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2014届高三文科数学模拟卷一


南安一中 2014 届高三文科数学模拟卷一
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 1.设 U = {1, 2,3, 4,5}, A = {1,5}, B = {2, 4} ,则 B A. {2,3, 4} B. {2}

CU A = (

) . D. {1,3, 4,5}

C

. {2, 4} ).

2.若(1+2ai)i=1-bi,其中 a,b∈R,则|a+bi|=( A.

1 +i 2

B.

5
1

C.

5 2

D.

5 4

0.2 3.设 a ? log 1 3 , b ? ( ) , c ? 2 3 ,则(

2

1 3

) . C. c<a<b D. b<a<c ) .

A. a<b<c

B. c<b<a

4.在等差数列 {an } 中, a9 = A.24
2

1 a12 ? 6 ,则数列 {an } 的前 11 项和 S11 =( 2
C.66
2

B.48

D.132

5. “函数 f ( x) ? cos ax ? sin ax 的最小正周期为 2? ”是“ a ? ? A.充分不必要条件
2

1 ”的( 2

)

B.必要不充分条件
2

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.抛物线 y ? 4 x 的焦点到双曲线 x 2 ?

y . ? 1 的渐近线的距离是( ) 3
D. 3

A.

1 2

B.

3 2

C. 1

7.某程序框图如图所示,若输出的 S ? 57 ,则判断框内应填入( ). A. k ? 7 ? B. k ? 6 ? C. k ? 5 ? D. k ? 4 ?

8.在 ?ABC 中,角 A, B 均为锐角,且 cos A ? sin B , 则 ?ABC 的形状是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能判断

? x ? 2 y ? 19 ? 0, ? x 9. 设二元一次不等式组 ? x ? y ? 8 ? 0, 所表示的平面区域为 M , 使函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 的 ?2 x ? y ? 14 ? 0 ?
图象过区域 M 的 a 的取值范围是
1

A. [2,9]

B. [2, 10]

C. (2,9)

D. (2, 10)

y A

10.如图,F1,F2 是双曲线 C1: x 2 ?

y2 ? 1 与椭圆 C2 的公共焦 3
F1 O

点,点 A 是 C1,C2 在第一象限的公共点.若|F1F2|=|F1A|,则 C2 的离心率是( A. ) . B.

F2

x

1 3

2 3

C.

1 5

D.

2 5

第 10 题图

11.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都 是腰长为 4 的等腰直角三角形,正视图为直角梯形,则此几何 体的体积 V 为( A. ) . B.

32 3

40 3

C.

16 3

D. 40
第 11 题图

12.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是奇函数且满足

S a 3 f ( ? x) ? f ( x) , f (?2) ? ?3 ,数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 ,且 n ? 2 ? n ? 1 ,(其中 S n 为 ?an ? 2 n n
的前 n 项和) ,则 f (a5 ) ? f (a6 ) ? ( A. ? 3 B. ? 2 ) . C. 3 D. 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.请把答案填在答题卡的横线上. 13.已知向量 a ? ( x,sin x) , b ? (e x , 0) ,若 f ( x) ? a ? b ,则 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 为 .

14. 在 ?ABC 中, 角 A 、B 、 若a ? C 的对边分别是 a 、b 、c , 则角 A 的大小为 .

2 ,b ? 2 ,sin B ? cos B ? 2 ,

15.如图矩形 ORTM 内放置 5 个大小相同的正方形,其中 A, B, C , D 都 在矩形的边上,若向量 BD ? xAE ? yAF ,则 x ? 2 y ? .

16.已知 f ( x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a, b ? R, 满足

f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) , f (2) ? 2, a n ?

f (2 n ) f (2 n ) (n ? N ? ), bn ? (n ? N ? ) , n 2n
2

考查下列结论:① f (0) ? f (1) ;② f ( x) 为偶函数;③数列 ?a n ?为等比数列;④数列 ?bn ? 为等 差数列.其中正确的是 .

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17 .已知公差不为零的等差数列 ?a n ? ,等比数列 ?bn ? ,满足 b1 ? a1 ? 1 ? 2 , b2 ? a 2 ? 1 ,

b3 ? a 4 ? 1 .
(Ⅰ)求数列 ?a n ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 c n ? a n ? bn ,求数列{ c n }的前 n 项和.

