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广东省2016届高三数学文一轮复习专题突破训练:统计与概率


广东省 2016 届高三数学文一轮复习专题突破训练 统计与概率
2016 年广东省高考将采用全国卷,下面是近三年全国卷的高考试题及 2015 届广东省部分地区 的模拟试题,供同学们在复习时参考。 一、选择、填空题 1、 (2015 年全国 I 卷)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组 勾股数,从 1, 2,3, 4,5 中任取 3

个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ) (A)

3 10

(B)

1 5

(C)

1 10

(D)

1 20

2、 (2014 年全国 I 卷)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书相 邻的概率为________. 3、(2013 年全国 I 卷)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的 概率是( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 4 6 4、(佛山市 2015 届高三二模)用两种不同的颜色给图 2 中三个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种 颜色,则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是

图2 5、 (广州市 2015 届高三一模)若某市 8 所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示(如图1 ), 其中茎为十位数, 叶为个位数,则这组数据的中位数是 8 8 7 A. 91 9 1 7 4 2 0 3 B. 91.5 图1 C. 92 D. 92.5 6、(华南师大附中 2015 届高三三模)如图,大正方形的面积是 34,四个全等 直角三角形围成一个小正方形,直角三角形的较短边长为 3,向大正方形内 抛撒一枚幸运小花朵,则小花朵落在小正方形内的概率为(***) 1 2 3 4 A. B. C. D. 17 17 17 17 7、(深圳市 2015 届高三二模)已知某路口最高限速 50km / h ,电子监控测得 连续 6 辆汽车的速度如图 1 的茎叶图(单位: km / h ).若从中任取 2 辆,则恰好有 1 辆汽车超速 的概率为

1

2 3 8 C. D. 5 5 15 8、 (湛江市 2015 届高三二模) 某校为了解学生的学习情况, 采用分层抽样的方法从高一 600
A.

4 15

B.

人、高二 680 人、高三 720 人中抽取 50 人进行问卷调查,则高一、高二、高三抽取的人 数分别是( ) B. 15 , 16 , 19 C. 14 , 17 , 19 D. 15 , 16 , 20

A. 15 , 17 , 18

9、 (珠海市 2015 届高三二模)某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查.已知该社区的 青年人、中年人和老年人分别有 800 人、1600 人、1400 人,若在老年人中的抽样人数是 70,则在 中年人中的抽样人数应该是______. 10、 (潮州市 2015 届高三上期末)高三 ? 3? 班共有学生 56 人,现根据座号,用系统抽样的方法,抽 取一个容量为 4 的样本.已知 3 号、31 号、 45 号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的座号是 ( ) B. 16 C. 17 D. 18

A. 15

11、(佛山市 2015 届高三上期末)某校高三年级学生会主席团有共有 5 名同学组成,其中有 3 名同 学来自同一班级,另外两名同学来自另两个不同班级.现从中随机选出两名同学参加会议,则两名 选出的同学来自不同班级的概率为( A. 0.35 B. 0.4 ) C. 0.6 D. 0.7

12、 (韶关市 2015 届高三上期末)右图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图,则由图可 估计样本 的平均重量为( )

A. 10

B. 11

C. 12

D. 13

二、解答题 1、(2015 年全国 I 卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位: 千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的宣传费 xi 和年销售 量 yi ? i ? 1, 2,? ,8 ? 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

2

? x
46.6

? ? y
56.3

? ? w
6.8

? ( xi ? x)2
i ?1

n

? (wi ? w)2
i ?1

n

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i

n

289.8

1.6

1469

108.8

表中 w1 = x 1,



? ? 1 w = 8

?w
i ?1

n

i

(I)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x ,哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的 回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由); (II)根据(I)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (III)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(II)的结果回答下列问题: (i)当年宣传费 x ? 90 时,年销售量及年利润的预报值时多少? (ii)当年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大?

附:对于一组数据 (u1 , v1 ) , (u2 , v2 ) ,??, (un , vn ) ,其回归线 v ? ? ? ? u 的斜率和截距 的最小二乘估计分别为:

?= ?

? (u ? u )(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u ? u )
i ?1 i

n

? =v ? ? ?u ,?

2

2、(2014 年全国 I 卷)从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值, 由测量表得如下频数分布表: 质量指标值分组 频数 [75,85) 6 [85,95) 26 [95,105) 38 [105,115) 22 [115,125) 8

(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:

3

(II) 估计这种产品质量指标值的平均数及方差 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ; (III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的 产品至少要占全部产品的80%”的规定?

