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高中数学 第三章 直线与方程复习提纲素材 新人教A版必修2


必修二

第三章 直线与方程复习提纲

复习知识点: 一.直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角的定义: 2.斜率公式 k ? ,或 已知各直线倾斜角,则其斜率的值为 ⑴当 ? ? 0o 时,则 k ⑶当 ? ? 90o 时,则 k 二.直线的方程: 直线方程的各种形式总结为如下表格: 直线名称 已知条件 点斜式 斜截式 两点式 截距式


,倾斜角 ? 的范围 . ;⑵当 0o ? ? ? 90o 时,则 k ;⑷当 900 ? ? ? 180o 时,则 k



; .

直线方程

使用范围

p0 ( x0 , y0 ), k
k, b

( x1 , y1 ) ( x2 , y 2 )
a, b

三.两直线的位置关系的有关结论: 1.两直线平行: (1)从斜率的角度: (2)从直线一般式的系数: 2.两直线垂直: (1)从斜率的角度: (2)从直线一般式的系数: 3.两直线相交: (1)从斜率的角度: (2)从直线一般式的系数: 4.两直线重合: (1)从斜率的角度: (2)从直线一般式的系数: 四.距离 1.两点之间的距离公式:已知平面上两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,则 p1 p2 ? 特殊地: P( x, y ) 与原点的距离为 op ? 2.点线之间的距离公式:已知点 P( x0 , y0 ) 和直线 l : Ax ? By ? C ? 0 , 则点 P 到直线 l 的距离为 d: . 注意:⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离; ⑵在运用公式时,直线的方程要先化为一般式. 3.两平行直线之间的距离公式:已知两条平行线直线 l1 Ax ? By ? C1 ? 0 , l2 :
Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l2 的距离为 d:
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. .

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学案

注意:应用此公式应注意如下两点: (1)把直线方程化为一般式方程; (2)使 x, y 的系数相等. 4.中点坐标公式:已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB 的中点 M ( x, y) ,则 x ? 五.对称:主要的是点与线对称。 ,y ?

用心

爱心

专心

1

一般地,设点P (a, b)关于直线Ax ? By ? C ? 0对称的点为Q ( x, y ), 则 A ? y ?b (? ) ? ?1( B ? 0) ? ? x?a B ( x, y )应满足以下方程组: ? ?A x ? a ? B y ? b ? C ? 0 ? ? 2 2
典型例题与练习: 例 1 已知三角形的顶点 A(0,5),B(1,-2),C(-6,m),BC 的中点为 D ,当 AD 斜率为 1 时,求 m 的 值及|AD|的长.

5 m?2 解:D 点的坐标为(- , ),∴kAD= 2 2

m?2 ?5 5 5 2 =1.∴m=7.∴D 点坐标为(- , ). 5 2 2 ? ?0 2

∴|AD|= ( ) ? (5 ? ) ?
2 2

5 2

5 2

5 2 . 2

例 2 求经过直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, l 2 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 的交点且平行于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的直线 方程
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19 ? x? ? ?2 x ? 3 y ? 5 ? 0 47 47 ? 13 2x ? y ? ? 0 为所求 解:由 ? ,得 ? ,再设 2 x ? y ? c ? 0 ,则 c ? ? 13 13 ?3x ? 2 y ? 3 ? 0 ?y ? 9 ? 13 ?
例3已知三角形ABC的顶点坐标为A(-1,5) 、B(-2,-1) 、C(4,3) ,M是BC边上的中点. (Ⅰ)求AB边所在的直线方程; (Ⅱ)求中线AM 的长. 解: (Ⅰ)由两点式得 AB 所在直线方程为: 另解:直线 AB 的斜率为: k ? 即 6x-y+11=0.

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y ?5 x ?1 ? ,即 6x-y+11=0. ?1? 5 ? 2 ?1

?1? 5 ?6 ? ? 6 , 直线 AB 的方程为 ? 2 ? (?1) ? 1

y ? 5 ? 6( x ? 1) ,

(Ⅱ)设 M 的坐标为( x0 , y0 ) ,则由中点坐标公式得,

x0 ?

