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2016年陕西省西安市高考数学三模试卷(理科)(解析版)


2016 年陕西省西安市高考数学三模试卷(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.复数 2﹣mi 是 (m,n 均为实数)的共轭复数,则 m+n 的值为( )

A.﹣6 B.﹣3 C.3 D.6 2.sin30°sin75°﹣sin60°cos105°=( A. B.﹣ C. D.﹣



3.若 a+b=5,则 a>0,b>0 是 ab 有最大值 A.必要非充分条件 C.充分非必要条件

的(



B.充要条件 D.既非充分也非必要条件

4.已知{an}是公差为﹣2 等差数列,若 S5=10,则 a100=( ) A.﹣192 B.﹣194 C.﹣196 D.﹣198 5.投篮测试中,每人投 3 次,至少连续投中 2 个才能通过测试,若某同学每次投篮投中的 概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648B.0.504 C.0.36 D.0.312 6.阅读如图所示的程序框图,如果输出的函数值在区间 取值范围是( ) 内,那么输入实数 x 的

A.[﹣2,﹣1]

B. (﹣∞,﹣1] C.[﹣1,2] D.[2,+∞) F1, F2 是 C 上的两个焦点, +y2=1 上的一点, 若 ) , ) C. (﹣ ) , ) D. (﹣ , ) ?

7. y0) 已知 M (x0, 是函数 C: <0,则 x0 的取值范围是( A. (﹣ , ) B. (﹣

8.函数 y=cos2(x+

)﹣cos2(x﹣

)是(

A.周期为 2π 的偶函数 B.周期为 2π 的奇函数 C.周期为 π 的偶函数 D.周期为 π 的奇函数 9.若平面四边形 ABCD 满足 =2 , ( ﹣ )?
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=0,则该四边形一定是(



A.矩形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.平行四边形 10.假设( + )n 的二项展开式的系数之和为 729,则其展开式中常数项等于( )

A.15 B.30 C.60 D.120 11.在正四面体 A﹣BCD 中,若 AB=6,则这个正四面体外接球的表面积为( ) A.27π B.36π C.54π D.63π 12. f x) =kx2﹣lnx 在其定义域上有两个零点, 已知 k>0, 函数 ( 则实数 k 的取值范围是 ( A. B. C. D.



二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.某几何体的三视图如图所示,则其体积为



14.在同一坐标系中,直线 l 是函数 f(x)= (x)=﹣x2+mx 的切线,则 m= 15.经过双曲线 ﹣ .

在(0,1)处的切线,若直线 l 也是 g

=1 的左焦点和右顶点,且面积最小的圆的标准方程为



16.一避暑山庄占地的平面图如图所示,它由三个正方形和四个三角形构成,其中三个正方 形的面积分别为 18 亩、20 亩和 26 亩,则整个避暑山庄占地 亩.

三、解答题(本大题分必考题和选考题两部分,共 5 小题,满分 60 分,解答时应写出文字 说明,证明过程或演算过程)必考题 17.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an+1=3Sn(n∈N*) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=n?an,求数列{bn}的前 n 项的和.

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18.随机抽取某厂的某种产品 400 件,经质检,其中有一等品 252 件、二等品 100 件、三等 品 40 件、次品 8 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ξ. (Ⅰ)求 ξ 的分布列; (Ⅱ)求 1 件产品的平均利润; (Ⅲ)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1%,一等品率提高为 70%.如 果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.75 万元,则三等品率最多是多少? 19.如图,四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 和侧面 BCC1B1 都是矩形,E 是 CD 的中点,D1E⊥CD,AB=2BC=2. (1)求证:D1E⊥底面 ABCD; (2)若平面 BCC1B1 与平面 BED1 的夹角为 ,求线段 D1E 的长.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,短轴长为 2.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若 P 为椭圆 C 上任意一点,以 P 为圆心,OP 为半径的圆 P 与以椭圆 C 的右焦点 E 为 圆心,其中 O 为坐标原点,以 为半径的圆 F 相交于 A,B 两点,求△PAB 面积的最大值. 21.已知函数 f(x)=xlnx,g(x)= .