18. (本小题满分 12 分)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AC=BC,点 D 是 AB 的中点. A1 C1 (Ⅰ)求证:BC1∥平面 CA1D; (Ⅱ)求证:平面 CA1D⊥平面 AA1B1B; (Ⅲ)若底面 ABC 为边长为 2 的正三角形,BB1= 3 求三棱锥 B1-A1DC 的体积. A D C B1

B 19.(本小题满分 12 分) 随着工业化以及城市车辆的增加,城市的空气污染越越严重,空气质量 指数 API 一直居高不下,对人体的呼吸系统造成了严重的影响.现调查了某市 500 名居民的工作 场所和呼吸系统健康,得到 2 ? 2 列联表如下: 室外工作 有呼吸系统疾病 无呼吸系统疾病 合计 (Ⅰ)补全 2 ? 2 列联表; (Ⅱ)你是否有 95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关;
(Ⅲ)现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看成一个总体, 从中随机的抽取两人,求两人都有呼吸系统疾病的概率. 参考公式与临界值表:K =
2

室内工作

合计

150 100 200

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
3

P(K2≥k0) k0

0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

20.如图,一载着重危病人的火车从 O 地出发,沿射线 OA 行驶,其中 tan ? ? ( a 为正数)公里北偏东 ? 角的 N 处住有一位医学专家,其中 sin ? ?

1 ,在距离 O 地 5a 3

3 ,现有 110 指挥部紧急 5

征调离 O 地正东 p 公里的 B 处的救护车赶往 N 处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车, 并 在 C 处相遇,经测算当两车行驶的路线与 OB 围成的三角形 OBC 面积 S 最小时,抢救最及时. (1)求 S 关于 p 的函数关系; (2)当 p 为何值时,抢救最及时.

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点 O 为圆心, 2 a b 2

椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,且 kOA ? kOB ? ? 积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.

b2 ,判断△AOB 的面 a2

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ,其中 a 为常数. (Ⅰ) 当 a ? ?1 时,求 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)若 f ( x) 在区间(0,e]上的最大值为 ?3 ,求 a 的值; (Ⅲ) 当 a ? ?1 时,试推断方程 f ( x) =

ln x 1 ? 是否有实数解. x 2

4

南安一中 2014 届高三文科数学模拟卷一
一、选择题 1.C 2. C 3.A 4.D 5.B 二、填空题 13. y ? 2ex ? e 三、解答题 17.解析: (Ⅰ) (1) a n ? 2n ? 1 (2) c n ? (2n ? 1)2 n 6.B 7.D 8.B 9.C 10.B 11.B 12.C

14 .

? 6

15.-1

16.①③④

bn = 2n

?????????.6 分

S n ? c1 ? c2 ? c3 ? ... ? cn ? 1? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ... ? (2n ? 1) ? 2n 2S n ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? 24 ? ... ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n?1
\\ -- S S =2 2+ +2 2( 222 + +2 233 + + (2 nn =
n+ +1 1 + +2 2nn)-( 2n n-1 1) ? 2n ???????9 分 (2

= 2+

8(1- 2n- 1 )

1- 2 = - 6 - (2n - 3) 2n+ 1
n+ 1

- (2n - 1) 2n+ 1

A1 B1

C1

\ Sn = 6 + (2n - 3)2

??????12 分

18. (本小题满分 12 分) 证明(1)连接 AC1 交 A1C 于点 E,连接 DE

A D B

C

因为四边形 AA1C1C 是矩形,则 E 为 AC1 的中点又 D 是 AB 的中点,DE∥BC1, 又 DE ? 面 CA1D,BC1 ? 面 CA1D,BC1∥面 CA1????(4分) (2)AC=BC,D 是 AB 的中点,AB⊥CD,又 AA1⊥面 ABC,CD ? 面 ABC,AA1⊥CD,AA1∩AB=A, CD⊥ 面 AA1B1B, CD ? 面 CA1D, 平面 CA1D⊥平面 AA1B1B????????(8分) (3) VB1 ? A1DC ? VC ? A1B1D ,则(2)知 CD⊥面 ABB1B, 所以高就是 CD= 3 ,BD=1, BB1= 3 ,所以 A1D=B1D=A1B1=2,

S ?A1B1D ? 3 , VC ? A1B1D ?

1 3 ? 3 ? 1 ???(12分) 3
5

19. 解析列联表如下 室外工作 有呼吸系统疾病 无呼吸系统疾病 合计 150 50 200 室内工作 200 100 300 合计 350 150 500

·································· 4 分

, ·········· 7 分 所以有 95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关. ············ 8 分 (3)采用分层抽样从室内工作的居民中抽取 6 名进行座谈,有呼吸系统疾病的抽 4 人,记为 A、 B、C、D,无呼吸系统疾病的抽 2 人,记为 E、F,从中抽两人,共有 15 种抽法,A=“从中随机 的抽取两人,两人都有呼吸系统疾病”有 C 4 ? 6 种,P(A)=2/5.
2

12 分

20.解: (1)以 O 为原点,正北方向为 y 轴建立直角坐标系,则直线 OA 的方程为: y ? 3x . 设 N ? x, y ? ,则 x ? 5a sin ? ? 3a , y ? 5a cos ? ? 4a 又 B(p,0) ,∴直线 BC 的方程为: y ? ∴ N (3a, 4a)

4a ( x ? p) 3a ? p

? y ? 3x 12ap 5 ? ( p ? a) , 由? 得 C 的纵坐标 y c ? 4a 3 p ? 5a 3 ? y ? 3a ? p ( x ? p) ?
∴S ?