?2?4 ?1? 3 ? 1, y 0 ? ? 1, 2 2
(1 ? 1) 2 ? (1 ? 5) 2 ? 2 5 .

即点 M 的坐标为(1,1) .

故 | AM |?

例 4 一直线被两直线 l1 : 4 x ? y ? 6 ? 0, l 2 : 3x ? 5 y ? 6 ? 0 截得线段的中点是 P 点,当 P 点为

(0, 0)时,求此直线方程

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解:设所求直线 l 与两直线 l1 , l2 分别交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? y1 ? 0, 且x2 ? y2 ? 0 ,又因 为点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 分别在 直线 l1 , l2 上,则得 ?
用心 爱心

? 4 x1 ? y1 ? 6 ? 0 ? 4 x1 ? y1 ? 6 ? 0 ,即 ? ? 3 x2 ? 5 y 2 ? 6 ? 0 ? ?3 x1 ? 5 y1 ? 6 ? 0
专心 2

36 ? x1 ? ? ? ? 23 解得 ? ,所求直线 l 即为直线 AP ,所以 x ? 6 y ? 0 为所求 ?y ? 6 1 ? 23 ?
精选精练:

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一、选择题 1 设直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 a , b 满足(
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A 2 A 3 A C 4 A 5 A 6

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a ?b ?1

B

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a ?b ?1

C

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a?b ? 0

D

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a?b ? 0

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已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行, 则 m 的值为( 0 B ?8
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) C
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2

D

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10


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已知 ab ? 0, bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c 通过( 第一、二、三象限 第一、三、四象限 B D
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第一、二、四象限 第二、三、四象限 ) C
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直线 x ? 1 的倾斜角和斜率分别是(

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450 ,1

B

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1350 , ?1

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90 0 ,不存在

D

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1800 ,不存在

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已知点 A(1, 2), B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是(

) D
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4x ? 2 y ? 5

B

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4x ? 2 y ? 5
1 2 1 ? 2

C

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x ? 2y ? 5


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x ? 2y ? 5

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若 A(?2,3), B (3, ?2), C ( , m) 三点共线 则 m 的值为(
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A 7 A 8 A 9
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1 2
直线



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?2



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2

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x y ? 2 ? 1 在 y 轴上的截距是( 2 a b
B
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) C
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b

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?b 2

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b2

D

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?b


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直线 x cos ? ? y sin ? ? a ? 0 与 x sin ? ? y cos ? ? b ? 0 的位置关系是( 平行 B
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垂直

C

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斜交

D

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与 a, b,? 的值有关 )

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两直线 3x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 平行,则它们之间的距离为(

A

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4

B

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2 13 13

C

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5 13 26

D

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7 10 20

10

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已知点 A(2,3), B(?3, ?2) ,若直线 l 过点 P(1,1) 与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范 )
用心 爱心 专心 3

围是(

A

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k?

3 4

B

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3 ?k?2 4

C

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k ? 2或k ?

3 4

D

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k?2

11

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下列说法的正确的是 A B C D
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经过定点 P 0 x0 ,y0 的直线都可以用方程 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? 表示 经过定点 A?0,b? 的直线都可以用方程 y ? kx ? b 表示 不经过原点的直线都可以用方程

?

?

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x y ? ? 1 表示 a b

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经过任意两个不同的点 P 、P2 ?x2,y2 ? 的直线都可以用方程 1 ?x1,y1 ?

