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两角和与差的余弦公开课教案


两角和与差的余弦公式公开课教案
时间:2009 年 3 月 31 日 芷江一中: 禹小容
教学目标 1.理解运用向量知识推导两角差的余弦公式;掌握由差角余弦公式推导和角余弦公式; 2.熟记两角和(差) 的余弦公式, 能运用公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明. 3.培养学生运用旧知识探索新知识的能力,分析问题的能力和逻辑推理能力;培养学生 的观察能力、变换能力、逆向思维和灵活运用知识的能力. 教学重点与难点 教学重点:两角和与差的余弦公式的探索过程及简单应用(正用,逆用,活用). 教学难点:两角和与差的余弦公式推导过程的组织和引导. 教学方法 讲授法、启发引导式教学法 教学过程 1.提出问题 如何计算 15 的值?引导思考: cos15o ? cos(45o -30o ) ;
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学生猜想: cos15o ? cos(45o -30o )=cos45o ? cos30o 即 cos(? -? )=cos? ? cos? ,通过取特殊值 60 ,30 否定猜想.
o o

能不能用 45 ,30 的三角函数值把 cos(45o -30o ) 表示出来呢?
o o

将问题一般化:当 ?,? 是任意角时,能不能用 ?,? 的三角函数值把 cos(? -? ) 表 示出来呢?从而引出课题. 2.尝试探索 运用启发引导式教学法、学生自主探索法、建构思维、分类讨论思想完成整个探索的 过程. 在第一章三角函数的学习当中我们知道, 在设角 ? 的终边与单位圆的交点为 P1 ,cos? 等于角 ? 与单位圆交点的横坐标,也可以用角 ? 的余弦线来表示。 思考 1. 怎样联系单位圆上的三角函数线来探求公式? (1) 怎样构造角 ? 和角 ? ? ? ?(注意:要与它们的正弦线、余弦线联系起来.)
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A

(2) 怎样作出角? , ?的正弦线,余弦线和? ? ?的余弦线?
思考 2:怎样联系向量的数量积探求公式? (1)结合图形,明确应该选择哪几个向量,它们是怎样表示的? (2)怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果? 图2

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o

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x

???? ??? ???? ??? ? ? ???? ??? ? OB 预备知识:向量数量积的概念: OA ? OB ? OA ? OB cos ? OA,  ? ???? ??? ? ???? ??? ? 坐标运算:已知OA =(x1,y1 ), OB =(x2 ,y2 ) ,则OA ? OB ? x1x2 ? y1y2 角 终 边 上 点 的 坐 标 : 如 图 (2) , 点 A 的 坐 标 是 ( rcos?,rsin? ) , ???? ???? OA rcos? ,rsin? ), 当 r=1 时,有A( cos?,sin? ), OA cos? ,sin? ), =( =( ???? ??? ? ???? ??? ? OA cos? ,sin? ), OB cos? ,sin? ), OA ? OB cos?cos? +sin?sin? , =( =( = ???? ??? ???? ??? ? ? ???? ??? ? ???? ??? ? OA ? OB ? OA ? OB cos ? OA,  ?? cos ? OA,  ? OB OB ???? ??? ? 为了突破难点( ? -? ? R 与 ? OA OB ??[0,? ] 之间的关系),引导学生进行分类讨 ,  x ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 论.当 ? -? ? [0,? ] 时, ? OA,  ?? ? ? ? ,?OA ? OB ? cos ? OA,  ?? cos(? ? ? ); OB OB

当 ? -? ? [0,? ] 时 , 由 诱 导 公 式 一 可 知 总 可 以 找 到 一 个 角 ? ? [0,2? ) , 使 得

c o ? ? c o?? ? , ) s s(

???? ??? ? 若 ? ? [0,? ] ,则 ? OA OB ?? ? , ,  ???? ??? ? ???? ??? ? ?OA ? OB ? cos ? OA,  ?? cos? =cos(? ? ? ); OB ???? ??? ? 若 ? ? (? ,2? ) ,则 ? OA,  ?? 2? ? ? , OB ???? ??? ? ???? ??? ? ?OA ? OB ? cos ? OA,  ?? cos(2? ?? )=cos? =cos(? ? ? ); OB

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3.得出结论 对任意角 ?,? 有 cos(? -? )=cos? cos? ? sin? sin? , 然后从公式的意义、 名称和记 忆三个方面加强对公式的理解. 提出问题:你能由差角的余弦公式推导出两个角和的余弦值与这两个角的正弦,余弦 值之间的关系吗?引导学生运用赋值法推导出两角和的余弦公式: cos(? +? )=cos? cos? ? sin? sin? .让学生从公式的意义、名称和记忆三个方面阐述对公 式的理解.引导学生将以上两个公式联系起来记忆.培养学生的观察力和对数学的美感. 4.公式应用 例 1.根据两角差的余弦公式求 cos15 的值. 思考 1:你能求 sin 75 的值吗?
0
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思考 2:你能利用差角余弦公式对 cos(900 ? ?)的值吗? 例 2. sin ? ?

4 ? 5 , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , ? 是第三象限角, 求cos(? ? ? )的值. 5 2 13 π 思考:若去掉条件 ? ? ( ,π) ,则对结果及求解过程有什么影响? 2

练习: 1.求下列各式的值. (1) cos 80 cos 20 ? sin 80 sin 20
0 0 0 0

(2) sin 34 sin 26 ? cos 34 cos 26
0 0 0

0

(3)

1 3 cos 150 ? sin150 2 2

2.教材 P127 练习 2 5.课堂小结 两角和与差的余弦公式 cos(? ? ? )=cos? cos? ? sin? sin? 公式的推导:利用向量的知识并结合图形,注意分类讨论思想的运用. 公式的应用:进行简单三角函数式的化简、求值和证明(正用、逆用、活用). 6.布置作业 1、阅读教材 P124—P127 2、教材 137 页 2,3, 4 7.板书设计 两角和与差的余弦公式 例1 例2

cos(? ? ? )=cos? cos? ? sin? sin?
公式的推导:利用向量的知识 公式的应用:正用,逆用,活用 练习

8.后记 由于备课比较充分,本节课的重点和难点处理得比较好,学生容易接受.


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