(1)记 F(x)=f(x)﹣g(x) ,求证:F(x)=0 在区间(1,+∞)内有且仅有一个实根; (2)用 min{a,b}表示 a,b 中的最小值,设函数 m(x)=min{xf(x) ,g(x)},若方程 m(x)=c 在(1,+∞)有两个不相等的实根 x1,x2(x1<x2) ,记 F(x)=0 在(1,+∞) x 内的实根 0. 求证: >x0.

选考题题(请在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。共 1 小题,满分 10 分)[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,⊙O 的半径 OC 垂直于直径 AB,M 为 BO 上一点,CM 的延长线交⊙O 于 N, 过 N 点的切线交 AB 的延长线于 P. (1)求证:PM2=PB?PA; (2)若⊙O 的半径为 , ,求:MN 的长.

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[选修 4-4:坐标系与参数方程]

23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数)若以 O 点为

极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cos θ. (1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程; (2)将曲线 C 上各点的横坐标缩短为原来的 ,再将所得曲线向左平移 1 个单位,得到曲 线 C1,求曲线 C1 上的点到直线 l 的距离的最小值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=| x+1|+|x|(x∈R)的最小值为 a. (I)求 a; (Ⅱ)已知两个正数 m,n 满足 m2+n2=a,求 + 的最小值.

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2016 年陕西省西安市高考数学三模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.复数 2﹣mi 是 (m,n 均为实数)的共轭复数,则 m+n 的值为( )

A.﹣6 B.﹣3 C.3 D.6 【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 【分析】由复数代数形式的乘除运算化简 ,又已知复数 2﹣mi 是 (m,n 均为实数)

的共轭复数,列出方程组,求解即可得 m,n 的值,则答案可求. 【解答】解: 由复数 2﹣mi 是 = ,

(m,n 均为实数)的共轭复数,





解得:



则 m+n 的值为:6. 故选:D. 2.sin30°sin75°﹣sin60°cos105°=( A. B.﹣ C. D.﹣ )

【考点】三角函数的化简求值. 【分析】利用诱导公式,两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可化简求值得解. 【解答】解:sin30°sin75°﹣sin60°cos105° =cos60°sin105°﹣sin60°cos105° =sin =sin45° = .

故选:C.

3.若 a+b=5,则 a>0,b>0 是 ab 有最大值 A.必要非充分条件 C.充分非必要条件

的(



B.充要条件 D.既非充分也非必要条件
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【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据题意,判断 a>0,b>0 时,ab 有最大值 ab 有最大值 ,充分性成立;

时,a、b∈R,必要性不成立;由此得出结论. ,

【解答】解:∵a+b=5,当 a>0,b>0 时,a+b≥2 ∴ab≤ = ,

当且仅当 a=b= 时取“=”, ∴ab 有最大值 当 ab 由最大值 即 ab≤ ∴2ab≤a2+b2 a、b∈R,必要性不成立; 综上,是充分不必要条件. 故选:C. 4.已知{an}是公差为﹣2 等差数列,若 S5=10,则 a100=( A.﹣192 B.﹣194 C.﹣196 D.﹣198 【考点】等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. ) ,充分性成立; 时,ab≤ ,

【分析】根据等差数列的通项公式与前 n 项和公式,先求出 a1,再计算 a100 的值. 【解答】解:等差数列{an}中,公差 d=﹣2, 所以 S5=5a1+ ×5×4×(﹣2)=10, 解得 a1=6; 所以 a100=a1+99d=6+99×(﹣2)=﹣192. 故选:A. 5.投篮测试中,每人投 3 次,至少连续投中 2 个才能通过测试,若某同学每次投篮投中的 概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648B.0.504 C.0.36 D.0.312 【考点】相互独立事件的概率乘法公式. 【分析】该同学通过测试包含 3 种情况:①三次全投中;②第一、二次连续投中,第三次 不中;③第一次不中,后两次全投中.由此能求出该同学通过测试的概率. 【解答】解:∵投篮测试中,每人投 3 次,至少连续投中 2 个才能通过测试, 某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立, ∴该同学通过测试包含 3 种情况: ①三次全投中;②第一、二次连续投中,第三次不中;③第一次不中,后两次全投中. ∴该同学通过测试的概率为: p=0.63+0.62×0.4+0.4×0.62=0.504.
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故选:B.

