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盐城市高二数学下学期期末试卷文解析


2016-2017 学年江苏省盐城市高二(下)期末数学试卷(文科)

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1.已知复数 (i 是虚数单位) ,则|z|=
2 n

. .

2.已知命题 p:“? n∈N*,使得 n <2 ”,则命题¬p 的真假为 3.设 θ ∈R,则“sinθ =0”是“sin2θ =0”的 分、充要、既不充分也不必要)

条件. (选填:充分不必要、必要不充

4.如图为某天通过 204 国道某测速点的汽车时速频率分布直方图,则通过该测速点的 300 辆 汽车中时速在[60,80)的汽车大约有 辆.

5.某程序框图如图所示,则输出的结果为



6.在区间(0,5)上随机取一个实数 x,则 x 满足 x ﹣2x<0 的概率为 7.已知双曲线 ﹣ =1(a>0)的渐近线方程是 y=± x,则其准线方程为

2

. .

-1-

8.若函数 f(x)=

在区间(0,2)上有极值,则 a 的取值范围是

. .

9.已知函数 f(x)=x3,则不等式 f(2x)+f(x﹣1)<0 的解集是 10.将函数 f(x)=sin(2x+ 为偶函数,则 m 的最小值是
2 2 2

)的图象向右平移 m 个单位(m>0) ,若所得图象对应的函数 .
2

11.已知圆 x +y =r (r>0)的内接四边形的面积的最大值为 2r ,类比可得椭圆 >b>0)的内接四边形的面积的最大值为 12.已知集合 M={(x,y)| 则实数 a 的最大值为 13. 已知点 F 是椭圆 C: + . .

+

=1(a

}和集合 N={(x,y)|y=sinx,x≥0},若 M∩N≠?,

=1 (a>b>0) 的左焦点, 若椭圆 C 上存在两点 P、 Q 满足 . .

=2



则椭圆 C 的离心率的取值范围是

14.已知 a>0,b>0,0<c<2,ac2+b﹣c=0,则 + 的取值范围是

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.已知关于 x 的不等式 ax +(a﹣2)x﹣2≥0,其中 a∈R. (1)若不等式的解集为(﹣∞,﹣1]∪[4,+∞) ,求实数 a 的值; (2)若不等式 ax +(a﹣2)x﹣2≥2x ﹣5 对任意实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 16.已知函数 f(x)=x+sinx.x∈(﹣ (x)=f(x)+g(x) , (1)若函数 g(x)是奇函数,判断并证明函数 h(x)的奇偶性; (2)若函数 g(x)是单调增函数,用反证法证明函数 h(x)的图象与 x 轴至多有一个交点. 17.已知函数 f(x)=cosxcos(x+ (1)求 f(x)在区间[0, (2)若 f(θ )= ,﹣ ) . , ) ,函数 g(x)的定义域为实数集 R,函数 h
2 2 2

]上的值域; <θ < ,求 cos2θ 的值.

18.如图所示,矩形 ABCD 为本市沿海的一块滩涂湿地,其中阴影区域有丹顶鹤活动,曲线 AC
-2-

是以 AD 所在直线为对称轴的抛物线的一部分,其中 AB=1km,BC=2km,现准备开发一个面积为 0.6km2 的湿地公园,要求不能破坏丹顶鹤活动区域.问:能否在 AB 边上取点 E、在 BC 边上取 点 F,使得△BEF 区域满足该项目的用地要求?若能,请给出点 E、F 的选址方案;若不能, 请说明理由.