? y ? y1 ?? x2 ? x1 ? ? ? x ? x1 ?? y2 ? y1 ? 表示
12. 若动点 P 到点 F (1,1) 和直线 3x ? y ? 4 ? 0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为( A
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3x ? y ? 6 ? 0

B

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x ? 3y ? 2 ? 0

C

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x ? 3y ? 2 ? 0

D

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3x ? y ? 2 ? 0

二、填空题 1 2
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点 P(1, ?1) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离是________________

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已知直线 l1 : y ? 2 x ? 3, 若 l 2 与 l1 关于 y 轴对称, 则 l 2 的方程为__________; 若 l 3 与 l1 关于 x 轴

对称,则 l 3 的方程为_________;若 l 4 与 l1 关于 y ? x 对称,则 l 4 的方程为___________; 3 4
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2 2 点 P( x, y) 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,则 x ? y 的最小值是________________

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直线 l 过原点且平分平行四边形 ABCD 的面积,若平行四边形的两个顶点为 B(1, 4), D(5, 0) ,
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则直线 l 的方程为________________ 5 6 7
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方程 x ? y ? 1 所表示的图形的面积为_________

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与直线 7 x ? 24y ? 5 平行,并且距离等于 3 的直线方程是____________

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将一张坐标纸折叠一次,使点 (0, 2) 与点 (4, 0) 重合,且点 (7, 3) 与点 (m, n) 重合,则 m ? n 的 值是___________________
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设 a ? b ? k (k ? 0, k为常数) ,则直线 ax ? by ? 1 恒过定点

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直线 x ? y ? 1 ? 0 上一点 P 的横坐标是 3 ,若该直线绕点 P 逆时针旋转 90 得直线 l ,
0

则直线 l 的方程是

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用心

爱心

专心

4

10 11

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一直线过点 M (?3, 4) ,并且在两坐标轴上截距之和为 12 ,这条直线方程是__________ 当0 ? k ?

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1 时,两条直线 kx ? y ? k ? 1 、 ky ? x ? 2k 的交点在 2

象限

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三、解答题 1
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经过点 A(1, 2) 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条? 请求出这些直线的方程
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2

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求经过点 P(1, 2) 的直线,且使 A(2,3) , B(0, ?5) 到它的距离相等的直线方程

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3..求经过点 A(?2, 2) 并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是 1 的直线方程

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4.①求平行于直线 3x+4y-12=0,且与它的距离是 7 的直线的方程; 3 ②求垂直于直线 x+3y-5=0, 且与点 P(-1,0)的距离是 10 的直线的方程. 5

5.直线 x+m y+6=0 与直线(m-2)x+3my+2m=0 没有公共点,求实数 m 的值.

2

6.已知直线 l 被两平行直线 3x ? y ? 6 ? 0 和3x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段长为 3, 且直线过点(1,0) ,求直线 l 的方程.

用心

爱心

专心

5

必修② 第三章 直线与方程复习提纲精选精练答案 一、选择题: 1 3 4 5 6
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D C C

tan ? ? ?1, k ? ?1, ?

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a ? ?1, a ? b, a ? b ? 0 b a c a c y ? ? x ? , k ? ? ? 0, ? 0 b b b b

2

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B

k?

4?m ? ?2, m ? ?8 m?2

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x ? 1 垂直于 x 轴,倾斜角为 90 0 ,而斜率不存在

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B 线段 AB 的中点为 (2, ), 垂直平分线的 k ? 2 , y ? A

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k AB

3 2 ?2 ? 3 m ? 2 1 ? kBC , ? ,m ? 1 3? 2 2 ?3 2

3 ? 2( x ? 2), 4 x ? 2 y ? 5 ? 0 2

7

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B

令 x ? 0, 则 y ? ?b2

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B

cos ? ? sin ? ? sin ? ? (? cos ? ) ? 0

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D 把 3x ? y ? 3 ? 0 变化为 6 x ? 2 y ? 6 ? 0 ,则 d ?

1 ? (?6) 6 ?2
2 2

?

7 10 20

10 12

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C B

3 k PA ? 2, k PB ? , kl ? k PA ,或kl ? k PB 4

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D

斜率有可能不存在,截距也有可能为 0

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点 F (1,1) 在直线 3x ? y ? 4 ? 0 上,则过点 F (1,1) 且垂直于已知直线的直线为所求

二、填空题: 1
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3 2 2
8

d?

1 ? (?1) ? 1 2

?

