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江西省南昌市2017届高三第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案


江西省南昌市 2017 届高三第一次模拟 数学(理)试题
第Ⅰ卷(选择题部分 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x y ? lg x} ,集合 B ? { y y ? ( A. ? 2.若复数 z ? A.-1 ) B. (0,1] C. (0,1) D. (1, ??) )

x ? 1} ,那么 A ? (CU B) ?

2 ,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的虚部是( 1 ? i3
B. ?i C.1 D. i

3.已知 ? , ? 均为第一象限的角,那么 ? ? ? 是 sin ? ? sin ? 的( A.充分不必要条件 不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

) D.既不充分也

4.设某中学的高中女生体重 y (单位:kg)与身高 x (单位: cm )具有线性相关关系,根 据一组样本数据 ( xi , yi ) ( i ? 1, 2,3, …, n ) ,用最小二乘法近似得到回归直线方程为
^ y ? 0.85 x ? 85.71 ,则下列结论中不正确的是(



A. y 与 x 具有正线性相关关系 B.回归直线过样本的中心点 ( x, y ) C.若该中学某高中女生身高增加 1 cm ,则其体重约增加 0.85 kg D.若该中学某高中女生身高为 160 cm ,则可断定其体重必为 50.29 kg . 5.若圆锥曲线 C : x ? my ? 1 的离心率为 2,则 m ? (
2 2



A. ?

3 3

B.

3 3

C. ?

1 3


D.

1 3

6.执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为(

A. log 2 10 ?1

B. 2log 2 3 ? 1

C.

9 2

D.6

7.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 则 f (? ? A.-2

?
2

)的周期为 ? ,若 f (? ) ? 1,

3? )?( 2
B.-1

) C.1 D.2

8.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? 2 x ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相交于 A, B 两点,则

cos ?AOB =(



A.

5 10

B. ?

5 10

C.

9 10

D. ?

9 10

9.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:今有甲乙丙三人持钱,甲语乙丙:各将公 等所持钱,半以益我,钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半,我手上就有 90 钱) ;乙复语甲丙,各将公等所持钱,半以益我,钱成七十;丙复语甲乙:各将公等所持钱, 半以益我,钱成五十六,则乙手上有( )钱.

A.28

B.32

C.56

D.70

10.某空间几何体的三视图如图所示(图中小正方形的边长为 1) ,则这个几何体的体积是 ( )

A.

32 3
2

B.

64 3

C.16

D.32

11.抛物线 y ? 8x 的焦点为 F ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是抛物线上的两个动点,若

x1 ? x2 ? 4 ?
A.

2 3 AB ,则 ?AFB 的最大值为( 3
B.



? 3

3? 4

C.

5? 6

D.

2? 3

12.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f (2 ? x) ? f ( x) , 且当 x ? [1, 2] 时,f ( x) ? ln x ? x ? 1 , 若函数 g ( x) ? f ( x) ? mx 有 7 个零点,则实数 m 的取值范围为( )

1 ? ln 2 1 ? ln 2 ln 2 ? 1 ln 2 ? 1 , )? ( , ) 8 6 6 8 1 ? ln 2 1 ? ln 2 , ) C. ( 8 6
A. (

ln 2 ? 1 ln 2 ? 1 , ) 6 8 1 ? ln 2 ln 2 ? 1 , ) D. ( 8 6
B. (

第Ⅱ卷(非选择题部分,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.在多项式 (1 ? 2 x) (1 ? y) 的展开式中, xy 项的系数为
6 5 3

. .

14.已知单位向量 e1 , e2 的夹角为

?? ?? ?

? ?? ? ? ? ? ? ? ? , a ? 2e1 ? e2 ,则 a 在 e1 上的投影是 3

15.如图,直角梯形 ABCD 中, AD ? DC , AD // BC , BC ? 2CD ? 2 AD ? 2 ,若将直 角梯形绕 BC 边旋转一周,则所得几何体的表面积为 .

16.已知 x2 ? y 2 ? 4 ,在这两个实数 x, y 之间插入三个实数,使这五个数构成等差数列,那 么这个等差数列后三项和的最大值为 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 , S3 ? S4 ? S5 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? (?1)n?1 an an?1 ,求数列 {bn } 的前 2 n 项和 T2 n . 18. 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等 级对应关系如下表(假设该区域空气质量指数不会超过 300) 空气质 量指数 空气质 量等级 1 级优 2 级良 3 级轻度污 染 4 级中度污 染 5 级重度污 染 6 级严重污 染

(0,50]

(50,100]

(100,150]

(150, 200]

(200, 250]

(250,300]

该社团将该校区在 2016 年 100 天的空气质量指数监测数据作为样本,绘制的频率分布直方 图如下图,把该直方图所得频率估计为概率.

