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2016高考


第4讲

平面向量的应用

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1.已知点 A(-2,0),B(3,0),动点 P(x,y)满足PA·PB=x2,则点 P 的轨迹是 ( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 )





解析 PA=(-2-x,-

y),PB=(3-x,-y), ∴PA·PB=(-2-x)(3-x)+y2=x2,∴y2=x+6. 答案 D









→ → → →2 2.在△ABC 中,(BC+BA)· AC=|AC| ,则△ABC 的形状一定是
A.等边三角形 C.直角三角形 解析 由(BC+BA)· AC=|AC|2, 得AC·(BC+BA-AC)=0, 即AC·(BC+BA+CA)=0,2AC·BA=0, ∴AC⊥BA,∴A=90°. 又根据已知条件不能得到|AB|=|AC|, 故△ABC 一定是直角三角形. 答案 C B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

(

)



→ → → →



→ → →

→ →

→ →











3.(2014· 深圳调研)在△ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3,则AB·AC= ( A.2 3 B.2 C.-2 3
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)

D.-2

解析 由余弦定理得 cos A= AB2+AC2-BC2 2AB·AC



22+22-(2 3)2 1 =-2, 2×2×2

所以AB·AC=|AB|·|AC|cos A ? 1? =2×2×?-2?=-2,故选 D. ? ? 答案 D 4.已知|a|=2|b|,|b|≠0,且关于 x 的方程 x2+|a|x-a· b=0 有两相等实根,则向 量 a 与 b 的夹角是 π A.- 6 π B.- 3 π C. 3 2π D. 3 ( )









解析 由已知可得 Δ=|a|2+4a· b=0, 即 4|b|2+4×2|b|2cos θ=0, 2π 1 ∴cos θ=-2,又∵0≤θ≤π,∴θ= 3 . 答案 D

→ 1→ 5. (2015· 杭州质量检测)设 O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心). 若AO=3AB
1→ +3AC,则∠BAC 的度数等于 A.30° B.45° C.60° ( D.90° )

→ → → → → 解析 取 BC 的中点 D,连接 AD,则AB+AC=2 AD.由题意得 3AO=2AD,
∴AD 为 BC 的中线且 O 为重心.又 O 为外心,∴△ABC 为正三角形, ∴∠BAC=60°,故选 C. 答案 C 二、填空题

→ → → → 6.(2015· 广州综合测试)在△ABC 中,若AB·AC=AB·CB=2,则边 AB 的长等
于________.

→ → → → → → → → → 解析 由题意知AB·AC+AB·CB=4,即AB·(AC+CB)=4,即AB·AB=4,
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∴|AB|=2. 答案 2 7.(2014· 天津十二区县重点中学联考)在边长为 1 的正方形 ABCD 中,M 为 BC 的中点,点 E 在线段 AB 上运动,则EC·EM的最大值为________. 解析 以点 A 为坐标原点,AB,AD 所在直线分别为 x,y 轴建立平面直角坐 1? 1? → → ? ? ?1-x,2? 标系, 则 C(1, 1), M?1,2?, 设 E(x, 0), x∈[0, 1], 则EC· EM=(1-x, 1)· ? ? ? ? 1 3 → → =(1-x)2+2,x∈[0,1]单调递减,当 x=0 时,EC·EM取得最大值2. 3 答案 2 8.(2015· 太原模拟)已知向量 a=(cos θ ,sin θ ),向量 b=( 3,-1),则|2a- b|的最大值与最小值的和为________. 解析 π? ? 由题意可得 a· b = 3cos θ - sin θ = 2cos ?θ+ ? ,则 |2a - b| = 6? ? π? ? 8-8cos?θ+ ?∈[0,4],所以|2a-b| 6? ?







(2a-b)2= 4|a|2+|b|2-4a· b= 的最大值与最小值的和为 4. 答案 4 三、解答题

x x x? ? ? ? 9.(2015· 江西五校联考)已知向量 m=? 3sin 4,1?,n=?cos 4,cos24?. ? ? ? ? ?2π ? (1)若 m· n=1,求 cos? -x?的值; 3 ? ? (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a -c)cos B=bcos C,求函数 f(A)的取值范围. x x x 解 m· n= 3sin 4cos 4+cos24 3 x 1 x 1 = 2 sin 2+2×cos 2+2 ?x π ? 1 =sin? + ?+2. ?2 6 ? ?x π ? 1 (1)∵m· n=1,∴sin? + ?=2, ?2 6 ? ? π? ?x π ? 1 cos?x+ ?=1-2sin2? + ?=2, 3? ? ?2 6 ?
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1 ? 2π ? ? π? cos? -x?=-cos?x+ 3 ?=-2. 3 ? ? ? ? (2)∵(2a-c)cos B=bcos C,由正弦定理得 (2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C, ∴2sin Acos B=sin(B+C). ∵A+B+C=π , ∴sin(B+C)=sin A,且 sin A≠0, π 1 ∴cos B= ,B= . 2 3 2π π A π π ∴0<A< 3 .∴ 6 < 2 + 6 < 2 , 1 ?A π ? ? + ?<1. < sin 2 ?2 6 ? ?x π ? 1 又∵f(x)=m· n=sin? + ?+2, ?2 6 ? ?A π ? 1 ∴f(A)=sin? + ?+2, ?2 6 ? 3 故 1<f(A)<2. 3? ? 故函数 f(A)的取值范围是?1,2?. ? ? 10.(2014· 陕西卷)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1),B(2,3),C(3,2), 点 P(x,y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上. (1)若PA+PB+PC=0,求|OP|;









