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浙江省嘉兴一中2011-2012学年高二数学下学期期中试题 理【会员独享】


嘉兴市第一中学 2011 学年第二学期期中考试 高二数学(理科)
满分[ 100]分 ,时间[120]分钟

试题卷
2012 年 4 月

一.选择题(本大题有 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,请从 A,B,C,D 四个选项中,选出一个 符合题意的正确选项,填入答题卷,不选,多选,错选均得零分. ) 1.在复平面内,复数 z ? i (1 ? 2i ) 对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ( ▲ ) C.5 D.6 ( ▲ ) ( ▲ )

4 3 2.方程 A2 x ?1 ? 140Ax 的解为

A.3

B.4

? 3.函数 y ? sin 3 x ? 1? 的导数为
A. cos(3 x ? 1) C. 3 cos x B. 3 cos?3 x ? 1?

? D. (3 x ? 1) sin 3 x ? 1?
( ▲ )

4. 若函数 f ? x ? ? x 3 ? f ' ?1?x 2 ? 2 x ? 5 ,则 f ' ?2? ?

A. 2

B.

17 3

C.

5 3

D.

32 3

5. 用反证法证明命题“ a , b ? N , ab 可被 5 整除,那么 a, b 中至少有一个能被 5 整除” 时,假设的内容应为 A. a, b 都能被 5 整除 C. a, b 至多有一个不能被 5 整除
3 2

( ▲ ) B. a, b 都不能被 5 整除 D. a, b 至多有一个能被 5 整除

6.已知 f ( x ) ? 2 x ? 6 x ? a(a 是常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么在[-2,2]上的 最小值是 A.-5 B.-11 C.-29 D.-37 ( ▲ )

7. 个男生, 个女生排成一排, 5 2 若女生不能排在两端, 但又必须相邻, 则不同的排法有 ▲ ) ( A.480 8. f ? x ? ? 设 B.960 C.720 D.1440

1 3 x ? ax 2 ? 5 x ? 6 在区间 ?1,3? 上单调函数, 则实数 a 的取值范围为 ▲ ) ( 3
1

A. ? 5 ,??

?

?

B. ?? ?,?3?

C. ?? ?,?3? ? ? 5 ,??

?

?

D. ? 5 , 5

?

?
( ▲ )

9.函数 f ( x ) ? x ln x 的大致图像为

y

y

y

y

o o A 1 x B

1

x o C 1 x

o

1

x

D

10. 已知可导函数 f ( x )( x ? R) 的导函数 f ' ( x ) 满足 f ' ( x ) ? f ( x ) ,则当 a ? 0 时,

f (a ) 和 e a f (0) ( e 是自然对数的底数)大小关系为
A. f (a ) ? e a f (0) C. f (a ) ? e a f (0) B. f (a ) ? e a f (0) D. f (a ) ? e a f (0)

( ▲ )

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分.把答案填在对应题号后的横线上. 11.对于平面几何中的命题: “夹在两条平行线之间的平行线段相等” ;在立体几何中,类比 上述命题,可以得到命题: “ 12 . (e
? x 3



” .

)' =





13 .要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 10cm,要使体积为最大,则其高应为 ▲ 14.直线 y ? x 是曲线 y ? a ? ln x 的一条切线,则实数 a 的值为

cm.





15. 设平面内有 n (n ? 3) 条直线,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同 一点.若用 f (n ) 表示这 n 条直线交点的个数,则 f ( 4) = ▲ ;当 n >4时, f (n) ? ▲ .

2

16. 已知函数 f ( x ) 的导数 f ' ( x ) ? a( x ? 1)( x ? a ) , f ( x ) 在 x ? a 处 若 取到极大值,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

4

17.把 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字填在图中的九个 空格内.每格只填一个数,所填数字不能重复,并且每行从左到右,每列从上到下,都是依 次增大,且数字 4 在正中间位置,共有 ▲ 种填法. 三.解答题:本大题共 5 小题,共 49 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 9 分) 已知函数 f ? x ? ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c , x ? ? 1 时,f ? x ? 的极大值为 7; x ? 3 时,f ? x ? 当 当 有极小值. (Ⅰ)求 a, b, c 的值; (Ⅱ)函数 f ? x ? 的极小值.

19. (本小题满分 10 分) 已知复数 z 满足 z ? z ? z i ?
2

?

