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数学(理)卷·2015届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研考试(2014.09)word版


武汉市 2015 届高三 9 月调研测试 数 学(理科)
2014.9.5 【试卷综析】 这套试题具体来说比较平稳,基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当 调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、解析几 何、立体几何、概率、复数等几章知识,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察 了学生的学习方法和思维能力的考察 ,有

相当一部分的题目灵活新颖 ,知识点综合与迁移 .以 它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能. 试题中无偏题,怪题,起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1+2i 【题文】1. = (1-i)2 1 A.-1-2i 1 B.-1+2i 1 C.1+2i 1 D.1-2i

【知识点】复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 .L4 【答案解析】B 解析:

1 + 2i

( 1 - i)

2

=

1 + 2i ( 1 + 2i) ( 2i) 1 = = - 1 + i ,故选 B. - 2i 2 ( - 2i) ( 2i)

【思路点拨】根 据 复 数 的 除 法 法 则 可 知 分 组 分 母 同 乘 以 分 母 的 共 轭 复 数 , 然 后 将 其 化 简 成 a+bi ( a ∈ R , b ∈ R ) 的 形 式 即 可 . 【题文】2.已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】必 要 条 件 、 充 分 条 件 与 充 要 条 件 的 判 断 . A2 【答案解析】A 解析:当 a=3 时 , A={1 , 3} 所 以 A ? B , 即 a=3 能 推 出 A ? B ;

反 之 当 A ? B 时 , 所 以 a=3 或 a=2 , 所 以 A ? B 成 立 , 推 不 出 a=3 故 “ a=3 ” 是 “ A ? B ” 的 充 分 不 必 要 条 件 ,故 选 A . 【思路点拨】先 有 a=3 成 立 判 断 是 否 能 推 出 A ? B 成 立 , 反 之 判 断 “ A ? B ” 成 立 是 否 能 推 出 a=3 成 立 ; 利 用 充 要 条 件 的 题 意 得 到 结 论 . 【题文】3.已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数x =3,y =3.5,则由该 观测数据算得的线性回归方程可能是 A.^ y =0.4x+2.3 B.^ y =2x-2.4 【知识点】线 性 回 归 方 程 . I4 【答案解析】A C.^ y =-2x+9.5 D.^ y =-0.3x+4.4

解析:∵ 变 量 x 与 y 正 相 关 ,∴ 可 以 排 除 C ,D ;样 本 平 均 数 x =3,

y =3.5,代 入 A 符 合 , B 不 符 合 , 故 选 A . 【思路点拨】变 量 x 与 y 正 相 关 , 可 以 排 除 C , D ; 样 本 平 均 数 代 入 可 求 这 组 样 本 数据的回归直线方程. 【题文】4.已知向量 a,b 的夹角为 45°,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|= A. 2 B.2 2 C.3 2 D.4 2 【知识点】平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 . F3 【答案解析】C
2

解析:因 为 a, b 的 夹 角 为 45 °, 且 | a |=1 , |2 a - b |= 10,
2
2

所 以 4 a -4 a ×b + b =10 , 即 b - 2 2 b - 6= 0 , 解 得 b = 3 2 或 b = - 2 ( 舍 ) , 故 选 C. 【思路点拨】将 |2 a - b |= 10平 方 , 然 后 将 夹 角 与 | a |=1 代 入 , 得 到 b 的 方 程 , 解方程可得. 【题文】5.若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积 为 11 A. 2 B.5 9 C.2 D.4 【知识点】简 单 几 何 体 三 视 图 , 棱 柱 的 体 积 .G2 G7 【答案解析】D 解析:由 图 可 知 , 此 几 何 体 为 直 六 棱 柱 , 底 面 六 边 形 可 看 做 两 个 全 等 的 等 腰 梯 形 , 上 底 边 为 1, 下 底 边 为 3, 高 为 1,

∴ 棱 柱 的 底 面 积 为 2?