3、(2013 年全国 I 卷)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的 睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?

图 1-4 4、(佛山市 2015 届高三二模)寒假期间,很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活 动,下表是今年某个档口某种精品的销售数据. 日期 2 月 14 日 2 月 15 日 2 月 16 日 2 月 17 日 2 月 18 日 销售量 白天 35 32 43 39 51 (件) 晚上 46 42 50 52 60 已知摊位租金 900 元/档,售余精品可以以进货价退回厂家. (1) 画出表中 10 个销售数据的茎叶图,并求出这组数据的中位数; 明年花市期间甲、乙两位同学想合租一个摊位销售同样的精品,其中甲、乙分别承包白天、晚上的

4

精品销售,承包时间段内销售所获利润归承包者所有。如果其它条件不变,以今年的数据为依据, 甲、乙两位同学应如何分担租金才较为合理? 5、 (广州市 2015 届高三一模) 从广州某高校男生中随机抽取 100 名学生, 测得他们的身高(单位: cm) 情况如表 1: 分组 频数 频率

?160,165? ?165,170?
?170,175?

5

0.05

a
35

c
0.35

?175,180? ?180,185?
合计 表1 (1)求 a, b, c 的值;

b 10
100

0.20 0.10
1.00

(2)按表 1 的身高组别进行分层抽样, 从这 100 名学生中抽取 20 名担任广州国际马拉松 志愿者, 再从身高不低于 175 cm 的志愿者中随机选出 2 名担任迎宾工作, 求这 2 名 担任迎宾工作的志愿者中至少有 1 名的身高不低于 180 cm 的概率.

6、(华南师大附中 2015 届高三三模)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以 下工人 200 名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人, 先统计了他们某月的日平均生产件数, 然后按工人年龄在“25 周岁以上 (含 25 周岁) ” 和“25 周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组: [50, 60) , [60, 70) ,

[70,80) , [80,90) , [90,100) 分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1) 从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人, 求至少抽到一名“25 周岁以下组” 工人的频率. (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 2? 2 的列联表, 并判断是否有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

5

附表:

K2 ?

n(ad ? bc)2 , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K ? k )
2

0.100 2.706

0.010 6.635

0.001 10.828

(其中 n ? a ? b ? c ? d )

k

7、(惠州市 2015 届高三 4 月模拟)某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒 之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组 ?13,14) ,第二组 ?14,15) ,…,第五组 ?17,18? ,下 图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1) 根据频率分布直方图,估计这 50 名学生百米 测试成绩的平均值; (2) 若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这 两个成绩的差的绝对值大于 1 的概率.
0.16 0.38 0.32 频率 组距

0.08 0.06 O

13

14

15

16

17

18



8、(茂名市 2015 届高三二模)某市为增强市民的环 组 ?20,25? ,第 2 组 ?25,30? ,第 3 组 ?30,35? ,第 方图如图所示. (1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志 愿者参加广场的宣传活动,则应从第 3,4,5 组各 抽取多少名志愿者? (2)在(1)的条件下,该市决定从 3,4 组抽取的志愿 者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 4 组至少 有一名志愿者被抽中的概率.

19 题 图

境保护意识,征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随 机抽取 100 名按年龄分组:第 1 4 组 ?35,40? ,第 5 组 ?40,45? ,得到的频率分布直

6

9、 (梅州市 2015 届高三一模) 某企业员工 500 人参加“学雷锋”志愿活动, 按年龄分组: 第1组 , 第2组 ,第 3 组 ,第 4 组 ,第 5 组 ,得到的频率分布直方图如图 所示.

(1)下表是年龄的频率分布表,求正整数

的值;

(2)现在要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,年龄在第 1,2,3 组抽取的员 工的人数分别是多少? (3)在(2)的前提下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求至少有 1 人年龄在第 3 组的概率.

10、(深圳市 2015 届高三二模) PM2.5 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物(也称
可入肺颗粒物).为了探究车流量与 PM2.5 的浓度是否相关,现采集到某城市周一至周五某一时间 段车流量与 PM2.5 的数据如下表:

(1)根据上表数据,请在下列坐标系中画出散点图;

y
80 78 76 74 72 70

x
O
50 52 54 56 58 7

(2)根据上表数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 $ y ?$ bx ? $ a; (3)若周六同一时间段车流量是 25 万辆,试根据(2)求出的线性回归方程预测,此时 PM2.5 的浓度为多少(保留整数)?

