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2013年2月海宁市高三期初测试参考答案


2013 年 2 月海宁市高三期初测试参考答案(理科数学)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 D 5 C 6 C 7 D 8 B 9 A 10 A

二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 3 1 11.

? i ;12. 64 ? 4? ;13.0;14.10;15.2;16. 10 ? 2 37 ;17.1. 2 2

[来: ]

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) cos A b cos A sin B 18.(Ⅰ)∵ ,即 sin 2 A ? sin 2B (3 分) ? ,由正弦定理得 ? cos B a cos B sin A
2 (Ⅱ) f ( x) ? sin( x ? A) ? cos x ? 3 sin( x ? ) 3

∴ A ? B或 A ? B ?

?

(舍去), ?C ?

2? ? ,则 A ? B ? 3 6

(6 分)

?

(10 分) (12 分)

∵ x ? [?

? ?

? ? 2? , ] ,则 ? x ? ? 6 3 6 3 3

? ? ? 2? 而正弦函数 y ? sin x 在 [ , ] 上单调递增,在 [ , ] 上单调递减 2 3 6 2
∴函数 f ( x) 的最小值为
3 ,最大值为 3 , 2

3 ? ? 即函数 f ( x) 在 [ , ] 上的值域为 [ , 3] . 2 6 2

(14 分)

19.(Ⅰ)从九张卡片中取出两张所有可能情况有 C92 ? 36 种 颜色不同且标号之和为 3 的情况有 6 种 6 1 ∴P? ? 36 6 (Ⅱ)
P( X ? 0) ? 21 3 6 3 1 2 , P( X ? 1) ? , P( X ? 2) ? , P( X ? 3) ? , P( X ? 4) ? , P( X ? 6) ? 36 36 36 36 36 36

(5 分)

X
P
EX ?

0 21 36

1 3 36

2 6 36

3 3 36

4 1 36

6 2 36 (14 分)

21 3 6 3 1 2 10 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? 36 36 36 36 36 36 9

20.(Ⅰ)方法 1: 连结 AC .∵ ABCD 是正方形 ∴ BD ? AC ∵ AF ? 平面 ABCD ∴ AF ? BD ∴ BD ? 平面 ACEF ∴ BD ? EF

(2 分) (4 分) (6 分) (7 分)

(Ⅱ) 方法 2: ∵ B(1,0,0) , F (0,0,1) , E (1,1, ? ) ∴ BF ? (?1,0,1), BE ? (0,1, ? ) 则平面 BEF 的法向量是 n ? (1,?? ,1) 平面 ACEF 的法向量是 DB ? (1,?1,0)
??? ? ? ∴ cos ? DB, n ? ?

(9 分) (10 分) 令 2? ? 1 ? t ,

? ?1
2 ? ?2 ? 2

?

(? ? 1)2 2 2? ? 1 ? ? 1? 2 2(? 2 ? 2) 2 ? ?2

cos ? DB, n ? ?

2 4t 2 4 3 ? 1? 2 ? ? 1? ? 9 2 t ? 2t ? 9 2 2 t? ?2 t

(13 分)

由图形的对称性可知,二面角 B ? EF ? D 的最小值为 60o . 1 n 21.(Ⅰ)设点 N (0, n) ,则 MN 的中点为 (? , ) 2 2
1 n (? )2 ( )2 3 ∴ 2 ? 2 ?1 ∴n ? ? 5 4 3 2

(15 分)

(3 分) (4 分)

∴直线的方程为: y ? ?

3 5( x ? 1) . 2

( Ⅱ ) 假 设 在 x 轴 上 存 在 点 P , 使 得 ?PAB 为 等 边 三 角 形 . 设 直 线 为
x ? ty ? 4, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则
? x ? ty ? 4 ? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12

∴ (3t 2 ? 4) y 2 ? 24ty ? 36 ? 0

∴ y1 ? y2 ?

24t 36 , y1 y2 ? 2 , ? ? 144(t 2 ? 4) ? 0 3t 2 ? 4 3t ? 4 ?16 12t , ) 3t 2 ? 4 3t 2 ? 4 12t 16 ? ?t ( x ? 2 ) 2 3t ? 4 3t ? 4
|

(6 分)

∴ AB 中点为 (

∴ AB 的中垂线为: y ?

(8 分)

12t 2 ? 12 | 2 12 t 2 ? 1 4 ∴点 P 为 (? 2 ,0) ∴ P 到直线的距离 d ? 3t ? 4 ? 3t 2 ? 4 3t ? 4 t2 ?1

(10 分)

∵ | AB |?

12 t 2 ? 4 1 ? t2 3t 2 ? 4

(11 分)



12 t 2 ? 1 3 12 t 2 ? 4 ? ? 1? t2 2 2 3t ? 4 2 3t ? 4

(13 分)

1 ∴存在点 P 为 (? ,0) . 5 2 22.(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? e x ? ? 4 x

∴t ? ?

4 3 3

(15 分)

∴ f ' ( x) ? e x ?