(1 + 3)
2

1

4, 棱柱的高为 1

∴ 此 几 何 体 的 体 积 为 V=4 ? 1=4,故 选 D. 【思路点拨】先 根 据 三 视 图 判 断 此 几 何 体 为 直 六 棱 柱 , 再 分 别 计 算 棱 柱 的 底 面 积 和高,最后由棱柱的体积计算公式求得结果. 【题文】6.在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60°,则 BC 边上的高等于 3 3 3 A. 2 B. 2 【知识点】余 弦 定 理 . C8 C. 3+ 6 2 D. 3+ 39 4

【答案解析】B

解析:在 △ ABC 中 , 由 余 弦 定 理 可 得 , AC 2 =AB 2 +BC 2 -2AB ? BCcosB

把 已 知 AC= 7, BC=2 B=60 °代 入 可 得 , 7=AB 2 +4-4AB ? 整 理 可 得 , AB 2 -2AB-3=0,∴ AB=3,作 AD ⊥ BC 垂 足 为 D

1 2

3 3 3 3 Rt △ ABD 中 , AD=AB ? sin60 ° = 2 , 即 BC 边 上 的 高 为 2 ,故选 B. 【思路点拨】在 △ ABC 中 ,由 余 弦 定 理 可 得 ,AC 2 =AB 2 +BC 2 -2AB ? BCcosB 可 求 AB=3 , 作 AD ⊥ BC , 则 在 Rt △ ABD 中 , AD=AB ? sinB 即 可 得 到 结 果 . x+y-2≤0, ? ? 【题文】7.x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0, 若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一, ? ?2x-y+2≥0. 则实数 a 的值为 1 A.2或-1 1 B.2 或2 C.2 或 1 D.2 或-1

【知识点】简 单 线 性 规 划 . E5 【答案解析】D 解析:作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 : ( 阴 影 部 分 ABC ) .

由 z=y-ax 得 y=ax+z , 即 直 线 的 截 距 最 大 , z 也 最 大 . 若 a=0 , 此 时 y=z , 此 时 , 目 标 函 数 只 在 A 处 取 得 最 大 值 , 不 满 足 条 件 , 若 a> 0, 目 标 函 数 y=ax+z 的 斜 率 k=a > 0 , 要 使 z=y-ax 取 最 大 值 的 最 优 解 不 唯 一 ,

则 直 线 y=ax+z 与 直 线 2x-y+2=0 平 行 , 此 时 a=2 , 若 a< 0, 目 标 函 数 y=ax+z 的 斜 率 k=a < 0 , 要 使 z=y-ax 取 最 大 值 的 最 优 解 不 唯 一 , 则 直 线 y=ax+z 与 直 线 x+y-2=0 , 平 行 , 此 时 a=-1 , 综 上 a=-1 或 a=2 , 故 选 : D 【思路点拨】作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 , 利 用 目 标 函 数 的 几 何 意 义 , 得 到 直 线 y=ax+z 斜 率 的 变 化 , 从 而 求 出 a 的 取 值 . 【题文】8.如图,互不相同的点 A1,A2,?,An,?和 B1,B2,?,Bn,?分别在角 O 的 两条边上,所有 AnBn 相互平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等.设 OAn=an, 若 a1=1,a2=2,则 a9= A. 19 B. 22 【知识点】数 列 的 应 用 . D2 【答案解析】C C.5 D.2 7

解析:设 S △ O A 1 B 1 = S ,∵ OA 1 =a 1 =1 , OA 2 =a 2 =2 , A 1 B 1 ∥ A 2 B 2 ,

∴ A 1 B 1 是 三 角 形 OA 2 B 2 的 中 位 线 , ∴

S S

OA1B1 OA2 B2

1 1 ? ( )2 ? , ∴ 梯 形 A 1 B 1 B 2 A 2 2 4

的 面 积 为 3S . 故 梯 形 A n B n B n+ 1 A n+ 1 的 面 积 =3S .
* ∵ 所 有 AnBn 相 互 平 行 , ∴ 所 有 △ OA n B( 都相似, ∴ n n∈ N )

2 2 a2 4s 4 a3 7s 7 , = ? = ? , 2 2 a1 s 1 a2 4s 4

,?,
2 2 2 ∵ a1 ? 1 , ∴ a2 ? 4 , a3 ? 7,?. 2 2 ∴ 数 列 { an } 是 一 个 等 差 数 列 , 其 公 差 d=3 , 故 an =1+ ( n-1 ) ? 3=3n-2 .

