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2017学年数学必修三:3.2.1 古典概型3


3.2 古典概型
3.2.1 古典概型

幽默笑话 某人去参观气象站,看到许多预测天气的最新仪器. 参观完毕,这人问站长: “你说有百分之七十五的概率会下雨, 是怎样计算出来的?”站长没多想便答道:“那就是 说,我们这里有四个人,其中三个认为会下雨.”

有红心A、2、3和黑桃4、5这5张扑克牌,将 其牌点向下置于桌上,现从中任意抽取一张, 那么抽到的牌为红心的概率有多大?

1.了解基本事件的特点.
2.正确理解古典概率模型.(重点)

3.会用古典概型概率公式求概率.
(重点、难点)

【课堂探究1】 基本事件 试验1:掷一枚质地均匀的硬币一次,观察出现哪几 种结果?
反面朝上 正面朝上

试验2:掷一颗均匀的骰子一次,观察出现的点数 有哪几种结果?

1点

2点

3点

4点

5点

6点

一次试验可能出现的每一个结果称为一个 基本事件.

1点

2点

3点

4点

5点

6点

问题:(1)在一次试验中,会同时出现“1点”与 “2点”这两个基本事件吗? 不会. 任何两个基本事件是互斥的.

(2)事件“出现偶数点”包含哪几个基本事件? “2点” “4点” “6点” 事件“出现的点数不大于4”包含哪几个基本事件? “1点” “2点” “3点” “4点” 任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事 件的和.

例1 从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母 的试验中,有哪些基本事件? 分析:为了得到基本事件,我们可以按照某种顺 序,把所有可能的结果都列出来.
a b c d c b d

c

d

树状图

解:所求的基本事件共有6个:
A ? {a, b}, B ? {a, c}, C ? {a, d }, D ? {b, c}, E ? {b, d }, F ? {c, d }.

【总结提升】

(1)我们一般用列举法列出所有基本事件的结果.
(2)画树状图是列举法的基本方法. (3)分步完成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举.

【课堂探究2】 古典概型

上述试验和例1的共同特点是:
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;

(2)每个基本事件出现的可能性相等.
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模 型,简称古典概型.

(1)向一个圆面内随机地投射一个点,如果
该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为

这是古典概型吗?为什么? 不是古典概型.

因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点,试验

的所有可能结果数是无限的,虽然每一个试验结果
出现的“可能性相同”,但这个试验不满足古典概

型的第一个条件.

(2)如图,某同学随机地向一靶心 进行射击,这一试验的结果只有有限 个:命中10环、命中9环??命中5环 和不中环.你认为这是古典概型吗?

为什么? 不是古典概型. 因为虽然试验的所有可能结果只有有限个,而
命中10环、命中9环??命中5环和不中环的出现不

是等可能的,即不满足古典概型的第二个条件 .

【课堂探究3】古典概型的概率求法 在古典概型下,基本事件出现的概率是多少? 随机事件出现的概率如何计算? 对于掷均匀硬币试验,出现正面朝上的概率与 反面朝上的概率相等,即P(“正面朝上”)= P (“反面朝上”). 利用概率的加法公式,我们有 P(“正面朝上”)+P (“反面朝上”)=1. P(“正面朝上”)=P (“反面朝上”)= .
1 2

掷骰子中,出现各个点的概率相等, P(“1点”)=P(“2点”)=P(“3点”)

=P(“4点”)=P(“5点”)=P(“6点”).
利用概率的加法公式,我们有 P(“1点”)+P(“2点”)+P(“3点”) +P(“4点”)+P(“5点”)+P(“6点”) =P(必然事件)=1.