6.阅读如图所示的程序框图,如果输出的函数值在区间 取值范围是( )

内,那么输入实数 x 的

A.[﹣2,﹣1]

B. (﹣∞,﹣1] C.[﹣1,2] D.[2,+∞)

【考点】程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是计算分段函数 f(x)= 的函数值.根据函数的解析式,结合输出

的函数值在区间

,即可得到答案.

【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是计算分段函数 f(x)= 的函数值.

又∵输出的函数值在区间 ∴x∈[﹣2,﹣1] 故选:A.

内,

7. y0) 已知 M (x0, 是函数 C: <0,则 x0 的取值范围是( A. (﹣ , ) B. (﹣ )

F1, F2 是 C 上的两个焦点, +y2=1 上的一点, 若

?





C. (﹣



) D. (﹣





【考点】椭圆的简单性质. 【分析】由椭圆方程求得焦点坐标,利用向量的数量积公式,结合椭圆的方程,即可求出 x0 的取值范围. 【解答】解:椭圆 C: =(﹣ +y2=1,的焦点坐标 F1(﹣ =( ﹣x0,﹣y0)
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,0) ,F2(

,0) ,

﹣x0,﹣y0) ,



?

=x02﹣3+y02= <0,

﹣2,



?



﹣2<0,

解得:﹣

<x0<



故答案选:C. 8.函数 y=cos2(x+ )﹣cos2(x﹣

)是(



A.周期为 2π 的偶函数 B.周期为 2π 的奇函数 C.周期为 π 的偶函数 D.周期为 π 的奇函数 【考点】三角函数中的恒等变换应用. 【分析】本题运用了三角函数中的凑角及诱导公式进行了化简. 【解答】解:原式= 显然周期为 π 的奇函数. 故选 D 9.若平面四边形 ABCD 满足 =2 , ( ﹣ )? =0,则该四边形一定是( ) A.矩形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.平行四边形 【考点】向量在几何中的应用. 【分析】首先根据 =2 ,判断出四边形为梯形,然后根据, ( ﹣ )? =0 证明梯形 的腰 AD 与底边互相垂直,最后综合以上结论得出四边形为梯形. 【解答】解:根据 =2 , 四边形 ABCD 的对边平行且不相等,故四边形 ABCD 为梯形, ∵ ∴∠BAD=90°, ∴梯形的腰 AD 与底边垂直. 则该四边形一定是为直角梯形. 故选 B. + )n 的二项展开式的系数之和为 729,则其展开式中常数项等于( C.60 D.120 =﹣sin2x,

10.假设( A.15



B.30

【考点】二项式定理的应用. 【分析】令 x=1,由题意可得:3n=729,解得 n.再利用二项式定理的通项公式即可得出. 【解答】解:令 x=1,由题意可得:3n=729,解得 n=6.

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∴ 令 3﹣

的通项公式为:Tr+1= =0,解得 r=2, =60,

=2r



∴其展开式中常数项= 故选:C.

11.在正四面体 A﹣BCD 中,若 AB=6,则这个正四面体外接球的表面积为( A.27π B.36π C.54π D.63π



【考点】球内接多面体. 【分析】由正四面体的棱长为 6,所以此四面体一定可以放在棱长为 3 的正方体中,所以 此四面体的外接球即为此正方体的外接球, 由此能求出此四面体的外接球的半径, 再代入面 积公式计算. 【解答】解:∵正四面体的棱长为 6, ∴此四面体一定可以放在正方体中, ∴我们可以在正方体中寻找此四面体. 如图所示,四面体 ABCD 满足题意,BC=6, ∴正方体的棱长为 3 , ∴此四面体的外接球即为此正方体的外接球, ∵外接球的直径=正方体的对角线长, ∴外接球的半径为 R= ,

∴球的表面积 S=4πR2=54π. 故选:C.

12. f x) =kx2﹣lnx 在其定义域上有两个零点, 已知 k>0, 函数 ( 则实数 k 的取值范围是 ( A. B. C. D.