19.在平面直角坐标系 xOy 内,椭圆 E:

+

=1(a>b>0) ,离心率为

,右焦点 F 到

右准线的距离为 2,直线 l 过右焦点 F 且与椭圆 E 交于 A、B 两点. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)若直线 l 与 x 轴垂直,C 为椭圆 E 上的动点,求 CA2+CB2 的取值范围; (3)若动直线 l 与 x 轴不重合,在 x 轴上是否存在定点 P,使得 PF 始终平分∠APB?若存在, 请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

20. 已知函数 f (x) =e 和函数 g (x) =kx+m (k、 m 为实数, e 为自然对数的底数, e≈2.71828) . (1)求函数 h(x)=f(x)﹣g(x)的单调区间; (2)当 k=2,m=1 时,判断方程 f(x)=g(x)的实数根的个数并证明; (3)已知 m≠1,不等式(m﹣1)[f(x)﹣g(x)]≤0 对任意实数 x 恒成立,求 km 的最大 值.

x

-3-

2016-2017 学年江苏省盐城市高二(下)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1.已知复数 【考点】A8:复数求模. 【分析】首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理成最简形式, 是一个纯虚数,求出模长. 【解答】解: ∴|z|=1, 故答案为:1 = = , (i 是虚数单位) ,则|z|= 1 .

2.已知命题 p:“? n∈N*,使得 n2<2n”,则命题¬p 的真假为 假 . 【考点】2J:命题的否定. 【分析】根据特称命题的否定是全称命题,再判断真假即可 【解答】解:命题是特称命题,则命题的否定是“? n∈N,n ≥2 ”,
2 n

当 n=1 时不成立. 故¬p 为假命题, 故答案为:假.

3.设 θ ∈R,则“sinθ =0”是“sin2θ =0”的 充分不必要 条件. (选填:充分不必要、 必要不充分、充要、既不充分也不必要) 【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义,结合三角函数的倍角公式进行判断即可. 【解答】解:当 sinθ =0 时,sin2θ =2sinθ cosθ =0 成立,即充分性成立, 当 cosθ =0,sinθ ≠0 时,满足 sin2θ =2sinθ cosθ =0,但 sinθ =0 不成立,即必要性不成 立,
-4-

即“sinθ =0”是“sin2θ =0”的充分不必要条件, 故答案为:充分不必要

4.如图为某天通过 204 国道某测速点的汽车时速频率分布直方图,则通过该测速点的 300 辆 汽车中时速在[60,80)的汽车大约有 150 辆.

【考点】B8:频率分布直方图. 【分析】由频率分布直方图求出通过该测速点的 300 辆汽车中时速在[60,80)的汽车所占频 率,由此能求出通过该测速点的 300 辆汽车中时速在[60,80)的汽车大约有多少辆. 【解答】解:由频率分布直方图得: 通过该测速点的 300 辆汽车中时速在[60,80)的汽车所占频率为(0.020+0.030)×10=0.5, ∴通过该测速点的 300 辆汽车中时速在[60,80)的汽车大约有:300×0.5=150 辆. 故答案为:150.

5.某程序框图如图所示,则输出的结果为 1 .

-5-

【考点】EF:程序框图. 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算变量 S 的值并输出对 应的 n 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:模拟程序的运行,可得 S=1,n=7 不满足条件 S>15,执行循环体,S=8,n=5 不满足条件 S>15,执行循环体,S=13,n=3 不满足条件 S>15,执行循环体,S=16,n=1 满足条件 S>15,退出循环,输出 n 的值为 1. 故答案为:1.

6.在区间(0,5)上随机取一个实数 x,则 x 满足 x2﹣2x<0 的概率为 【考点】CF:几何概型.



【分析】求解一元二次不等式得 x ﹣2x<0 的解集,再由长度比求出 x ﹣2x<0 的概率. 【解答】解:由 x ﹣2x<0,得 0<x<2. ∴不等式 x ﹣2x<0 的解集为(0,2) . 则在区间(0,5)上随机取一个实数 x,则 x 满足 x ﹣2x<0 的概率为 故答案为: .
2 2 2

2

2



7.已知双曲线



=1(a>0)的渐近线方程是 y=±

x,则其准线方程为 x=

±



【考点】KC:双曲线的简单性质. 【分析】根据题意,由双曲线的方程可得其渐近线方程,由题意分析可得 a 的值,由双曲线 的几何性质可得 c 的值,进而将 a、c 的值代入双曲线的准线方程计算可得答案. 【解答】解:根据题意,双曲线的方程为 ﹣ =1,其渐近线方程为 y=± x,

-6-

又由该双曲线



=1 的渐近线方程是 y=±

x,

则有

=



解可得 a=3, 其中 c= 则其准线方程为 x=± 故答案为:x=± . =5, ,

8.若函数 f(x)=

在区间(0,2)上有极值,则 a 的取值范围是 (﹣1,1) .

