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2[1].3.1离散型随机变量的均值(第一课时)


一、引入
1.离散型随机变量的分布列:

一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为: x1,x2,…,xi,…,xn X取每一个xi (i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=Pi,则称表:

X
P

x1
P1

x2
P2

… …

xi
Pi

… …

为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列. 分布列的性质: (1)pi ≥0, i ? 1, 2, ? ? ?

(2) pi ? p1 ? p2 ? ? ? ? ? pn ? 1 ?
i ?1

n

2.几种常见的分布列: (1)两点分布: 在一次试验中,如果事件A只有发生与不发生两种 结果,则称事件A发生的次数X服从两点分布.

X

P

0 1-p

1 p

(2)超几何分布: 一般地,在含有M件次品的N件产品中任取n件,其中 恰有X件次品数,则称随机变量X服从超几何分布.

X P

0

1

… …

m
m n C M C N??m M n CN

0 n 1 n C M C N??0M C M C N??1M n n CN CN

(3)二项分布: 一般地,在n次独立重复试验中,若事件A每次发生 的概率都是p,则称事件A发生的次数X服从二项分布.

X P
0 n

0

1
0 n



k



n

C pq

1 C n p1q n?1 …

k n C n pk q n? k … Cn pnq 0

记作X~B(n,p)

算术平均数
? 如果你期中考试各门成绩为: 90、80、77、68、85、91 那你的平均成绩是多少?

x1 ? x2 ? ... ? xn x? n

加权平均数
? 你的期中数学考试成绩为70,平时 表现成绩为60,学校规定:在你学 分记录表中,该学期的数学成绩中 考试成绩占70%、平时成绩占30%, 你最终的数学成绩为多少?

x ? a1 x1 ? a2 x2 ? ... ? an xn (a1 ? ... ? an ? 1 )

加权平均数
? 权:称棰,权衡轻重的数值;
? 加权平均:计算若干数量的平均数 时,考虑到每个数量在总量中所具 有的重要性不同,分别给予不同的 权数。

? 某商场要将单价分别为18元/kg、24 元/kg、36元/kg的3种糖果按3:2: 1的比例混合销售,如何对混合糖果 定价才合理? 3 2 1 x ? 18 ? ? 24 ? ? 36 ? ? 23 6 6 6
假如从这种混合糖果中随机选取一颗,记X为这颗 糖果所属种类的单价(元 kg ),你能写出X的分布列吗?

练习

假如从这种混合糖果中随机选取一颗,记X为这颗 如果你买了1kg这种混合 糖果所属种类的单价(元 ),你能写出X的分布列吗? kg 糖果,你要付多少钱?

而你买的糖果的实际价值 解:随机变量X 可取值为18, 和36 24 刚好是23元吗? 1 1

1 而P( X ? 18) ? , P( X ? 24) ? , P( 样本平均值 X ? 36) ? 2 3 6 所以X分布列为
x p 18 1/2 24 1/3 36 1/6

随机变量均值

(概率意义下的均值)

18×1/2+24×1/3+36×1/6

=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)=23

你能解释在该问题中权数代表的 实际含义吗?
? 将按3:2:1混合的糖果看作总体; ? 任取的1kg糖果看作一个样本; ? 样本中的每个糖果看成一个个体; ? 设样本中含有n个个体,则其中各种价钱的糖果
大约各占: 1 1 1 2 3 6 ? 在样本中任取一颗糖果,权数代表该糖果是哪 个价位的概率。

分布列
? 现在混合糖果中任取一个,它的实际 价格用X表示,X的取值分别为: 24 36 X 18

1 合理价格=18× 2
1 2

1 3

1 6

1 1 +36× +24× 6 3 =18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)

代表X的平均取值

数学期望
若离散型随机变量X的分布列为:
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

则称:

EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
为随机变量X的均值或数学期望。 ?它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

随机变量的均值与样本的 平均值有何区别和联系
?随机变量的均值是常数,而样本的均值随 着样本的不同而变化,因而样本的均值是 随机变量; ?对于简单随机样本,随着样本容量的增加, 样本的均值越来越接近总体的平均值,因 此,我们常用样本的均值来估计总体的平 均值。

●离散型随机变量的分布完全描述了随机现象的规律,

他确定了随机变量的均值等数字特征。但反过来,知 道随机变量的均值是无法确定分布的,因为两个不同 的分布可以有相同的均值。
●在实际生活中,人们往往不关心知道随机变量的分

布,我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征(均 值)。例如,要了解某班同学在一次数学测验中的总 体水平,很重要的是看平均分;要了解某班同学数学 成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的 方差。

2:某射手射击所得环数X的分布列如下:

X 4 7 8 10 5 6 9 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
你能估计该射手进行n次射击,平均每次能打的环数吗? 分析:在n次射击中, 中4环的大约有0.02n次 中5环的大约有0.04n次 …… 中10环的大约有0.22n次 故平均每次能打的环数为

4 ? 0.02n ? 5 ? 0.04n ? ? ? 10 ? 0.22n n

=4×0.02+5×0.04+…+10×0.22=8.32.

