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【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 3.2同角三角函数基本关系式与诱导公式课件 理


必考部分

第三章
三角函数、解三角形

第二节

同角三角函数基本关系式与诱导公式

主干知识· 整合
热点命题· 突破

课堂实效· 检测
课时作业

主干知识·整合 01
要点梳理 追根求源

同角三角函数基本关系式
1.平方关系: sin2α+cos2α=1,其等价形式为: sin2α
2 1 - sin α =1-cos α,cos α=__________. sinα =tanα cos α 2 .商数关系: __________ ,其等价形式为: sinα =
2 2

sinα cos α tan α __________,cosα=tanα.

如何理解基本关系中“同角”的含义? 提示:只要是同一个角,基本关系就成立,不拘泥于角 sin4α 的形式,如 sin +cos =1,tan4α= 等都是成立的, 3 3 cos4α 而 sin2θ+cos2φ=1 就不一定成立.
2α 2α

1.判一判. (1)若 α,β 为锐角,sin2α+cos2β=1.( sinα (2)若 α∈R,则 tanα= 恒成立.( cosα ) )

答案:(1)×

(2)×

? π ? 1 2.若 cosα=3,α∈?-2,0?,则 tanα 等于( ? ?

)

2 A.- 4 C.-2 2

2 B. 4 D.2 2
2

解析: 由已知得 sinα =- 1-cos α =- 2 2 sinα ,所以 tanα= =-2 2. 3 cosα
答案:C

1 1- =- 9

sinα-cosα 3.若 tanα=2,则 的值为( sinα+cosα 1 A.-3 1 C. 3 5 B.-3 5 D. 3

)

sinα-cosα tanα-1 2-1 1 解析: = = = . sinα+cosα tanα+1 2+1 3
答案:C

六组诱导公式

诱导公式的口诀“奇变偶不变,符号看象限”中的“符 号”是否与 α 的大小有关? 提示: 无关, 只是把 α 从形式上看作锐角, 从而 2kπ+α(k π π ∈Z),π+α,-α,π-α,2-α,2+α 分别是第一,三,四, 二,一,二象限角.

? 19π? ? 13π? 10π 4. 计算 sin 3 - 2cos?- 4 ?+tan?- 3 ?=________. ? ? ? ?

? 4π? 解析:原式=sin?2π+ 3 ?- ? ? ? ? π? π? tan?4π+3?=sin?π+3?- ? ? ? ?

? 3π? 2cos?4π+ 4 ?- ? ?

? π? π ? ? 2cos π-4 -tan 3 ? ?

π π 3 3 =-sin + 2cos - 3=- +1. 3 4 2
3 3 答案:- 2 +1

3 5.已知 tanα= 3,π<α<2π,则 cosα-sinα=________.

3 4 解析:∵tanα= 3, π<α< π,∴α= π,∴cosα-sinα 2 3 3-1 4 4 π π 1 3 =cos π-sin π=-cos +sin =- + = . 3 3 3 3 2 2 2
3-1 答案: 2

1. 同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号 的影响,尤其是利用平方关系在求三角函数值时,进行开方 时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍.

2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简 sinx 时,常用方法有:(1)弦切互化法:主要利用公式 tanx=cosx 化成正弦、余弦函数; (2)和积转换法:如利用 (sinθ± cosθ)2 =1± 2sinθcosθ 的关系进行变形、转化;(3)巧用“1”的变换: π 1=sin θ+cos θ=cos θ(1+tan θ)=tan =?. 4
2 2 2 2

热点命题· 突破 02
考点突破 解码命题

同角三角函数基本关系式

3 【例 1】 (1)已知 cos(π+x)= ,x∈(π,2π),则 tanx 5 =________. (2)已知 sinα+ 2cosα= 3,则 tanα=( 2 A. 2 2 C.- 2 B. 2 D.- 2 )

【解析】

3 3 (1)∵cos(π+x)=-cosx=5,∴cosx=-5.

又 x∈(π,2π), ∴sinx=- 1-cos x=- sinx 4 ∴tanx=cosx=3.
2

32 4 1-?-5? =-5,

(2)∵sinα+ 2cosα= 3,∴(sinα+ 2cosα)2=3, ∴sin2α+2 2sinαcosα+2cos2α=3. sin2α+2 2sinαcosα+2cos2α ∴ =3. sin2α+cos2α tan2α+2 2tanα+2 ∴ =3. tan2α+1 2 ∴2tan α-2 2tanα+1=0.∴tanα= 2 .
2

4 【答案】 (1)3

(2)A

(1)利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正 sinα 弦、 余弦的互化, 利用cosα=tanα 可以实现角 α 的弦切互化. (2)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α= 1-cos2α,cos2α=1-sin2α.

