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不等关系与不等式教案及练习


§3.1 不等式关系与不等式
三维目标: 1.在学生了解了一些不等式(组)生产的实际背景的前提下,学习不等式的有关内容; 2.利用数轴回忆实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小,以 及用实数理论来证明不等式的一些性质; 3.通过回忆和复习学生所熟悉的等式性质类比得到不等式的一些基本性质; 4.在了解不等式的一些基本性质的基础上,利用它们来证明一些简单

的不等式; 5.通过对富有实际意义问题的解决,激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度 , 同时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘与数学的结构美,激发学生学习的兴趣. 教学重点: 1.用不等式 (组)表示实际问题中的不等关系 ,并用不等式 (组)研究含有不等关系的问 题; 2.掌握不等式性质定理及推论,注意每个定理的条件; 3.不等式的基本性质的应用. 教学难点: 1.用不等式(组)准确地表示出不等关系; 2.差值比较法:作差→变形→判断差值的符号; 3.不等式的基本性质的应用. 教学过程: 一、引入新课: 在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系.如两点之间线段最 短,三角形两边之和大于第三边,等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大 与小、 不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中,我们用不 等式来表示不等关系. 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系. 二、讲解新课: (一)用不等式表示不等关系 引例 1 限速 40 km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度 v 不超过 40 km/h, 写成不等式就是:

v ? 40
引例 2 某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于 2.5% ,蛋白质的含量 p 应 不少于 2.3% ,写成不等式组就是——用不等式组来表示

? f ? 2.5% ? ? p ? 2.3%
问题 1: 设点 A 与平面 ? 的距离为 d , B 为平面 ? 上的任意一点,则 d ?| AB | . 问题 2: 某种杂志原以每本 2 .5 元的价格销售,可以售出 8 万本.据市场调查,若单价每提高

0.1 元,销售量就可能相应减少 2000 本.若把提价后杂志的定价设为 x 元,怎样用
不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢?

解: 设杂志社的定价为 x 元,则销售的总收入为 (8 ?

x ? 2.5 ? 0.2) x 万元, 0.1

那么不等关系“销售的总收入仍不低于 20 万元”可以表示为不等式

(8 ?

x ? 2.5 ? 0.2) x ? 20 0.1
求, 600 mm 的数量不能超过 500 mm 钢管的 3 倍.怎样写出满足所有上述不等关系的 不等式呢?

问题 3: 某钢铁厂要把长度为 4000 mm 的钢管截成 500 mm 和 600 mm 两种.按照生产的要

解: 假设截得 500 mm 的钢管 x 根,截得 600 mm 的钢管 y 根. 根据题意,应有如下的不等关系: (1)截得两种钢管的总长度不超过 4000 mm; (2)截得 600 mm 钢管的数量不能超过 500 mm 钢管数量的 3 倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负. 要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:

?500 x ? 600 y ? 4000; ? 3x ? y; ? ? x ? 0; ? ? y ? 0. ?
(二)不等式的基本性质 1.判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数 a , b ,在 a ? b, a ? b, a ? b 三种关系中有且仅有一种成立 .判断两个 实数大小的充要条件是:

a ? b ? a ?b ? 0
a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0
由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号就可以了. 2.不等式的定义 用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式. 说明: (1)不等号的种类: ?, ?, ?, ?, ? . (2)解析式是指:代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等). (3)不等式研究的范围是实数集 R . 3.同向不等式与异向不等式 同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;例如 a ? b, c ? d ,是同向不等式. 异向不等式:两个不等号方向相反的不等式;例如 a ? b, c ? d ,是异向不等式. 4.不等式的性质 定理 1:如果 a ? b ,那么 b ? a ,如果 b ? a ,那么 a ? b .(对称性)即 a ? b ? b ? a 证明: ∵ a ? b ∴a ?b ? 0 由正数的相反数是负数,得 ? (a ? b) ? 0

即b ? a ? 0 ∴ b ? a (定理的后半部分略) 点评:定理 1 即 a ? b ? b ? a 定理 2:如果 a ? b 且 b ? c ,那么 a ? c .(传递性)即 a ? b, b ? c ? a ? c 证明:∵ a ? b, b ? c ∴ a ? b ? 0, b ? c ? 0 根据两个正数的和仍是正数 得 (a ? b) ? (b ? c) ? 0 即 a ? c ? 0 ∴a ?c 点评:(1)根据定理 l,定理 2 还可以表示为 c ? b, b ? a ? c ? a ; (2)不等式的传递性可以推广到 n 个的情形. 定理 3:如果 a ? b ,那么 a ? c ? b ? c .即 a ? b ? a ? c ? b ? c (加法性质) 证明:∵ a ? b ∴a ?b ? 0 ∴ (a ? c) ? (b ? c) ? 0 即 a ? c ? b ? c 点评:(1)定理 3 的逆命题也成立; (2)利用定理 3 可以得出,如果 a ? b ? c ,那么 a ? c ? b ,也就是说,不等式 中任何一项改变符号后,可以把它从—边移到另一边. 推论:如果 a ? b 且 c ? d ,那么 a ? c ? b ? d (相加法则) 即 a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d

