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高三数学第十周考试试卷


高三数学第十周考试试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题 纸的指定位置上. 1.已知复数 z ? 2 i ,则
1 ? 3i z

项的和为



.

12.已知直线 kx ? y ? 1 ? 0 与圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A , B 两点,若点 M 在圆 C 上,且有 ???? ??? ??? ? ? ? OM ? OA ? OB ( O 为坐标原点) ,则实数 k = ▲ . 13.若 a , b , c ? 0 ,且 a ? ab ? ac ? bc ? 4 ,则 2a ? b ? c 的最小值为
2



. ▲

的虚部为



.

14.若不等式 x+ y≤k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,则 k 的取值范围是

2.为了抗震救灾,现要在学生人数比例为 2 : 3 : 5 的 A 、 B 、 C 三所高校中,用分层抽样 方法抽取 n 名志愿者,若在 A 高校恰好抽出了 6 名志愿者,那么 n ? ▲ . 3.若命题“ ? x ? R , x ? ( a ? 1) x ? 1 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是
2

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分) 如图,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, A1C1 ? B1 D1 , E , F 分别 是 AB , BC 的中点. (Ⅰ)求证: EF // 平面 A1 BC1 ; (Ⅱ)求证:平面 D1 DBB1 ? 平面 A1 BC1 . D B1 A1 D1 C1



.

? ? ? ? ? 4.已知向量 a ? ? 2,1 ? , b ? ? 3, ? ? ,若 2a ? b ? b ,则 ? =

?

?



.

5.已知集合 A ? ?? ? ?
?

?



? , n ? Z , 0 ? n ? 8 ? ,若从 A 中任取一个元素作为直线 l 的倾斜角, 9 ?

则直线 l 的斜率小于零的概率是



. ▲ .

开始
a ? 5, S ? 1

6.在等比数列 { a n } 中,若 a 2 ? ? 2 , a 6 ? ? 32 ,则 a 4 ?
2 ,则 f ( ? ) 的值为 ? 7.已知函数 f ( x ) ? 2 tan x 8 2 x 2 cos ?1 2 8.按如图所示的流程图运算,则输出的 S ? ▲ . 1 2 sin x cos x



.

a?4

N

A
输出 S

C E B
第 15 题

Y
S ? S?a a ? a ?1

F

9.由“若直角三角形两直角边的长分别为 a , b ,将其补成一个矩形,则 根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径为
r? a ?b
2 2

结束

第8题

16.(本小题满分 14 分) 设 ? ABC 的三个内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且满足 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? (2 a ? c ) BC ? BA ? cCA ? CB ? 0 . (Ⅰ)求角 B 的大小;
??? ??? ? ? (Ⅱ)若 b ? 2 3 ,试求 AB ? CB 的最小值.

”. 对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直,侧棱长分别为 a , b , c ” ,类比上述处 ▲ .

2
2 2 2 2

理方法,可得该三棱锥的外接球半径为 R = 10.已知 A , B , F 分别是椭圆
x a ? y b

? 1( a ? b ? 0) 的上、下顶点和右焦点,直线 AF 与椭圆

的右准线交于点 M ,若直线 MB ∥ x 轴,则该椭圆的离心率 e = ▲ . 2 n? 2 n? ) a n ? sin 11.已知数列 ? a n ? 满足 a1 ? 1, a 2 ? 2, a n ? 2 ? (1 ? cos ,则该数列的前 20 2 2

17.(本小题满分 15 分) 某广告公司为 2010 年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式如图中实线部分所示. 其上 部分是以 AB 为直径的半圆,点 O 为圆心,下部分是以 AB 为斜边的等腰直角三角形, ? 其中 AB ? 2 米,? EOA ? ? FOB ? 2 x (0 ? x ? ) . 现在弧 EF 、 DE , DF 是两根支杆, 4 线段 DE 与线段 DF 上装彩灯,在弧 AE 、弧 BF 、线段 AD 与线段 BD 上装节能灯. 若 每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比,且彩灯的比例系数为 2k ,节 能灯的比例系数为 k ( k ? 0) ,假定该霓虹灯整体的“心悦效果” y 是所有灯“心悦效果” 的和. (Ⅰ)试将 y 表示为 x 的函数; (Ⅱ)试确定当 x 取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳?

19.(本小题共 16 分) 已知二次函数 f ( x ) ? ax ? bx 满足条件:① f (0) ? f (1) ;
2

② f ( x ) 的最小值为

?

1 8

.

