 A、B) ,最后以形解数 (不等式) ,这才是真正意义上的数形结合,扬长避短.

方法三

分类讨论的思想方法

分类讨论的思想方法是中学数学的基本思想方法,同时也是一种化整为零、各个击破、 整合结论的解题策略.在分析和解决数学问题中,运用分类讨论思想可以将问题的条件与结 论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚、十分准确.在解决对像为可变的数 量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用.有关分类讨论思想的数学问题 贯穿于高中数学的各个部分,形式多样、综合性强,对于培养学生思维的缜密性、条理性、 深刻性有着十分重要的作用.因此,分类讨论一直是高考命题的热点之一,也是每年必考的

重要数学思想方法之一. 1.通常引起分类讨论的原因,大致可归纳为如下几点: (1)涉及的数学概念是分类定义的; (2)涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的; (3)涉及题中所给的限制条件或研究对像的性质而引起的; (4)涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的; (5)涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的; (6)一些较复杂或非常规的数学问题,需要采用分类讨论的解题策略解决的. 2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步: (1)确定讨论的对像及其范围; (2)确定分类讨论的标准,正确进行分类; (3)逐类讨论,分级进行; (4)归纳整合,作出结论. 其中最重要的一条是“不漏不重”.学生必须对相关知识点或涉及的概念、定义、定理 相当清楚,对于一些结论成立的条件掌握牢固,这样才能在解题时思路清晰,才能知道何时 必须进行分类讨论,而何时无须讨论,从而可以知道怎样进行分类讨论.在分类过程中要注 意按照一个统一的标准,这样才能做到不重复不遗漏,考虑问题要周到缜密,特别是对于一 些特殊情况要考虑慎重,养成严谨的学习态度和思想作风.

x2 【例 1】 年上海二模) Q( x, y ) 是函数 y ? (12 点 点 ? 1 图像上的任意一点, P(0,5) , 2
则 P 、 Q 两点之间距离的最小值是______________. 【答案】

11
x2 x2 2 ? 1 ? 0 时, y ? 1 ? , PQ ? x 2 ? ( y ? 5)2 ? ( y ? 6)2 ? 9 . 2 2

【解】 ① 当

y ? 6 ? ?3 时,即 y=9 或 y=3, PQ 取最小值 0,但 x2 ? 2 ? 2 y 都为负数,∴不成立;
②当

x2 x2 2 ? 1 ? 0 时, y ? ? 1 , PQ ? x 2 ? ( y ? 5) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 11 .当 y=4 时, PQ 取 2 2

最小值为 11 .综上所述, P 、 Q 两点之间距离的最小值为 11 . 【点评】 由于题中给出的是绝对值函数,需要利用分类讨论的思想去掉绝对值,然后 再求解.体现了数学概念是分类定义的而引起的分类讨论.

【例 2】设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和 Sn ? 0(n ? 1, 2,3,?) ,求 q 的取值范 围. 【分析】在应用等比数列前 n 项和的公式时,由于公式的要求,分 q =1 和 q ≠1 两种 情况. 【解】? {an } 是等比数列,且前 n 项和 Sn ? 0(n ? 1, 2,3,?) ,

? a1 ? S1 ? 0 ,且 q ? 0
当 q ? 1 时, Sn ? na1 ? 0 ; 当 q ? 1 时, Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1 ? qn ? 0 ,即 ? 0(n ? 1, 2,3,?) . 1? q 1? q
①或 ?

上式等价于 ?

?1 ? q n ? 0 ? 1? q ? 0

?1 ? q n ? 0 ? 1? q ? 0

②,

由①得 q ? 1 ,由②得 ?1 ? q ? 1 ,

? q 的取值范围为 ? ?1,0? ? ? 0, ??? .
【点评】本题正是分类讨论中运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的体 现.

【例 3】设集合 A ={1,2,3,4,5,6}, B ={4,5,6,7,8},则满足 S ? A 且 S ? B ? ? 的集合 S 的 个数是 A.57 【答案】 B 【解】 由题意得 S 中必含有 4,5,6 中至少一个元素,而元素 1,2,3 可以任意含有,则可按 B.56 C.49 ( D.8 )

S 中所含元素个数分类:
1 (1) 当 S 中只含有 4,5,6 中的一个元素时,有 C3 种,而 1,2,3 可构成集合 2 个,
3

1 故 S 有 C3 ? 23 ? 3 ? 8 ? 24 (个); 2 (2) 当 S 中只含有 4,5,6 中的两个元素时,有 C3 种,而 1,2,3 可构成集合 2 个, 2 故 S 有 C3 ? 23 ? 3? 8 ? 24 (个); 3 (3) 当 S 中只含有 4,5,6 中的三个元素时,有 C3 种,而 1,2,3 可构成集合 2 个, 3 故 S 有 C3 ? 23 ? 8 (个).
3 3

故集合 S 的可能个数为 24+24+8=56. 【点评】本题正是由于题中所给的限制条件或研究对像的性质而引起的分类讨论.