→ → → (2)设OP=mAB+nAC(m,n∈R),用 x,y 表示 m-n,并求 m-n 的最大值.
解 (1)法一 ∵PA+PB+PC=0,







又PA+PB+PC=(1-x, 1-y)+(2-x, 3-y)+(3-x, 2-y)=(6-3x, 6-3y), ?6-3x=0, ?x=2, ∴? 解得? ?6-3y=0, ?y=2, 即OP=(2,2),故|OP|=2 2.











→ → → 法二 ∵PA+PB+PC=0,

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则(OA-OP)+(OB-OP)+(OC-OP)=0,













→ 1 → → → ∴OP=3(OA+OB+OC)=(2,2),
∴|OP|=2 2. (2)∵OP=mAB+nAC, ∴(x,y)=(m+2n,2m+n), ?x=m+2n, ∴? ?y=2m+n, 两式相减得,m-n=y-x, 令 y-x=t,由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取得最大值 1, 故 m-n 的最大值为 1.









能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
1 1 11. (2014· 衡水中学一调)已知|a|=2|b|≠0, 且关于 x 的函数 f(x)=3x3+2|a|x2+a· bx 在 R 上有极值,则向量 a 与 b 的夹角的范围是 π? ? A.?0, ? 6? ? ?π ? C.? ,π ? ?3 ? 解析 设 a 与 b 的夹角为 θ. 1 1 ∵f(x)=3x3+2|a|x2+a· bx. ∴f′(x)=x2+|a|x+a· b. ∵函数 f(x)在 R 上有极值, ∴方程 x2+|a|x+a· b=0 有两个不同的实数根, a2 即 Δ=|a|2-4a· b>0,∴a· b< 4 , 又∵|a|=2|b|≠0, a2 a· b 4 1 1 ∴cos θ=|a||b|<a2=2,即 cos θ<2, 2
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(

)

?π ? B.? ,π ? ?6 ? ?π 2 ? D.? , π ? ?3 3 ?

?π ? 又∵θ∈[0,π],∴θ∈? ,π?,故选 C. 3 ? ? 答案 C

→ 1 → → → → 12.△ABC 外接圆的半径等于 1,其圆心 O 满足AO=2(AB+AC),|AO|=|AC|,
则向量BA在BC方向上的投影等于 3 A.- 2 3 C.2 3 B. 2 D.3





(

)

→ 1 → → 解析 由AO=2(AB+AC)可知 O 是 BC 的中点, 即 BC 为外接圆的直径, 所以
|OA|=|OB|=|OC|, 又因为|AO|=|AC|=1,故△OAC 为等边三角形, 即∠AOC=60°, 由圆周角定理可知∠ABC=30°,且|AB|= 3, 3 → → → 所以BA在BC方向上的投影为|BA|·cos ∠ABC= 3×cos 30°=2,故选 C. 答案 C













→ → → 13.在△ABC 中,∠A=90°,AB=1,AC=2,设点 P,Q 满足AP=λAB,AQ=
(1-λ)AC,λ ∈R.若BQ·CP=-2,则 λ=________.







→ → → → → 解析 ∵BQ=AQ-AB=(1-λ)AC-AB,
CP=AP-AC=λAB-AC,











→ → → → → → ∴BQ·CP=-2?[(1-λ)AC-AB]· [λAB-AC]=-2,
化简得(1-λ)λAC·AB-(1-λ)AC2-λAB2+AB·AC 2 → → → → =-2,又因为AC·AB=0,AC2=4,AB2=1,所以解得 λ=3. 2 答案 3 14.如图所示,已知点 F(1,0),直线 l:x=-1,P 为平面上的一动点,过 P 作













→ → → → 直线 l 的垂线,垂足为点 Q,且QP·QF=FP·FQ.
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(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A, B 两点, 交直线 l 于点 M.已知MA=λ1AF, MB =λ2BF,求λ 1+λ2 的值. 解 (1)设点 P(x,y),则 Q(-1,y), 由QP·QF=FP·FQ,得 (x+1,0)· (2,-y)=(x-1,y)· (-2,y),化简得 P 的轨迹 C 的方程为 y2=4x. (2)设直线 AB 的方程为 x=my+1(m≠0). 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),又 M(-1,-m),
2 ?y =4x, 联立方程? 消去 x,得 ?x=my+1,



→ →











y2-4my-4=0,Δ =(-4m)2+16>0, ?y1+y2=4m, 故? ?y1y2=-4. 由MA=λ1AF,MB=λ2BF,得 2 2 y1+m=-λ1y1,y2+m=-λ2y2,整理,得 2 2 λ 1=-1-my ,λ 2=-1-my ,
1 2









2 1 1 2 y1+y2 所以 λ1+λ2=-2-m(y +y )=-2-m· y y
1 2 1 2

2 4m =-2-m· =0. -4

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