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2016陕西能源职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 陕西能源职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
一、填空题(本大题满分 48 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每题填对 得 4 分,否则一律得零分. 1.直线 3x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为. 2.方程 9 x ? 3 x?1 ? 4 ? 0 的解是 . 3.命题“若 m >0,则 m ?<

br />2 n 4.计算: lim C ?. n ?? n 2 ? 1

1 ? 2 ”的逆命题是. m

5.函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ?2 的最小正周期为

. . .

6.双曲线 mx2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m 的值是 7.(文科考生做)设函数 f ? x ? ? ? x ?1?? x ? a ? 为偶函数,则实数 a 的值是 (理科考生做)函数 f ? x ? ? x ? 1 ( x >1)的值域是. x ?1

8.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,所选 3 人中恰有 1 名是女生的概 率 为. 9.若直角三角形 ABC 的顶点是 A(-1,0)、B(1,0),则直角顶点 C(x,y)的 轨迹方 程为 10.已知 f ? x ? ? ? ? 值范 围是. 11.已知函数 y ? a1? x .
?? 2 ? a ? x ? 1, ? ?a ,
x

? x ? 1? ( a >0 , a ? 1 )是 R 上的增函数,那么 a 的取 ? x ? 1?

1 , 3 , A 的直线 l 与圆 ? 1(a ? 0, a ? 1) 的反函数图像恒过定点 A,过点 5 .

x2 ? y 2 ? 1相切,则直线 l 的方程是

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12.设函数 f ? x ? 的定义域为 R ,若存在常数 k ? 0 ,使 f ? x ? ?

x 均成立,则称 f ? x ? 为“海宝”函数. 给出下列函数:
① f ? x ? ? x2 ;② f ? x ? ? sin x ? cos x ;③ f ? x ? ? 其中 f ? x ? 是“海宝”函数的序号为.
2

k x 对一切实数 2010

x ;④ f ? x ? ? 3x ?1 x ? x ?1

二、选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只 有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得 4 分, 否则一律得零分. 13.设 A ? ? x x ? 2 ? 3? ,B ? ? x x ? t ? ,若 A ? B=? ,则实数 t 的取值范围是 ( A. t ? ?1 B. t ? ?1 C. t ? 5 D. t ? 5 ( ) )

14.在锐角三角形 ABC 中,若 sin A ? A. ?

3 , 则 cos ? B ? C ? 的值是 5
C.

4 5

B. ?

3 5

3 5

D.

4 5

15.已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? ,满足 f ? x ? 2? ? ? f ? x ? ,则 f ? 8? 的值为 ( ) B.0 C.1 D.2

A.-1

16.在平面直角坐标系 xoy 中,已知 ?ABC 顶点 A? ?1 , 0 ? 和 C ?1 ,0 ? ,顶点 B 在椭圆

sin A ? sin C x2 y 2 ? ? 1 上,则 的值是 sin B 4 3
( A.0 B.1 ) C.2 D.不确定

三、解答题(本大题满分 86 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤.

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17.(本题满分 12 分) 已知 z 为虚数,且 z ? 5 , z 2 ? 2 z 为实数, (文科考生做) 求复数 z . (理科考生做)若 ? ? z ? ai ( i 为虚数单位, a ? R ) 且 z 虚部为正数 ,

0 ? a ? 1,
求 ? 的取值范围.

18.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 已知向量 a ? (sin x,

?

? 1 ) , b ? (cos x, ? 1). 2

(1)当 a ? b 时,求 x 的值. (2)(文科考生做)求 f ? x ? ? a ? b · b 的最大值与最小值. (理科考生做)求 f ? x ? ? a ? b · b , 在 ? ? , 0? 上的最大值与最小值. ? 2 ?

?

?

?

? ?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

?

19.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 设函数 f

? x ? ? lg ? ?

2 ? ? 1 ? 的定义域为集合 A ,函数 g ? x ? ? 1 ? x ? a ? x ?1 ?

的定义域为集合 B . (1)(文科考生做)当 a ? 1 时,求集合 B .

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(理科考生做)判定函数 f ? x ? 的奇偶性,并说明理由. (2)问: a ? 2 是 A ? B ? ? 的什么条件(充分非必要条件 、必要非充分条件、充 要条件、既非充分也非必要条件)?并证明你的结论.