1+sinx 1 cosx (1)已知 cosx =-2,那么 的值是( sinx-1 1 A.2 C.2 1 B.-2 D.-2

)

2sin2α+1 (2)已知 tanα=2,则 sin2α =( 5 A.3 13 C. 5 13 B.- 4 13 D. 4

)

1+sinx sinx-1 sin2x-1 解析:(1)由于 cosx · cosx = cos2x =-1, 故 cosx 1 =2. sinx-1

(2)解法 1:切化弦的思想:因为 tanα=2, 1 所以 sinα=2cosα,cosα= sinα. 2 4 又 sin α+cos α=1,故 sin α=5.
2 2 2

2sin2α+1 2sin2α+1 2sin2α+1 所以 sin2α =2sinαcosα= sin2α

4 2×5+1 13 = = 4 .故选 D. 4 5 解法 2:弦化切的思想: 2sin2α+1 2sin2α+sin2α+cos2α 因为 sin2α = 2sinαcosα 3sin2α+cos2α 3tan2α+1 3×22+1 13 = 2sinαcosα = 2tanα = = 4 .故选 D. 2×2

答案:(1)A (2)D

诱导公式的简单应用

【例 2】 (2014· 安徽卷)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+ π)=f(x)+sinx.当 0≤x<π 时,f(x)=0,则 1 A.2 C.0 3 B. 2 1 D.-2
?23π? f? 6 ?=( ? ?

)

【解析】

由题意得

?23π? ?17π? 17π ?11π? f? 6 ?= f? 6 ? + sin 6 =f ? 6 ? + ? ? ? ? ? ?

11π 17π ?5π? 5π 11π 17π 1 1 1 ? ? sin 6 +sin 6 =f 6 +sin 6 +sin 6 +sin 6 =0+2-2+2 ? ? 1 = . 2
【答案】 A

诱导公式应用的步骤

提醒: 诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数 的符号.

sin?kπ+α? cos?kπ+α? (1)已知 A= sinα + cosα (k∈Z),则 A 的值构 成的集合是( ) B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2}

A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2}

(2)sin600° +tan240° 的值等于________.

sinα cosα 解析:(1)当 k 为偶数时,A=sinα+cosα=2. -sinα cosα k 为奇数时,A= sinα -cosα=-2. (2)sin600° + tan240° = sin(720° - 120° ) + tan(180° + 60° ) 3 3 =-sin120° +tan60° =- 2 + 3= 2 .
答案:(1)C 3 (2) 2

巧用诱导公式求值

【例 3】 (1)已知 ________; (2)已知

?π ? 1 sin?3-α?=2,则 ? ?

?π ? cos?6+α?= ? ?

?π ? tan?6-α?= ? ?

?5 ? 3 ? π+α?=________. ,则 tan 3 ?6 ?

【解析】

?π ? ?π ? π (1)∵?3-α?+?6+α?=2, ? ? ? ?

?π ?π ?? ?π ? ?π ? 1 ? ? ∴cos?6+α?=cos?2-?3-α??=sin?3-α?=2. ? ?? ? ? ? ? ? ?π ? ?5π ? ?5 ? (2)∵?6-α?+? 6 +α?=π,∴tan?6π+α? ? ? ? ? ? ? ? ?5 ?? ?π ? =-tan?π-?6π+α??=-tan?6-α?=- ? ? ?? ? ?

3 3.

【答案】

1 (1) 2

3 (2)- 3

巧用相关角的关系会简化解题过程. 常见的 π π π π π π 互余关系有3-α 与6+α;3+α 与6-α;4+α 与4-α 等,常 π 2π π 3π 见的互补关系有3+θ 与 3 -θ;4+θ 与 4 -θ 等.

已知

?7π ? 2 sin?12+α?=3,则 ? ?

? 11π? cos?α- 12 ?=________. ? ?

? ?11π ? 11π? 解析:cos?α- 12 ?=cos? 12 -α? ? ? ? ? ? ?π ?? ?π ? =cos?π-?12+α??=-cos?12+α?, ? ? ?? ? ?



?π ? π ?? ?7π ? ?π ? 2 ? ? sin ?12+α? = sin ?2+?12+α?? = cos ?12+α? = ,所以 ? ?? ? ? ? ? 3 ?

? 11π? 2 ? ? cos α- 12 =-3. ? ?

