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高三数学第十周考试试卷


高三数学第十周考试试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题 纸的指定位置上.

项的和为



. ▲ . ▲ . ▲

12.已知直线 kx ? y ? 1 ? 0 与圆 C : x2 ? y 2 ? 4 相交于 A, B 两点,若点 M 在圆 C 上,且有

???? ? ??? ? ??? ? ,则实数 k = OM ? OA ? OB ( O 为坐标原点)
2

1 ? 3i 1.已知复数 z ? 2i ,则 的虚部为 z

13.若 a, b, c ? 0 ,且 a ? ab ? ac ? bc ? 4 ,则 2a ? b ? c 的最小值为 ▲ .

14.若不等式 x+ y≤k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,则 k 的取值范围是

2.为了抗震救灾,现要在学生人数比例为 2 : 3 : 5 的 A 、 B 、 C 三所高校中,用分层抽样 方法抽取 n 名志愿者,若在 A 高校恰好抽出了 6 名志愿者,那么 n ? ▲ . 3.若命题“ ?x ? R, x ? (a ?1) x ? 1 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是
2

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分) 如图,在直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AC 1 1 ?B 1D 1 , E , F 分别 是 AB, BC 的中点. (Ⅰ)求证: EF // 平面 A 1 BC1 ; (Ⅱ)求证:平面 D1DBB1 ? 平面 A 1 BC1 . D B1 A1 D1 C1



.

4.已知向量 a ? ? 2,1? , b ? ? 3, ? ? ,若 2a ? b ? b ,则 ? =

?

?

?

? ?

?

?



.

nπ ? ? 5.已知集合 A ? ?? ? ? , n ? Z ,0 ? n ? 8? ,若从 A 中任取一个元素作为直线 l 的倾斜角, 9 ? ? 则直线 l 的斜率小于零的概率是 ▲ .
开始

6.在等比数列 {an } 中,若 a2 ? ?2 , a6 ? ?32 ,则 a4 ?



.

a ? 5, S ? 1

x x sin cos 1 2 2 ,则 f ( ? ) 的值为 7.已知函数 f ( x) ? ? 8 2 tan x 2 cos 2 x ? 1 2 8.按如图所示的流程图运算,则输出的 S ? ▲ .



.

a?4

N

A
输出S

C E B
第 15 题

Y
S ? S ?a a ? a ?1
第8题

F

9.由“若直角三角形两直角边的长分别为 a , b ,将其补成一个矩形,则 根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径为

结束

16.(本小题满分 14 分) 设 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2a ? c) BC ? BA ? cCA ? CB ? 0 . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ? 2 3 ,试求 AB ? CB 的最小值.

a 2 ? b2 ”. 对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直,侧棱长分别为 a, b, c ” ,类比上述处 r? 2 理方法,可得该三棱锥的外接球半径为 R = ▲ .

x y 10.已知 A, B, F 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上、下顶点和右焦点,直线 AF 与椭圆 a b 的右准线交于点 M ,若直线 MB ∥ x 轴,则该椭圆的离心率 e = ▲ .
11.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos
2

2

2

??? ? ??? ?

n? n? )an ? sin 2 ,则该数列的前 20 2 2

17.(本小题满分 15 分) 某广告公司为 2010 年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式如图中实线部分所示. 其上 部分是以 AB 为直径的半圆,点 O 为圆心,下部分是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,

4 线段 DE 与线段 DF 上装彩灯,在弧 AE 、弧 BF 、线段 AD 与线段 BD 上装节能灯. 若 每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比,且彩灯的比例系数为 2 k ,节 能灯的比例系数为 k (k ? 0) ,假定该霓虹灯整体的“心悦效果” y 是所有灯“心悦效果”
的和. (Ⅰ)试将 y 表示为 x 的函数; (Ⅱ)试确定当 x 取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳? E
2x

其中 AB ? 2 米,?EOA ? ?FOB ? 2 x(0 ? x ? DE, DF 是两根支杆,

?

) . 现在弧 EF 、

19.(本小题共 16 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx 满足条件:① f (0) ? f (1) ; ② f ( x ) 的最小值为

1 ? . 8
(1)求函数 f ( x ) 的解析式;

?4? (2)设数列 {an } 的前 n 项积为 Tn ,且 Tn ? ? ? ?5?
F

f (n)

,求数列 {an } 的通项公式;

(3)在(2)的条件下, 若 5 f (an ) 是 bn 与 an 的等差中项, 试问数列 {bn } 中第几项的 A O B 值最小? 求出这个最小值.