【例 4】已知实数 a ? 0 ,函数 f ? x ? ? ? 值为________. 【答案】

? 2 x ? a, x ? 1, 若 f ?1 ? a ? ? f ?1 ? a ? ,则 a 的 ?? x ? 2a, x ? 1.

?

3 4

【解】首先讨论 1 ? a , 1 ? a 与 1 的关系. 当 a ? 0 时, 1 ? a ? 1 , 1 ? a ? 1 ,所以 f ?1 ? a ? ? ? ?1 ? a ? ? 2a ? ?1 ? a ;

f ?1 ? a ? ? 2(1 ? a) ? a ? 3a ? 2 .
因为 f ?1 ? a ? ? f ?1 ? a ? ,所以 ?1 ? a ? 3a ? 2 ,所以 a ? ?

3 ; 4

当 a ? 0 时, 1 ? a ? 1 , 1 ? a ? 1 ,所以 f ?1 ? a ? ? 2 ?1 ? a ? ? a ? 2 ? a ;

f ?1? a ? ? ?(1? a) ? 2a ? ?3a ?1 .
因为 f ?1 ? a ? ? f ?1 ? a ? ,所以 2 ? a ? ?3a ? 1 ,所以 a ? ? 综上,满足条件的 a ? ?

3 (舍去). 2

3 . 4

【点评】本题的解题关键在于讨论 1 ? a ,1 ? a 与 1 的关系,正是体现了数学问题中参 变量的不同取值导致不同结果而引起的分类讨论. 【例 5】如图所示,在△ AOB 中,点 A (2,1) B (3,0) , ,点 E 在射线 OB 上自 O 开始移动.设 OE ? x ,过 E 作 OB 的垂线 l l,记△ AOB 在直线 l 左边部分的面积为 S ,则 函数 S ? f ? x ? 的图象是 ( )

【答案】 D

1 1 1 ? x ? x ? x 2 ,是开口向上的抛物线,且 f ? 2? ? 1 ; 2 2 4 1 1 1 2 当 2 ? x ? 3 时, f ? x ? ? ? 2 ?1 ? ? x ? 2 ?? 3 ? x ? 1? ? ? x ? 3 x ? 3 ,是开口向下,以 2 2 2
【解】当 0 ? x ? 2 时, f ? x ? ?

? 3? ? 3, ? 为顶点的抛物线; ? 2?
当 x ? 3 , f ? x ? 是确定的常数,图象为直线. 【点评】本题正是图形运动造成,不同时段,面积有所不同,正是体现了几何图形的形 状、位置的变化而引起的分类讨论问题.

方法四

概括归纳的思想方法

概括是在思维中将同一种类型的对像共同的本质属性集中起来, 结合为一般类型的属性. 归纳是一种逻辑型的思维形状,是从几个特殊情形做出一般结论的不完全的属性.一类是性 质和法则的归纳,如数列的基本性质,对数运算的法则的归纳过程;另一类是解题方法的归 纳,如向量在物理中的应用等;第三类是归纳猜想,如由表格所给数据归纳几个连续奇数的 和等. 在上海主要体现在“归纳——猜想——证明”中,是发现数学规律,并用数学归纳法证 明的完整过程.在近几年的高考中,都有这种找规律的题,考生不易得分,需要考生加强这

方面的训练. 【 例 1 】 ( 12 年 上 海 模 拟 ) 在 证 明 恒 等 式

12 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ?

1 n(n ? 1)(2n ? 1)(n ? N * ) 时 , 可 利 用 组 合 数 表 示 n2 , 即 6

2

2 n2 ? 2Cn?1 ? Cn 1n ? N * ) 推 (

.





















? n(n ? 1) ? 3 * 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? ? ? (n ? N ) 时 , 也 可 以 利 用 组 合 数 表 示 n 推 得 . 则 ? 2 ?
n3 =____________.
【答案】 6C3+1+C1 n n
2 1 【解】 由题意得:n2=2Cn+1-Cn=n(n+1)-n=n2+n-n,则由类比推理可得,∴n3

=n3-n+n=n(n+1)(n-1)+n=6C3+1+C1. n n 【点评】 此题利用了类比推理以及归纳、猜想思想,从已知条件中得到规律,用到问 题中去,从而得到结论. 【例 2】 在数列{ an }中,a1 =13 , 且前 n 项的算术平均数等于第 n 项的 2 n -1 倍 n ∈ ( N*) . (1)写出此数列的前 5 项; (2)归纳猜想{ an }的通项公式,并用数学归纳法证明. 【分析】 (1)利用数列{ an }前 n 项的算术平均数等于第 n 项的 2 n -1 倍,推出关系式, 通过 n =2,3,4,5 求出此数列的前 5 项; (2)通过(1)归纳出数列{ an }的通项公式,然后用数学归纳法证明.第一步验证 n =1 成立;第二步,假设 n = k 猜想成立,然后证明 n = k ? 1 时猜想也成立.