【考点】6D:利用导数研究函数的极值. 【分析】求出函数的导数,求出函数的极值点,得到关于 a 的不等式,解出即可. 【解答】解:f′(x)= 令 f′(x)>0,解得:x<a+1, 令 f′(x)<0,解得:x>a+1, 故 f(x)在(﹣∞,a+1)递增,在(a+1,+∞)递减, 故 x=a+1 是函数的极大值点, 由题意得:0<a+1<2,解得:﹣1<a<1, 故答案为: (﹣1,1) . ,

9.已知函数 f(x)=x3,则不等式 f(2x)+f(x﹣1)<0 的解集是 (﹣∞, 【考点】3N:奇偶性与单调性的综合.

) .

【分析】根据题意,由函数的解析式分析可得 f(x)为奇函数且在 R 上递增,则不等式 f(2x) +f(x﹣1)<0 可以转化为 2x<1﹣x,解可得 x 的取值范围,即可得答案. 【解答】解:根据题意,函数 f(x)=x ,f(﹣x)=(﹣x) =﹣x , 即有 f(﹣x)=﹣f(x) ,为奇函数; f(x)=x3,其导数 f′(x)=3x2≥0,为增函数; 则 f(2x)+f(x﹣1)<0? f(2x)<﹣f(x﹣1)? f(2x)<f(1﹣x)? 2x<1﹣x,
3 3 3

-7-

解可得 x<

, ) ;

即不等式 f(2x)+f(x﹣1)<0 的解集为(﹣∞, 故答案为: (﹣∞, ) .

10.将函数 f(x)=sin(2x+ 函数为偶函数,则 m 的最小值是

)的图象向右平移 m 个单位(m>0) ,若所得图象对应的 .

【考点】HJ:函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 【分析】利用函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,三角函数的图象的奇偶性,求得 m 的 最小正值. 【解答】解:将函数 f(x)=sin(2x+ (x﹣m)+ ]=sin(2x﹣2m+ )的图象向右平移 m 个单位(m>0) ,可得 y=sin[2 ) , =kπ + ,k ∈Z,即 m=﹣ ﹣

若所得图象对应的函数为偶函数,则﹣ 2m+ , 则 m 的最小正值为 故答案为: . ,

2 11. 已知圆 x2+y2=r ( r>0) 的内接四边形的面积的最大值为 2r2, 类比可得椭圆

+

=1

(a>b>0)的内接四边形的面积的最大值为 2ab . 【考点】F3:类比推理. 【分析】将圆的方程转化为 + =1,类比猜测椭圆 + =1(a>b>0)的

内接四边形的面积的最大值即可. 【解答】解:将圆的方程转化为 + =1,

圆 x2+y2=r2(r>0)的内接四边形的面积的最大值为 2r2,
-8-

类比可得椭圆 故答案为:2ab.

+

=1(a>b>0)的内接四边形的面积的最大值为 2ab,

12.已知集合 M={(x,y)| 若 M∩N≠?,则实数 a 的最大值为 ﹣

}和集合 N={(x,y)|y=sinx,x≥0}, .