二、基础知识讲解
1.离散型随机变量的均值 一般地,若离散型随机变量X的分布列为

X
P

x1 p1

x2 p2

… …

xi pi

… …

则称 EX=x1 p1+x2 p2+…+xi pi+… 为X的均值或数 学期望,数学期望又简称为期望. 它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

三、例题分析
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中 得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球 一次的得分X的期望. 解:依题意,P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3, 则X的分布列为:
X P 1 0.7 0 0.3

∴ EX=1×P(X=1)+0×P(X=0) =1×0.7+0×0.3 =0.7 一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么 EX=1×p+0× (1-p)=p 于是有 若X服从两点分布,则EX=p

3.两点分布的均值: 若X服从两点分布,则EX=p

例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中 得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚 2 次球的得分X的期望.
解:依题意可知,X~B(2,0.7)

? P ( X ? 0) ? 0.3 ? 0.09 1 P ( X ? 1) ? C2 ? 0.7 ? 0.3 ? 0.42
2

P ( X ? 2) ? 0.7 ? 0.49
2

∴该运动员得分的期望为

EX ? 0 ? 0.09 ? 1? 0.42 ? 2 ? 0.49 ? 1.4
思考:你能找出该期望值1.4与这个二项分布X~B(2,0.7) 之间的规律吗? 2×0.7=1.4

二项分布的数学期望:

X

0
0 n 0 n

1


1 n 1 n ?1

k
2 n


2 n? 2

n

0 P C n p0q n

1 k n C n p1q n?1 … C n p k q n? k … C n p n q 0

? EX ? 0 ? C p q ? 1 ? C p q

? 2? C p q

??

根据kC ? nC
k n

k n ? kC n p k q n? k ? ? ? nC n p n q 0

k ?1 n ?1

0 1 k ?1 ? EX ? n ? C n?1 p1q n?1 ? n ? C n?1 p 2q n? 2 ? ? ? nC n?1 p k q n? k ? ?

? nC ? np(C

n ?1 n ?1 0 n ?1

pq 1 k ?1 p0q n?1 ? C n?1 p1q n? 2 ? ? ? C n?1 p k ?1q n? k ? ?

n 0

n ?1 ? C n ?1 p n ?1q 0 ) =np(p+q)n-1=np 若X~B(n,p),则EX=np

4.二项分布的均值: 若X服从二项分布,则EX= np

例2
? 一次单元测验由20个选择题构成,每个选 择题有4个选项,其中仅有一个选项是正 确的。每题选对得5分,不选或选错不得 分,满分100分。学生甲选对任意一题的 概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都 从各选项中随机地选出一个,分别求学生 甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值。

解:设X1表示甲选对的题数、X2表示乙选对的题数 它们都满足二项分布: X1~B(20,0.9) 所以:EX1= n p =20×0.9=18 EX2= n p =20×0.25=5 甲所得分数的均值为:18×5=90 乙所得分数的均值为: 5×5=25 X2~B(20,0.25)

X

x1

x2



x20

P
Y P

p1
5x1 p1

p2
5x2 p2


… …

p20
5x20 p20

解:设Y1表示甲所得分数、Y2表示乙所得分数

则Y1=5X1

Y2=5X2

所以:EY1=E(5X1)=5EX1=90 EY2=E(5X2)=5EX2=25

甲同学一定会得90分吗? 90表示随机变量X的均值; 具体考试甲所得成绩是样本实际平均值;

思考

? 随机变量的均值

样本的平均值?

? 例如取糖果问题,将每次取出的糖果价格 定为样本,每次取糖果时样本会有变化, 样本的平均值也会跟着变化;而随机变量 的均值是常数。

探究:设Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机 变量. (1) Y分布列是什么? (2) EY=? 设Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量. 其分布列为 X x1 x2 … … xi axi+b … …

Y
P

ax1+b ax2+b

p1

p2



pi



探究:设Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机 变量.(2) EY=?

X
Y

x1
p1

x2
p2


… …

xi
axi+b pi


… …

ax1+b ax2+b

P

∵EX=x1p1+x2p2+…+xi pi+… ∴EY=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+… =a(x1p1+x2p2+…+xi pi+…)+b(p1+p2+…+pi+…) =aEX+b.

即E(aX+b)=aEX+b

2.离散型随机变量的均值的性质:
E(aX+b)=aEX+b

3.随机变量数学期望的性质: ⑴ EC ? C ,( C 为常数) ⑵ E (aX ? b) ? aEX ? b ,( a , b 为常数)

⑶ E ( X ? Y ) ? EX ? EY
⑷若变量 X , Y 是相互独立的,则 E ( XY ) ? EX ? EY

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4.几种特殊分布随机变量的数学期望 ⑴若 X 服从两点分布,则 EX ? p 说明: EX ? 0 ? (1 ? p) ? 1? p ? p

⑵若 X ~ B(n, p) ,则 EX ? np ⑶若 X 服从参数为 N , M , n 的超几何分布,
M 则 EX ? n N

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五、小结巩固
掌握离散型随机变量的均值的概念、性质及计算:
1.离散型随机变量的均值

一般地,若离散型随机变量X的分布列为

X
P

x1 p1

x2 p2

… …

xi pi

… …

则称 EX=x1 p1+x2 p2+…+xi pi+… 为X的均值或数 学期望,数学期望又简称为期望. 它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2.离散型随机变量的均值的性质: E(aX+b)=aEX+b 3.两点分布的均值: 若X服从两点分布,则EX=p 4.二项分布的均值: 若X服从二项分布,则EX= np

数学期望小结
? ? ? ? ? EX表示X所表示的随机变量的均值; E(aX+b)=aEX+b 两点分布:EX= p 二项分布:EX= n p 求数学期望时:

1. 已知是两点分布或二项分布,直接代用公式; 2. 其它分布的随机变量,先画出分布列,在对应求值。


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