【考点】函数的零点. 【分析】设函数 g(x)=kx2 与函数 u(x)=lnx 的图象相切时,k=k1,则当 0<k<k1 时,函 数 f(x)=kx2﹣lnx 在其定义域上有两个零点. 【解答】解:设 g(x)=kx2 与函数 u(x)=lnx 的图象相切 设(m,n)为两个函数图象的公切点 ∵g'(x)=2kx,u'(x)=
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则 g'(m)=2km=u'(m)= 则 m= 此时 n=ln 即 ln 解得:k= 故函数 f(x)=kx2﹣lnx 在其定义域上有两个零点,则实数 k 的取值范围是 0<k< 故选 D 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.某几何体的三视图如图所示,则其体积为 . =k? =

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】利用三视图判断几何体的形状,然后通过三视图的数据求解几何体的体积. 【解答】解:几何体为圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体,底面是半径为 1 的半圆,高为 2. 所以体积 故答案为: . .

14.在同一坐标系中,直线 l 是函数 f(x)=

在(0,1)处的切线,若直线 l 也是 g

(x)=﹣x2+mx 的切线,则 m=±2. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】由函数 f(x)的图象为上半圆 x2+y2=1,可得切线方程为 y=1,代入 y=﹣x2+mx, 运用判别式为 0,解得 m. 【解答】解:函数 y=f(x)= ,

即为上半圆 x2+y2=1, (0,1)为与 y 轴的交点, 即有在(0,1)处的切线为 y=1, 由题意可得直线 l:y=1 也是 g(x)=﹣x2+mx 的切线,
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可得﹣x2+mx=1 有两个相等的实根, 即为判别式为 0,即 m2﹣4=0, 解得 m=±2, 故答案为:±2.

15.经过双曲线
2



=1 的左焦点和右顶点,且面积最小的圆的标准方程为(x+1)

+y2=25. 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求出双曲线的左焦点和右顶点,根据圆面积最小,则圆的直径是 AF,求出圆心和 半径即可得到结论. 【解答】解:若经过双曲线 则圆的直径是 AF, 则由 ﹣ =1 得 a2=16,b2=20, ﹣ =1 的左焦点 F 和右顶点 A,且面积最小的圆,

则 c2=16+20=36,即 a=4,c=6, 则左焦点 F(﹣6,0) ,右顶点 A(4,0) , 则中点为圆心为(﹣1,0) , 直径 2R=AF=4﹣(﹣6)=10, 则半径 R=5, 则圆的标准方程(x+1)2+y2=25, 故答案为: (x+1)2+y2=25. 16.一避暑山庄占地的平面图如图所示,它由三个正方形和四个三角形构成,其中三个正方 形的面积分别为 18 亩、20 亩和 26 亩,则整个避暑山庄占地 100 亩.

【考点】组合几何体的面积、体积问题. 【分析】根据三角形面积公式 A= ,我们易得 S△ BIC=S△ DJF=S△ GHA=S△ JHI,

利用海伦公式求出 S△ JHI 的面积后,再结合三个正方形的面积分别为 18 亩、20 亩和 26 亩, 即得到整个避暑山庄占地面积. 【解答】解:已知如下图所示:
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∵四边形 ABIH,CDJI,均为正方形 则∠GHA+∠IHJ=180° 则 sin∠GHA=sin∠IHJ ∵S△ GHA= ?GH?HA?sin∠GHA,S△ JHI= ?GH?HA?sin∠JHI ∴S△ GHA=S△ JHI, 同理:S△ BIC=S△ DJF=S△ GHA=S△ JHI, 又∵HJ= ,HI= ,IJ= 由海伦公式可得 S△ BIC=S△ DJF=S△ GHA=S△ JHI=9 ∴整个避暑山庄占地 S=26+18+20+4×9=100 亩 故答案为:100. 三、解答题(本大题分必考题和选考题两部分,共 5 小题,满分 60 分,解答时应写出文字 说明,证明过程或演算过程)必考题 17.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an+1=3Sn(n∈N*) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=n?an,求数列{bn}的前 n 项的和. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出; (2)设 bn=n?an= ,再利用“错位相减法”、等比数列的前 n 项和公式即

可得出. 【解答】解: (1)∵a1=1,an+1=3Sn(n∈N*) . ∴a2=3a1=3, 当 n≥2 时,an=3Sn﹣1,可得:an+1﹣an=3an,化为 an+1=4an, ∴数列{an}从第二项开始是等比数列,公比为 4. ∴an=3×4n﹣2. ∴an= .