(1)请估算 2017 年(以 365 天计算)全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算) ; (2)该校 2017 年 6 月 7、8、9 日将作为高考考场,若这三天中某天出现 5 级重度污染,需 要净化空气费用 10000 元,出现 6 级严重污染,需要净化空气费用 20000 元,记这三天净化 空气总费用 X 元,求 X 的分布列及数学期望. 19. 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为等腰梯形,

AB // CD , AD ? DC ? BC ? 2 , AB ? 4 , ?PAD 为正三角形.

(1)求证: BD ? 平面 PAD ; (2)设 AD 的中点为 E ,求平面 PEB 与平面 PDC 所成二面角的平面角的余弦值. 20.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右顶点分别为 A1, A2 ,左、右焦点分别为 a 2 b2

1 F1 , F2 ,离心率为 ,点 B(4, 0) , F2 为线段 A1B 的中点. 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2) 若过点 B 且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 的交于 M , N 两点, 已知直线 A1M 与 A2 M 相 交于点 G ,试判断点 G 是否在定直线上?若是,请求出定直线的方程;若不是,请说明理 由. 21. 已知函数 f ( x) ? (2 x ? 4)e x ? a( x ? 2)2 ( x ? 0, a ? R , e 是自然对数的底数). (1)若 f ( x ) 是 (0, ??) 上的单调递增函数,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? (0, ) 时,证明:函数 f ( x ) 有最小值,并求函数 f ( x ) 最小值的取值范围.

1 2

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 过点 P(a,1) ,其参数方程为 ?

? ? x ? a ? 2t ? ? y ? 1 ? 2t

( t 为参数,

a?R ) ,以 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为

? cos2 ? ? 4cos? ? ? ? 0 .
(1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (2)已知曲线 C1 与曲线 C2 交于 A, B 两点,且 PA ? 2 PB ,求实数 a 的值. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? x ?1 , a ? R . (1)若不等式 f ( x) ? 2 ? x ?1 有解,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 2 时,函数 f ( x ) 的最小值为 3,求实数 a 的值.

理科数学参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 D 5 C 6 B 7 B 8 D 9 B 10 A 11 D 12 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. 120 ; 14.
3 ; 2

15. (3 ? 2 )? ;

16.

3 10 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17. 【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由 S3 ? S4 ? S5 可得 a1 ? a2 ? a3 ? a5 , 即 3a2 ? a5 ,所以 3(1 ? d ) ? 1 ? 4d ,解得 d ? 2 .
? an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得: bn ? (?1)n ?1 ? (2n ? 1)(2n ? 1) ? (?1) n ?1 ? (4n2 ?1) .
2 ? T2n ? (4 ?12 ?1) ? (4 ? 22 ?1) ? (4 ? 32 ?1) ? (4 ? 42 ?1) ? ?? (?1)2n?1 ? ? ?4 ? (2n) ?1? ? 2 2 2 2 2 2 ? 4? ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (2n ?1) ? (2n) ? ?

2n(2n ? 1) ? ?8n2 ? 4n . 2 18.【解析】 (Ⅰ)由直方图可估算 2017 年(以 365 天计算)全年空气质量优良的天数为 ? ?4(1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 2n ? 1 ? 2n) ? ?4 ?
(0.1 ? 0.2) ? 365 ? 0.3 ? 365 ? 109.5 ? 110 (天) .

(Ⅱ) 由题可知,X 的所有可能取值为:0 , 10000 ,20000 ,30000 ,40000 ,50000 ,60000 ,
4 64 1 4 24 1 则: P( X ? 0) ? ( )3 ? , P( X ? 10000) ? C3 ? ? ( )2 ? 5 125 10 5 125 1 4 1 4 108 27 1 P( X ? 20000) ? C32 ? ( )2 ? ( ) ? C3 ? ( ) ? ( )2 ? ? 10 5 10 5 500 125 1 1 1 4 49 1 1 P( X ? 30000) ? ( )3 ? C3 ? ? C2 ? ? ? 10 10 10 5 1000 1 1 1 4 27 2 P( X ? 40000) ? C32 ? ( )2 ? ? C3 ? ( )2 ? ? 10 10 10 5 1000 1 1 3 P( X ? 50000) ? C32 ? ( )2 ? ? 10 10 1000 1 1 . P( X ? 60000) ? ( )3 ? 10 1000

? X 的分布列为

X
P
EX ? 0 ?