18. (本题满分 15 分) 已知椭圆 C: 3 ). 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 F 是椭圆 C 的右焦点,M 为椭圆上一点,以 M 为 圆心,MF 为半径作圆 M. 问点 M 横坐标满足什么条 件时,圆 M 与 y 轴有两个交点? (3)设圆 M 与 y 轴交于 D、E 两点, 求点 D、E 距离的最大值. x2 y2 1 + =1(a>b>0)的离心率为 ,且经过点 P(1, a2 b2 2

D
第 17 题

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? b sin x ? 2, (b ? R) ,且对任意 x ? R ,有 f (? x) ? f ( x) . (1)求 b ; (2)已知 g ( x) ? f ( x) ? 2( x ? 1) ? a ln x 在区间(0,1)上为单调函数,求实数 a 的取值 范围. (3)讨论函数 h( x) ? ln(1 ? x ) ?
2

1 2x f ( x) ? k 的零点个数?(提示: [ln(1 ? x 2 )]' ? ) 2 1 ? x2

理科数学附加题
1.选修 4-2:矩阵与变换 ?1 0 ? ? ?4 3 ? B?? 已知 ? ? ? , 求矩阵 B. ?1 2? ? 4 ? 1?

3. 【必做题】 在平面直角坐标系 xoy 中,动点 P 到直线 x ? 4 的距离与它到点 F ? 2,0 ? 的距离之比为 2 . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F ? 2,0 ? 作垂直于 x 轴的直线 l ,求轨迹 C 与 y 轴及直线 l 围成的封闭图形的面积.

2.选修 4—4:坐标系与参数方程 已知圆 C: ? ? 2cos ? ,直线 l : ? cos? ? ? sin ? ? 4 ,求过点 C 且与直线 l 垂直的直线的 极坐标方程.

4.【必做题】2009 年 5 月 11 日,中国内地出现首例输入性甲型 H1N1 流感疑似病例。中国 进入防控甲型 H1N1 流感的关键时期, 到目前为止, 中国在防控方面取得了令人满意的成绩。 据统计:公众对我国防控甲型 H1N1 流感的满意率 p , (不满意率为 q , p ? q ? 1) ,现随机从 人群中抽出 n 个人调查对我国防控甲型 H1N1 流感的满意度, 用随机变量 x 表示调查的这些 人中的不满意的人数. (1)当 n ? 3 , p ? 0.9 ,列出随机变量 X 的分布列,并求出随机变量 x 的数学期望 E ( X ) ; (2)试证明: E ( X ) = nq .

(Ⅱ)因为由 y? ? 4k ( 2(cos x ? sin x) ?1) ? 0 …………………………………11 分 解得 cos( x ? 第十周数学试卷答案

?
4

)?

1 1. ? 2
8.20
2 2 2 9. a ? b ? c 2

2.30

3. ?1 ? a ? 3

4.3 或 ?1

4 5. 9

6. ?8

7.

2

又当 x ? (0, 当 x?(

?

1 ? ,即 x ? …………………………………………13 分 2 12

, ) 时, y? ? 0 ,所以此时 y 在 ( , ) 上单调递减. 12 4 12 4

? ?
?

12

) 时, y? ? 0 ,所以此时 y 在 (0,

?

? ?

12

) 上单调递增;

10.

2 2

11.2101

12.0

13.4

14. k∈[

6 , 2

故当 x ?

12

时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳 …………………16 分

+∞] 15.解: (Ⅰ)连接 AC,则 AC∥ AC 1 1 ,而 E , F 分别是 AB, BC 的中点,所以 EF∥AC, 则 EF∥ AC 故 EF // 平面 A 1 1, 1 BC1 ………………………………………………………7 分 (Ⅱ)因为 BB1 ? 平面 A1B1C1D1 ,所以 BB1 ? AC 1 1 ,又 AC 1 1 ?B 1D 1, 则 A1C1 ? 平面 D1DBB1 ………………………………………………………………12 分 又 A1C1 ? 平面 A 1 BC1 ,所以平面 D 1 DBB 1 ? 平面 A 1 BC1 …………………………14 分

x2 y2 1 3 18.解:(1)∵椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,且经过点 P(1, ), a b 2 2 a -b 1 ? ? a =2 ∴? ,即 1 9 ? ? a2 + 4b2 =1
2 2 2 2 ? 2 ?3a -4b =0 ?a =4 9 ? 1 ,解得 ?b2=3,………………3 分 ? 2 + ? 4b2 =1 ?a