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 上海某玩具厂生产 x 套 2008 年奥运会吉祥物“福娃”所需成本费用为 P 元, 且 P ? 1000 ? 5 x ?

1 2 x 10

,而每套售出的价格为 Q 元,其中 Q=a+

x ? a , b ? R? , b

(1)问:该玩具厂生产多少套“福娃”时,使得每套“福娃”所需成本费用最少? (2)若生产出的“福娃”能全部售出,且当产量为 150 套时利润最大,此时每套价 格为 30 元,求 a , b 的值.(利润 = 销售收入 — 成本)

21.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满 3 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. 在等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 0 ,且 a5 ? 6 , (1)求 a4 ? a6 的值.

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(2)当 a3 ? 3 时,在数列 ?an ? 中是否存在一项 am ( m 正整数),使得 a3 , a5 ,

am 成等比数列,若存在,求 m 的值;若不存在,说明理由.
(3)若自然数 n1 , n2 , n3 , ??? , nt ,??? , ( t 为正整数) 满足 5 < n1 < n2 < ??? < nt < ??? , 使得 a3 , a5 ,an1 ,??? ,ant , ??? 成等比数列, (文科考生做)当 a3 ? 2 时, 用 t 表示 nt . (理科考生做)求 a3 的所有可能值.

22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 8 分. 设抛物线 y 2 ? 2 px(p ? 0) 的焦点为 F ,经过点 F 的直线交抛物线于 A 、

B 两点,且 A 、 B 两点坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2),y1 ? 0,y2 ? 0 , M 是抛物线的准线上的一点, O 是坐标原点.若直线 MA 、 MF 、 MB 的斜率分
别记为: KMA ? a 、 KMF ? b 、 KMB ? c ,(如图) (1)若 y1 y2 ? ? 4 ,求抛物线的方程. (2)当 b ? 2 时,求 a ? c 的值. (3)如果取 KMA ? 2 , K MB ? ?

1 时, 2

(文科考生做)判定 ?AMF ? ?BMF 和 ?MFO 的值大小关系.并说明理由. (理科考生做)判定 ?AMF ? ?BMF 和 ?MFO 的值大小关系.并说明理由.

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通过你对以上问题的研究,请概括出在怎样的更一般的条件下,使得你研究的结 果(即 ?AMF ? ?BMF 和 ?MFO 的值大小关系)不变,并证明你的结论.

参考答案
一、(第 1 至 12 题)每一题正确的给 4 分,否则一律得零分. 1.arctan3; 2.. x ? 0 ; 3. 若 m ? 5. ?;6. ?

1 1 ? 2, 则 m>0;4. m 2

1 ; 4

7.(文) 1(理) [3, ??) ;8. ; 10. [ , 2) 11. y=112. ③.

3 5

9. x2 ? y 2 ? 1( y ? 0) ;

3 2

二、(第 13 至 16 题)每一题正确的给 4 分,否则一律得零分. 13.B 14.A 15.B 16.C

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三、(第 17 至 22 题) 17.(文)[解一]设 z=a+bi(a、b?R , b ? 0 )
2 由 z ? 2 z = (a2 ? b2 ? 2a) ? (2ab ? 2b)i
_

……………………2 分

_

∵ z2 ? 2 z ? R , ∴a=1,

∴ 2ab ? 2b ? 0,又b ? 0 , ……………………8 分 …………………12 分

又|z|= 5 , 即 a 2 ? b 2 ? 5 ,∴b= ?2 , ∴z=1 ? 2i . [解二] 设 z=a+bi(a、b?R , b ? 0 ) 则 a 2 ? b2 ? 5 ∵ z2 ? 2 z ? R ,
_

? z2 ? 2z ? z2 ? 2z , ?

? z ? z ? 2?? z ? z ?=0

? z ? z ,? z ? z ? 2 ,a=1, b= ? 2 ? z ? 1 ? 2i

(参考解法一评分标准给分) (理) [解一]设 z=x+yi(x、y?R , y ? 0 )
2 由 z ? 2 z = ( x 2 ? y 2 ? 2 x) ? (2 xy ? 2 y)i _

……………………2 分

∵ z2 ? 2 z ? R , ∴x=1,

_

∴ 2 xy ? 2 y ? 0, 又y ? 0 , ……………………-8 分 ∴z=1 ? 2i .

