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【数学】1.2 应用举例 课件2(人教A版必修5)


第一章 解三角形

1.2

应用举例

应用举例——距离
一、基本概念
解斜三角形中的有关名词、术语: (1)坡度:斜面与地平面所成的角度。 (2)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中,视线在 水平线上方的角叫仰角,视线在水平 线下方的角叫俯角。 (3)方位角:从正北方向顺时针转到目标方向的夹角。

(4)方向角:从指定方向线到目标方向线的水平角。 (5)视角:由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而 成的角 练习:两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm, 灯塔A在观察站C的北偏东30°,灯塔B在观察站C南偏 东60 ° ,则A、B之间的距离为多少? 2a

二、应用举例

例1.设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。 测量者在A的同侧,在其所在的河岸边选定一点C,测出 AC的距离是55m,∠BAC=51o, ∠ACB=75o,求A、 B两点间的距离(精确到0.1m) B 解:如图,在△ABC中, B=180o-(51o+75o)=54o o o AB AC 51 75 A C ? 55m 所以由 sin C sin B

AC sin C 55sin 75 ? ? 65.7(m) 可得 AB ? sin B sin 54
答:A,B两点间的距离约为65.7米。

二、应用举例 例2.A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种 测量两点间的距离的方法。 A B 解:如图,测量者可以在 河岸边选定两点C、D,设 CD=a,∠BCA=α, δ ∠ACD=β,∠CDB=γ, α γ β ∠ADB=δ D a C a sin(? ? ? ) a sin(? ? ? ) AC ? ? ? sin?180 ? ( ? ? ? ? ? )? sin( ? ? ? ? ? ) a sin ? a sin ? BC ? ? ? sin?180 ? (? ? ? ? ? )? sin(? ? ? ? ? )

AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC cos ?
2 2

三、练习 为了测定河对岸两点A、B间的距离,在岸边选定1公里长 的基线CD,并测得∠ACD=90o, ∠BCD=60o,∠BDC=75o, ∠ADC=30o,求A、B两点的距离.

CD 2 3 CD sin 600 6 AD ? ? ;BD ? ? ; 0 0 0 0 cos 30 3 sin( 180 ? 60 ? 75 ) 2 AB ? 30 AD ? BD ? 2 ? AD ? BD ? cos(75 ? 30 ) ? 6 B D A
2 2 0 0

C

三、练习
(2009 宁夏海南卷理) 为 了测量两山顶 M, N 间的 距离,飞机沿水平方向在 A,B 两点进行测量,A, B,M,N 在同一个铅垂 平面内 (如示意图) , 飞机能够测量的数据有俯角和 A, B 间的距离,请设计一个方案,包括:①指出需要测 量的数据(用字母表示,并在图中标出) ;②用文字 和公式写出计算 M,N 间的距离的步骤。

A

? ? 1?
1 2

B
?2

M

N

三、练习

A

? ? 1?
1 2

B

?2
N

M

三、练习

A

? ? 1?
1
2

B

?2
N

M

三、练习 o 如图,一艘船从C处以30 n mile/h的速度往北偏东15 的A 岛行驶,若船在C处测得B岛在北偏西30o的方向,行驶20 min后在D处测得B岛在北偏西45o的方向,到达A岛后又 测得B岛在北偏西60o的方向,试求A岛与B岛的距离。 B 解:依题意可得, o 60 o o ∠BCD=45 , ∠BDA=60 , A o CBD =∠BDA-∠ BCD=15 , n∴∠ mile/h 即是:海里 /每小时 o 45 1 海里是长度单位,其单位符号为 (n mile), CD ? 30 ? ? 10 n mile D 3 10 1 n mile=1852m BD 20 2 ?由 ? ) 一海里约为 可得 BD 3.7 ? 里。 30o (只适用于航程 sin 45 sin15
o o o o 又∵∠ BAD=180 -60 -15 =105 化简得 AB ? 10 6 节是速度单位,单位符号为 (kn), AB n mile/h=(1852/3600)m/s BD BD 6 n mile. 20 2 4 1 kn=1 答:两岛的距离为 10 ? ? ? ? ? sin 60 sin105 sin 75 m/s 6? 2 6? 2 即:1 节 =1海里 /1小时=0.514

6? 2

C

四、小结
解斜三角形应用题的一般步骤是: 1.分析:理解题意,画出示意图 2.建模:把已知量与求解量集中在一个三角形中 3.求解:运用正弦定理和余弦定理,有顺序地解这些三 角形,求得数学模型的解。 4.检验:检验所求的解是否符合实际意义,从而得 出实际问题的解。

