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7.参数方程和普通方程的互化


3、参数方程和普通方程 的互化

? x ? cos? ? 3, 由参数方程 ? (? 为参数)直接判断点M 的轨迹的 ? y ? sin ? 曲线类型并不容易,但如果将参数方程转化为熟悉的普通 方程,则比较简单。

由参数方程得: ?cos? ? x ? 3 2 2 2 2 ,sin ? ? cos ? ? ( x ? 3) ? y ?

1 ? ?sin ? ? y 所以点M 的轨迹是圆心在(3,0),半径为1的圆。

参数方程和普通方程的互化:
(1)普通方程化为参数方程需要引入参数
如:①直线L 的普通方程是2x-y+2=0,可以化为参数方程

?x ? t, (t为参数) ? ? y ? 2t ? 2.
②在普通方程xy=1中,令x = tan?,可以化为参数方程

? x ? t an? , (?为参数) ? ? y ? cot? .

(2)参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程 如:①参数方程

? x ? a ? r cos? , 消去参数? ? ? y ? b ? r sin ? .

可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
? ?x ? t , ②参数方程 ? (t为参数) ? ? y ? 2 t ? 4.

通过代入消元法消去参数t ,

可得普通方程:y=2x-4 (x≥0)

注意:
在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保 持一致。 否则,互化就是不等价的.

例1、把下列参数方程化为普通方程, 并说明它们各表示什么曲线?

? ?x= t ? 1 (1)? (t为参数) ? ? y ? 1? 2 t
?x= sin ? ? cos? (2)? (? 为参数). ? y ? 1 ? sin 2?

解: (1)因为x ? t ? 1 ? 1 所以普通方程是y ? ?2 x ? ( 3 x ? 1)
? (2)因为:x ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) 4 ? 所以x ? ? ? 2, 2 ? ? 2 ?. 所以普通方程是x ? y , x ? ? ? 2, 2 ? ?

这是以(1, 1)为端点的一条射线(包括端点)

练习、将下列参数方程化为普通方程:
(1)

? x ? 2 ? 3 cos? ? ? y ? 3 sin ?
x=t+1/t

(2)

? x ? sin ? ? ? y ? cos 2?

步骤:(1)消参;

(3)

y=t2+1/t2

(2)求定义域。

(1)(x-2)2+y2=9 (2)y=1- 2x2(- 1≤x≤1) (3)x2- y=2(X≥2或x≤- 2)

例2、求参数方程
? ? ? x ?| cos ? sin |, ? ? 2 2 (0 ? ? ? 2? ) 表示 ? ? y ? 1 (1 ? sin ? ) ? ? 2

( )

1 (A)双曲线的一支,这支过点(1, ): 2 1

(B)抛物线的一部分,这部分过( 1, );
1 2 (C)双曲线的一支,这支过点(–1, ); 2

1 (D)抛物线的一部分,这部分过(–1, ) 2

分析 一般思路是:化参数方程为普通方程 求出范围、判断。 解 ?x2= (cos ? ? sin ? ) 2 =1+sin?=2y,
2 2

? 普通方程是x2=2y,为抛物线。 ? ? ? ? ,又0<?<2?, ? x ?| cos ? sin |? 2 sin( ? )
2 2 2 4

?0<x ? 2 ,故应选(B) 说明 这里切不可轻易去绝对值讨论,平方法 是最好的方法。

x y 例4 求椭圆 ? ? 1的参数方程。 9 4

2

2

(1)设x=3cos?,?为参数;
(2)设y=2t,t为参数.

? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 x y 令 ? cos ? , ? sin ? 3 2 ? x ? 3cos ? ?为参数 ? ? y ? 2sin ?

? x ? 3cos ? 解:(1)参数方程是 ? ? y ? 2sin ?

?为参数。

2 2 ? ? ?x ? 3 1? t ? x ? -3 1 ? t (2)参数方程是 ? 或? ? ? ? y ? 2t ? y ? 2t

思考:为什么(2)中的两个参数方 程合起来才是椭圆的参数方程?

练习: 2、曲线y=x2的一种参数方程是( ).
2 ? ?x ? t A、 ? 4 y ? t ? ?

分析: 在y=x2中,x∈R, y≥0, 在A、B、C中,x,y的范围都
发生了变化,因而与 y=x2不等价; 而在D中,

? x ? sin t B、 ? 2 ? y ? sin t

?x ? t ? C、 ? ? ?y ? t

?x ? t D、 ? 2 ?y ? t

x,y范围与y=x2中x,y的范围相同,

? ?x ? t 且以 ? 2 ? ?y ? t

代入y=x2后满足该方程,从而D是曲线y=x2的一种参数方程.

注意:
在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值 范围保持一致。否则,互化就是不等价的.


引入参数 普通方程 消去参数


参数方程


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