a ?b?a?c ?b?c? ??a?c ?b?d c ? d ? b ? c ? b ? d? a ? b ? a ? b ? 0? 证法二: ?? a ?b?c ?d ? 0 ? a ?c ? b ? d c ? d ? c ? d ? 0?
证法一: 点评:这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即两个或者更多 个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向. 定理 4:如果 a ? b 且 c ? 0 ,那么 ac ? bc ; 如果 a ? b 且 c ? 0 ,那么 ac ? bc .(乘法性质) 证明:∵ ac ? bc ? (a ? b)c ∵a ? b ∴a ?b ? 0 当 c ? 0 时, (a ? b)c ? 0 即 ac ? bc 当 c ? 0 时, (a ? b)c ? 0 即 ac ? bc 推论 1: 如果 a ? b ? 0 且 c ? d ? 0 ,那么 ac ? bd .(相乘法则) 证明: 又

a ? b, c ? 0 c ? d , b ? 0,

? ac ? bc
∴ bc ? bd

① ②

由①、②可得 ac ? bd . 说明: (1)所有的字母都表示正数,如果仅有 a ? b, c ? d ,就推不出 ac ? bd 的

结论. (2)这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相 乘.这就是说,两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相 乘,所得不等式与原不等式同向. 推论 2: 若 a ? b ? 0, 则an ? bn (n ? N且n ? 1) . 说明:(1)推论 2 是推论 1 的特殊情形; (2)应强调学生注意 n ? N 且n ? 1 的条件,
n n 如果 a ? b ? 0 ,那么 a ? b ( n ? N 且 n ? 1 ).

定理 5: 若 a ? b ? 0 ,则 n a ? n b ( n ? N 且 n ? 1 ).(指数运算性质) 点拨:遇到困难时,可从问题的反面入手,即所谓的“正难则反”.我们用反证法来 证明定理 5,因为反面有两种情形,即 n a ? n b 和 n a ? n b ,所以不能仅仅 否定了 n a ? n b ,就“归谬”了事,而必须进行“穷举”. 证明:假定 n a 不大于 n b ,这有两种情况 n a ? n b 或者 n a ? n b 由推论 2 和定理 1,当 n a ? n b 时,有 a ? b ; 当 n a ? n b 时,显然有 a ? b 这些都同已知条件 a ? b ? 0 矛盾 所以 n a ? n b . 点评:反证法证题思路是:反设结论→找出矛盾→肯定结论. 定理 6:若 a ? b 且 ab ? 0 ,则 证明:?

1 1 b?a ? ? a b ab

1 1 ? . (倒数性质) a b

又 ? a ? b, ab ? 0
? b ? a ? 0,
? 1 1 ? a b

1 1 b?a ? ? ?0 a b ab

5.不等式的基本性质小结 (1) a ? b ? b ? a ; a ? b ? b ? a (定理 1,对称性) (2) a ? b, b ? c ? a ? c (定理 2,传递性) (3) a ? b ? a ? c ? b ? c (定理 3,加法单调性) (4) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (定理 3 推论,同向不等式相加) (5) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (异向不等式相减) (6) a. ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (定理 4,乘法单调性) (7) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (定理 4 推论 1,同向不等式相乘) (8) a ? b ? 0,0 ? c ? d ? (9) a ? b, ab ? 0 ?

a b ? (异向不等式相除) c d

1 1 ? (倒数关系) a b (10) a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? Z , 且n ? 1) (定理 4 推论 2,平方法则)
(11) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? Z , 且n ? 1) (开方法则)

(**) a ? b ? 0,? ? 0 ? a? ? b? ; a ? b ? 0,? ? 0 ? a? ? b? (**) a ? 0, b ? 0 ,则 a ? b ?

a a a ? 1; a ? b ? ? 1; a ? b ? ? 1 b b b

三、讲解范例: (一)用不等式表示不等关系 例 1 如图,函数 y ? f ( x) 反映了某公司产品的销售收入 y 万元与 销售量 x 吨的函数关系, y ? g ( x) 反映了该公司产品的销 售成本与销售量的函数关系,试问: (1)当销售量为多少时,该公司赢利(收入大于成本); (2)当销售量为多少时,该公司亏损(收入小于成本). 解: 略

例 2 某用户计划购买单价分别为 60 元, 70 元的单片软件和盒装磁盘,使用资金不超过 500 元,根据需要,软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒.问:软件数与磁盘数应满足什么条件? 解: 略