1 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an , =(2 n -1) an ,分别取 n =2,3, 3 n 1 1 1 1 1 1 ? , a3 ? ? a1 ? a2 ? ? ? 4,5,得 a2 ? a1 ? , 5 3 ? 5 15 14 5 ? 7 35 1 1 1 1 1 1 a4 ? ? , a5 ? ? , ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? 27 7 ? 9 63 44 9 ?11 99 1 1 1 1 1 所以数列的前 5 项是: a1 ? , a2 ? , a3 ? , a4 ? , a5 ? . 15 35 63 99 3
【解】 (1)由已知 a1 = (2)由(1)中的分析可以猜想 an ?

1 ( n ∈N*) . (2n ? 1)(2n ? 1)

下面用数学归纳法证明: ①当 n =1 时,猜想显然成立. ②假设当 n = k ( k ≥1 且 k ∈N*)时猜想成立,即 ak ? 那么由已知,得

1 . (2k ? 1)(2k ? 1)

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? (2k ? 1)ak ?1 , k ?1

即 a1 ? a2 ? a3 ? ?? ak ? (2k 2 ? 3k )ak ?1 .所以 (2k 2 ? k )ak ? (2k 2 ? 3k )ak ?1 , 即 (2k ?1)ak ? (2k ? 3)ak ?1 , 又由归纳假设, (2k ? 1) 得

1 ? (2k ? 3)ak ?1 , (2k ? 1)(2k ? 1)

所以 ak ?1 ?

1 ,即当 n ? k ? 1 时,猜想也成立. (2k ? 1)(2k ? 3) 1 成立. (2n ? 1)(2n ? 1)

综上①和②知,对一切 n ∈N*,都有 an ?

【点评】 本题考查数列的项的求法,通项公式的猜想与数学归纳法证明方法的应用, 注意证明中必须用上假设,考查计算能力,分析问题解决问题的能力.正是体现了概括归纳 的思想方法.

方法五

化归与等价变换的思想方法

在解决数学问题时, 常遇到一些问题直接求解较为困难, 需将原问题转化成一个新问题 (相对来说,对自己较熟悉的) ,通过对新问题的求解,达到解决原问题的目的.这一思想方 法我们称之为“转换化归思想”.而转换化归思想的基本原则就是:化难为易,化生为熟, 化繁为简,化未知为已知.? 1.利用转换化归思想解决数学问题时必须明确三个问题: (1)把什么东西进行转换化归,即化归对像; (2)化归转换到何处,即化归转换的目的; (3)如何进行转换化归,即转换化归的方法. 2. 化归与转化常遵循以下几个原则. (1)目标简单化原则:将复杂的问题向简单的问题转化; (2)和谐统一性原则:即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐,在量、形 关系上趋于统一的方向进行,使问题的条件和结论更均匀和恰当;

(3)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经 验和问题来解决; (4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决; (5)正难则反原则:即当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题 的反面去探求,使问题获解. 3.转化与化归常用到的方法 (1)直接转化法:把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. (2)换元法:运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、 方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题. (3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解式)与空间形式(图形)关系,通过互 相变换获得转化途径. (4)构造法: “构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题. (5)坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题,是转化方法的一个重要途 径. (6)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定转化途径. (7)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原 问题. (8)等价问题法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到转化目的. (9)加强命题法:在证明不等式时,原命题难以得证,往往把命题的结论加强,即命 题的结论加强为原命题的充分条件, 反而能将原命题转化为一个较易证明的命题, 比如在证 明不等式时:原命题往往难以得证,这时常把结论加强,使之成为原命题的充分条件,从而 易证. (10)补集法:如果下面解决原问题有困难,可把原问题结果看作集合 A,而包含该问 题的整体问题的结果类比为全集 U,通过解决全集 U 及补集 使原问题得以解决.

化归与等价变换的思想方法所涉及到的具体问题很多很多, 如果不断努力地用这种方法 去解决一些数学问题或数学范畴以外的问题时,往往会出现事半功倍的奇特效果. 【例 1】 设 x 、 y ∈R 且 3x ? 2 y ? 6 x ,求 x ? y 的范围.
2 2 2 2

【解】

方法一:等价转化法(转化为函数问题)

由 6 x ? 2 y 2 ? 3x2 ≥0 得 0≤ x ≤2. 设 k ? x2 ? y 2 ,则 y 2 ? k ? x2 ,代入已知等式得: x ? 6 x ? 2k ? 0 ,
2

即k ? ?

