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2.3.2平面与平面垂直的判定教案


张喜林制
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2. 3.2 平面与平面垂直的判定
【教学目标】 (1)使学生正确理解和掌握“二面角” 、 “二面角的平面角”及“直二面角” 、 “两个平面互相垂直” 的概念; (2)使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用; (3)使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 (4)通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过

程; (5)类比已学知识,归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。 【教学重难点】 重点:平面与平面垂直的判定。 难点:找出二面角的平面角。 【教学过程】 (一)创设情景,揭示课题 问题 1:平面几何中“角”是怎样定义的? 问题 2:在立体几何中, “异面直线所成的角” 、 “直线和平面所成的角”又是怎样定义的?它们有什么 共同的特征? 以 上问题让学生自由发言,教师再作小结,并顺势抛出问题:在生产实践中,有许多问题要涉及到 两个平面相交所成的角的情形,你能举出这个问题的一些例子吗?如修水坝、发射人造卫星等,而这样的 角有何特点,该如何表示呢?下面我们先利用具体的实物来进行观察,研探。 (二)研探新知 1、二面角的有关概念 老师展示一张纸面,并对折让学生观察其状,然后引导学生用数学思维思考,并对以上问题类比,归 纳出二面角的概念及记法表示(如下表所示) 角 A 图形 边 顶点 O 边 定义 构成 表示 从 平面内一点出发的两条射线(半 直线)所组成的图形 射线 — 点(顶点)一 射线 ∠AOB B 棱 l B α A β 二面角

从空间一直线出发的两个半平面所组 成的图形 半平面 一 线(棱)一 半平面 二面角α -l-β 或α -AB-β

2、二面角的度量 二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系,如我们常说“把门开大一些” ,是指二面角大一些, 那我们应如何度量二两角的大小呢?师生活动:师生共同做一个小实验(预先准备好的二面角的模型)在 其棱上位取一点为顶点,在两个半平面内各作一射线(如图 2.3-3) ,通过实验 操作,研探二面角大小的度 量方法——二面角的平面角。 教师特别指出: (1)在表示二面角的平面角时,要求 OA⊥L ,OB⊥L; (2)∠AOB 的大小与点 O 在 L 上位置无关; β (3)当二面角的平面角是直角时,这两个平 A 面的位置关系怎样? α
1/4

O

B

承上启下,引导学生观察,类比、自主探究, 获得两个平面互相垂直的判定定理: 一个平面过另一个平面的 垂线,则这两个平面垂直。 图 2.3-3 (三)实际应用,巩固深化 例 1、 (课本 69 页例 3)设 AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在平面,C 是圆周上的任意点,求证: 面 PAC ⊥面 PBC. 变式: 课本 P69 的探究问题 例 2、已知直线 PA 垂直正方 形 ABCD 所在的平面,A 为垂足。求证:平面 PAC?平面 PBD。 说明:这两题都涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定,其中证明 BC⊥平面 PAC 和 BD⊥平面 PAC 是 关键.从解题方法上说,由于“线线垂直” 、 “线面垂直”与“面面垂直”之间可以相互转化,因 此整个解 题过程始终沿着“线线垂直 ? 线面垂直 ? 面面垂直”转化途径进行. 变式. 课本 P69 的练习 (四)小结归纳,整体认识 (1)二面角以及平面角的有关概念; (2)两个平面垂直的判定定理的内容,它与直线与平面垂直的判定定理有何关系? (五)当堂检测 P81 习题 2.3 A 组 第 4、6、7 题, B 组 第 1 题 【板书设计】 二面角的概念 两个平面垂直的定义 两个平面垂直的判定定理 三种形式描述 例1 例2 【作业布置】 导学案课后练习与提高

2.3.2 平面与平面垂直的判定 课前预习学案
一、预习目标: (1)明确角的定义及推广。 (2)初步知道什么是二面角。 二、预习内容 问题 1:平面几何中“角”是怎样定义的? 问题 2:在立体几何中, “异面直线所成的角” 、 “直线和平面所成的角”又是怎样定义的?它们有什么 共同的特征? 问题 3、二面角的有关概念 角 A 图形 边 顶点 O 边 定义 从平面内一点出发的两条射线(半
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二面角 A β B 棱 l B α

直线)所组成的图形 构成 表示 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 射线 — 点(顶点)一 射线 ∠AOB

问题 4、二面角如何度量?

课内探究学案 一.学习目标 (1)使学生正确理解和掌握“二面角” 、 “二面角的平面角”及“直二面角” 、 “两个平面互相垂直” 的概念; (2)使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用; (3)使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 (4)通过实例让学生直观感知“ 二面角”概念的形成过程; (5)类比已学知识,归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。 学习重点:平面与平面垂直的判定。 学习难点:找出二面角的平面角。 二、学习过程 (一) 、二面角的平面角 1、 如何找出二面角的平面角? 2、二面角的平面角为 90 说明了什么? (二) 、平面与平面垂直的判定定理(文字,符号及图形表示) (三) 、定理的应用 例 1(课本 P69 中的例 3)
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变式 1、课本 P69 的探究问题 例 2、已知直线 PA 垂直正方形 ABCD 所在的平面,A 为垂足。求证:平面 PAC?平面 PBD。 变式 2、课本 P69 的练习 当堂达标测试 P81 习题 2.3 A 组 第 4、6、7 题, B 组 第 1 题

课后练习与提高
1.过平面 ? 外两点且垂直于平面 ? 的平面 ( A) 有且只有一个 ( B ) 不是一个便是两个

(C ) 有且仅有两个
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( ( D) 一个或无数个



2.若平面 ? ? 平面 ? ,直线 n ? ? , m ? ? , m ? n ,则 ( ( A) n ? ? ( B ) n ? ? 且 m ? ? (C ) m ? ? ( D) n ? ? 与 m ? ? 中至少有一个成立 3.对于直线 m, n 和平面 ? , ? , ? ? ? 的一个充分条件是 ( )



( A) m ? n , m // ? , n // ? ( B ) m ? n, ? ? ? m, n ? ? (C ) m // n, n ? ? , m ? ? ( D) m ? n, m ? ? , n ? ? 4.设 l , m, n 表示三条直线, ? , ? , ? 表示三个平面,给出下列四个命题: ①若 l ? ? , m ? ? ,则 l // m ;②若 m ? ? , n 是 l 在 ? 内的射影, m ? l ,则 m ? n ; ③若 m ? ? , m // n ,则 n // ? ; ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? . 其中真命题是 ( ) ( A) ①② ( B ) ②③ (C ) ①③ ( D) ③④ 5.如图正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, E, F , M , N 分别是 A 1B 1 , BC, C1 D 1, B 1C1 的中点, 求证:平面 MNF ? 平面 ENF 。 D1 M C1 6.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 a 的正 方形, PA ? 底 N 面 ABCD , E 为 AB 的中点,且 PA ? AB , B1 A1 E (1)求证:平面 PCE ? 平面 PCD (2)求点 D 到平面 PCE 的距离
参考答案 1、D2、D3、B4、A 5,6(略)
A D F B C

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