所以P(“1点”)=P(“2点”)=P(“3点”)
=P(“4点”)=P(“5点”)=P(“6点”)
1 = . 6

P(“出现偶数点”)

=P(“2点”)+P(“4点”)+P(“6点”) 1 1 1 1 = + + = . 6 6 6 2

【总结提升】 对于古典概型,任何事件的概率计算公式为:

A 包含的基本事件的个数 P( A )= . 基本事件的总数
在使用古典概型的概率公式时,应该注意:

(1)要判断该概率模型是不是古典概型;
(2)要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验

中基本事件的总数.

例2

单选题是标准化考试中常用的题型,一般是

从A, B,C,D四个选项中选择一个正确答案. 如 果考生掌握了考查的内容,他可以选择唯一正确 的答案.假设考生不会做,他随机地选择一个答案, 问他答对的概率是多少?

解:这是一个古典概型,因为试验的可能结果只 有4个:选择A、选择B、选择C、选择D,即基本事 件共有4个,考生随机地选择一个答案,选择A, B,C,D的可能性是相等的.从而由古典概型的概 率计算公式得
“答对”所包含的基本事件的个数 P(“答对”)= 基本事件的总数 1 = =0.25. 4

在标准化的考试中既有单选题又有多选题,多选题 是从A,B,C,D四个选项中选出所有正确的答案, 同学们可能有一种感觉,如果不知道正确答案,多选 题更难猜对,这是为什么? 基本事件为(A),(B),(C),(D), (A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C, D),(A,B,C),(A,B,D),(A,C,D),(B,C,

D),(A,B,C,D).
1 答对的概率为 ? 0.066 7 ? 0.25. 15

假设有20道单选题,如果有一个考生答对了17道题, 他是随机选择的可能性大,还是他掌握了一定知识 的可能性大? 答:他应该掌握了一定的知识,可以运用极大似然法 的思想解决.

例3 同时掷两个骰子,计算向上的点数之和是5的概 率是多少? 解:掷一个骰子的结果有6种,我们把两个骰子标上 记号1,2以便区分,由于1号骰子的每一个结果都可与 2号骰子的任意一个结果配对,组成同时掷两个骰子 的一个结果,因此同时掷两个骰子的结果共有36种, 向上的点数之和为5的结果(记为事件A)有4种. 由于所有36种结果是等可能的,因此,由古典概型的 概率计算公式可得 P(A) ? 4 ? 1 . 36 9

思考:你能列出这36个结果吗?

(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6) (5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6) (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

为什么要把两个骰子标上记号?如果不标记号会 出现什么情况?你能解释其中的原因吗? 如果不标上记号,类似于(1,2)和(2,1)的结果 将没有区别.这时,所有可能的结果将是: (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6) (2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,3) (3,4)(3,5)(3,6)(4,4)(4,5)(4,6) (5,5)(5,6)(6,6)共有21种,和是5的结果有2 个,它们是(1,4)(2,3),此时构造的21个基本事 件不是等可能发生的,所求的概率为 2 P(A)= . 21

【总结提升】

当一个试验是古典概型时,求事件A的概率
P(A),可按以下步骤进行:

(1)列出该试验的基本事件的总数n;
(2)列举事件A所包含的基本事件的个数m; m (3)利用公式 P ( A) ? , 求出P(A). n

【课堂探究4】 古典概型的应用
例4 假设储蓄卡的密码由4个数

字组成,每个数字可以是0,1,2,?, 9十个数字中的任意一个.假设一个 人完全忘记了自己的储蓄卡密码,问他到自动取款机 上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少?

解:一个密码相当于一个基本事件,总共有10 000个

基本事件.它们分别是0000,0001,0002,…,9998,9999.
随机地试密码,相当于试到任何一个密码的可能性都

是相等的,所以这是一个古典概型.事件“试一次密
码就能取到钱”由1个基本事件构成,即由正确的密 1 码构成.所以P(“试一次密码就能取到钱”)= . 10 000

例5

某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格,问

质检人员从中随机抽出2听,检测出不合格产品的概率

有多大?
解:我们把每听饮料标上号码,合格的4听分别记为

1,2,3,4,不合格的2听分别记作a,b.任取2听结果为
(1,2),(1,3),(1,4),(1,a), (1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b), (3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b)共有15种.