【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程;7C:简单线性规划. 【分析】作出函数 y=sinx(x≥0)的图象,以及不等式组 表示的

可行域,由直线 x﹣2y+a=0 与 y=sinx 相切时,设切点为(m,sinm) ,求出导数和直线的斜率, 解方程可得切点和此时 a 的值,由图象可得 a 的最大值. 【解答】解:作出函数 y=sinx(x≥0)的图象, 以及不等式组 表示的可行域,

当直线 x﹣2y+a=0 与 y=sinx 相切时,设切点为(m,sinm) , 即有 cosm= 切点为( 可得 a=2× 由题意可得 a≤ 可得 a 的最大值为 故答案为: ﹣ ,解得 m= , ﹣ ﹣ ﹣ . ) , = ﹣ , ,

,即有 M∩N≠?, ,

-9-

13.已知点 F 是椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左焦点,若椭圆 C 上存在两点 P、Q

满足

=2

,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 [

,1) .

【考点】KL:直线与椭圆的位置关系. 【分析】设 P( (x1,y1) ,Q(x2,y2) ,F(﹣c,0) ,直线 PQ:y=k(x+c) ,可得 y1=﹣2y2. 由 ,得(b2+a2k2)y2﹣2kcb2y﹣b4k2=0

?②, 由①②③得 b +a k =8c ,? 8c ≥b =a ﹣c ? 9c ≥a 即可求解
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?③

【解答】解:设 P( (x1,y1) ,Q(x2,y2) ,F(﹣c,0) ,直线 PF:y=k(x+c) . ∵P、Q 满足 由 =2 ,∴y1=﹣2y2?① ,得(b2+a2k2)y2﹣2kcb2y﹣b4k2=0

?②,

?③

由①②得 b +a k =8c ,? 8c ≥b =a ﹣c ? 9c ≥a
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

,代入③得

? 故答案为[

,∴椭圆 C 的离心率的取值范围是[ ,1)

,1)

14.已知 a>0,b>0,0<c<2,ac2+b﹣c=0,则 【考点】7F:基本不等式. 【分析】利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:a>0,b>0,0<c<2,ac2+b﹣c=0, ∴1=ac+ ≥2 ,当 ac=

+

的取值范围是 [4,+∞) .

时,等号成立,

- 10 -

∴ab≤ ∵ +

, ≥2 + ≥2 =4,当 a=b 时等号成立,此时 c=1∈(0,2) ,

综上所述,

的取值范围是[4,+∞) ,

故答案为:[4,+∞)

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.已知关于 x 的不等式 ax2+(a﹣2)x﹣2≥0,其中 a∈R. (1)若不等式的解集为(﹣∞,﹣1]∪[4,+∞) ,求实数 a 的值; (2)若不等式 ax +(a﹣2)x﹣2≥2x ﹣5 对任意实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】3R:函数恒成立问题;74:一元二次不等式的解法. 【分析】 (1)由题意知 1,4 是方程 ax +(a﹣2)x﹣2=0 的解,利用韦达定理即可求得实数 a 的值; (2)不等式 ax +(a﹣2)x﹣2≥2x ﹣5 对任意实数 x 恒成立,可化为(a﹣2)x +(a﹣2)x+3 ≥0 对任意实数 x∈R 恒成立,分 a=2 与 a≠2 两类讨论,即可求得实数 a 的取值范围. 【解答】 (文科)解: (1)由题意知方程 ax +(a﹣2)x﹣2=0 的解为﹣1,4,且 a>0,? 所以﹣ =﹣4,解得 a=
2 2 2 2 2 2 2 2

.?

(2)问题可化为(a﹣2)x +(a﹣2)x+3≥0 对任意实数 x∈R 恒成立, ①当 a=2 时,3≥0 恒成立; ②当 a≠2 时, 综上①②得 2≤a≤14.? ? ,解得 2<a≤14;?