∴ a n = 3n ? 2 . 所 以 a9 ? 5 , 故 选 C.
2 【思路点拨】先根据题意得到数 列 { an } 是 一 个 等 差 数 列 , 再 代 入 n=9 即 可 .

→ → 【题文】 9. 已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点, 点 A, B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, OA? OB =2(其中 O 为坐标原点) ,则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是 2 2 2 A. 8 B. 4 C. 2 D. 2 【知识点】抛物线的性质;基本不等式.H7 E6 【答案解析】B → → 2 2 解析:不妨设 A y1 , y1 ,B y2 , y2 ,其中 y1 ? 0, y2 ? 0 ,由OA?OB=
2 2

?

?

?

?

2 可得: y1 y2 ? y1 y2 ? 2 ,解得 y1 y2 ? ?2, y1 y2 ? 1(舍去) ,故 y2 ?

?2 ,由此可得△AFO y1

与△BFO 面积之和为 故选 B.

1 1? 2? 1 2 1 ? OF y1 ? y2 ,所以 ? OF y1 ? y2 ? ? y1 ? ? ? ? 2 2 ? , 2 8? y1 ? 8 4 2

【思路点拨】先利用已知条件得到 y2 ?

?2 ,再结合基本不等式求出最小值即可. y1

1 【题文】10.已知函数 f(x)=x2+ex-2(x<0)与 g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于 y 轴 对称的点,则 a 的取值范围是 1 1 1 A.(-∞, ) B.(-∞, e) C.(- , e) D.(- e, ) e e e 【知识点】函 数 的 图 象 和 性 质 ; 函 数 的 零 点 ; 函 数 单 调 性 的 性 质 .B9 B10 B3 【答案解析】B 1 解析:由 题 意 可 得 : 存 在 x 0 ∈ ( - ∞ , 0 ) , 满 足 x 0 2 +e x 0 - 2

1 = ( -x 0 ) 2 +ln ( -x 0 +a ) , 即 e x 0 - 2-ln ( -x 0 +a ) =0 有 负 根 , 1 ∵ 当 x 趋 近 于 负 无 穷 大 时 , e x 0 - 2-ln ( -x 0 +a ) 也 趋 近 于 负 无 穷 大 , 1 1 且 函 数 g ( x ) =e x - 2-ln ( -x+a ) 为 增 函 数 , ∴ g ( 0 ) = 2-lna > 0 , ∴ lna < ln e, ∴ a < e, ∴ a 的 取 值 范 围 是 ( - ∞ , e) , 故 选 : B 1 2 【思路点拨】 由题意可得: 存 在 x0∈ ( -∞ , 0) , 满 足 x 0 2 +e x 0 - 2= ( -x 0 ) +ln ( -x 0 +a ) , 1 1 结 合 函 数 g ( x ) =e x - 2-ln ( -x+a ) 图 象 和 性 质 , 可 得 g ( 0 ) = 2-lna > 0 , 进 而 得 到答案. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号 的位 ....... 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 1 【题文】11.设二项式( x- 3 )5 的展开式中常数项为 A,则 A= x 【知识点】二项式定理.J3 【 答 案 解 析 】 - 10
5? r 2 r 3



解析:二 项 式 (
15?5 r 6

x-

1 3 x

)5 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为

Tr ?1 ? C x (?1 )x
r 5 r

?

? (? 1 ) C x
r r 5


3



15?5r 6

=0 , 解 得 r=3 , 故 展 开 式 的 常 数 项 为 - ?C5 =-10 ,

故 答 案 为 -10 . 【思路点拨】 先 求 出 二 项 式 展 开 式 的 通 项 公 式 ,再 令 x 的 系 数 等 于 0 ,求 得 r 的 值 ,

即可求得展开式中的常数项的值. 【题文】12.如果执行如图所示的程序框图,输入 x=-1,n=3,则输出的数 S= .