1 6ap 2 5 | OB | ? | yc |? ,( p ? a) 2 3 p ? 5a 3
25a 2 10a 40 2 6ap2 2ap2 5 ? ]? a , ? , 令t ? p ? a(t ? 0) ∴ S ? 2a[t ? 5 3 p ? 5a 3 9t 3 3 p? a 3
5a 10 a 25a 2 时,上式取等号, , 此时 p ? , 即t ? 3 3 9t
6

(2) 由 (1) 得S ?

∴当且仅当 t ?

∴当 p ? 10a 公里时,抢救最及时.
3

20. 解析:(1)由题意知 e ?

4 2 6 c 2 a 2 ? b2 1 c 1 2 ? 3, ? ,即 a ? b ,又 b ? ? ,∴ e2 ? 2 ? 2 4 a 2 a a 3 1?1
y2 x2 ? ?1 4 3

∴ a2 ? 4, b2 ? 3 ,故椭圆的方程为

4分

? y ? kx ? m ? (II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4

? ? 64m2k 2 ?16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 .
x1 ? x2 ? ? 8mk 4(m2 ? 3) , x ? x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
··················· 7 分

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m2 ?

3(m2 ? 4k 2 ) . ····· 8 分 3 ? 4k 2

3(m2 ? 4k 2 ) 3 4(m2 ? 3) 3 yy 3 3 ? ? ? kOA ? kOB ? ? , 1 2 ? ? , y1 y2 ? ? x1 x2 , 3 ? 4k 2 4 3 ? 4k 2 4 x1 x2 4 4
2m 2 ? 4k 2 ? 3 ,

| AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2

48(4k 2 ? m 2 ? 3) ? (3 ? 4 k 2 ) 2

24(1 ? k 2 ) 3 ? 4 k2

d?

m 1? k
2

? 1?

1 1 3 ? 1? ? 2 4(1 ? k ) 4 2

S ?

1 1 24(1 ? k 2 ) m 1 24(1 ? k 2 ) m 2 | AB | d ? ? ? 2 2 2 2 3 ? 4k 2 1 ? k 2 2 (3 ? 4k )(1 ? k )

1 24m 2 1 24 3 ? 4 k 2 ? ? 3 ················· 12 分 2 (3 ? 4k 2 ) 2 3 ? 4k 2 2

21. 解析:(1) 当 a=-1 时,f(x)=-x+lnx, f′(x)=-1+

1 1? x ? x x
7

当 0<x<1 时,f′(x)>0;当 x>1 时,f′(x)<0. ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数, f ( x) max =f(1)=-1 (2) ∵f′(x)=a+ 4分

1 1 ?1 ? ,x∈(0,e] , ∈ ? , ?? ? x x ?e ?

① 若 a≥ ? ,则 f′(x)≥0, f(x)在(0,e]上增函数 ∴ f ( x) max =f(e)=ae+1≥0.不合题意 ② 若 a< ? ,则由 f′(x)>0 ? a ? 由 f(x)<0 ? a ? ?5 分

1 e

1 e

1 1 >0,即 0<x< ? x a

1 1 1? ? ? 1 ? <0,即 ? <x≤e. 从而 f(x)在 ? 0, ? ? 上增函数,在 ? ? , e ? 为减函数 x a a? ? ? a ?

∴ f ( x) max =f ? ?

? 1? ? 1? ? =-1+ln ? ? ? ? a? ? a?

令-1+ln ? ?

1 ?2 ? 1? ? 1? ?2 ? =-3,则 ln ? ? ? =-2∴ ? = e ,即 a= ?e . a ? a? ? a? 1 e

∵ ?e ?2 < ? , ∴a= ?e 2 为所求 (3) 由(Ⅰ)知当 a=-1 时 f ( x) max =f(1)=-1, ∴|f(x)|≥1 又令 g(x)= ?????8 分

ln x 1 1 ? ln x ,令 g′(x)=0,得 x=e, ? ,g′(x)= x 2 x2
在(0,e)单调递增;当 x>e 时,g′(x)<0,g(x) 在(e,+∞)单调递

当 0<x<e 时,g′(x)>0,g(x) 减∴ g ( x) max =g(e)=

1 1 ? <1, ∴g(x)<1 e 2 ln x 1 ∴|f(x)|>g(x),即|f(x)|> ? x 2 ln x 1 ∴方程|f(x)|= ??12 分 ? 没有实数解. x 2

8


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