血清酒精 含量

[0.2 0 00 ,0.4 0 00 )

[0.4 0 00 ,0.8 0 00 )

[0.8 0 00 ,1.2 0 00 )

[1.2 0 00 ,1.6 0 00 )

[1.6 0 00 , ?? )

常人精神 君子态(愉快) 孔雀态(炫耀) 狮子态(打架) 猴子态(失控) 狗熊态(昏睡) 状态 11、 (湛江市 2015 届高三二模)某学校对学生进行三项身体素质测试, 每项测试的成绩有 3

分、 2 分、1 分,若各项成绩均不小于 2 分且三项测试分数之和不小于 7 分的学生,则其 身体素质等级记为优秀;若三项测试分数之和小于 6 分,则该学生身体素质等级记为不 合格.随机抽取 10 名学生的成绩记录如下表: 学生 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 编号 三项 2,1, 1,2, 2,3, 3,1, 3,2, 2,3, 3,3, 1,1, 3,3, 2,2, 成绩 2 2 3 1 2 1 3 1 1 2 ?1? 利用上表提供的数据估算该学校学生身体素质的优秀率; 求这 2 人 ? 2 ? 从表中身体素质等级记为不合格的学生中任意抽取 2 人组成小组加强锻炼, 三项测试总分相同的概率.
12、(珠海市 2015 届高三二模)2004 年 5 月 31 日国家制定了新的酒驾醉驾标准,车辆驾驶人员血 液酒精含量大于或等于 20mg /100ml(0.2 0 00 ),小于 80mg /100ml(0.8 0 00 )为饮酒驾车;大于或等于 80mg /100ml(0.8 0 00 )为醉酒驾车.以下是血清里酒精含量与常人精神状态关联的五个阶段: 但血清中的酒精含量在饮用等量酒的情况下,是因人而异有所不同的。下面是某卫生机构在 20~55 岁的饮酒男性志愿者中,随机选取 30 人作为样本进行测试。在饮用了 250ml( 60 0 0 )60 度纯粮白 酒(相当于 5 瓶啤酒)恰好一小时,血清中酒精含量(最大值)统计数据:

8

以上数据为参考依据. (1)试估计 20~55 岁的饮酒男性在饮用了 250ml( 60 0 0 )60 度纯粮白酒(相当于 5 瓶啤酒)恰好一 小时,血清中酒精含量 0.8 0 00 及以上的概率是多少? (2)在午夜 12 点,酒吧营业两小时,客人餐饮大约一小时。有 5 名 20~55 岁的男性(每人饮用相当 于60度纯粮白酒饮酒量 250ml 左右) 从酒吧走出并驾车离开 (已知其中 4 人血清酒精含量 0.8 0 00 及 以上,一人 0.8 0 00 以下),恰有两人途中被交警拦截检查,则这两人均是醉酒驾车的概率是多少?

13、(韶关市 2015 届高三上期末)汽车是碳排放量比较大的行业之一,某地规定,从 2015 年开始, 将对二氧化碳排放量超过 130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲、 乙两品牌轻型汽车各 抽取 5 辆进行二氧化碳排放量检测,记录如下(单位:g/km). 血清酒精 含量 人数

[0.2 0 00 ,0.4 0 00 ) 1

[0.4 0 00 ,0.8 0 00 ) 2

[0.8 0 00 ,1.2 0 00 ) 12

[1.2 0 00 ,1.6 0 00 ) 13

[1.6 0 00 , ?? ) 2

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为 x乙 ? 120g / km . (1) 求表中 x 的值,并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性; (2) 从被检测的 5 辆甲品牌轻型汽车中任取 2 辆,则至少有一辆二氧化碳排放量超过130 g / km 的概率是多少? 14、(深圳市2015届高三上期末)空 气 质 量 指 数 ( 简 称AQI) 是 定 量 描 述 空 气 质 量 状 况 的 指 数 , 其 数 值 越 大 说 明 空 气 污 染 越严重,为了及时了解空气质量状况, 广东各城市都设置了 AQI 实时监测站.下表是某网站公布的广东省内21 个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据:
AQI 数值 118 94 160 AQI 数值 137 95 113 AQI 数值 95 75 88 AQI 数值 78 94 74 AQI 数值 76 124 112 AQI 数值 107 48 68 AQI 数值 80 47 84

