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2013年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题


2013 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷
(2013 年 3 月 31 日星期日上午 8:30–10:30) 注意事项: 1. 解答本试卷不得使用计算器 一. 填空题 (本题满分 60 分, 前 4 小题每小题 7 分, 后 4 小题每小题 8 分) 1. 若在区间 [2, 3] 上, 函数 f (x) = x2 + bx + c 与 g(x) = x + f (x

) 在 [2, 3] 上的最大值是 . 6 在同一点取相同的最小值, 则函数 x

2. 若 a, b, c, d 为整数, 且 a lg 2 + b lg 3 + c lg 5 + d lg 7 = 2013, 则有序数组 (a, b, c, d) = . 3. 已知函数 y = √ √ (x2 ? 2)2 + (x ? 5)2 + (x2 ? 3)2 + x2 , 则该函数的最小值是 .

4. 已知线段 x + y = 9 (x ≥ 0, y ≥ 0) 分别与 y 轴, 指数函数 y = ax 的图像, 对数函数 y = loga x 的图像, x 轴交于点 A, B, C, D, 其中 a > 0, a ?= 1. 若中间两点恰好三等分线段 AD, 则 a 的值 是 .

5. 如图, 已知椭圆 C :

x2 + y 2 = 1 和 ⊙O : x2 + y 2 = 1, 在椭圆内, 且在 ⊙O 外的区域内 (包括边 25 界) 所含圆的最大半径是 . y

. O

x

6. 关于 m, n 的方程

1 1 1 3 + ? = 的整数解 (m, n) = 2 m n mn 4

.

7. 袋中有 6 只红球与 8 只白球, 任意抓 5 只放入一个 A 盒中, 其余 9 只球放入一个 B 盒中, 则 A 盒中白球个数加 B 盒中红球个数之和不是质数的概率是 (用数字作答).

8. 若在集合 {1!, 2!, 3!, . . . , 99!, 100!} 中删去一个元素后, 余下元素的乘积恰好是一个完全平方 数, 则删去的这个元素是 .

1

二. 解答题 (本题满分 60 分) 9. (本 大 题 共 12 分) 正 整 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 bn , 数 列 {bn } 的 前 n 项 积 为 cn , 且 { } 1 bn + 2cn = 1 (n ∈ N? ), 求数列 中最接近 2013 的数. an

10. (本大题共 12 分) 已知正数 p 及抛物线 C : y 2 = 2px (p > 0), A

(p

6 |OM | 一点, O 为抛物线 C 的顶点, M 为抛物线 C 上任意一点, 求 的最大值. |AM |

) , 0 为抛物线 C 对称轴上

2

( ) 11. (本大题共 18 分) 已知不等式 k(ab + bc + ca) > 5 a2 + b2 + c2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (?) (1) 若存在正数 a, b, c, 使不等式 (?) 成立, 求证: k > 5; (2) 求所有满足下列条件的整数 k: 存在正数 a, b, c 使不等式 (?) 成立, 且凡使不等式 (?) 成 立的任意一组正数 a, b, c 都是某个三角形的三边长.

3

12. (本大题共 18 分) 已知棱长为 1 的正方体 ABCDEF GH(如图), P 为它的 8 个顶点构成 的集合, 对 n ∈ N? , 规定 2n + 1 个有序顶点组 (A0 A1 A2 . . . A2n ) 满足 A0 = A, 且对每个 i ∈ {0, 1, 2, . . . , 2n ? 1}, Ai+1 与 Ai 是 P 中的相邻顶点. (1) 求顶点 A2n 所有可能的位置; (2) 设 S2n 表示 A2n = C 的所有 2n + 1 个有序顶点组 (A0 A1 A2 . . . A2n ) 的个数, 求 S2n . E F A. B C G H

D

4


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