?

3?i ( i 为虚数单位) .求 z . 2? i

20. (本小题满分 10 分)

x2 x 5 ? ? . 已知抛物线 C : y ? 4 2 4
(Ⅰ)过点 M ?3,2? 作抛物线的切线,求此切线方程; (Ⅱ)过定点 A?1,2? 的直线与抛物线 C 相交于两点 S 、 R ,抛物线 C 在 S 、 R 两点处 的切线的交点为 B ,试求点 B 的轨迹方程. 21. (本小题满分 10 分) 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,满足 a n ? (Ⅰ)求 a 2 , a3 , a4 ; (Ⅱ)猜想数列 ?a n ? 的通项公式,并用数学归纳法加以证明.

Sn 1 ,且 a 1 ? . 3 n?2n ? 1?

3

22. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x ) 的图像在点 ( 2, f ( 2)) 处的切线的倾斜角为 45? ,问:m 在什么 范围取值时,对于任意的 t ? [1,2] ,函数 g ( x ) ? x ? x [
3 2

m ? f ' ( x )] 在区间 (t ,3) 上总 2

存在极值? (Ⅲ)当 a ? 2 时,设函数 h( x ) ? ( p ? 2) x ?

p ? 2e ? 3 ,若在区间 [1, e ] 上至少存在一 x

个 x 0 ,使得 h( x0 ) ? f ( x0 ) 成立,试求实数 p 的取值范围.

4

嘉兴市第一中学 2011 学年第二学期期中考试 高二数学(理科) 参考答案及评分标准 一、选择题: (每题 3 分,共 30 分) 1 B 2 A 3 B 4 D 5 B 6 D 7 B 8 C 9 A 10 A

二、填空题(每题 3 分,共 21 分) 11.夹在两个平行平面之间的平行线段相等

1 ? 12. ? e 3 3
14. 1

x

13.

10 3 3

15.

5



n2 ? n ? 2 2

16. ?? 1,0?

17. 12 三、解答题: (共 49 分) 18. (本小题满分 9 分) (Ⅰ)因为 f ? x ? ? x 3 ? ax2 ? bx ? c ,所以 f ' ? x ? ? 3 x 2 ? 2ax ? b 由题意得 x ? ? 1 , x ? 3 为 f ' ? x ? ? 3 x 2 ? 2ax ? b ? 0 的两个解, 由韦达定理得: a ? ?3 , b ? ?9 . 再由 f ?? 1? ? 7 ,得 c ? 2 (Ⅱ)函数 f ? x ? 的极小值为 f ?3? ? ?25 . 19. (本小题满分 10 分) 由已知得 z ? z ? z i ? 1 ? i , 设 z ? x ? yi, ? x, y ? R? 代人上式得 x 2 ? y 2 ? 2 xi ? 1 ? i
2

?

?

1 ? ? x??2 ?x2 ? y2 ? 1 ? 所以 ? ,解得 ? ? 2 x ? ?1 ?y ? ? 3 ? 2 ?
故z ??

1 3 ? i. 2 2

5

20. (本小题满分 10 分) (Ⅰ)由 y ?

1 1 x2 x 5 ? ? 得到: y ' ? x ? 2 2 4 2 4
1 2 1 )? x ? 3? , 2

又因为点 M ?3,2? 在抛物线上,所以切线方程为 y ? 2 ? ( ? 3 ? 即 x ? y ?1 ? 0

(Ⅱ)当过点 A 的直线斜率不存在时 l 与抛物线有且仅有一个公共点,与题意不符, 可设直线 SR 的方程为 y ? 2 ? k ? x ? 1?

y ? 2 ? k ? x ? 1?与 y ?

1 ( x ? 1) 2 ? 1 联立消去 y 4

得:

1 2 ? 1? 3 x ? ?k ? ?x ? ? k ? 0 4 2? 4 ?
1 4
2

设 S ( x1 , ( x1 ? 1) ? 1) , R( x 2 , ( x 2 ? 1) ? 1) , x1 ? x 2
2

1 4

?

?

则由韦达定理: ?

? x1 ? x 2 ? 4k ? 2 ? x1 x 2 ? 4k ? 3

又过 S、R 点的切线方程分别为:

y?