城市 广州 深圳 佛山

城市 东莞 珠海 惠州

城市 中山 湛江 汕头

城市 江门 潮州 汕尾

城市 云浮 河源 阳江

城市 茂名 肇庆 韶关

城市 揭阳 清远 梅州

9

(1)请根据上表中的数据,完成下列表格: 空气质量 AQI 值范围 城市个数 优质 [0,50) 良好 [50,100) 轻度污染 [100,150) 中度污染 [150,200)

(2)现从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式确定 6 个城市, 省环保部门再从中随机选取 2 个城市组织专家进行调研,则选取的城市既有空气质量“良好”的又 有“轻度污染”的概率是多少?

15、(肇庆市 2015 届高三上期末)某工厂的 A、B、C 三个不同车间生产同一产品的数量(单位: 件)如下表所示. 质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取 6 件样品进行检测. 车间 数量 A 50 B 150 C 100

(1)求这 6 件样品中来自 A、B、C 各车间产品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件进行进一步检测,求这 2 件商品来自相同车间的概率.

参考答案 一、选择、填空题 1、【答案】C 【解析】 试题分析: 从 1,2,3,4,5 1, 2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数共有 10 种不同的取法, 其中的勾股数只有 3,4,5, 故 3 个数构成一组勾股数的取法只有 1 种,故所求概率为 2、【答案】:

1 ,故选 C. 10

2 3 【解析】设数学书为 A,B,语文书为 C,则不同的排法共有(A,B,C),(A, C,B), (B,C,A),(B,A,C),(C,A,B),(C,B,A)共 6 种排列方法,其中 2 本 4 2 数学书相邻的情况有 4 种情况,故所求概率为 P ? ? . 6 3
3、B [解析] 基本事件是(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共 6 个,其中两数之差 2 1 的绝对值为 2 的基本事件是(1,3),(2,4),共 2 个,根据古典概型公式得所求的概率是 = . 6 3 4、

1 4

5、B

10

6、B 7、C 8、A 9、80 10、C 11、D 12、C 二、解答题 1 、【答案】(Ⅰ) y ? c ? d x 适合作为年销售 y 关于年宣传费用 x 的回归方程类型(Ⅱ)

? y ? 100.6 ? 68 x (Ⅲ)46.24
【解析】 试题分析:(Ⅰ)由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数;(Ⅱ)令 w ?

x ,先

求出建立 y 关于 w 的线性回归方程,即可 y 关于 x 的回归方程;(Ⅲ)(ⅰ)利用 y 关于 x 的回归方 程先求出年销售量 y 的预报值,再根据年利率 z 与 x、 y 的关系为 z=0.2y-x 即可年利润 z 的预报值; (ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知,年利润 z 的预报值,列出关于 x 的方程,利用二次函数求最值的方法 即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.

考点:非线性拟合;线性回归方程求法;利用回归方程进行预报预测;应用意识

11

2、【解析】:(I)

????4分 (II)质量指标值的样本平均数为

x ? 80 ? 0.06 ? 90 ? 0.26 ? 100 ? 0.38 ? 110 ? 0.22 ? 120 ? 0.08 ? 100 .
质量指标值的样本方差为

s 2 ? ? ?20 ? ? 0.06 ? ? ?10 ? ? 0.26 ? 0 ? 0.38 ? ?10 ? ? 0.22 ? ? 20 ? ? 0.08 ? 104 …10 分
2 2 2 2

(Ⅲ)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于 0.8,故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规 定. …………….12 分

3、解:(1)设 A 药观测数据的平均数为 x,B 药观测数据的平均数为 y. 由观测结果可得 1 x= (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+ 20 3.1+3.2+3.5)=2.3, 1 y= (0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+ 20 2.6+2.7+3.2)=1.6. 由以上计算结果可得 x>y, 因此可看出 A 药的疗效更好. (2)由观测结果可绘制如下茎叶图: A药 6 8 9 5 0. 5 8 2 5 5 7 1 5 2 7 0 6 2 6 3. 8 1. 5 2 9 1 4 2 3 2 3 3 2 4 2. 6 1 7 4 8 5 9 6 7 B药

7 从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有 的叶集中在茎 2,3 上,而 B 药疗效的试验结 10

12

7 果有 的叶集中在茎 0,1 上,由此可看出 A 药的疗效更好. 10 4、

5、(1)解: 由 0.05 ? c ? 0.35 ? 0.20 ? 0.10 ? 1.00 ,得 c ? 0.30 . ??????????1 分 由

a ? 0.30 ,得 a ? 30 , 100 由 5 ? 30 ? 35 ? b ? 10 ? 100 ,得 b ? 20 .