(2)设 bn=n?an=

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∴n≥2 时,数列{bn}的前 n 项的和 Tn=1+3(2+3×4+4×42+…+n?4n﹣2) . 2 n﹣2 n﹣1 4Tn=4+3[2×4+3×4 +…+(n﹣1)×4 +n?4 ], ∴﹣3Tn=﹣3+3(2+4+42+…+4n﹣2﹣n?4n﹣1) , ∴Tn=1﹣ = .

18.随机抽取某厂的某种产品 400 件,经质检,其中有一等品 252 件、二等品 100 件、三等 品 40 件、次品 8 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ξ. (Ⅰ)求 ξ 的分布列; (Ⅱ)求 1 件产品的平均利润; (Ⅲ)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1%,一等品率提高为 70%.如 果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.75 万元,则三等品率最多是多少? 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (I)ξ 的所有可能取值有 6,2,1,﹣2,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分 布列. (II)由 ξ 的分布列,能求出 1 件产品的平均利润. (III)设技术革新后的三等品率为 x,求出此时 1 件产品的平均利润为 E(x)=4.76﹣x(0 ≤x≤0.29) ,由此能求出三等品率最多为 1%. 【解答】 (满分 12 分) 解: (I)ξ 的所有可能取值有 6,2,1,﹣2, , , , , 故 ξ 的分布列为: ξ 6 2 1 ﹣2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (II)由 ξ 的分布列,得: 1 件产品的平均利润为:Eξ=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(﹣2)×0.02=4.34(万元) . (III)设技术革新后的三等品率为 x, =6×0.7+2× 则此时 1 件产品的平均利润为 E(x) (1﹣0.7﹣0.01﹣x)+x+ (﹣2)×0.01=4.76 ﹣x(0≤x≤0.29) 依题意,E(x)≥4.75,即 4.76﹣x≥4.75,解得 x≤0.01 ∴三等品率最多为 1%. 19.如图,四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 和侧面 BCC1B1 都是矩形,E 是 CD 的中点,D1E⊥CD,AB=2BC=2. (1)求证:D1E⊥底面 ABCD;
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(2)若平面 BCC1B1 与平面 BED1 的夹角为

,求线段 D1E 的长.

【考点】与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)由 AD⊥CD,AD⊥DD1,得出 AD⊥平面 CDD1C1,于是 AD⊥D1,E,又 D1E ⊥CD,故而 D1E⊥底面 ABCD; (2)取 AB 中点 F,则可证明 FC⊥平面 BD1E,以 E 为原点建立坐标系,设 D1E=a,求出 平面平面 BCC1B1 的法向量 与平面 BED1 的法向量 ,令|cos< >|= 解出 a.

【解答】证明: (1)∵底面 ABCD 和侧面 BCC1B1 都是矩形, ∴AD⊥CD,AD⊥DD1, 又 DD′? 平面 CDD1C1,CD? 平面 CDD1C1,CD∩DD1=D, ∴AD⊥平面 CDD1C1,又 D1E? 平面 CDD1C1, ∴AD⊥D1E, 又 D1E⊥CD,AD? 平面 ABCD,CD? 平面 ABCD,AD∩CD=D, ∴D1E⊥平面 ABCD. (2)取 AB 中点 F,连接 EF,则四边形 EFBC 是正方形,EF⊥CD. 以 E 为原点,以 EF,EC,ED1 为坐标轴建立空间直角坐标系 E﹣xyz,如图所示: 设 D1E=a,则 E(0,0,0) ,F(1,0,0) ,B(1,1,0) ,C(0,1,0) ,C1(0,2,a) , ∴ =(﹣1,0,0) , =(0,1,a) , =(﹣1,1,0) .

设平面 BCC1B1 的法向量为 ,则





,令 z=1 得 =(0,﹣a,1) .

∵FC⊥BE,又 FC⊥DE,BE∩D1E=E, ∴FC⊥平面 BED1. ∴ =(﹣1,1,0)为平面 BD1E 的一个法向量. ∴cos< >= = .

∵平面 BCC1B1 与平面 BED1 的夹角为 即 ∴D1E=1. = ,解得 a=1.

,∴|cos<

>|=cos

= .