3 2 2

2

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l2 : y ? ?2x ? 3, l3 : y ? ?2x ? 3, l4 : x ? 2 y ? 3,
?4 2 ?2 2

3

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x 2 ? y 2 可看成原点到直线上的点的距离的平方,垂直时最短: d ?
y? 2 x 3
平分平行四边形 ABCD 的面积,则直线过 BD 的中点 (3, 2)

4 5 6

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2

方程 x ? y ? 1 所表示的图形是一个正方形,其边长为 2

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7 x ? 24 y ? 70 ? 0 ,或 7 x ? 24 y ? 80 ? 0
设直线为 7 x ? 24 y ? c ? 0, d ?

c?5 242 ? 72

? 3, c ? 70, 或 ? 80

7

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44 5

点 (0, 2) 与点 (4, 0) 关于 y ? 1 ? 2( x ? 2) 对称,则点 (7, 3) 与点 (m, n)
用心 爱心 专心 6

23 m?7 ? ?n ? 3 m? ? 1 ? 2( ? 2) ? ? ? 2 ? 5 2 也关于 y ? 1 ? 2( x ? 2) 对称,则 ? ,得 ? ? n?3 ? ? 1 ? n ? 21 ?m ? 7 ? 2 5 ? ?
8
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1 1 ( , ) k k

ax ? by ? 1 变化为 ax ? (k ? a) y ? 1, a( x ? y) ? ky ? 1 ? 0,

对于任何 a ? R 都成立,则 ? 9

?x ? y ? 0 ?ky ? 1 ? 0

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x? y ?7 ? 0
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P(3, 4) l 的倾斜角为 450 ? 900 ? 1350 , tan1350 ? ?1

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4 x ? y ? 16 ? 0 ,或 x ? 3 y ? 9 ? 0
设 y ? 4 ? k ( x ? 3), y ? 0, x ?

?4 ?4 ? 3; x ? 0, y ? 3k ? 4; ? 3 ? 3k ? 4 ? 12 k k 4 1 3k ? ? 11 ? 0,3k 2 ? 11k ? 4 ? 0, k ? 4, 或k ? ? k 3

11.

k ? x? ?0 ? ?ky ? x ? 2k ? k ?1 ,? ? ?kx ? y ? k ? 1 ? y ? 2k ? 1 ? 0 ? k ?1 ?

三。 、解答题 1、解:当截距为 0 时,设 y ? kx ,过点 A(1, 2) ,则得 k ? 2 ,即 y ? 2 x ; 当截距不为 0 时,设

x y x y ? ? 1, 或 ? ? 1, 过点 A(1, 2) , a a a ?a

则得 a ? 3 ,或 a ? ?1 ,即 x ? y ? 3 ? 0 ,或 x ? y ? 1 ? 0 这样的直线有 3 条: y ? 2 x , x ? y ? 3 ? 0 ,或 x ? y ? 1 ? 0
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2、解:当 A(2,3) , B(0, ?5) 在所求直线异侧时, x ? 1 显然符合条件; 当 A(2,3) , B(0, ?5) 在所求直线同侧时, k AB ? 4

? y ? 2 ? 4( x ? 1), 4 x ? y ? 2 ? 0 故所求的直线方程为: 4 x ? y ? 2 ? 0 ,或 x ? 1
3、解:设直线为 y ? 2 ? k ( x ? 2), 交 x 轴于点 (

?2 ? 2, 0) ,交 y 轴于点 (0, 2k ? 2) , k

1 2 2 S ? ? ? 2 ? 2k ? 2 ? 1, 4 ? ? 2k ? 1 2 k k
得 2k ? 3k ? 2 ? 0 ,或 2k ? 5k ? 2 ? 0
2 2

解得 k ? ?

1 , 或 k ? ?2 2
7

用心

爱心

专心

? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,或 2 x ? y ? 2 ? 0 为所求

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4. (1)3x+4y+23=0 或 3x+4y-47=0;(2)3x-y+9=0 或 3x-y-3=0. 5.m=0 或 m=-1; 6.x=1 或 3x-4y-3=0.

用心

爱心

专心

8


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