又|z|= 5 , 即 x 2 ? y 2 ? 5 , ∴y= ?2 , ∵ z 虚部为正数, ∴w=1+2i+ai
2 ∴|w|= 1 ? , (a ? 2)

∴y= 2 ,

∴z=1 ? 2i , …………………………10 分

a?[0,1] ……………………12 分

∴|w|?[ 5 , 10 ].

[解二] (同文科,参考上评分标准给分)

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18.[解](1)∵ a ? b ,∴ a ? b ? 0 , ∴sinxcosx -
? ? ? ?

…………………2 分

1 =0,sin2x=1, ……………………4 分 2

∴2x=2k?+

? , 2
?

∴x=k?+

?
4

, k ? z .……………………-6 分 1 2
?

? ), b? (cos x, ?1 ) (2)(文) a ? b ? (sin x ? cos x,
f(x)= ( a ? b ) ? b ? cos x(sin x ? cos x) ?
? ? ?

?

1 2

……………………8 分

=sinxcosx+cos2x+ =

1 2

1 1 ? cos 2 x 1 sin2x+ + 2 2 2
4
……………………10 分

? = 2 sin(2x+ )+1
2

∴f(x)max=
? ?

2 2 +1,f(x)max=1. 2 2
1 2
?

……………………12 分

? ), b? (cos x, ?1 ) (理) a ? b ? (sin x ? cos x,
f(x)= ( a ? b ) ? b ? cos x(sin x ? cos x) ?
=sinxcosx+cos2x+ =
? ? ?

1 2

……………………8 分

1 2

1 1 ? cos 2 x 1 sin2x+ + 2 2 2

= -

? 2 sin(2x+ )+1 4 2

…………………9 分

? ? 3? ?2x+ ? , 4 4 4

……………………10 分

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∴f(x)max=

3 2 , f(x)max=1— . 2 2

……………………12 分

19. [解] (1)(文)

| x ? 1|? 1 ? ?1 ? x ? 1 ? 1 ? ?2 ? x ? 0
∴B[-2,0] (理)A={x| ……………………6 分

2 ? 1 ? 0} x ?1

2 x ?1 ?1 ? 0 ? ? 0 ? ( x ? 1)( x ? 1) ? 0 ∴-1<x<1 x ?1 x ?1
∴A=(-1,1),定义域关于原点对称 ……………………3 分

f(x)=lg

1? x , x ?1
1 ? x ?1 1? x 1? x ) = ? lg = lg ( , x ?1 ?x ?1 x ?1
……………………6 分

则 f(-x)=lg

∴f(x)是奇函数. (2)B={x| 1? | x ? a |? 0}

| x ? a |? 1 ? ?1 ? x ? a ? 1 ? ?1 ? a ? x ? 1 ? a
B=[-1-a,1-a] 当 a ?2 时, ……………………8 分 1-a?-1, ……………11 分

-1-a?-3,

由 A=(-1,1), B=[-1-a,1-a], 有 A ? B ? ?

反之,若 A ? B ? ? ,可取-a-1=2,则 a=-3,a 小于 2. (注:反例不唯一) ……………………13 分 所以,a ?2 是 A ? B ? ? 的充分非必要条件. 20.[解](1)每套“福娃”所需成本费用为 …………………14 分

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p ? x 1000 ? 5 x ? 1 2 x 10

x 1 1000 ? x? ?5 10 x

…………………………3 分

? 2 100 ? 5 ? 25

…………………………4 分 当 6分 (2)利润为

1 1000 x? , 即 x=100 时,每套“福娃”所需成本费用最少为 25 元. ……… 10 x

Qx ? P x? ? x2 ? ? ? x ? a ? ? ? ?1000 ? 5 x ? ? ………………………………8 分 b? ? 10 ? ?
1 1 2 ? ) x ? (a ? 5) x ? 1000 b 10

=(

…………………---9 分

? 5?a ? 1 1 ? 150 ? 2( ? ) b 10 由题意, ? ? 150 ? 30 ?a ? b ?

……………………12 分 ……………………14 分

解得

a=25, b=30.

21.[解](1)在等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 0 ,且 a5 ? 6 , 则 2a5 ? a4 ? a6 ,? a4 ? a6 ? 12 ……………………3 分 (2)在等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 0 ,且 a5 ? 6 , a3 ? 3 则?