1 2 x ? 3x ,其对称轴为 x =3. 2

由 0≤ x ≤2 得 k ∈[0,4]. 所以 x 2 ? y 2 的范围是:0≤ x 2 ? y 2 ≤4. 方法二:数形结合法(转化为解几何问题) : 由 3x2 ? 2 y 2 ? 6 x 得 ? x ? 1? ?
2

y2 ? 1 ,即表示如图所示椭圆,其一个顶点在坐标原 3 2

点. x 2 ? y 2 的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方.由图可知最小值是 0,距离最 大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点.设圆方程为 x2 ? y 2 ? k , 代入椭圆中消 y 得

8 x 2 ? 6 x ? 2k ? 0 . 由 判 别 式 ? ?3 6 ? k

? 0 k ? 4 , 所 以 x2 ? y 2 的 范 围 是 : 得

0 ? x2 ? y 2 ? 4 .
方法三: 三角换元法,对已知式和待求式都可以进行三角换元(转化为三角问题) :

? x ? 1 ? cos ? y2 ? ? 1 ,设 ? 由 3x ? 2 y ? 6 x 得 ? x ? 1? ? ,则 6 3 y? sin ? ? ? 2 2 3 3 1 x 2 ? y 2 ? 1 ? 2 cos ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? ? 2 cos ? ? cos 2 ? 2 2 2 1 5 ? ? cos 2 ? ? 2 cos ? ? ? ? 0, 4? 2 2
2 2
2

所以 x ? y 的范围是: 0 ? x ? y ? 4 .
2 2 2 2

【点评】本题运用多种方法进行解答,实现了多种角度的转化,联系了多个知识点,有 助于提高发散思维能力.而且各种方法的运用,分别将代数问题转化为了其它问题,属于问 题转换题型,正是体现了熟悉化原则,将不熟悉的知识转化为自己熟悉的知识. 【例 2】设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1、Sn、Sn+2 成等差数列, 则 q=___________. 【答案】-2

【解】 S 2 ? a1 ? a1q , S1 ? a1 , S3 ? a1 ? a1q ? a1q2 ∵ S 2 ? S 3 ? 2S1 ∴ 2a1 ? 2a1q ? a1q 2 ? 2a1 (a1≠0)

∴ q ? ?2 或 q ? 0 (舍去). 【点评】 由于该题为填空题,我们不防用特殊情况来求 q 的值.如: S2 , S1 , S3 成等差, 求 q 的值.这样就避免了一般性的复杂运算.既体现简单化原则, 也是特殊化方法的使用, 正 是转化与化归的思想方法的典型体现。 【例 3】 某射手射击 1 次击中目标的概率是 0.9 他连续射击 4 次且他各次射击是否击 中目标是相互独立的,则他至少击中目标 1 次的概率为_________. 【答案】 0.9999
4 【解】 他四次射击未中 1 次的概率 P = C4 ? 0.14 = 0.1 , 1
4

∴他至少射击击中目标 1 次的概率为 1- P =1- 0.1 =0.9999. 1 【点评】至少击中目标一次的情况包括 1 次、2 次、3 次、4 次击中目标共四种情况, 可转化为其对立事件:一次都未中,来求解.体现了转化与化归的正难则反原则. 【例 4】 对于满足 p ? 2 的所有实数 p , 求使不等式 x ? px ? 1 ? 2 x ? p 恒成立的 x 取值范围. 【解】 原不等式化为 ( x ? 1) p ? ( x ? 1) ? 0 ,令 f ( p) ? ( x ? 1) p ? ( x ? 1) ,它是关
2 2

4

于 p 的一次函数,定义域为 [?2,2] 。由依次函数的单调性知 ?

? f (?2) ? ( x ? 1)(x ? 3) ? 0 ? f (2) ? ( x ? 1)(x ? 1) ? 0

解得: x ? ?1 或 x ? 3 【点评】 本题正是利用主元与参变量的关系,视参变量为主元(即变量与主元的角色换 位),简化问题在求解,正是转化与化归思想的典型体现. 数学思想方法在我们的数学学习中时刻存在着,是我们学习数学不可缺少的一部分.因 为思想蕴涵于数学知识中,又相对超脱于我们所学的数学知识.世上没有不包含任何数学思 想的数学知识, 数学知识的学习过程, 其实是学生数学基础知识与数学思想逐渐形成的过程. 所以在此我们总结了几种常见的数学思想方法, 并且在本书的例题中, 如果用到这几种常见 的数学方法,我们会在“ 【点评】 ”中标注出来,希望帮助大家在一轮复习的同时掌握这些数 学方法.


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