例 3 某厂使用两种零件 A, B ,装配两种产品甲,乙,该厂的生产能力是月产量甲最多 2500 件,月产量乙最多 1200 件,而组装一件产品,甲需要 4 个 A , 2 个 B ;乙需要 6 个 A , 8 个 B .某个月,该厂能用的 A 最多有 14000 个, B 最多有 12000 个.用不等式将甲,乙两 种产品产量之间的关系表示出来. 解: 略

例 4 若需要在长为 4000 mm 的圆钢上,截出长为 698 mm 和 518 mm 两种毛坯,问怎样写出满足 上述条件所有不等关系的不等式组? 解: 略

(二)不等式的基本性质
4 2 2 2 例 1 已知 x ? 0 ,比较 ( x ? 1) 与 x ? x ? 1 的大小.

解: 略 引伸: 在例中,如果没有 x ? 0 这个条件,那么两式的大小关系如何? 结论: 例 1 是用作差比较法来比较两个实数的大小,其一般步骤是:作差——变形——判断 符号.这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题,至于差本身是多少,在 此无关紧要. 例 2 已知 a ? b ? 0, m ? 0 ,试比较 解: 略

b?m b 与 的大小. a?m a

例 3 已知 a ? b ? 0,0 ? c ? d ,求证: 证明: 略

a b ? c d

例 4 已知 x ? y 且 y ? 0 ,比较 解: 略

x 与 1 的大小. y

思考题:
* n n n?1 n?1 1.设 a, b ? 0, n ? N , 且 a ? b ,比较 (a ? b)(a ? b ) 与 2(a ? b ) 的大小.

2.比较 a ? b ? c 与 ab ? bc ? ca 的大小.
2 2 2

3.已知 x , y 均为正数,设 M ?

1 1 4 ? ,N ? ,试比较 M 和 N 的大小. x y x? y

例 5 若 1 ? a ? b ? 5,?1 ? a ? b ? 3 ,求 3a ? 2b 的范围. 解: 略

2 类型题: 已知 f ( x) ? ax ? bx ,如果 1 ? f (?1) ? 2,2 ? f (1) ? 4 .

求证: 7 ? f (2) ? 14 . 分析 : 利用 f (?1) 与 f (1) 设法表示 a , b 然后再代入 f (2) 的表达式中,从而用 f (?1) 与来 表示 f (2) , 最后运用已知条件确定 f (2) 的取值范围.

证明: 略 思考题: 1.若 a, b ? R ,求不等式 a ? b,

1 1 ? 同时成立的条件. a b

2. ab ? 0, | a |?| b | ,比较

1 1 与 的大小. a b

3.若 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ,求证:

logsin ? ? logsin ? ? ? . a?c b?d

4.设函数 f ( x) 的图象为一条开口向上的抛物线.已知 x , y 均为不等正数,

p ? 0, q ? 0 且 p ? q ? 1 ,求证: f ( px ? qy) ? pf ( x) ? qf ( y)

四、课堂练习: 1.在以下各题的横线处适当的不等号: (1) ( 3 ? 2 ) 2 (3)

1 5?2

6?2 6 ; 1 ; 6? 5

(2) ( 3 ? 2 ) 2

( 6 ? 1) 2 ;
log 1 b .
2 2

(4)当 a ? b. ? 0 时, log 1 a

2.选择题: (1)若 a ? 0,?1 ? b ? 0 ,则有( A. a ? ab ? ab
2 2

) C. ab ? a ? ab
2

B. ab ? ab ? a )

D. ab ? ab ? a
2

(2) logm 2 ? logn 2 成立当且仅当( A. n ? m ? 1 或 1 ? m ? n ? 0

B. 1 ? m ? n ? 0 D. m ? n ? 1

C. n ? m ? 1 或 1 ? n ? m ? 0 或 m ? 1 ? n ? 0 3.比较大小:

(1) ( x ? 5)(x ? 7) 与 ( x ? 6) 2

(2) log 1
2

1 1 与 log 1 3 2 3

4.如果 x ? 0 ,比较 ( x ? 1) 2 与 ( x ? 1) 2 的大小. 5.已知 a ? 0 ,比较 (a 2 ? 2a ? 1)(a 2 ? 2a ? 1) 与 (a 2 ? a ? 1)(a 2 ? a ? 1) 的大小.

6.已知 2 x ? 4 y ? 1 ,比较 x 2 ? y 2 与

1 的大小. 20

7.比较 2 sin ? 与 sin 2? 的大小( 0 ? ? ? 2? ). 8.设 a ? 0 且 a ? 1 , t ? 0 ,比较

1 t ?1 log a t 与 log a 的大小. 2 2

9.设 a ? 0 且 a ? 1 ,比较 loga (a 3 ? 1) 与 loga (a 2 ? 1) 的大小. 10.如果 a, b ? 0 ,求证:

b ?1? b ? a a

五、教学反思:


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