?a1 ? 2d ? 3 ?a1 ? 4d ? 6

? d=

3 3 , a1 ? 0 ,? an ? ? n ? 1? n ? N ? 2 2
3 (m ? 1) 2

…………5 分

又 ? a5 2 ? a3 am

则 36=3am,?12 ?

? m ? 9 …………8 分

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(文科)(3)在等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 0 ,且 a5 ? 6 , a3 ? 2 则?

?a1 ? 2d ? 2 ?a1 ? 4d ? 6

? d=2 , a1 ? ?2 ,? an ? 2n ? 4 ,n ? N ?

……10 分

又因为公比 q ?

a5 6 ? ?3 , a3 2

首项 a3 ? 2 ,? ant ? 2 ? 3t ?1

…………14 分

又因为 ant ? 2nt ? 4 , ? 2nt ? 4 ? 2 ? 3t ?1 , nt ? 3t ?1 ? 2 n ? N ? ……………………16 分 (理科)(3) a3 ? 6 ? 2d , an1 ? 6 ? (n1 ? 5)d ? a3 , a5 , an1 成等比数列,
2 ? a5 ? a3 ? an1 ?[6 ? (n1 ? 5)d ](6 ? 2d ) ? 36,

∴d ?

3n1 ? 21 6 ? 3? ,? d ? Q …………14 分 n1 ? 5 n1 ? 5 a5 t ) ? a5 ? (nt ? 5) ? d a3

又∵ a3 , a5 ,an1 ,??? ,ant , ??? 成等比数列, ∴ ant ? a5 ? (

∴ nt ? 5 ? ∴

6(

3 t ) ?6 3?d ? {6,7,8,9,10,…}对一切 t ? Z ? 成立, d

3 3 ? {2,3,4,5,…}(*),设 ? m ( m ?{2,3,4,5,…}), 3?d 3?d

∴d ? 3?

3 ,? m

6(

3 t ?1 ) ?6 6m t ?1 ? 6 2m(m t ? 1) 3? d ? ? ? Z ,(由二项式定理知, 3 d m ?1 3? m

3 6 2m(m t ? 1) ? Z 恒成立) ∴ a3 ? 6 ? 2d ? 6 ? 2(3 ? ) ? ( m ?{2,3,4, m m m ?1
5,…}) (注的证明可用无穷递降法完成,证略. ) ………………16 分

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22.[解](1)设过抛物线 y 2 ? 2 px(p ? 0) 的焦点 F ?

?p ? , 0 ? 的直线方程为 ?2 ?

p? ? y ?k?x? ? 2? ?
或x?

p , (斜率 k 不存在) 2

……………………1 分

? y 2 ? 2 px ? 则 ? p? ? ?y ? k ? x ? 2 ? ? ? ?
当x?



k 2 pk y ? y? ? 0 ? y1 y2 ? ? p2 …………2 分 2p 2

p ?p , (斜率 k 不存在)时,则 A ? , 2 ?2

? ?p ? p ? , B ? , -p ? ,? y1 y2 ? ? p 2 ? ?2 ?

又? y1 y2 ? ?4

? p=2

……………………4 分

? 所求抛物线方程为 y 2 ? 4x
(2)[解] 设 A ?

? y12 ? ?y2 ? ? P ? ?p ? ,y1 ? ,B ? 2 , y2 ? , M ? ? ,t ? ,F ? , 0 ? , ? 2 ? ?2 ? ? 2p ? ? 2p ?

由已知直线 MA 、 MF 、 MB 的斜率分别记为: KMA ? a 、 KMF ? b 、 KMB ? c , 得

?a ?

y1 ? t y ?t -t , b= , c= 2 p p p x1 ? x2 ? 2 2



x1 ?

y12 y2 , x2 ? 2 …………6 分 2p 2p

故 a?c ?

2 p ? y1 ? t ? 2 p ? y2 ? t ? y ?t y2 ? t y1 ? t y ?t ? 2 ? ? ? 21 ? 2 p p y1 p y2 p y12 ? p 2 y2 2 ? p 2 x1 ? x2 ? ? ? 2 2 2p 2 2p 2

? 2p

? y1 ? t ? ? y22 ? p 2 ? ? ? y2 ? t ? ? y12 ? p 2 ?

?y

2 1

?p

2

?? y

2

2

?p

2

?

? 2p

?t ? y12 ? y2 2 ? 2 p 2 ? p
2

?y

2 1

? y2 ? 2 p
2

2

?