(1)求函数 f ( x ) 的解析式;
?4? (2)设数列 { a n } 的前 n 项积为 Tn ,且 Tn ? ? ? ?5?
f (n)

,求数列 { a n } 的通项公式;

E

F (3)在(2)的条件下, 若 5 f ( a n ) 是 bn 与 a n 的等差中项, 试问数列 {bn } 中第几项的
2x

A

O

B

值最小? 求出这个最小值.

18. (本题满分 15 分) 已知椭圆 C: 3 ). 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 F 是椭圆 C 的右焦点,M 为椭圆上一点,以 M 为 圆心,MF 为半径作圆 M.问点 M 横坐标满足什么条 件时,圆 M 与 y 轴有两个交点? (3)设圆 M 与 y 轴交于 D、E 两点, 求点 D、E 距离的最大值. x2 y2 1 + =1(a>b>0)的离心率为 ,且经过点 P(1, a2 b2 2

D
第 17 题

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? b sin x ? 2 , ( b ? R ) ,且对任意 x ? R ,有 f ( ? x ) ? f ( x ) .
2

(1)求 b ; (2)已知 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 ( x ? 1) ? a ln x 在区间(0,1)上为单调函数,求实数 a 的取值 范围. (3)讨论函数 h ( x ) ? ln( 1 ? x ) ?
2

1 2

f ( x ) ? k 的零点个数?(提示: [ln(1 ? x )] ' ?
2

2x 1? x
2

)

理科数学附加题
1.选修 4-2:矩阵与变换
?1 已知 ? ?1 0? ? ?4 3 ? ?B ? ? ? , 求矩阵 B. 2? ? 4 ? 1?

3. 【必做题】 在平面直角坐标系 xoy 中,动点 P 到直线 x ? 4 的距离与它到点 F ? 2, 0 ? 的距离之比为 2 . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F ? 2, 0 ? 作垂直于 x 轴的直线 l ,求轨迹 C 与 y 轴及直线 l 围成的封闭图形的面积.

2.选修 4—4:坐标系与参数方程 已知圆 C: ? ? 2 cos ? ,直线 l : ? cos ? ? ? sin ? ? 4 ,求过点 C 且与直线 l 垂直的直线的 极坐标方程.

4.【必做题】2009 年 5 月 11 日,中国内地出现首例输入性甲型 H1N1 流感疑似病例。中国 进入防控甲型 H1N1 流感的关键时期, 到目前为止, 中国在防控方面取得了令人满意的成绩。 据统计:公众对我国防控甲型 H1N1 流感的满意率 p , (不满意率为 q , p ? q ? 1 ) ,现随机从 人群中抽出 n 个人调查对我国防控甲型 H1N1 流感的满意度, 用随机变量 x 表示调查的这些 人中的不满意的人数. (1)当 n ? 3 , p ? 0.9 ,列出随机变量 X 的分布列,并求出随机变量 x 的数学期望 E ( X ) ; (2)试证明: E ( X ) = nq .

(Ⅱ)因为由 y ? ? 4 k ( 2 (cos x ? sin x ) ? 1) ? 0 …………………………………11 分 解得 cos( x ? 第十周数学试卷答案 1 1. ? 2.30 2 8.20
2 2 2 9. a ? b ? c

?
4

)?

1 2

,即 x ?

?
12

…………………………………………13 分

3. ? 1 ? a ? 3

4.3 或 ? 1

5.

4 9

6. ? 8

7. 2

又当 x ? (0, 当x?(

?
12

) 时, y ? ? 0 ,所以此时 y 在 (0,

?
12

) 上单调递增;

?
?

12 4 12

,

?

) 时, y ? ? 0 ,所以此时 y 在 (

, ) 上单调递减. 12 4

? ?

10.

2 2

11.2101

12.0

13.4

14. k∈[

2

6 , 2

故当 x ?

时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳 …………………16 分

+∞] 15.解: (Ⅰ)连接 AC,则 AC∥ A1C 1 ,而 E , F 分别是 AB , BC 的中点,所以 EF∥AC, 则 EF∥ A1C 1 , EF // 平面 A1 BC1 ………………………………………………………7 分 故 (Ⅱ)因为 BB1 ? 平面 A1 B1C1 D1 ,所以 BB1 ? A1C1 ,又 A1C1 ? B1 D1 , 则 A1C 1 ? 平面 D1 DBB1 ………………………………………………………………12 分 又 A1C 1 ? 平面 A1 BC1 ,所以平面 D1 DBB1 ? 平面 A1 BC1 …………………………14 分 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 16. (Ⅰ) 解: 因为 (2 a ? c ) BC ? BA ? cCA ? CB ? 0 , 所以 (2 a ? c ) ac cos B ? cab cos C ? 0 , 即 (2 a ? c ) cos B ? b cos C ? 0 ,则 (2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC ? 0 …………4 分 所以 2 sin A cos B ? sin( C ? B ) ? 0 ,即 cos B ? ? (Ⅱ)因为 b ? a ? c ? 2 ac cos
2 2 2

x2 y2 1 3 18.解:(1)∵椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,且经过点 P(1, ), a b 2 2