0
64 125

10000
24 125

20000
27 125

30000
49 1000

40000
27 1000

50000
3 1000

60000
1 1000

64 48 27 49 27 3 1 ? 10000 ? ? 20000 ? ? 30000 ? ? 40000 ? ? 50000 ? ? 60000 ? 125 250 125 1000 1000 1000 1000 . ? 9000 (元)

19.【解析】 (Ⅰ)在等腰梯形 ABCD 中,过点 D 作 DE ? AB 于点 E , 如图所示:有 AE ? 1, DE ? 3, BD ? 2 3 ∴在 ?ABD 中,有 AB 2 ? AD 2 ? BD 2 ,即 AD ? BD 又因为平面 PAD ? 平面 ABCD 且交线为 AD ,∴ BD ? 平面 PAD .

(Ⅱ) 由平面 PAD ? 平面 ABCD ,且 ?PAD 为正三角形, E 为 AD 的中点, ∴ PE ? AD ,得 PE ? 平面 ABCD . 如图所示,以 D 为坐标原点, DA 所在直线为 x 轴, DB 所在直线为 y 轴,过点 D 平行于 PE 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系.

由条件 AD ? DC ? BC ? 2 ,则 AE ? DE ? 1 , PE ? 3 , BD ? 2 3 . 则 D(0, 0, 0) , E (1,0,0) , B(0, 2 3,0) , P(1, 0, 3) .------- 6 分 在等腰梯形 ABCD 中,过点 C 作 BD 的平行线交 AD 延长线于点 F 如图所示:

则在 Rt?CDF 中,有 CF ? 3 , DF ? 1 ,∴ C (?1, 3,0) . (另解:可不做辅助线,利用 AB ? 2DC 求点 C 坐标) ∴ CD ? (1, ? 3,0) , PD ? (?1,0, ? 3) ,设平面 PDC 的法向量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 )
?? ? ??? ? ? ? n1 ? CD ? x1 ? 3 y1 ? 0 则 ??? ,取 x1 ? 3 ,则 y1 ? 1 , z1 ? ?1 , ? ??? ? ? ?n1 ? PD ? ? x1 ? 3z1 ? 0
??? ? ??? ? ? ? ?

??? ?

????

∴面 PDC 的法向量 n1 ? ( 3,1, ?1) . 同理有 PE ? (0,0, ? 3) , PB ? (?1, 2 3, ? 3) ,设平面 PBE 的法向量 n2 ? ( x2 , y2 , z2 )
?? ? ??? ? ? ? n2 ? PE ? ? 3z2 ? 0 则 ??? , ? ??? ? n ? PB ? ? x ? 2 3 y ? 3 z ? 0 ? ? 2 2 2 2
??? ? ??? ? ?? ?

? ? ?

取 y2 ? 1 ,则 x2 ? 2 3 , z2 ? 0 ,∴面 PBE 的法向量 n2 ? (2 3,1,0) .--10 分 设平面 PEB 与平面 PDC 所成二面角的平面角为 ? ,

?? ?

∴ cos ? ? cos ? n1 , n2 ? ?

?? ? ?? ?

3 ? 2 3 ?1 3 ? 1 ? 1 ? 12 ? 1

?

7 65 . 65
7 65 . 65

即平面 PEB 与平面 PDC 所成二面角的余弦值为

20.【解析】 (Ⅰ)设点 A1 (?a,0), F2 (c,0) ,由题意可知: c ? 又因为椭圆的离心率 e ?
c 1 ? ,即 a ? 2c a 2

?a ? 4 ,即 a ? 4 ? 2c 2





联立方程①②可得: a ? 2, c ? 1 ,则 b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 所以椭圆 C 的方程为 x ?
2

4

y2 ? 1. 3

(Ⅱ)方法一:根据椭圆的对称性猜测点 G 是与 y 轴平行的直线 x ? x0 上. 假设当点 M 为椭圆的上顶点时,直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 4 3 ? 0 ,此时点 N ( , 则联立直线 lA1M : 3x ? 2 y ? 2 3 ? 0 和直线 lA2 N : 3 3x ? 2 y ? 6 3 ? 0 可得点 G(1, 据此猜想点 G 在直线 x ? 1 上,下面对猜想给予证明:
? y ? k ( x ? 4) ? 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,联立方程 ? x 2 y 2 可得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0, ? ? 0 ?1 ? ? 3 ?4
8 3 3 ), 5 5