??

2t ? 2b p

当b ? 2 时

? a?c ?4

………………10 分

(文科) [解](3) ?AMF ? ?BMF 和 ?MFO 的值相等 …………12 分

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如果取 KMA ? a ? 2 , K MB ? c ? ?

1 3 时, 则由(2)问得 KMF ? b ? 2 4

? K MA ? KMB ? ?1 即 ac ? ?1 , 又由(2)问得 a ? c ? 2b , a-b=b-c
设 ?AMF ? ? ,?BMF=? , ?MFO ? ? 1)若 AB ? x 轴,则 ? ? ? ? 450 , ?=00 ,??=? ? ? ……………………13 分

2)若 k AB >0 则 tan ? ? 同理可得

1 a ?b a ?b a ?b 1 ? ? ? ? ?c ? 2 1 ? ab ?ac ? ab a ? b ? c ? a

tan ? ? a =2 , ? tan ?? ? ? ? ?
而 tan ? ? ?b ? ?

tan ? ? tan ? ?c ? a a?c 3 ? ?? ? ?b ? ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? ? ?c ? a 2 4

3 4

则 tan ?? ? ? ? ? b ? tan ? ,易知 ?AMF ? ? ,?BMF=? , ?MFO ? ? 都是锐 角

?? ? ? ? ?

…………………………16 分

3)若 k AB <0,类似的也可证明?? ? ? ? ? . 综上所述?? ? ? ? ? 即 ?AMF ? ?BMF 和 ?MFO 的值相等 …………18 分

(理科) [解](3) ?AMF ? ?BMF 和 ?MFO 的值相等 …………10 分 如果取 KMA ? a ? 2 , K MB ? c ? ?

1 3 时, 则由(2)问得 KMF ? b ? 2 4

? K MA ? KMB ? ?1 即 ac ? ?1 , 又由(2)问得 a ? c ? 2b , a-b=b-c
设 ?AMF ? ? ,?BMF=? , ?MFO ? ? 1)若 AB ? x 轴,则 ? ? ? ? 450 , ?=00 ,??=? ? ? ………………11 分

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2)若 k AB >0 则 tan ? ? 同理可得

1 a ?b a ?b a ?b 1 ? ? ? ? ?c ? 2 1 ? ab ?ac ? ab a ? b ? c ? a

tan ? ? a =2 , ? tan ?? ? ? ? ?
而 tan ? ? ?b ? ?

tan ? ? tan ? ?c ? a a?c 3 ? ?? ? ?b ? ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? ? ?c ? a 2 4

3 4

即 tan ?? ? ? ? ? b ? tan ? ,易知 ?AMF ? ? ,?BMF=? , ?MFO ? ? 都是锐角

?? ? ? ? ?

…………………………12 分

3)若 k AB <0,类似的也可证明?? ? ? ? ? . 综上所述?? ? ? ? ? 即 ?AMF ? ?BMF 和 ?MFO 的值相等 …………13 分 ,等

[解一](3)概括出的条件: K MA ? KMB ? ?1 (即 ac ? ?1 )或 AM ? BM …………………………14 分

? K MA ? KMB ? ?1 即 ac ? ?1 , 又由(2)问得 a ? c ? 2b , a-b=b-c
设 ?AMF ? ? ,?BMF=? , ?MFO ? ? 1)若 AB ? x 轴,则 ? ? ? ? 450 , ?=00 ,??=? ? ? ………………15 分 2)若 k AB >0 则 tan ? ?

a ?b a ?b a ?b 1 ? ? ? ? ?c 1 ? ab ?ac ? ab a ? b ? c ? a tan ? ? tan ? ?c ? a a?c ? ?? ? ?b 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? ? ?c ? a 2

同理可得 tan ? ? a , ? tan ?? ? ? ? ?

而 tan ? ? ?b ,则 tan ?? ? ? ? ? b ? tan ? ;易知

?AMF ? ? ,?BMF=? , ?MFO ? ? 都是锐角

?? ? ? ? ?

…………………………17 分

3)若 k AB <0,类似的也可证明?? ? ? ? ? .

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综上所述?? ? ? ? ? 即 ?AMF ? ?BMF 和 ?MFO 的值相等 ……18 分

[解二] (略)(其它证法可参考上述评分标准给分)


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