16.已知函数 f(x)=x+sinx.x∈(﹣ 函数 h(x)=f(x)+g(x) ,



) ,函数 g(x)的定义域为实数集 R,

(1)若函数 g(x)是奇函数,判断并证明函数 h(x)的奇偶性; (2)若函数 g(x)是单调增函数,用反证法证明函数 h(x)的图象与 x 轴至多有一个交点. 【考点】3L:函数奇偶性的性质;3K:函数奇偶性的判断.
- 11 -

【分析】 (1)先判断 f(x)的奇偶性,再计算 h(﹣x)与 h(x)的关系得出结论; (2)假设 h(x)的图象与 x 轴至少有两个交点,不妨设两交点横坐标为 x1,x2,且 x1<x2, 则 h(x1)=h(x2) ,于是(x2)﹣g(x1)=f(x1)﹣f(x2) ,根据 f(x)的单调性得出 g(x) 的单调性,从而得出矛盾. 【解答】解: (1)h(x)是奇函数,证明如下: ∵f(﹣x)=﹣x+sin(﹣x)=﹣x﹣sinx=﹣f(x) , ∴f(x)是奇函数, 又 g(x)是奇函数,∴g(﹣x)=﹣g(x) , ∴h(﹣x)=f(﹣x)+g(﹣x)=﹣f(x)﹣g(x)=﹣h(x) , ∴h(x)是奇函数. (2)假设 h(x)的图象与 x 轴至少有两个交点,不妨设两交点横坐标为 x1,x2,且 x1<x2, 则 h(x1)=h(x2)=0, 即 f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2) ,∴g(x2)﹣g(x1)=f(x1)﹣f(x2)=(x1﹣x2)+(sinx1 ﹣sinx2) , ∵x1,x2∈(0, ) ,且 x1<x2,

∴x1﹣x2<0,sinx1﹣sinx2<0 ∴(x1﹣x2)+(sinx1﹣sinx2)<0,即 g(x2)﹣g(x1)<0, ∴g(x1)>g(x2) , ∴g(x)是减函数,与 g(x)是增函数矛盾, ∴假设不成立,即函数 h(x)的图象与 x 轴至多有一个交点.

17.已知函数 f(x)=cosxcos(x+ (1)求 f(x)在区间[0, (2)若 f(θ )= ,﹣

) .

]上的值域; <θ < ,求 cos2θ 的值.

【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;H2:正弦函数的图象. 【分析】 (1)化函数 f(x)为余弦型函数,根据 x∈[0, (2)由 f(θ )求出 cos(2θ + 求出三角函数值即可.
- 12 -

]时求出 f(x)的值域即可; )﹣ ]

)的值,利用 cos2θ =cos[(2θ +

【解答】解: (1)函数 f(x)=cosxcos(x+ =cosx(cosxcos = = = = cos2x﹣ ﹣sinxsin sinxcosx sin2x sin2x)+ )+ ; )



(1+cos2x)﹣ ( cos2x﹣

cos(2x+

当 x∈[0, 2x+ ∈[

]时,2x∈[0,π ], , )∈[﹣1, )+ ], ], ∈[﹣ , ], , = , ];

∴cos(2x+ ∴ cos(2x+

∴f(x)在区间[0, (2)f(θ )= ∴cos(2θ + ﹣ <θ <

]上的值域为[﹣ )+

cos(2θ + )= ,∴0<2θ + )= )﹣

<π = ] )sin

∴sin(2θ +

∴cos2θ =cos[(2θ + =cos(2θ + = = × ﹣ )cos × .

+sin(2θ +

18.如图所示,矩形 ABCD 为本市沿海的一块滩涂湿地,其中阴影区域有丹顶鹤活动,曲线 AC 是以 AD 所在直线为对称轴的抛物线的一部分,其中 AB=1km,BC=2km,现准备开发一个面积为 0.6km2 的湿地公园,要求不能破坏丹顶鹤活动区域.问:能否在 AB 边上取点 E、在 BC 边上取

- 13 -

点 F,使得△BEF 区域满足该项目的用地要求?若能,请给出点 E、F 的选址方案;若不能, 请说明理由.