方法:
实际问题 → 数学问题(三角形)

→ 数学问题的解(解三角形)→ 实际问题的解

练习1.一艘船以32.2n mile / h的速度向正北航 行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向, 30min后航行到B处,在B处看灯塔在船的北偏 东65o的方向,已知距离此灯塔6.5n mile 以外 的海区为航行安全区域,这艘船可以继续沿正 北方向航行吗? 解:在?ASB中,?SBA=115?,

?S ? 45?,由正弦定理得 AB sin 20? 16.1sin 20? SB ? ? ? 7.787( n mile ) sin 45? sin 45? 设点S到直线AB的距离为h, 则 h ? SB sin 65? ? 7.06( n mile ) h ? 6.5n mile ? 此船可以继续沿正北方向航行 答:此船可以继续沿正北方向航行

练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计 算油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵 顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间 的夹角为6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到 0.01m). 已 知 △ ABC 中 AB = 1.95m , AC = 最大角度 1.40m ,夹角∠ CAB = 66°20′ ,求 BC.

解:由余弦定理,得

C

答:顶杆BC约长1.89m。

A

66 20?
B

应用举例——高度
一、例题 例3.如图, AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建 筑的最高点,试设计一种测量建筑物高度AB的方法。 解:选择一条水平基线HG,使 H、G、B三点在同一条直线上。 在H、G两点用测角仪器测得A 的仰角分别是?、?, CD=a, 测角仪器的高是h, 那么,在△ACD中,根据正弦 定理可得 CD sin ?ADC a sin ? AC ? ? sin ?CAD sin(? ? ? ) a sin ? sin ? ? AB ? AE ? h ? AC sin ? ? h ? ?h sin(? ? ? )

一、例题 例4.在山顶铁塔上B处测得地面上 一点A的俯角? =54°40′,在塔 底C处测得A处的俯角? =50°1′。 已知铁塔BC部分的高为27.3m, 求出山高CD(精确到1m)

B
C

? ?

D 解:依题意可知,在△ABC中, ∠ABC=90o-?, ∠BAD=? , ∠CAD=? ∴∠BAC=?-? AC ∵根据正弦定理, BC ? sin ?BAC sin ?ABC
BC sin ?ABC BC sin(90 ? ? ) BC cos ? ? AC ? ? ? sin ?BAC sin(? ? ? ) sin(? ? ? )

A

一、例题
∵在Rt△ACD中,

B
C

?
?

CD ? AC sin ?CAD BC cos ? sin ? ? sin(? ? ? ) 27.3cos 54 40' sin 50 1' ? sin(54 40' ? 50 1' ) ? 150(m)
答:山的高度约为150米。 D

A

一、例题 例5.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处 o 时测得公路南侧远处一山顶D在西偏北15 的方向上, o 行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北30 的方向上, o 仰角15 ,求此山的高度CD. D
A
15o 30o

C

B

15o

分析:要测出高CD,只要测出高CD所在的直角三角 形的另一条直角边或斜边的长,根据已知条件,可以计 算出BC的长。

解:在 ?ABC 中, ?A ? 15 ,?C ? 25 - 15 ? 10 BC AB 根据正弦定理: ? , sin A sin C 0 AB sin A 5 sin 15 BC ? ? ? 7 . 4524 ( km ) 0 sin C sin 10 0 CD ? BC ? tan ?DBC ? BC ? tan 8 ? 1047(m) 答:山的高约为 1047米。
0 0 0 0

应用举例——高度 课题导入
前面我们学习了如何测量距离和高度,这些实际上都可 转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题.然而在实 际的航海生活中,人们又会遇到新的问题,在浩瀚无垠 的海面上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和 航向呢?今天我们接着探讨这方面的测量问题.

例题讲解 o 例 一艘海轮从A出发,沿北偏东75 的方向航行67.5n o mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32 的方向 航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从 C o A出发到达C,则此船该沿怎样的方向 32 航行,需要航行多少距离?(角度精确 75o o B 到0.1 ,距离精确到0.01n mile) A 解:∵在△ABC中,∠ABC=180o-75o+32o=137o, ∴根据余弦定理,

AC ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos ?ABC ? 67.52 ? 54.02 ? 2 ? 67.5 ? 54.0 cos137 ? 113.15

根据正弦定理,
BC AC = sin ?CAB sin ?ABC

sinCAB = BC sin ?ABC
AC

= 54.0 sin 137 ?
113 .15

≈0.3255,

所以

CAB =19.0, 75- CAB =56.0答:此船应该沿北偏东 56.1的方向航行,需要航行113.15n mile


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