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20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,短轴长为 2.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若 P 为椭圆 C 上任意一点,以 P 为圆心,OP 为半径的圆 P 与以椭圆 C 的右焦点 E 为 圆心,其中 O 为坐标原点,以 为半径的圆 F 相交于 A,B 两点,求△PAB 面积的最大值. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)先根据短轴的长求得 b,再根据离心率得出 a,c 关系,求得 a 的值,求得椭 圆方程; (2)求得焦点坐标及圆的方程,设出 P 点坐标,求得直线 AB 方程,由题意可知,求得丨 AB 丨及点 P 到直线 AB 的最大值丨 PC 丨,根据三角形面积公式即可求得△PAB 面积的最 大值. 【解答】解: (1)由题意可得:2b=2,b=1, ∵e= = ,

∴ 解得 a=2,

= ,

椭圆的标准方程为:



(2)由(1)可知,c= , ∴点 F( ,1) ∴圆的方程为(x﹣ )2+y2=5, 设 P(x0,y0)则圆 P 的方程为: (x﹣x0)2+(y﹣x0)2=x02+x02, 即 x2+y2﹣2x0x﹣2y0y=0, 直线 AB 的方程为: (x0﹣ )x+y0y﹣1=0, 连接 PF,交 AB 于 C 点,则点 F 到直线 AB 的距离丨 FC 丨=

=



∵P(x0,y0)在椭圆上,即



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∴丨 FC 丨=

=

=

=2,

连接 BF 在 Rt△FCB 中,丨 BC 丨= ∴丨 AB 丨=2 丨 BC 丨=2, ∵点 P(x0,y0)在椭圆上,点 F 为椭圆的右焦点, ∴丨 FC 丨 max= +2, 又丨 PC 丨=丨 PF 丨﹣丨 FC 丨=丨 PF﹣2 丨, ∴丨 PC 丨 max= , △PAB 面积的最大值: = .

=

=1,

21.已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=



(1)记 F(x)=f(x)﹣g(x) ,求证:F(x)=0 在区间(1,+∞)内有且仅有一个实根; 2 min a b a b ( )用 { , }表示 , 中的最小值,设函数 m(x)=min{xf(x) ,g(x)},若方程 m(x)=c 在(1,+∞)有两个不相等的实根 x1,x2(x1<x2) ,记 F(x)=0 在(1,+∞) 内的实根 x0. 求证: >x0.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求出函数的导数,通过解关于导函数的不等式,得到函数的单调性,结合零点 存在定理证出结论即可; (2)问题转化为证明 x1+x2>2x0,根据 m(x)在(x0,+∞)上递减,即证明 m(m2)< m(2x0﹣x1) ,根据函数的单调性证明即可. 【解答】证明: (1)F(x)=xlnx﹣ ,定义域是(0,+∞) ,

F′(x)=1+lnx+



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x>1 时,F′(x)>0,∴F(x)在(1,+∞)递增, 又 F(1)=﹣ <0,F(2)=2ln2﹣ >0,

而 F(x)在(1,+∞)上连续, 根据零点存在定理可得:F(x)=0 在区间(1,+∞)有且只有 1 个实根; (2)0<x≤1 时,f(x)=xlnx≤0,而 g(x)= >0,

故此时有 f(x)<g(x) , 由(1)得:F(x)在(1,+∞)递增,又 x0 为 F(x)=0 在(1,+∞)内的实根, ∴F(x0)=f(x0)﹣g(x0)=0,故 1<x<x0 时,即 f(x)<g(x) , x>x0 时,F(x)>0 即 f(x)>g(x) , ∴m(x)= ,

1<x<x0 时,m(x)=xlnx,m′(x)=1+lnx>0, ∴m(x)在(1,x0)递增, x>x0 时,m(x)= ,m′(x)= <0,

∴m(x)在(x0,+∞)递减, 若方程 m(x)=c 在(1,+∞)有两个不相等的实根 x1,x2(x1<x2) , 则满足 x1∈(1,x0) ,x2∈(x0,+∞) , 要证明 >x0,即证明 x1+x2>2x0,即证明 x2>2x0﹣x1>x0,