【知识点】程 序 框 图 .L1 【答案解析】-4 解析:判 断 前 x=-1 , n=3 , i=2 ,

第 1 次 判 断 后 循 环 , S=-6+2+1=-3 , i=1 , 第 2 次 判 断 后 S=5 , i=0 , 第 3 次 判 断 后 S=-4 , i=-1 , 第 4 次 判 断 后 -1 ≥ 0 , 不 满 足 判 断 框 的 条 件 , 结 束 循 环 , 输 出 结 果 : -4 . 故 答 案 为 : -4 . 【思路点拨】列 出 循 环 过 程 中 S 与 K 的 数 值 ,不 满 足 判 断 框 的 条 件 即 可 结 束 循 环 . 【题文】13.正方形的四个顶点 A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线 y=-x2 和 y=x2 上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在图 中阴影区域的概率是 .

【知识点】积分的意义;几何概型..B13 K3 2 【答案解析】3 解析:因为 y ? x2 ,所以在第一象限有 x ?

y ,则在第一象限的阴影

部分的面积为

?

1 0

2 ?4 ?2 3 ? 2 2 2 3 ,所以概率为 ? ,故答案为 . ydy ? ? y 2 ? y ? |1 ? 0 3 2? 2 3 3 ?3 ?

【思路点拨】先利用积分的意义求出图形在第一象限的阴影部分的面积,然后求概率即可. x2 y2 【题文】14.已知椭圆 C: 4 + 3 =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称 点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|= 【知识点】椭 圆 的 定 义 ; 椭 圆 的 基 本 性 质 的 应 用 .H5 【答案解析】8 解析:如 图 : .

MN 的 中 点 为 Q , 易 得 | QF 2 | =

1 1 | NB | , | QF 1 | = | AN | , 2 2

∵ Q 在 椭 圆 C 上 , ∴ |QF 1 |+|QF 2 |=2a=4 , ∴ |AN|+|BN|=8 . 故 答 案 为 8 . 【思路点拨】 画出图形, 利用中点坐标以及椭圆的定义, 即 可 求 出 |AN|+|BN| 的 值 .

【题文】15.平面几何中有如下结论:如图 1,设 O 是等腰 Rt△ABC 底边 BC 的中点,AB= 1 1 1,过点 O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为 Q,R,则有AQ+AR=2.类比此结 论,将其拓展到空间有:如图 2,设 O 是正三棱锥 A-BCD 底面 BCD 的中心,AB,AC, AD 两两垂直, AB=1, 过点 O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为 Q, R,P,则有 . 【知识点】类比推理.M1 【 答 案 解 析 】 1 AQ + 1 AR + 1 AP = 3

M

N

解析:不妨设 R 为 AC 的中点,取 AB 的中点 M,连接 RM,QR 与 BC 交于 N,所以 BN//MR,

2 QB BN 2 QB BN 2 2 = = 3 = ,解得 QB = 1 ,所 = 故 BN = ,所以 ,即 , MR = 1 MR QM MR 3 2 2 3 QB + 2 2
以 AQ = AP = 2 , AR =

1 1 1 1 1 1 1 ,所以 + + = + + = 3 ,故答案为 3. 2 AQ AR AP 2 1 2 2

【思路点拨】不妨设 R 为 AC 的中点,取 AB 的中点 M,连接 RM,QR 与 BC 交于 N,所以 BN//MR,然后求出各线段的长度代入即可. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)-2. π 2 (Ⅰ)若 sin(4+α)= 2 ,且 0<α<π,求 f(α)的值; (Ⅱ)当 f(x)取得最小值时,求自变量 x 的集合. 【知识点】三角函数求值;三角函数的最值. C7