3 3 ) 2

由韦达定理可得 x1 ? x2 ? 因为直线 l A M : y ?
1

32k 2 64k 2 ? 12 , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

(*)

y1 y2 ( x ? 2) , l A2 N : y ? ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2 y1 y2 3y ? y2 ( x ? 2) ? ( x ? 2)(其中 x 为 G 点的横坐标) 即证: 1 ? , x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

联立两直线方程得

即 3k ( x1 ? 4) ? ( x2 ? 2) ? ?k ( x2 ? 4) ? ( x1 ? 2) ,即证 4 x1 x2 ? 10( x1 ? x2 ) ? 16 ? 0 将(*)代入上式可得
4 ? (64k 2 ?12) 10 ? 32k 2 ? ? 16 ? 0 ? 16k 2 ? 3 ? 20k 2 ? 3 ? 4k 2 ? 0 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

此式明显成立,原命题得证.所以点 G 在定直线上 x ? 1 上. 方法二:设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), G( x3 , y3 ) , x1 , x2 , x3 两两不等,
x12 x2 ) 3(1 ? 2 ) y y y y2 4 ? 4 , ? ? 因为 B , M , N 三点共线,所以 1 ? 2 ? x1 ? 4 x2 ? 4 ( x1 ? 4)2 ( x2 ? 4) 2 ( x1 ? 4) 2 ( x2 ? 4) 2
2 1 2

3(1 ?

整理得: 2 x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 8 ? 0 又 A1 , M , G 三点共线,有:
y3 y1 ? x3 ? 2 x1 ? 2



又 A2 , N , G 三点共线,有:

y3 y2 ? x3 ? 2 x2 ? 2
2 2

② 将①与②两式相除得:
3(1 ?

2 x2 )( x1 ? 2)2 x3 ? 2 y2 ( x1 ? 2) x3 ? 2 2 y2 ( x1 ? 2) ( x ? 2)( x1 ? 2) 4 ? ?( ) ? 2 ? ? 2 2 2 x3 ? 2 y1 ( x2 ? 2) x3 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) y1 ( x2 ? 2) x 3(1 ? 1 )( x2 ? 2)2 4

即(

x3 ? 2 2 ( x2 ? 2)( x1 ? 2) x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ) ? ? , x3 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

x ?2 2 5 ) ?9 将 2 x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 8 ? 0 即 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 代入得: ( 3 x3 ? 2 2

解得 x3 ? 4 (舍去)或 x3 ? 1 ,所以点 G 在定直线 x ? 1 上. 方法三:显然 l 与 x 轴不垂直,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) .
? y ? k ( x ? 4) ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0, ? ? 0 . ? ? 1 ? 3 ? 4

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), G( x3 , y3 ) , x1 , x2 , x3 两两不等,
12 1 ? 4k 2 32k 2 64k 2 ? 12 2 | x ? x | ? ( x ? x ) ? 4 x x ? , , , x x ? 1 2 1 2 1 2 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 y y 由 A1 , M , G 三点共线,有: 3 ? 1 ① x3 ? 2 x1 ? 2

则 x1 ? x2 ?

由 A2 , N , G 三点共线,有: ①与②两式相除得:

y3 y2 ? x3 ? 2 x2 ? 2



x3 ? 2 y2 ( x1 ? 2) k ( x2 ? 4)( x1 ? 2) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 3( x1 ? x2 ) ? 8 1 ? ? ? ?? x3 ? 2 y1 ( x2 ? 2) k ( x1 ? 4)( x2 ? 2) x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 8 3

解得 x3 ? 4 (舍去)或 x3 ? 1 ,所以点 G 在定直线 x ? 1 上. 21.【解析】 (Ⅰ) f '( x) ? 2e x ? (2 x ? 4)e x ? 2a( x ? 2) ? (2 x ? 2)e x ? 2a( x ? 2) , 依题意:当 x ? 0 时,函数 f '( x) ? 0 恒成立,即 记 g ( x) ?
(2 x ? 2)ex ? ?2a 恒成立, x?2

2 xe x ( x ? 2) ? (2 x ? 2)e x (2 x 2 ? 2 x ? 2)e x (2 x ? 2)ex ? ?0, ,则 g '( x) ? ( x ? 2) 2 ( x ? 2) 2 x?2

