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【优化方案】2014届高考数学2.4 函数的奇偶性与周期性 课时闯关(含答案解析)


一、选择题 1.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可得:若定义在 R 上 的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( ) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 解析: D.由所给函数及其导数知, 选 偶函数的导函数为奇函数. 因此当 f(x)是偶函数时, 其导函数应为奇函数,故 g(-x)=-g(x). 2.(2011· 高考广东卷)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒 成立的是( ) A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数 解析:选 A.由 f(x)是偶函数,可得 f(-x)=f(x), 由 g(x)是奇函数可得 g(-x)=-g(x), 故|g(x)|为偶函数,∴f(x)+|g(x)|为偶函数. 3.(2011· 高考湖北卷)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax-a -x +2(a>0,且 a≠1).若 g(2)=a,则 f(2)=( ) 15 A.2 B. 4 17 C. D.a2 4 解析:选 B.∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, - ∴由 f(x)+g(x)=ax-a x+2,① -x 得-f(x)+g(x)=a -ax+2,② - ①+②,得 g(x)=2,①-②,得 f(x)=ax-a x. 又 g(2)=a,∴a=2, - ∴f(x)=2x-2 x, 15 - ∴f(2)=22-2 2= . 4 4.(2013· 宁波模拟)已知 y=f(x)是偶函数,而 y=f(x+1)是奇函数,且对任意 0≤x≤1, 98 101 106 都有 f′(x)≥0,则 a=f( ),b=f( ),c=f( )的大小关系是( ) 19 17 15 A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c 解析:选 A.由已知得 f(-x)=f(x),f(-x+1)=-f(x+1).从而得 f(x)=f(x+4),f(1)=0. 98 16 101 1 106 14 ∴f( )=-f( ),f( )=-f( ),f( )=f( ). 19 19 17 17 15 15 ∵0≤x≤1 时都有 f′(x)≥0,∴f(x)在[0,1]上递增, 14 1 16 106 98 101 且在[0,1)上都有 f(x)<0.∴f( )<0,f( )<f( )<0.∴f( )<f( )<f( ),即 c<a<b. 15 17 19 15 19 17 5.已知定义域为 R 的函数 y=f(x),则下列命题: ①若 f(x-1)=f(1-x)恒成立,则函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ②若 f(x+1)+f(1-x)=0 恒成立,则函数 y=f(x)的图象关于(1,0)点对称; ③函数 y=f(x-1)的图象与函数 y=f(1-x)的图象关于 y 轴对称; ④函数 y=-f(x-1)的图象与函数 y=f(1-x)的图象关于原点对称; ⑤若 f(1+x)+f(x-1)=0 恒成立,则函数 y=f(x)以 4 为周期. 其中真命题有( ) A.①④ B.②③

C.②⑤ D.③⑤ 解析:选 C.由 f(x-1)=f(1-x)知 y=f(x)图象关于 x=0 对称,故①错;由 f(1+x)+f(1 -x)=0 知 y=f(x)图象关于(1,0)点对称,②正确;函数 y=f(x-1)的图象与函数 y=f(1-x)图 象关于 x=1 对称,故③错;函数 y=-f(x-1)的图象与函数 y=f(1-x)的图象关于(1,0)点对 称,故④错;若 f(1+x)+f(x-1)=0,则 f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),函数 y =f(x)以 4 为周期,⑤正确.综上,②⑤正确,故选 C. 二、填空题 6.(2011· 高考浙江卷)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析:∵函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数, ∴f(-x)=f(x),即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|, ∴|-x+a|=|x+a|,∴a=0. 答案:0 ?x+1?2+sin x 7.(2012· 高考课标全国卷)设函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值为 m,则 M x2+1 +m=________. x2+2x+1+sin x 2x+sin x 2x+sin x 解析:f(x)= =1+ 2 ,考察函数 g(x)= 2 ,显然函数 g(x) 2 x +1 x +1 x +1 为奇函数,所以 g(x)的最大值与最小值的和为 0,所以函数 f(x)的最大值与最小值的和为 2. 答案:2 1 8.若 f(x)是 R 上的奇函数,则函数 y=f(x- )+1 的图象必过点________. 2 1 1 1 解析:y=f(x- )+1 由 y=f(x)向右平移 个单位再向上平移 1 个单位.(0,0)→( ,1). 2 2 2 1 答案:( ,1) 2 三、解答题 ex a 9.设 a>0,f(x)= + x是 R 上的偶函数,求实数 a 的值并求 f(x)的值域. a e 解:∵f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(-x)=f(x)在 R 上恒成立. - e x a ex a 即 + -x= + x, a e a e 2 2x 即(a -1)e +1-a2=0,对任意的 x 恒成立, ?a2-1=0, ? ∴? 解得 a=1. ? ?a>0, 1 ∴f(x)=ex+ x. e 1 1 当 x∈R 时,ex>0,∴f(x)=ex+ x≥2 ex·x=2. e e 当且仅当 x=0 时,取“=”. ∴f(x)的值域为[2,+∞). 10.已知奇函数 f(x)在定义域[-2,2]内递减,求满足:f(1-m)+f(1-m2)<0 的实数 m 的 取值范围. ? ?-2≤1-m≤2, 解:∵f(x)的定义域为[-2,2],∴有? 2 ? ?-2≤1-m ≤2, 解得-1≤m≤ 3,① 又 f(x)为奇函数,在[-2,2]上递减, ∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1), ∴1-m>m2-1, 即-2<m<1.②

综合①②可知,-1≤m<1. 11.(探究选做)是否存在实数 a,使得函数 f(x)=log2(x+ x2+2)-a 为奇函数,同时使 1 函数 g(x)=x· x +a)为偶函数?证明你的结论. ( a -1
?f?-x?=-f?x? ? 解:假设存在 a 满足题目要求,则? , ? ?g?-x?=g?x? 1 令 x=0,由 f(0)=0 得 a= , 2 1 1 此时 g(x)=x· -x + ), ( 2 -1 2 1 1 1 1 ∴g(-x)=-x· x + )=x· ( ( x- ) 2 -1 2 1-2 2 1+2x =x· . 2?1-2x? 1+2x 1 1 而 g(x)=x( -x + )=x· , 2 -1 2 2?1-2x? 1 ∴g(-x)=g(x),∴a= 时,g(x)为偶函数. 2 1 因此,存在 a= 满足题目条件. 2


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