1 3π 【答案解析】 (Ⅰ)-2(Ⅱ){x|x=kπ- 8 ,k∈Z} π π 5π 解析: (Ⅰ)∵0<α<π,∴4<4+α< 4 . π 2 π 3π π ∵sin(4+α)= 2 ,∴4+α= 4 ,即 α=2. ???????2 分 ???????4 分

1 π π π 1 1 ∴f(α)=cosα(sinα+cosα)-2=cos2(sin2+cos2)-2=-2.????????6 分 1+cos2x 1 1 1 (Ⅱ)f(x)=sinxcosx+cos2x-2=2sin2x+ -2 2 1 1 2 π =2sin2x+2cos2x= 2 sin(2x+4). π π 当 2x+4=2kπ-2,k∈Z, 3π 即 x=kπ- 8 ,k∈Z 时,f(x)取得最小值, ???????10 分 ???????7 分 ???????8 分

3π 此时自变量 x 的集合为{x|x=kπ- 8 ,k∈Z}.????????????12 分 【思路点拨】 (Ⅰ)先利用已知条件解出 α 再代入求值即可; (Ⅱ)把函数化简,利用三角函 数的性质求出最小值以及自变量 x 的集合即可. 【题文】17. (本小题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn -1,其中 λ 为常数. (Ⅰ)证明:an+2-an=λ; (Ⅱ)当 λ 为何值时,数列{an}为等差数列?并说明理由. 【知识点】数 列 递 推 式 ; 等 差 关 系 的 确 定 . D1 D2 【答案解析】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ)λ=4. 解析: (Ⅰ)由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1.??????1 分 两式相减,得 an+1(an+2-an)=λan+1. ??????2 分 由于 an+1≠0,所以 an+2-an=λ.????????????????4 分 (Ⅱ)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得 a2=λ-1.??????6 分 由(Ⅰ)知,a3=λ+1. 令 2a2=a1+a3,解得 λ=4. ??????6 分 故 an+2-an=4,由此可得 {a2n-1}是首项为 1,公差为 4 的等差数列,a2n-1=4n-3;??????8 分 {a2n}是首项为 3,公差为 4 的等差数列,a2n=4n-1.??????10 分 所以 an=2n-1,an+1-an=2. 因此当 λ=4 时,数列{an}为等差数列.???????????????12 分 【思路点拨】 (Ⅰ)利 用 a n a n + 1 = λ S n -1 , a n+ 1 a n+ 2 = λ S n+ 1 -1 , 相 减 即 可 得 出 ; (Ⅱ)先由题设可得 a2=λ-1,由(Ⅰ)知,a3=λ+1,解得 λ=4,然后判断即可. 【题文】18. (本小题满分 12 分)如图,在三棱锥 P-ABQ 中,PB⊥平面 ABQ,BA=BP=BQ, D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交 于点 H,连结 GH.

(Ⅰ)求证:AB∥GH; (Ⅱ)求平面 PAB 与平面 PCD 所成角的正弦值.

【知识点】线面平行的性质定理;二面角.G4 G10 5 【答案解析】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ) 5 解析: (Ⅰ)∵D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,???????1 分 ∴EF∥AB,DC∥AB, ???????2 分 ∴EF∥DC. 又 EF ?平面 PCD,DC?平面 PCD, ∴EF∥平面 PCD. ???????3 分 又 EF ?平面 EFQ,平面 EFQ∩平面 PCD=GH,???????4 分 ∴EF∥GH. 又 EF∥AB, ∴AB∥GH.????????????????????????????6 分 (Ⅱ)在△ABQ 中,∵AQ=2BD,AD=DQ,∴∠ABQ=90°,即 AB⊥BQ. 又 PB⊥平面 ABQ,∴BA,BQ,BP 两两垂直. 以 B 为坐标原点,分别以 BA,BQ,BP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所 示的空间直角坐标系.设 BA=BQ=BP=2,则 B(0,0,0),Q(0,2,0),D(1,1, 0),C(0,1,0),P(0,0,2),(注:坐标写对给 2 分) → → ∴DP=(-1,-1,2),CP=(0,-1,2).???????8 分 设平面 PCD 的一个法向量为 n=(x,y,z), → → 由 n?DP=0,n?CP=0,得
?-x-y+2z=0, ? ? 取 z=1, ? ?-y+2z=0.

