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【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用单元小练 文


单元小练 3 导数及其应用
一、 填空题

1 1.函数f(x)= x 的导函数为



?π π? ? ,? 2.曲线y=x-cos x在点 ? 2 2 ? 处的切线方程为
3.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e )=x+e ,则f'(1)=
x x

/>.



4.函数f(x)=x-ln x的单调减区间为



1 2 5.函数f(x)= 2 x -ln x的最小值为



6.已知函数f(x)=x(2 014+ln x),且f'(x0)=2 015,那么x0=



7.设f(x)=4x +mx +(m-3)x+n(m,n∈R)是R上的单调增函数,则实数m的值为

3

2



8.曲线y=log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积等于



m 9.在平面直角坐标系xOy中,记曲线y=2x- x (x≠0,m≠-2)在x=1处的切线为直线l.若直线l
在两坐标轴上的截距之和为12,则实数m的值为 .

3x 2 10.已知函数f(x)= a -2x +ln x(a>0).若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,则实数a的取值范
围是 .

二、 解答题

1

lnx ? k x 11.已知函数f(x)= e (k为常数,e是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的
切线与x轴平行. (1)求实数k的值; (2)求函数f(x)的单调区间.

1 3 2 12.已知函数f(x)= 3 x -2x +3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围; (2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范 围.

13.已知函数f(x)=xln x,g(x)=(-x +ax-3)e (a为实数). (1)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值.

2

x

【单元小练答案】 单元小练3 导数及其应用

1 -3 x2 2 1. f'(x)=1 -3 x2 x 2 【解析】f'(x)=( )'=,x∈(0,+∞).
1 2

π 2. 2x-y- 2 =0

|
【解析】因为y'=1+sin x,x∈R,所以y'

x?

π 2

=2,所以所求切线方程为y-

π ? x- π ? π ? ? 2 =2 ? 2 ? ,即2x-y- 2 =0.

2

1 3. 2 【解析】令e =t,则x=ln t,t>0,所以f(x)=ln x+x,x>0,所以f'(x)=1+ x ,则f'(1)
x

=1+1=2.

1 x-1 4. (0,1) 【解析】函数f(x)的定义域是(0,+∞),且f'(x)=1- x = x ,令f'(x)<0,解得
0<x<1,所以函数f(x)的单调减区间是(0,1).

1 5. 2

1 x 2 -1 【解析】f'(x)=x- x = x ,且x>0.令f'(x)>0,得x>1; 令f'(x)<0,得0<x<1.所

1 1 以f(x)在x=1处取得极小值也是最小值,且f(1) = 2 -ln 1= 2 . 1 6. 1 【解析】由题意可知f'(x)=2 014+ln x+x· x =2 015+ln x,x>0.由f'(x0)=2 015,得
ln x0=0,解得x0=1.

7. 6 【解析】因为f'(x)=12x +2mx+(m-3),又函数f(x)是R上的单调增函数,所以 12x +2mx+(m-3)≥0在R上恒成立,所以(2m) -4×12(m-3)≤0,整理得m -12m+36≤0,即(m6) ≤0.又因为(m-6) ≥0,所以(m-6) =0,所以m=6.
2 2 2 2 2 2

2

1 1 1 1 8. 2 log2e 【解析】因为y'= xln2 ,x>0,所以y'|x=1= ln2 ,所以切线方程为y= ln2 (x-1), 1 1 1 1 1 令x=0,得y=- ln2 ;令y=0,得x=1.所以三角形面积S= 2 ×1× ln2 = 2ln2 = 2 log2e. m 2 9. -3或-4 【解析】y'=2+ x ,y'|x=1=2+m,所以直线l的方程为y-(2-m)=(2+m)(x-1),即 2m 2m y=(2+m)x-2m.令x=0,得y=-2m;令y=0,得x= m ? 2 .由题意得 m ? 2 -2m=12,解得m=-3或m=-4.

3

? 2? 3 1 ? 0, ? 10. ? 5 ? ∪[1,+∞) 【解析】f'(x)= a -4x+ x (x>0),若函数f(x)在[1,2]上为单调函

3 1 3 1 3 1 3 数,即f'(x)= a -4x+ x ≥0或f'(x)= a -4x+ x ≤0在[1,2]上恒成立,即 a ≥4x- x 或 a ≤4x1 1 1 x 在[1,2]上恒成立.令h(x)=4x- x ,则h'(x)=4+ x 2 >0在[1,2]上恒成立,所以h(x)在[1,2] 3 3 3 15 3 2 上单调递增,所以 a ≥h(2) 或 a ≤h(1),即 a ≥ 2 或 a ≤3.又a>0,所以0<a≤ 5 或a≥1,
? 2? ? 0, ? 所以实数a的取值范围是 ? 5 ? ∪[1,+∞).

1 -lnx-k x ex 11. (1) x>0,f'(x)= ,
1-k 又由题知f'(1) = e =0,所以k=1.

1 -lnx-1 x x (2) x>0,f'(x)= e .
1 1 1 2 设h(x)= x -ln x-1(x>0),则h'(x)=- x - x <0,即h(x)在(0,+∞)上单调递减.
由h(1) =0知,当0<x<1时,h(x)>0,所以f'(x)>0; 当x>1时,h(x)<0,所以f'(x)<0. 综上,f(x)的单调增区间是(0,1),单调减区间是(1,+∞).

12. (1) 由题意得f'(x)=x -4x+3, 则f'(x)=(x-2) -1≥-1, 即过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是[-1,+∞). (2) 设曲线C的其中一条切线的斜率为k,
2

2

4

? k ? -1, ? ? 1 - ? -1, ? ? 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知, k
解得-1≤k<0或k≥1, 故由-1≤x -4x+3<0或x -4x+3≥1, 得x∈(-∞,2- 2 ]∪(1,3)∪[2+ 2 ,+∞).
2 2

13. (1) 当a=5时,g(x)=(-x +5x-3)e ,g(1)=e. 又g'(x)=(-x +3x+2)e , 故在x=1处的切线斜率为g'(1) =4e, 所以切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.
2

2

x

x

1 (2) 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1,令f'(x)=0,得x= e .
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

x f'(x) f(x)

? 1? ? 0,? ? e?


1 e
0 极小值

?1 ? ?? ? ? , ?e ?
+ ↗

1 当t≥ e 时,在区间[t,t+2]上f(x)为增函数,所以f(x)min=f(t)=tln t.
? 1? ?1 ? 1 t, ? ? ,t ? 2? ? ? 上 f(x) 为增函数,所以 ②当 0<t< e 时,在区间 ? e ? 上 f(x) 为减函数,在区间 ? e ?1? 1 ? ? f(x)min=f ? e ? =- e .

5


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