??????????2 分 ??????????3 分

(2)解:依据分层抽样的方法,抽取的 20 名志愿者中身高在区间 ?175,180? 上的有

0.20 ? 20 ? 4 名,记为 A, B, C , D ;

????????????????5 分

而身高在区间 ?180,185? 上的有 0.10 ? 20 ? 2 名,记为 E , F . ????????7 分 记“这 2 名担任迎宾工作的志愿者中至少有 1 名的身高不低于 180 cm”为事件 M , 从身高不低于 175 cm 的志愿者中随机选出 2 名担任迎宾工作,共有 15 种不同取法:

{A, B},{A, C},{ A, D},{ A, E},{ A, F} , {B, C},{B, D},{B, E},{B, F} , {C, D},{C, E},{C, F} , {D, E},{D, F } , {E , F } . ??????????9 分

13

事件 M 包含的基本事件有 9 种: { A, E},{ A, F} , {B, E},{B, F} , {C , E},{C, F}

{D, E},{D, F } , {E , F } .
∴ P?M ? ? 6、

??????????11 分 ??????????12 分

9 3 ? 为所求. 15 5

7、解:(Ⅰ)由频率分布直方图知,百米测试成绩的平均值为

x ? 13.5 ? 0.06 ? 14.5 ? 0.16 ? 15.5 ? 0.38 ? 16.5 ? 0.32 ? 17.5 ? 0.08
? 0.81 ? 2.32 ? 5.89 ? 5.28 ? 1.4 ? 15.7
????? 5 分 (Ⅱ)由频率分布直方图知,成绩在 [13,14) 的人数为 50 ? 0.06 ? 3 人,设为 x 、 y 、 z ; 成绩在 [17,18) 的人数为 50 ? 0.08 ? 4 人,设为 A 、 B 、 C 、 D 若 m, n ?[13,14) 时,有 xy, xz , yz 3 种情况; 若 m, n ?[17,18) 时,有 AB, AC, AD, BC, BD, CD 6 种情况;
14

?????6 分 ??????7 分 ??????8 分

若 m, n 分别在 [13,14) 和 [17,18) 内时, A x y xA yA B xB yB zB C xC yC zC D xD yD zD ?????10 分

z zA 共有 12 种情况.

所以基本事件总数为 21 种,事件“ | m ? n |? 1 ”所包含的基本事件个数有 12 种。 ∴ P ( | m ? n |? 1 ) ?

8、解:(1)由频率直方图可知:第 3 组的人数为 0.06 ? 5 ?100 ? 30 ……………………1 分 第 4 组的人数为 0.04 ? 5 ?100 ? 20 …………………………………………2 分 第 5 的人数为 0.02 ? 5 ? 100 ? 10 ………………………………………………3 分 所以用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者, 每组抽取的人数分别为:第 3 组: 6 ? 第 5 组: 6 ?

12 4 ? 。 21 7

????????12 分

30 ?3 60

第 4 组: 6 ?

20 ?2 60

10 ?1 60

所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人 ……5 分

(2)记第 3 组的 3 名志愿者为 A 1 , A2 , A 3 , 第 4 组的 2 名志愿者为 B 1 , B2 , ………………6 分 则 5 名志愿者中抽取的 2 名志愿者有: ( A1 , A2 ), ( A 1, A 3) , ( A 1 , B1 ) , ( A 1 , B2 ) ,

( A2 , A3 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1, B2 ) 共 10 种 ……9 分
其中第 4 组的 2 名志愿者为 B1 , B2 , 至少有一名志愿者被抽中的有: ( A1 , B1 ) ,

( A1, B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1, B2 ) 共有 7 种 …11 分
所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为

7 10

……………………………12 分

9、解:(1)由题设可知, a ? 0.08 ? 5 ? 500 ? 200 , b ? 0.02 ? 5 ? 500 ? 50 . ????2 分 (2) 因为第 1,2,3 组共有 50+50+200=300 人, 利用分层抽样在 300 名员工中抽取 6 名员工,每组抽取的人数分别为:

50 50 ? 1 , 第 2 组的人数为 6 ? ? 1, 300 300 200 ?4. 第 3 组的人数为 6 ? 300
第 1 组的人数为 6 ? 所以第 1,2,3 组分别抽取 1 人,1 人,4 人. ?????6 分 (3)设第 1 组的 1 位员工为 A ,第 2 组的 1 位员工为 B ,第 3 组的 4 位员工为

C1 , C2 , C3 , C4 ,则从六位员工中抽两位员工有: ( A, B),( A, C1 ),( A, C2 ),( A, C3 ),( A, C4 ), ( B, C1 ),( B, C2 ),( B, C3 ),( B, C4 ),

15

(C1 , C2 ), (C1 , C3 ), (C1, C4 ),(C2 , C3 ),(C2 , C4 ), (C3 , C4 ),
共 15 种可能. 其中 2 人年龄都不在第 3 组的有: ( A, B), 共 1 种可能, 所以至少有 1 人年龄在第 3 组的概率为 1 ? ????10 分 ????11 分 ????12 分

1 14 ? . 15 15

10、解: (1)散点图如下图所示. ????????????????????????2 分

(2) Q x ?
5

50 ? 51 ? 54 ? 57 ? 58 69 ? 70 ? 74 ? 78 ? 79 ? 54 , y ? ? 74 ,???6 分 5 5
i

? ( x ? x)( y ? y) ? 4 ? 5 ? 3? 4 ? 3? 4 ? 4 ? 5 ? 64 ,
i ?1 i

? ( x ? x)
i ?1 i
5

5

2

? (?4)2 ? (?3)2 ? 32 ? 42 ? 50 ,

$ b?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

? ( x ? x)
i ?1 i

5

?

2

64 ? 1.28 , 50

$ a ? y ? bx ? 74 ?1.28? 54 ? 4.88 , ???????????????????9 分
? ? 1.28 x ? 4.88 .?????????????10 分 故 y 关于 x 的线性回归方程是: y
(3)当 x ? 25 时, y ? 1.28 ? 25 ? 4.88 ? 36.88 ? 37 所以可以预测此时 PM2.5 的浓度约为 37 .????????????????12 分 【说明】本题主要考查了线性回归分析的方法,包括散点图,用最小二乘法求参数,以及用回归方 程进行预测等知识,考查了考生数据处理和运算能力. 11、

16

12、解: (1)设“血清中酒精含量 0.8 0 00 及以上”的事件为 A 其中基本事件 n( A) ? 27 ,总事件数为 N ? 30 ?1分

n( A) 27 9 ? ? ????????????????3分 N 30 10 9 ?血清中酒精含量 0.8 0 00 及以上的概率是 ????????????????4分 10
则 P( A) ? (2)设血清中酒精含量 0.8 0 00 以下那人为 a ,其余 4 人为 b 、c 、d 、e ??????????5分

b 、 a c 、a 、 d 、 a e 、b、 c 、 b d、 b e c d c 中 e 个 人 两 两 组 合 共 有 a 、 十 种 , 其 b、 c 、 b d 、b 、 e 、 c d 为二人均是醉驾,???????????????? c e d e 7分 设“二人均是醉驾”为事件 B ????????????????8 分
5 故 n( B) ? 6 , N ? 10

d e

6 3 ? ????????????????11 分 10 5 3 ?两人均是醉酒驾车的概率为 ????????????????12 分 5 P( B) ?
13、

17

14、

18

19

15、解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 所以 A 车间产品被选取的件数为 50 ? B 车间产品被选取的件数为 150 ?

6 1 ? ,(2 分) 50 ? 150 ? 100 50
(3 分) (4 分) (5 分)

1 ?1, 50

1 ? 3, 50 1 ? 2. C 车间产品被选取的件数为 100 ? 50

(2)设 6 件来自 A、B、C 三个车间的样品分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2. 则从 6 件样品中抽取的这 2 件产品构成的所有基本事件为: (A,B1), (A,B2), (A,B3), (A, C1),(A,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1), (B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2),共 15 个. (8 分)

每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件 D:“抽取的这 2 件产 品来自相同车间”,则事件 D 包含的基本事件有:(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),(C1, C2),共 4 个. 所以 P ( D ) ? (10 分) (12 分)

4 4 ,即这 2 件产品来自相同车间的概率为 . 15 15

20


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