而 m(x)在(x0,+∞)上递减,即证明 m(m2)<m(2x0﹣x1) , ∵m(x1)=m(x2) , 即证明:m(x1)<m(2x0﹣x1) ,即证明:lnx1< ,x1∈(1,x0) ,

记 h(x)=xlnx﹣

,x∈(1,x0) ,

由 F(x0)=0 得:x0lnx0=

,∴h(x0)=0,

h′(x)=1+lnx+





g(x)=

,g′(x)=



0<x<1 时,g′(x)>0,x>1 时,g′(x)<0,

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故 g(x)≤g(1)= , ∴x>0 时,0<g(x)≤ ,

∵2x0﹣x>0,∴0<

≤ ,

∴h′(x)=1+lnx+



>1﹣ >0,

∴h(x)递增,从而 1<x1<x0 时,h(x)<h(x0)=0, 即 lnx1< 故 ,

>x0 得证.

选考题题(请在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。共 1 小题,满分 10 分)[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,⊙O 的半径 OC 垂直于直径 AB,M 为 BO 上一点,CM 的延长线交⊙O 于 N, 过 N 点的切线交 AB 的延长线于 P. (1)求证:PM2=PB?PA; (2)若⊙O 的半径为 , ,求:MN 的长.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)连结 ON,运用等腰三角形的性质和圆的切割线定理,即可得到 PM2=PB?PA; (2)在 Rt△COM 中,由勾股定理可得 CM,求得 BM,AM,根据相交弦定理可得: MN?CM=BM?AM,代入计算即可得到 MN 的长. 【解答】解: (1)证明:连结 ON,则 ON⊥PN, 且△OCN 为等腰三角形,则∠OCN=∠ONC, ∵∠PMN=∠OMC=90°﹣∠OCN,∠PNM=90°﹣∠ONC, ∴∠PMN=∠PNM, ∴PM=PN, 由条件,根据切割线定理,有 PN2=PB?PA, 所以 PM2=PB?PA, (2)OM=2,半径为 2 , 在 Rt△COM 中, .
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, , 根据相交弦定理可得:MN?CM=BM?AM, 可得 MN= = =2.

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数)若以 O 点为

极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cos θ. (1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程; (2)将曲线 C 上各点的横坐标缩短为原来的 ,再将所得曲线向左平移 1 个单位,得到曲 线 C1,求曲线 C1 上的点到直线 l 的距离的最小值. 【考点】直线的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)利用直角坐标与极坐标间的关系:ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即 得 C 的直角坐标方程,将直线 l 的参数消去得出直线 l 的普通方程. (2)曲线 C1 的方程为 4x2+y2=4,设曲线 C1 上的任意点(cosθ,2sinθ) ,利用点到直线距 离公式,建立关于 θ 的三角函数式求解. 【解答】解: (1)由 ρ=4cosθ,得出 ρ2=4ρcosθ,化为直角坐标方程:x2+y2=4x 即曲线 C 的方程为(x﹣2)2+y2=4,直线 l 的方程是:x+y=0… (2) 将曲线 C 横坐标缩短为原来的 , 再向左平移 1 个单位, 得到曲线 C1 的方程为 4x2+y2=4, 设曲线 C1 上的任意点(cosθ,2sinθ) 到直线 l 距离 d= 当 sin(θ+α)=0 时 到直线 l 距离的最小值为 0. [选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=| x+1|+|x|(x∈R)的最小值为 a. (I)求 a; = .

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(Ⅱ)已知两个正数 m,n 满足 m2+n2=a,求 + 的最小值. 【考点】绝对值三角不等式;基本不等式. 【分析】 (I)化简函数的解析式,再利用函数的单调性求得函数的最小值,再根据函数的最 小值为 a,求得 a 的值. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 m2+n2=1,利用基本不等式求得 最小值. ≥2,再利用基本不等式求得 + 的

【解答】解: (I)函数 f(x)=| x+1|+|x|=



当 x∈(﹣∞,0]时,f(x)单调递减;当 x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增, 所以当 x=0 时,f(x)的最小值 a=1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 m2+n2=1,由 m2+n2≥2mn,得 mn≤ ,∴ 故有 + ≥2 ≥2 ,当且仅当 m=n= . 时取等号. ≥2

所以 + 的最小值为 2

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2016 年 9 月 7 日

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