? a -b = 1 ? a 2 ∴? ,即 1 9 ? a2 + 4b2 =1 ?
2 2

2 2 ?3a -4b =0 2 ? ?a =4 9 ? 1 ,解得 ?b2=3,………………3 分 ? ? a2 + 4b2 =1 ?

1 2
2

,所以 B ?
2

2? 3

x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1。………………5 分 x02 y02 (2) 易 求 得 F(1 , 0) 。 设 M(x0 , y0) , 则 4 + 3 =1 , 圆 M 的 方 程 为 (x-x0)2+(y-y0)2=(1-x0)2+y02, 令 x=0,化简得 y2-2y0y+2x0-1=0,⊿=4y02-4(2x0-1)2>0……①。 x02 4 将 y02=3(1- 4 )代入①,得 3x02+8x0-16<0,解出 -4<x0< 3 故-2≤x0< 4 3 ……9 分 (3)设 D(0,y1),E(0,y2),其中 y1<y2。由(2),得 DE= y2- y1= 4y02-4(2x0-1) = -3x02-8x0+16 = 4 64 -3(x0+ 3 )2+ 3 ,

………………8 分

2?

3 ??? ??? ? ? ?? ?? ? ? ? ? 2? 1 ? ? ac ? ? 2 ,即 AB ? CB 的最小值为 ? 2 ………………14 分 所以 AB ? CB = ac cos 3 2 17.解: (Ⅰ)因为 ? EOA ? ? FOB ? 2 x ,所以弧 EF、AE、BF 的长分别为 ? ? 4 x , 2 x , 2 x

,所以 12 ? a ? c ? ac ? 3 ac ,即 ac ? 4 …12 分

3分

连接 OD,则由 OD=OE=OF=1, ? FOD ? ? EOD ? 2 x ?

?
2

,所以
xc o s ) …………6 分

D E ? D F ? 1 ?1 ? 2 c o s ( 2 ? x 2

?

)?

2 ?

2 six 2 n ?

2 (xs i n ?

所以 y ? 2 k (2 2 (sin x ? cos x) ? ? ? 4 x) ? k (2 2 ? 4 x)
? 2 k (2 2 (sin x ? cos x ) ? 2 x ? 2 ? ? ) …………………………………9 分

4 8 3 当 x0=- 3 时,DE 的最大值为 2 。………………15 分

? 1 ? ?a ? b ? 0 ?a ? 2 ? 1 2 1 ? ? 19.解:(1) 由题知: ? a ? 0 , 解得 ? , 故 f ( x ) ? x ? x .…………4 2 2 ? ?b ? ? 1 2 b 1 ? ?? ? 2 ?? ? 4a 8 ? 分
n ?n
2

g ?( x ) ? 2 x ? 2 ?

a x

( x ? 0 ) ……4 分

依题意, 2 x ? 2 ?
2

a x

? 0 或2x ? 2 ?
2

a x

? 0 在(0,1)上恒成立………………6 分

即 2 x ? 2 x ? a ? 0 或 2 x ? 2 x ? a ? 0 在(0,1)上恒成立 由 a ? ?2 x ? 2 x ? ?2( x ?
2

( n ?1) ? ( n ?1)

2

1 2 1

?4? (2) Tn ? a1 a 2 ? a n ? ? ? ?5?

2

, T n ? 1 ? a1 a 2 ? a n ? 1

?4? ?? ? ?5?

) ?
2

1 2 1

在(0,1)上恒成立,可知 a ? 0 .

2

( n ? 2) ,

? an ?

Tn Tn ?1

?4? ?? ? ?5?

n ?1

( n ? 2) ,
?4? 所以 a n ? ? ? ?5?
n ?1

又 a1 ? T1 ? 1 满足上式.

( n ? N ) . ………………9 分(验证 a11 分)

?