【考点】K9:抛物线的应用. 【分析】 由题意可得: △BEF 区域满足该项目的用地要求等价于△BEF 面积的最大值不小于 0.6 km ,以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴,建立如图所示平面直角坐标系, 求出 A,B,C,D 的坐标,运用待定系数法求出曲线 AC 的方程,欲使得△BEF 的面积最大,必 有 EF 与抛物线弧 AC 相切,设出切点(t,2t ) ,0≤t≤1, 求出导数,可得切线的斜率和方程,求出三角形 BEF 的面积,设 f(t)= t3﹣2t2+2t,0<
2 2

t≤1,求出导数和单调区间,可得极值,且为最值,即可判断是否满足要求. 【解答】解:△BEF 区域满足该项目的用地要求等价于△BEF 面积的最大值不小于 0.6 km , 以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴, 建立如图所示平面直角坐标系, 则 A(0,0) ,B(1,0) ,C(1,2) ,D(0,2) , 设曲线 AC 所在的抛物线的方程为 x =2py(p>0) , 代入点 C(1,2)得 p= ,
2 2

得曲线 AC 的方程为 y=2x2(0≤x≤1) , 欲使得△BEF 的面积最大,必有 EF 与抛物线弧 AC 相切, 设切点为 P(t,2t ) ,0≤t≤1, 由 y=2x2 得 y′=4x,故点 P(t,2t2)处切线的斜率为 4t, 切线的方程为 y﹣2t2=4t(x﹣t) , 即 y=4tx﹣2t2,
2

- 14 -

当 t=0 时显然不合题意,故 0<t≤1, 令 x=1 得 yP=4t﹣2t2,令 y=0 得 xK= 则 S△BEF= 设 f(t)= 则 f′(t)= BE?BF= (1﹣ t, t3﹣2t2+2t,

) (4t﹣2t2)=

t3﹣2t2+2t,0<t≤1, (3t﹣2) (t﹣2) , ,令 f′(t)<0 得 <t≤1,

令 f′(t)>0 得 0<t< 故 f(t)在(0, 故 f(t)max=f( 而

)上递增,在( )= ,

,1]上递减,

<0.6,故该方案所得△BEF 区域不能满足该项目的用地要求.

19.在平面直角坐标系 xOy 内,椭圆 E:

+

=1(a>b>0) ,离心率为



右焦点 F 到右准线的距离为 2,直线 l 过右焦点 F 且与椭圆 E 交于 A、B 两点. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)若直线 l 与 x 轴垂直,C 为椭圆 E 上的动点,求 CA2+CB2 的取值范围; (3)若动直线 l 与 x 轴不重合,在 x 轴上是否存在定点 P,使得 PF 始终平分∠APB?若存在, 请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

- 15 -

【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.

【分析】 (1)由题意得:

,得 a,b 即可

(2)A(2,
2

) ,B(2,﹣
2 2 2

) ,设点 C(x0,y0) ,则 CA2+CB2=(x0﹣2)2+(y0﹣

) ,

+(x0﹣2)+ (y0+

2

)=2x0 +2y0 ﹣8x0+12, 又点 C 在椭圆上, ∴





y0



CA2+CB2= ,即可求解.



(3)假设在 x 轴上存在点 P 满足题意,不妨设 P(t,0) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由 PF 平 kAP+kBP= 利用韦达定理即可求解. 分 ∠ APB = 知 : kAP+kBP=0 , 又 =0,

【解答】解: (1)由题意得:

,得 a=2

,c=2,?

∵a =b +c ,∴b =4,∴椭圆的标准方程为: (2)当直线 AB 与 x 轴垂直时,A(2, 则 CA2+CB2=(x0﹣2)2+(y0﹣ 又 点 C ) ,B(2,﹣

2

2

2

2

.? ) ,设点 C(x0,y0) , )2=2x02+2y02﹣8x0+12, , 消 去 y0 得

)2+(x0﹣2)2+(y0+

在 椭 圆 上 , ∴

- 16 -

CA +CB

2

2=

, ,28+16 ].?