1 ? x1 ? 1?x ? 1 x12 ? 5 和 y ? 1 ? x 2 ? 1?x ? 1 x 22 ? 5 2 4 4 2 4 4

两式作差得 2 x ? x1 ? x 2 ,即 x ? 2k ? 1 , 两式相加得 2 y ?

? x ? x 2 ? 4k ? 2 x1 ? x 2 ? 2 1 2 5 2 x ? ( x1 ? x 2 ) ? ,把 ? 1 和 2 4 2 ? x1 x 2 ? 4k ? 3

k?

x ?1 代入得到: y ? 0 ,故 B 点的轨迹方程为直线 y ? 0 . 2

21. (本小题满分 10 分) (Ⅰ) a 2 ?

1 1 1 ; a3 ? ; a4 ? . 3? 5 5? 7 7?9

(Ⅱ)猜想数列 ?a n ? 的通项公式为 a n ? 下面用数学归纳法进行证明:

1 . ( 2n ? 1)(2n ? 1)

6

(1) 当 n ? 1 时, a1 ?

1 1 ,猜想成立. ? 3 ( 2 ? 1 ? 1)(2 ? 1 ? 1) 1 成立, ( 2k ? 1)(2k ? 1)

(2) 假设当 n ? k 时, a k ?

则当 n ? k ? 1 时,由 a k ?1 ?

S k ?1 ,得 S k ?1 ? ?k ? 1??2k ? 1?a k ?1 ( k ? 1)?2k ? 1?

由 ak ?

Sk ,得 S k ? k ?2k ? 1?a k k ?2k ? 1?

两式作差得: S k ?1 ? S k ? ?k ? 1??2k ? 1?a k ?1 ? k ?2k ? 1?a k 即 a k ?1 ? ?k ? 1??2k ? 1?a k ?1 ? k ?2k ? 1?a k

?2k

2

? 3k ak ?1 ? k ?2k ? 1?ak
2k ? 1 2k ? 1 1 1 ,所以猜想成立. ak ? ? ? 2k ? 3 2k ? 3 ?2k ? 1??2k ? 1? ?2k ? 1??2k ? 3? 1 . ( 2n ? 1)(2n ? 1)

?

a k ?1 ?

综上所述,对一切正的自然数都有 a n ?

22.(本小题满分 10 分) (Ι )由 f ' ( x ) ?

a(1 ? x ) ( x ? 0) 知: x

当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间是 (0,1) ,单调减区间是 (1,? ?) ; (Ⅱ)由 f ' ( x ) ? ?

a 2 ? 1 得到 a ? ?2 ,故 f ( x ) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3, f ' ( x ) ? 2 ? , 2 x

g( x ) ? x 3 ? x 2 [

m m ? f ' ( x )] ? x 3 ? ( 2 ? ) x 2 ? 2 x , g' ( x ) ? 3 x 2 ? (4 ? m ) x ? 2 2 2

因为 g ( x ) 在区间 (t ,3) 上总存在极值,且 1 ? t ? 2 ,所以 ?

? g' ( 2) ? 0 ,解得: ? g' ( 3) ? 0

?

37 37 ? m ? ?9 ,故当 ? ? m ? ?9 时,对于任意的 t ? [1,2] ,函数 3 3

7

g( x ) ? x 3 ? x 2 [

m ? f ' ( x )]在区间 (t ,3) 上总存在极值。 2 p 2e ? ? 2 ln x x x

(Ⅲ) f ( x ) ? 2 ln x ? 2 x ? 3 ,令 F ( x ) ? h( x ) ? f ( x ) ? px ?

①当 p ? 0 时,由 x ? [1, e ] 得到 px ? p ? 0,? 使得 h( x0 ) ? f ( x0 ) 成立;

2e ? 2 ln x ? 0, 所以在 [1, e ] 上不存在 x 0 , x

② 当

p ? 0 时 , F '( x) ?

px 2 ? 2 x ? p ? 2e , 因 为 x ? [1, e ] , 所 以 x2

2e ? 2 x ? 0, px2 ? p ? 0 , F ' ( x ) ? 0 在 [1, e ] 上恒成立,故 F ( x ) 在 [1, e ] 上单调递增。
F ( x ) max ? F (e ) ? pe ? p p 4e ? 4, 由题意可知 pe ? ? 4 ? 0 , 解得 p ? 2 , 所以 p 的 e e e ?1

取植范围是 (

4e ,? ?) 。 e ?1
2

8


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