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七年级数学竞赛讲座:第八讲 不等式的应用


第八讲 不等式的应用 不等式与各个数学分支都有密切的联系,利用“大于”、“小于”关系,以及不等式一系列 的基本性质能够解决许多有趣的问题,本讲主要结合例题介绍一下这方面的应用. 例 1 已知 x<0,-1<y<0,将 x,xy,xy2 按由小到大的顺序排列. 分析 用作差法比较大小,即若 a-b>0,则 a>b;若 a-b<0,则 a<b. 解 因为 x-xy=x(1-y),并且 x<0,-1<y<0,所以 x(1-y)<0,则 x<xy. 因为 xy2-xy=xy(y-1)<0,所以 xy2<xy. 因为 x-xy2=x(1+y)(1-y)<0,所以 x<xy2. 综上有 x<xy2<xy. 例2 若 试比较 A,B 的大小. 显然,2x>y,y>0,所以 2x-y>0,所以 A-B>0,A>B. 例 3 若正数 a,b,c 满足不等式组 试确定 a,b,c 的大小关系. 解①+c 得 ②+a 得 ③+b 得 由④,⑤得 所以 c<a. 同理,由④,⑥得 b<C. 所以 a,b,c 的大小关系为 b<c<a. 例 4 当 k 取何值时,关于 x 的方程 3(x+1)=5-kx 分别有(1)正数解;(2)负数解;(3)不大于 1 的解. 解 将原方程变形为(3+k)x=2. (1)当 3+k>0,即 k>-3 时,方程有正数解. (2)当 3+k<0,即 k<-3 时,方程有负数解. (3)当方程解不大于 1 时,有 所以 1+k,3+k 应同号,即 得解为 k≥-1 或 k<-3. 注意 由于不等式是大于或等于零, 所以分子 1+k 可以等于零, 而分母是不能等于零的。 例 5 已知 求|x-1|-|x+3|的最大值和最小值. |x-1|-|x+3| 达到最大值 4.结合 x<-3 时的情形,得到:在已 说明 对含有绝对值符号的问题,无法统一处理.一般情况下,是将实数轴分成几个区 间,分别进行讨论,即可脱去绝对值符号. 例 6 已知 x,y,z 为非负实数,且满足 x+y+z=30,3x+y-z=50. 求 u=5x+4y+2z 的最大值和最小值. 解 将已知的两个等式联立成方程组 所以①+②得 4x+2y=80,y=40-2x. 将 y=40-2x 代入①可解得 z=x-10. 因为 y,z 均为非负实数,所以 解得 10≤x≤20. 于是 u=5x+4y+2z=5x+4(40-2x)+2(x-10) =-x+140. 当 x 值增大时, u 的值减小; 当 x 值减小时, u 的值增大. 故当 x=10 时, u 有最大值 130; 当 x=20 时,u 有最小值 120. 例 7 设 a,b,c,d 均为整数,且关于 x 的四个方程 (a-2b)x=1,(b-3c)x=1, (c-4d)x=1,x+100=d 的根都是正数,试求 a 可能取得的最小值是多少? 解 由已知(a-2b)x=1,且根 x>0,所以 a-2b>0,又因为 a,b 均为整数,所以 a- 2b 也为整数,所以 a-2b≥1,即 a≥2b+1. 同理可得,b≥3c+1,c≥4d+1,d≥101.所以 a≥2b+1≥2(3c+1)+1=6c+3 ≥6(4d+1)+3=24d+9 ≥24×101+9=2433, 故 a 可能取得的最小值为 2433. 求 pq 的值. 解 由已知 所以 21q<30p<22q. 因为 p,q 都为自然数,所以当 q 分别等于 1,2,3,4,5,6 时,无适当的 p 值使 21q <

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