2 答案:- 3

热点微专题之数学思想系列(三) sinα± cosα 及 sinαcosα 间的方程思想 对于 sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα 这三个式子,已 知 其 中 的 一 个 式 子 的 值 , 可 利 用 公 式 (sinα± cosα)2 = 1± 2sinαcosα 求其余两式的值,体现了方程思想的应用.

【典例】 -sinα 的值为( 3 A.- 2 3 C.-4

1 5π 3π (1)已知 sinαcosα=8,且 4 <α< 2 ,则 cosα ) 3 B. 2 3 D.4

? 2 ?π (2)已知 sin(π- α) - cos(π + α)= ?2<α<π? ,则 sinα- 3? ?

cosα=________.

(1)可先考虑 cosα-sinα 的符号,然后平 方解决; 2 (2)将条件化简可得 sinα+cosα= 3 , 然后两边平方可求 sinαcosα 的值,然后同问题(1)解决.

【规范解答】

5π 3π (1) ∵ 4 <α< 2 ,∴ cosα<0 , sinα<0 且

|cosα|<|sinα|,∴cosα-sinα>0, 1 3 又(cosα-sinα) =1-2sinαcosα=1-2×8=4,
2

3 ∴cosα-sinα= 2 . 2 (2)由 sin(π-α)-cos(π+α)= 3 , 2 得 sinα+cosα= 3 ,①

2 将①两边平方得 1+2sinαcosα=9, 7 故 2sinαcosα=-9. ∴(sinα-cosα)
2

? 7? 16 =1-2sinαcosα=1-?-9?= 9 . ? ?

π 又∵2<α<π,∴sinα>0,cosα<0. 4 ∴sinα-cosα=3.
4 【答案】 (1)B (2)3

名师点评

解决此类问题的关键是等式 (sinα± cosα)2 =

1± 2sinαcosα. 但 要 特 别 注 意 对 sinα + cosα , sinα - cosα , sinαcosα 符号的关注.

π 1 已 知 - 2 <x<0 , sinx + cosx = 5 , 则 sinx - cosx = ________.

1 解 析 : 将 等式 sinx + cosx = 5 两 边平 方, 得 sin2x + 1 24 2sinx· cosx+cos x=25,即 2sinxcosx=-25,
2

49 π ∴(sinx-cosx) =1-2sinxcosx=25.又-2<x<0,
2

7 ∴sinx<0,cosx>0,sinx-cosx<0,故 sinx-cosx=-5.
7 答案:-5

课堂实效· 检测 03
当堂检验 小试牛刀

? π π? 3 ? ? 1.α∈ -2,2 ,sinα=-5,则 ? ?

cos(-α)=(

)

4 A.-5

4 B.5

3 C.5

3 D.-5

解析:因为 4 cos(-α)=5.

? π π? 3 ? ? α∈ -2,2 ,sinα=- ,所以 5 ? ?

4 cosα= ,即 5

答案:B

2. 1-2sin?π+2?cos?π+2?=( A.sin2-cos2 C.± (sin2-cos2)

)

B.cos2-sin2 D.sin2+cos2

解析: 1-2sin?π+2?cos?π+2?= 1-2sin2· cos2 = sin22-2sin2· cos2+cos22=|sin2-cos2|. π 又∵ <2<π,∴sin2>0,cos2<0. 2 ∴|sin2-cos2|=sin2-cos2.

答案:A

? 31π? sin?π-α?cos?2π-α? 3.已知 f(α)= ,则 f?- 3 ?的值为 cos?-π-α?tanα ? ?

(

) 1 A. 2 1 C.-2 1 B.- 3 1 D.3

sinαcosα 解析:∵f(α)= =-cosα, -cosαtanα
? 31π? ? 31π? ? π? π ? ? ? ? ? ? ∴f - 3 =-cos - 3 =-cos 10π+3 =-cos3 ? ? ? ? ? ?

1 =- . 2
答案:C

?3 ? 1 4. 如果 sin(π+A)=2, 那么 cos?2π-A?的值是________. ? ?

1 1 解析:∵sin(π+A)= ,∴-sinA= . 2 2
?3 ? 1 ? ? ∴cos 2π-A =-sinA=2. ? ?

1 答案:2

4 π 5.已知 sinθ=5,2<θ<π. (1)求 tanθ 的值; sin2θ+2sinθcosθ (2)求 的值. 3sin2θ+cos2θ

9 解:(1)∵sin2θ+cos2θ=1,∴cos2θ=25. π 3 又2<θ<π,∴cosθ=-5. sinθ 4 ∴tanθ=cosθ=-3. sin2θ+2sinθcosθ tan2θ+2tanθ 8 (2)由(1)知, = =-57. 3sin2θ+cos2θ 3tan2θ+1


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