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 16. 解: (Ⅰ) 因为 (2a ? c) BC ? BA ? cCA ? CB ? 0 , 所以 (2a ? c)ac cos B ? cab cos C ? 0 , 即 (2a ? c) cos B ? b cos C ? 0 ,则 (2sin A ? sinC ) cosB ? sinB cosC ? 0 …………4
分 所以 2sin A cos B ? sin(C ? B) ? 0 ,即 cos B ? ? (Ⅱ)因为 b ? a ? c ? 2ac cos
2 2 2

2? 2 2 ,所以 12 ? a ? c ? ac ? 3ac ,即 ac ? 4 …12 分 3 ??? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2? 1 ? ? ac ? ?2 ,即 AB ? CB 的最小值为 ?2 ………………14 分 所以 AB ? CB = ac cos 3 2 17.解: (Ⅰ)因为 ?EOA ? ?FOB ? 2 x ,所以弧 EF、AE、BF 的长分别为 ? ? 4 x, 2 x, 2 x
3分 连接 OD,则由 OD=OE=OF=1, ?FOD ? ?EOD ? 2 x ?

1 2? ,所以 B ? ………………8 分 2 3

x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1。………………5 分 x02 y02 (2) 易 求 得 F(1 , 0) 。 设 M(x0 , y0) , 则 4 + 3 =1 , 圆 M 的 方 程 为 (x-x0)2+(y-y0)2=(1-x0)2+y02, 令 x=0,化简得 y2-2y0y+2x0-1=0,⊿=4y02-4(2x0-1)2>0……①。 x02 4 将 y02=3(1- 4 )代入①,得 3x02+8x0-16<0,解出 -4<x0< 3 故-2≤x0< 4 3 ……9 分 (3)设 D(0,y1),E(0,y2),其中 y1<y2。由(2),得 DE= y2- y1= 4y02-4(2x0-1) = -3x02-8x0+16 = 4 64 -3(x0+ 3 )2+ 3 ,

?
2

,所以 ………… xc o s )6 分

D E ? D F? 1 ?1 ?2 c o s ( 2 x? )? 2 ? 2 six n2 ? 2 所以 y ? 2k (2 2(sin x ? cos x) ? ? ? 4 x) ? k(2 2 ?4 x)

?

2( xs i ?n

4 8 3 当 x0=- 3 时,DE 的最大值为 2 。………………15 分

? 2k (2 2(sin x ? cos x) ? 2x ? 2 ? ? ) …………………………………9 分

? 1 ? ?a ? b ? 0 a? ? ? 1 2 1 ? ? 2 19.解:(1) 由题知: ? a ? 0 , 解得 ? , 故 f ( x ) ? x ? x .…………4 2 2 ?b ? ? 1 ? b2 1 ? ?? ? 2 ?? ? 8 ? 4a
分 (2) Tn ? a1a2 ? an ? ?

g ?( x) ? 2 x ? 2 ?

a ( x ? 0) ……4 分 x

依题意, 2 x ? 2 ?
2

a a ? 0 或 2 x ? 2 ? ? 0 在(0,1)上恒成立………………6 分 x x
2

即 2 x ? 2 x ? a ? 0 或 2 x ? 2 x ? a ? 0 在(0,1)上恒成立

?4? ? ?5?

n2 ? n 2

, Tn ?1 ? a1a2 ? an ?1 ? ? ?

?4? ?5?

( n ?1)2 ?( n ?1) 2

(n ? 2) ,

T ?4? ? an ? n ? ? ? Tn?1 ? 5 ?

n ?1

(n ? 2) ,
?4? 所以 an ? ? ? ?5?
n ?1

又 a1 ? T1 ? 1 满足上式.