所以 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,所以 g ( x) ? g (0) ? ?1 ,所以 ?2a ? ?1 ,即 a ? (Ⅱ)因为 [ f '( x)]' ? 2 xe x ? 2a ? 0 ,所以 y ? f '( x) 是 (0, ??) 上的增函数, 又 f '(0) ? 4a ? 2 ? 0 , f '(1) ? 6a ? 0 ,所以存在 t ? (0,1) 使得 f '(t ) ? 0
1 且当 a ? 0 时 t ?1 ,当 a ? 时 t ? 0 ,所以 t 的取值范围是 (0,1) . 2

1 ; 2

又当 x ? (0, t ) , f '( x) ? 0 ,当 x ? (t , ??) 时, f '( x) ? 0 , 所以当 x ? t 时, f ( x)min ? f (t ) ? (2t ? 4)et ? a(t ? 2)2 .且有 f '(t ) ? 0 ? a ? ? ∴ f ( x)min ? f (t ) ? (2t ? 4)et ? (t ? 1)(t ? 2)et ? et (?t 2 ? t ? 2) .
t 记 h(t ) ? et (?t 2 ? t ? 2) ,则 h '(t ) ? et (?t 2 ? t ? 2) ? et (?2t ? 1) ? e ( -t 2 ? t ? 1) ? 0 ,

(t ?1)et t ?2

所以 h(1) ? h(t ) ? h(0) ,即最小值的取值范围是 (?2e, ?2) .
? ? x ? a ? 2t 22.【解析】 (Ⅰ)曲线 C1 参数方程为 ? ? ? y ? 1? 2

,∴其普通方程 x ? y ? a ? 1 ? 0 ,

由曲线 C2 的极坐标方程为 ? cos2 ? ? 4cos ? ? ? ? 0 ,∴ ? 2 cos2 ? ? 4? cos? ? ? 2 ? 0 ∴ x 2 ? 4 x ? x 2 ? y 2 ? 0 ,即曲线 C2 的直角坐标方程 y 2 ? 4 x .
? y2 ? 4x ? ? (Ⅱ)设 A 、 B 两点所对应参数分别为 t1 , t2 ,联解 ? x ? a ? 2t 得 2t 2 ? 2 2t ? 1 ? 4a ? 0 ? ? ? y ? 1 ? 2t

?t1 ? t2 ? 2 ? 要有两个不同的交点,则 ? ? (2 2)2 ? 4 ? 2(1 ? 4a) ? 0 ,即 a ? 0 ,由韦达定理有 ? 1 ? 4a ?t1 ? t2 ? ? 2

根据参数方程的几何意义可知 PA ? 2 t1 , PB ? 2 t2 , 又由 PA ? 2 PB 可得 2 t1 ? 2 ? 2 t2 ,即 t1 ? 2t2 或 t1 ? ?2t2
?t1 ? t2 ? 3t2 ? 2 1 ? ∴当 t1 ? 2t2 时,有 ? 1 ? 4a ? a ? 36 ? 0 ,符合题意. 2 ?t1 ? t2 ? 2t ? ? 2 ?t1 ? t2 ? ?t2 ? 2 9 ? 当 t1 ? ?2t2 时,有 ? 1 ? 4a ? a ? 4 ? 0 ,符合题意. 2 ?t1 ? t2 ? ?2t ? ? 2 9 1 综上所述,实数 a 的值为 a ? 或 . 4 36
2 2

a 23.【解析】 (Ⅰ)由题 f ( x) ? 2 ? x ? 1 ,即为 | x ? | ? x ? 1 ? 1 . 2 a a 而由绝对值的几何意义知 | x ? | ? x ? 1 ?| ? 1| ,------- 2 分 2 2 a 由不等式 f ( x) ? 2 ? x ? 1 有解,∴ | ? 1|? 1 ,即 0 ? a ? 4 . 2

? 实数 a 的取值范围 [0, 4] .------- 5 分

(Ⅱ)函数 f ? x ? ? 2 x ? a ? x ? 1 的零点为
a ? ? ?3 x ? a ? 1( x ? 2 ) ? a ? f ( x) ? ? x ? a ? 1( ? x ? 1) 2 ? ?3 x ? a ? 1 ( x ? 1) ? ?

a a 和 1 ,当 a ? 2 时知 ? 1 2 2

?

------- 7 分

a a 如图可知 f ( x ) 在 (??, ) 单调递减,在 [ , ??) 单调递增, 2 2

? f ( x)min ? f ( a ) ? ? a ? 1 ? 3 ,得 a ? ?4 ? 2 (合题意) ,即 a ? ?4 .
2 2


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