得 n=(0,2,1).???????10 分 → 又BQ=(0,2,0)为平面 PAB 的一个法向量, → n?BQ 2?2 2 5 → ∴cos<n,BQ>= → = 5?2= 5 . |n||BQ| 5 故平面 PAB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 5 .????????????12 分

【思路点拨】 (Ⅰ)结合已知条件先证明出 EF∥平面 PCD,然后证明即可; (Ⅱ)以 B 为坐 标原点,分别以 BA,BQ,BP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标 系,找出平面 PCD 的一个法向量以及平面 PAB 的一个法向量,代入公式计算可得. 【题文】19. (本小题满分 12 分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元, 此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:

(Ⅰ)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (Ⅱ)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 ...2000 元的 概率. 【知识点】离散型随机变量的分布列;相互独立事件的概率. K5 K6 【答案解析】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ)0.896. 解析: (Ⅰ)设 A 表示事件“作物产量为 300kg” ,B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg” , 由题设知 P(A)=0.5,P(B)=0.4. (注:基本事件叙述各 1 分)2 分 ∵利润=产量?市场价格-成本, ∴X 所有可能的取值为 500?10-1000=4000,500?6-1000=2000, 300?10-1000=2000,300?6-1000=800. ???????4 分 - P(X=4000)=P(A)P(B)=(1-0.5)?(1-0.4)=0.3, P(X=2000)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=(1-0.5)?0.4+0.5?(1-0.4)=0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.5?0.4=0.2. ∴X 的分布列为 X 4000 2000 800 ????6 分(注:每个概率 1 分) (Ⅱ)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元” (i=1,2,3) ,????8 分 由题意知 C1,C2,C3 相互独立,由(Ⅰ)知, P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3) . ∴这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为 3 2 2 P=C3 3?0.8 +C3?0.8 ?0.2=0.512+0.384=0.896.??????????12 分 【思路点拨】 (Ⅰ)设 A 表示事件“作物产量为 300kg” ,B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg” ,由题设知 P(A)=0.5,P(B)=0.4,再依次计算出各自的概率,然后列出分布列; (Ⅱ) 设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元” (i=1,2,3) ,由题意知 C1,C2,C3 相互独立, 即可计算 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率. 【题文】20. (本小题满分 13 分) 如图,动点 M 与两定点 A(-1,0),B(2,0)构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB.设动点 M 的轨迹为 C. (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y=-2x+m(其中 m<2)与 y 轴相交于点 P,与轨迹 C 相交于点 Q,R,

|PR| 且|PQ|<|PR|,求 的取值范围. |PQ|

【知识点】直 线 与 圆 锥 曲 线 的 综 合 问 题 ; 圆 锥 曲 线 的 轨 迹 问 题 . H8 H9 y2 【答案解析】 (Ⅰ)x2- 3 =1(x>1) . (Ⅱ)(1,7). 解析: (Ⅰ)设 M 的坐标为(x,y),显然有 x>0,且 y≠0.???????1 分 当∠MBA=90°时,点 M 的坐标为(2,±3).???????2 分 当∠MBA≠90°时,x≠2,由∠MBA=2∠MAB,有 |y| 2 x+1 2tan∠MAB |y| tan∠MBA= ,即- = ,???????4 分 1-tan2∠MAB x-2 |y| 2 1-( ) x+1 化简可得,3x2-y2-3=0.而点(2,±3)在曲线 3x2-y2-3=0 上,???????5 分 y2 综上可知,轨迹 C 的方程为 x2- 3 =1(x>1) .????????????6 分 y=-2x+m, ? ? (Ⅱ)由? 2 y2 消去 y 并整理,得 x2-4mx+m2+3=0. (*)????7 分 x - = 1 . ? 3 ? 由题意,方程(*)有两根且均在(1,+∞)内.设 f(x)=x2-4mx+m2+3, -4m ? ?- 2 >1, ∴? f(1)=1 -4m+m +3>0, ? ?△=(-4m) -4(m +3)>0.
2 2 2 2