在(0,1)上恒成立, 2 2 可知 a ? ? 4 ,所以 a ? 0 或 a ? ? 4 . ………………9 分 1 2 1 2 2 2 (3) h ( x ) ? ln( 1 ? x ) ? x ? 1 ? k ,令 y ? ln( 1 ? x ) ? x ? 1 . 2 2 2x ( x ? 1) x ( x ? 1) ?x?? 所以 y ? ? ………………10 分 2 2 1? x x ?1 令 y ? ? 0 ,则 x1 ? ? 1, x 2 ? 0 , x 3 ? 1 ,列表如下:

由 a ? ?2 x ? 2 x ? ?2( x ?
2

) ?
2

(3) 若 5 f ( a n ) 是 bn 与 a n 的等差中项, 则 2 ? 5 f ( a n ) ? bn ? a n ,
1 2 1 从而 10( a n ? a n ) ? bn ? a n , 2 2 3 2 9 2 得 bn ? 5 a n ? 6 a n ? 5( a n ? ) ? . 5 5

x
y?

(-∞,-1)

-1

(-1,0)

0

(0,1)

1

(1, +∞)

?4? 因为 a n ? ? ? ?5?

n ?1

( n ? N ) 是 n 的减函数, 所以
?

?

+
单调递增
1 2 1 2

0
极大值 1 ln 2 ? 2


单调递减

0
极小值 1

+
单调递增

0
极大值 1 ln 2 ? 2


单调递减

当 an ? 当 an ? 又

3 5 3 5

, 即 n ? 3( n ? N ) 时, bn 随 n 的增大而减小, 此时最小值为 b3 ; , 即 n ? 4( n ? N ) 时, bn 随 n 的增大而增大, 此时最小值为 b 4 .
3 5 ? a4 ?
2

h(x)

?

所以当 k ? ln 2 ? 最 小 , 且

时,函数无零点; 时,函数有 两个零点 ;当 k ? 1 时,函数 有三个零 点。当

a3 ?

3 5

,

所 以 b3 ? b4 .……16 分
2

,

即 数 列 {bn }

中 b3

当 k ? 1 或 k ? ln 2 ?
1 ? k ? ln 2 ? 1 2

2 ?? 4 ? 2 ? 224 ?4? b3 ? 5 ? ? ? ? ? 6 ? ? ? ? 125 ?5? ?? 5 ? ? ? ?

时,函数有四个零点。………………16 分

20.解: (1)由 f ( ? x ) ? ( ? x ) ? b sin( ? x ) ? 2 ? f ( x ) 得 b ? 0 . ………………2 分 ( 2 )
g ( x ) ? f ( x ) ? 2 ( x ? 1) ? a ln x ? x ? 2 x ? a ln x
2





附加题答案 22.⑴设 P ? x , y ? ,由题意有
x?4

? x ? 2?
x
2

? ? y
2

2 ,化简得

x

2

?

y

2

?1.

2

8

4

即动点 P 的轨迹 C 的方程为 ⑵当 y ≥ 0 时, y ?
8? x 2
2

?

y

2

?1.
2 2
2 0

………………4 分
2

8

4
8? x . 8 ? x dx ?
2

,即 y ?

………………6 分
2?
2 0

设所求的图形的面积为 S ,则 S ? 2 ? = 2? ?2?2 ?
?2 ?1 1 2 ?8?

2 2

8 ? x dx
2

? ?

??2 2? 4?

2? .

故所求的封闭图形的面积 2 2 ? 2? . 23. 解: (1)由题意得: 0 X
q
C 3 0.9
0 3

………………10 分 1 2
2

3
2

C

1 3

0 .9 ? 0 .1

C

2 3

0 .9 ? 0 .1

C

3 3

0 .1

3

E ( X ) = 3 ? 0.081 ? 2 ? 3 ? 0.009 ? 3 ? 0.001 = 0.3

………………5 分 3 n ?3 3 C p q
3 n n n

(2) X
q

0
C p
1 n ?1 0 n n

1 n ?1 C p q
1 n 2 n?2 2 3

2 n ?1 C p q
1 n n ?3 3

???
???

n
Cn q
n n

所以 E ( X ) ? 1 ? C n p = nq (C n ?1 p
0 n ?1 1

q ? 2 ? Cn p q ? C n ?1 p
2

q ? 3 ? Cn p
2

q ? ??? ? n ? Cn q )

? C n ?1 p

n?2

n ?3

q ? ? ? ? ? C n ?1 q

n ?1

n ?1

= nq ( p ? q )

n ?1

= nq .

………………10 分


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