(n ? N ? ) . ………………9 分(验证 a11 分)

1 2 1 ) ? 在(0,1)上恒成立,可知 a ? 0. 2 2 1 2 1 2 由 a ? ?2 x ? 2 x ? ?2( x ? ) ? 在(0,1)上恒成立, 2 2 可知 a ? ?4 ,所以 a ? 0 或 a ? ?4. ………………9 分 1 2 1 2 2 2 (3) h( x ) ? ln(1 ? x ) ? x ? 1 ? k ,令 y ? ln(1 ? x ) ? x ? 1. 2 2 2x ( x ? 1) x( x ? 1) ?x?? 所以 y ? ? ………………10 分 1? x2 x2 ?1
由 a ? ?2 x ? 2 x ? ?2( x ?
2

(3) 若 5 f (an ) 是 bn 与 an 的等差中项, 则 2 ? 5 f (an ) ? bn ? an , 从而 10( an ?
2

令 y ? ? 0 ,则 x1 ? ?1, x2 ? 0, x3 ? 1 ,列表如下:

1 2

1 an ) ? bn ? an , 2

得 bn ? 5an ? 6an ? 5(an ? ) ?
2 2

3 5

9 . 5

x
y?
h(x)

(-∞,-1)

-1

(-1,0)

0

(0,1)

1

(1, +∞)

因为 an ? ? ? 当 an ?

?4? ?5?

n ?1

(n ? N ? ) 是 n 的减函数, 所以

+
单调递增

0
极大值


1 2
单调递减

0
极小值 1

+
单调递增

0
极大值


1 2
单调递减

3 , 即 n ? 3(n ? N ? ) 时, bn 随 n 的增大而减小, 此时最小值为 b3 ; 5 3 ? 当 an ? , 即 n ? 4(n ? N ) 时, bn 随 n 的增大而增大, 此时最小值为 b4 . 5 又 a3 ? 3 ? a4 ? 3 , 所 以 b3 ? b4 , 即 数 列 {bn } 中 b3 最 小 ,
5 5
2 ?? 4 ? 2 ? 224 .……16 分 ?4? b3 ? 5 ?? ? ? ? 6 ? ? ? ? 125 ?5? ? ?? 5 ? ? ? 2

ln 2 ?

ln 2 ?



1 时,函数无零点; 2 1 当 k ? 1 或 k ? ln 2 ? 时,函数有 两个零点 ;当 k ? 1 时,函数 有三个零 点。当 2
所以当 k ? ln 2 ?
1 ? k ? ln 2 ? 1 时,函数有四个零点。………………16 分 2

20.解: (1)由 f (? x) ? (? x) ? b sin(? x) ? 2 ? f ( x) 得 b ? 0. ………………2 分
2



2



g ( x) ? f ( x) ? 2( x ? 1) ? a ln x

? x 2 ? 2 x ? a ln x





附加题答案 22.⑴设 P ? x, y ? ,由题意有

x?4

? x ? 2?

2

? y2

? 2 ,化简得

x2 y 2 ? ?1. 8 4
………………4 分 ………………6 分

即动点 P 的轨迹 C 的方程为 ⑵当 y ≥ 0 时, y ?

x2 y 2 ? ?1. 8 4

2 8 ? x2 8 ? x2 . ,即 y ? 2 2
2 0

设所求的图形的面积为 S ,则 S ? 2 ?

2 2 8 ? x 2 dx ? 2 ? 8 ? x 2 dx 0 2

1 ?? ?1 = 2 ? ? 2 ? 2 ? ? 8 ? ? ? 2 2 ? 2? . 2 4? ?2

故所求的封闭图形的面积 2 2 ? 2? . 23. 解: (1)由题意得: 0 X

………………10 分 1 2
2

3
2

q

0 C3 0.93

C

1 3

0.9 ? 0.1

C

2 3

0.9 ? 0.1

C

3 3

0.13

E ( X ) = 3 ? 0.081 ? 2 ? 3 ? 0.009 ? 3 ? 0.001 = 0.3
(2) X 0 1
n

………………5 分 2 3
n?1

???
n ?3 3

q

C p

0 n

C p q

1 n

n?1

C p q

1 n

C p

3 n

q

???

n n n Cn q

1 n?1 2 n ?2 2 3 n?3 3 n n 所以 E( X ) ? 1? Cn p q ? 2 ? Cn p q ? 3? Cn p q ???? ? n ? Cn q

= nq(Cn?1 p

0

n?1

1 n ?2 2 n?3 2 n?1 n?1 ? Cn q ? Cn q ???? ? Cn ) ?1 p ?1 p ?1 q

= nq( p ? q)

n ?1

= nq .

………………10 分


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