解得 m>1,且 m≠2.?????9 分

∵m<2,∴1<m<2. ???????10 分 设 Q,R 的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),由|PQ|<|PR|及方程(*)有 xR=2m+ 3(m2-1),xQ=2m- 3(m2-1), 2+ |PR| xR 2m+ 3(m2-1) ∴ =x = = |PQ| Q 2m- 3(m2-1) 2- 由 1<m<2,得 1<-1+ 2- 4 1 3(1-m2) 1 3(1-m2) 4 1 3(1-m2)

=-1+ 1 3(1-m2) 2-



<7.???????12 分

|PR| 故 的取值范围是(1,7).????????????????????14 分 |PQ| 【思路点拨】 (Ⅰ)设 出 点 M ( x , y ) , 分 类 讨 论 , 根 据 ∠ MBA=2 ∠ MAB , 利 用 正 切

函 数 公 式 , 建 立 方 程 化 简 即 可 得 到 点 M 的 轨 迹 方 程 ; (Ⅱ)直 线 y=-2x+m 与 3x 2 -y 2 -3=0( x > 1 )联 立 ,消 元 可 得 x 2 -4mx+m 2 +3=0 ① ,利 用 ① 有 两 根 且 均 在( 1 , + ∞ ) 内 ,可 知 , m > 1 , m ≠ 2 设 Q , R 的 坐 标 , 求 出 x R , x Q , 利 用 确定 |PR| 的取值范围. |PQ| |PR| xR = ,即可 |PQ| xQ

【题文】21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ax+xlnx 的图象在点 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线的斜率为 3. (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若 f(x)≤kx2 对任意 x>0 成立,求实数 k 的取值范围; m m (Ⅲ)当 n>m>1(m,n∈N*)时,证明: m > n . n 【知识点】导数的运算;导数的几何意义;导数的应用.B11 B12 【答案解析】 (Ⅰ)a=1(Ⅱ)k≥1(Ⅲ)见解析 解析: (Ⅰ)求导数,得 f ′ (x)=a+lnx+1. ???????1 分 由已知,得 f ′ (e)=3,即 a+lne+1=3 ∴a=1.?????????????????????????????2 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) ,知 f(x)=x+xlnx, 1+lnx ∴f(x)≤kx2 对任意 x>0 成立?k≥ x 对任意 x>0 成立,?????4 分 1+lnx 令 g(x)= x ,则问题转化为求 g(x)的最大值. lnx 求导数,得 g′ (x)=- x2 ,令 g′ (x)=0,解得 x=1.???????5 分 当 0<x<1 时,g′ (x)>0,∴g(x)在(0,1)上是增函数; 当 x>1 时,g′ (x)<0,∴g(x)在(1,+∞)上是减函数.???????6 分 故 g(x)在 x=1 处取得最大值 g(1)=1. ∴k≥1 即为所求.?????????????????????????8 分 x-1-lnx xlnx (Ⅲ)令 h(x)= ,则 h′ (x)= .???????9 分 x-1 (x-1)2 由(Ⅱ) ,知 x≥1+lnx(x>0) ,∴h′ (x)≥0,???????10 分 ∴h(x)是(1,+∞)上的增函数. nlnn mlnm ∵n>m>1,∴h(n)>h(m),即 > ,???????11 分 n-1 m-1 ∴mnlnn-nlnn>mnlnm-mlnm,???????12 分 即 mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn, 即 lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn, 即 ln(mnn)m>ln(nmm)n, ???????13 分 n m m n ∴(mn ) >(nm ) , m m ∴ m > n .????????????????????????????14 分 n
n n

【思路点拨】 (Ⅰ)利用导数的几何意义即可; (Ⅱ)把原不等式转化为求 g(x) =

1+lnx x 的最

大值的问题,再利用导数求之即可; (Ⅲ)先证明出 h(x)是(1,+∞)上的增函数,再证明即 可.


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