记事件A为“检测出不合格产品”,则A中含有(1, a), (1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b), (4,a),(4,b),(a,b)共有9种.所求概率为
9 P ( A) ? ? 0.6. 15

随着检测听数的增加,查出不合格产品的概率

怎样变化?为什么质检人员都采用抽查的方法而不
采用逐个检查的方法?

随着检测听数的增加,查出不合格产品的概率
增大.在实际问题中,质检人员一般采用抽查方法而

不采用逐个检查的方法的原因有两个:第一可以从
抽查的样品中次品出现的情况把握总体中次品出现 的情况;第二采用逐个抽查一般是不可能的,也是 不现实的.

1.(2014·江西高考)掷两颗均匀的骰子,则点数之 和为 5 的概率等于 (
1 A. 18

)
1 D. 12

1 B. 9

1 C. 6

【解析】选 B.掷两颗骰子包含的所有结果为 36 种,点数之和为 5 所包含的结果为(1,4),(2,3),
1 (3,2),(4,1),共 4 种,故所求概率为 . 9

2.一枚硬币连掷3次,只有一次出现正面的概率是( A )
3 2 1 1 A. ????????????B. ????????????C. ????????????D. 8 3 3 4

解:一枚硬币连掷3次,共有8种可能性,只有一次出现

3 正面的情况有3种,故所求概率为 P ? . 8

3.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的
概率是( C )

1 1 1 2 A. ???????????B. ???????????C. ???????????D. 6 2 3 3 解:甲、乙、丙三名同学站成一排,有6个基本
事件,其中甲站在中间的基本事件有2个,故所求
2 1 概率为 P ? ? . 6 3

4.有四条线段,其长度分别是3,4,5,7,现从中任 取三条,它们能构成三角形的概率是(
1 A. 4

D

).

1 B. 2

1 C. 3

3 D. 4

5.(2014·广东高考)从字母 a,b,c,d,e 中任取两个不 同字母,则取到字母 a 的概率为 .

【解析】 因为从字母 a,b,c,d,e 中任取两个不同字母, 不考虑先后顺序共有 10 种取法,分别是 (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e), (c,d),(c,e),(d,e),其中取到字母 a 的有 4 种: (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),故所求概率为 答案:
2 5 2 P= . 5

6.现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学 从中任取2道题解答. 试求(1)所取的2道题都是甲类题的概率; (2)所取的2道题不是同一类题的概率; 【解题指南】利用列举法,弄清楚基本事件总数和所 求的事件A包含的基本事件数,利用古典概型的公式 计算概率.

解:将4道甲类题依次编号为1,2,3,4,2道乙类题 依次编为5,6.任取2道题的基本事件为

?1, 2?, ?1,3?, ?1, 4?, ?1,5?, ?1, 6?, ?2,3?, ?2, 4?, ?2,5?, ?2, 6?,
?4,5?, ?4, 6?, ?5, 6? ?3, 4?, ?3,5?, ?3, 6?,
基本事件的出现是等可能的. (1)记事件 A ? “张同学所取的2道题都是甲类题”; 则A包含的基本事件有 ?1, 2?, ?1,3?, ?1, 4?, ?2,3?, ?2, 4?, ?3, 4?
6 2 共6个,所以 P p ( A) ? = . 15 5

共有15个;并且这些

(2)基本事件同(1).记事件B=“张同学所取的2道
题不是同一类题”;

则B包含的基本事件有

共8个,
8 p( B) ? . 所以 P 15

基本事件 古 典 概 型 古典概型 特点 公式

有限性
等可能性
有序地写出所有基本 事件及某一事件A中 所包含的基本事件是 解题的关键!

步骤

只要时刻保持一份自信、一颗不息的 奋斗雄心,生命的硕果就会如影相随.


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