∴CA2+CB2 得取值范围为[28﹣16

(3)假设在 x 轴上存在点 P 满足题意,不妨设 P(t,0) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 设直线 AB 的方程为:x=my+2,联列 ,消去 x 得(m2+2)y2+4my﹣4=0,

则 由 PF 平分∠APB 知:kAP+kBP=0,? 又 kAP+kBP=



,?

=

=0,

又 x1=my1+2,x2=my2+t,得(2﹣t) (y1+y2)+2my1y2=0, 即(2﹣t)× +2m× =0,得 t=4, ?

所以存在点 P(4,0)满足题意.

20. 已知函数 f (x) =e 和函数 g (x) =kx+m (k、 m 为实数, e 为自然对数的底数, e≈2.71828) . (1)求函数 h(x)=f(x)﹣g(x)的单调区间; (2)当 k=2,m=1 时,判断方程 f(x)=g(x)的实数根的个数并证明; (3)已知 m≠1,不等式(m﹣1)[f(x)﹣g(x)]≤0 对任意实数 x 恒成立,求 km 的最大 值. 【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6B:利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求出 h′(x)=e ﹣k, (x∈R) ,分以下两种情况讨论:①当 k≤0,②当 k>0, (2)当 k=2,m=1 时,方程 f(x)=g(x)即为 h(x)=ex﹣2x﹣1=0,结合(1)及图象即可 判定. (3)设 h(x)=f(x)﹣g(x) ,分①当 m>1,②当 m<1,分别求解 【解答】解: (1)h′(x)=ex﹣k, (x∈R) , ①当 k≤0 时,h′(x)>0 恒成立,h(x)的单调递增区间为(﹣∞,+∞) ,无单调递减区 间; ②当 k>0 时,由 h′(x)>0 得 x>lnk,由 h′(x)<0 得 x<lnk, 故 h(x)的单调递减区间为(﹣∞,lnk) ,单调递增区间为(lnk,+∞) .
- 17 x

x

(2)当 k=2,m=1 时,方程 f(x)=g(x)即为 h(x)=e ﹣2x﹣1=0, 由(1)知 h(x)在(﹣∞,ln2)上递减,而 h(0)=0,故 h(x)在(﹣∞,ln2)上有且 仅有 1 个零点, 由(1)知 h(x)在[ln2,+∞)上递增,而 h(1)=e﹣3<0,h(2)=e2﹣5>0,且 h(x) 的图象在[1,2]上是连续不间断的, 故 h(x)在[1,2]上有且仅有 1 个零点,所以 h(x)在[ln2,+∞)上也有且仅有 1 个零点, 综上,方程 f(x)=g(x)有且仅有两个实数根. (3)设 h(x)=f(x)﹣g(x) , ①当 m>1 时,f(x)﹣g(x)≤0 恒成立,则 h(x)≤0 恒成立, 而 h(﹣ )=e >0,与 h(x)≤0 恒成立矛盾,故 m>1 不合题意;

x

②当 m<1 时,f(x)﹣g(x)≥0,恒成立,则 h(x)≥0 恒成立, 1°当 k=0 时,由 h(x)=ex﹣m≥0 恒成立可得 m∈(﹣∞,0],km=0; 2°当 k<0 时,h( 故 h( )=e ﹣1,而 ,故 e <1,

)<0,与 h(x)≥0 恒成立矛盾,故 k<0 不合题意;

3°当 k>0 时,由(1)可知[h(x)]min=h(lnk)=k﹣klnk﹣m,而 h(x)≥0 恒成立, 故 k﹣klnk﹣m≥0,得 m≤k﹣klnk,故 km≤k(k﹣klnk) , 记 φ (k)=k(k﹣klnk) , (k>0) , 则 φ ′(k)=k(1﹣2lnk) ,由 φ ′(k)>0 得 0 k> , )上单调递增,在( )= ,∴km≤ . ,+∞)上单调递减, ,m= 时取等号; ,由 φ ′(k)<0 得

故 φ (k)在(0, ∴φ (k)max=φ (

,当且仅当 k=

综上①②两种情况得 km 的最大值为

- 18 -


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