2 ∴ f ' (1) ? e ? 2 x2

(2 分)

∵ f (1) ? e ? 2 ∴ f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为: (e ? 2) x ? y ? 0 . (Ⅱ)∵ f ( x) ? a ? e x ?
ax 2 e x ? (a ? 1) a ?1 ? 2(a ? 1) ∴ f ' ( x) ? x2 x

(4 分)

令 g ( x) ? ax2 e x ? (a ? 1) ,则 g ' ( x) ? ax(2 ? x)e x ? 0 ∴ g ( x) 在 (0, ??) 上 (6 分)

∵ g (0) ? ?(a ? 1) ? 0 ,当 x ? ?? 时, g ( x) ? 0 ∴存在 x0 ? (0, ??) ,使 g ( x0 ) ? 0 , 且 f ( x) 在 (0, x0 ) 上 , f ( x) 在 ( x0 , ??) 上
a ?1 x02

(8 分) (10 分)

∵ g ( x0 ) ? ax02 e x0 ? (a ? 1) ? 0 ∴ ax02 e x0 ? a ? 1 ,即 ae x0 ?

∵对于任意的 x ? (0, ??) ,恒有 f ( x) ? 0 成立 a ?1 a ?1 a ?1 ∴ f ( x)min ? f ( x0 ) ? a ? e x0 ? ? 2(a ? 1) ? 0 ∴ 2 ? ? 2(a ? 1) ? 0 x0 x0 x0 ∴
1 1 1 ? ? 2 ? 0 ∴ 2 x0 2 ? x0 ? 1 ? 0 ∴ ? ? x0 ? 1 2 x0 x0 2

∵ ax02 e x0 ? a ? 1 ∴ x02 e x0 ?

a ?1 ?1 a

令 h( x0 ) ? x0 2 e x0 ,而 h(0) ? 0 ,当 x0 ? ?? 时, h( x0 ) ? ?? ∴存在 m ? (0, ??) ,使 h(m) ? 1 ∵ h( x0 ) ? x0 2 e x0 在 (0, ??) 上 ∴ m ? x0 ? 1 ∵ h( x0 ) ? x0 2 e x0 在 (m,1] 上 ∴1 ?
a ?1 1 . ? e ∴a ? a e ?1

,∴ x0 ? m (12 分) ∴ h(m) ? h( x0 ) ? h(1) (14 分)

金丽衢十二校 2012 学年第二次联合考试 数学试卷(理科)参考答案 一、选择题(5×10=50 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 A 5 D 6 C 7 A 8 A 9 D 10 B

二、填空题(4×7=28 分)

11.16

12. 3

1 13. 3

9 14. 4

15.

3

16. ? 1

17. 2

三、解答题(共 72 分)

18.解:(Ⅰ)

f ?x ? ? 3 sin ?x cos?x ? cos2 ?x ?

1 3 1 ? cos 2?x 1 ? sin 2?x ? ? 2 2 2 2

?

3 1 sin 2?x ? cos 2?x 2 2

?? ? 1 ? s in ? 2?x ? ? ? ? ? 6 ? ? 2
? 2b ?

——7 分

(Ⅱ)解法(一) 2b cos A ? 2c ? 3a

b2 ? c2 ? a2 ? 2c ? 3a 2bc

整理得 a ? c ? b ?
2 2 2

3ac ,故

cos B ?

a2 ? c2 ? b2 3 ? 2ac 2

? 0 ? B ? ? ,? B ?

?
6
——14 分

? f ( B) ? sin(B ? ) ? sin 0 ? 0 6
解法(二) 2b cos A ? 2c ? 3a ? 2 sin B cos A ? 2 sin C ? 3 sin A

?

? 2 sin B cos A ? 2 sin(A ? B) ? 3 sin A ? 2 sin A cos B ? 3 sin A ? 0 ? sin A(2 cos B ? 3 ) ? 0

? 0 ? A ? ? ,? sin A ? 0

?c o s B?

3 2

? 0 ? B ? ? ,? B ?


?
6

? f ( B) ? sin(B ? ) ? sin 0 ? 0 6

?

——14 分

1 2 1 2 ? C32 ? ( ) 2 ? ? 3 3 9, 19 解:(Ⅰ)答对一道填空题且只答对一道选择题的概率为 2 1 1 3 1 ?( ) ? 3 54 (对一个 4 分) 答错填空题且答对三道选择题的概率为 2 2 1 13 ? ? ∴某位参与竞猜活动者得 3 分的概率为 9 54 54 ;

………………… 7 分

(Ⅱ)由题意知随机变量 ? 的取值有 0,1,2,3,4.又某位参与竞猜活动者得 4 分的概率为

1 1 2 1 ? C32 ? ( ) 2 ? ? 2 3 3 9
1 1 3 1 ?( ) ? 3 54 某位参与竞猜活动者得 5 分的概率为 2 7 ∴参与者获得纪念品的概率为 54

……………………… 11 分

? ~ B(4,


7 k 7 k 47 4 ? k ) P(? ? k ) ? C 4 ( ) ( ) 54 ,分布列为 54 54 , k ? 0,1,2,3,4 4? 7 14 ? 54 27 .

∴随机变量 ? 的数学期望 E? =

……………………… 14 分

20 解:(Ⅰ)连接 AC , BD 交于点 O ,在四边形 ABCD 中, ∵ AB ? AD ? 4 , BC ? CD ?

7

∴ ?ABC ? ?ADC ,∴ ?DAC ? ?BAC , ∴ AC ? BD 又∵平面 PAC ? 平面 ABCE ,且平面 PAC ? 平面 ABCE = AC ∴ BD ? 平面 PAC ……… 6 分

(Ⅱ)如图,以 O 为原点,直线 OA ,OB 分别为 x 轴, y 轴,平面 PAC 内过 O 且垂直于直线 AC 的直线为 z 轴 建立空间直角坐标系,可设点 P( x,0, z ) 又

A(2 3 ,0,0) , B(0,2,0) , C (? 3,0,0) ,

E ( 3 ,?1,0) ,且由 PE ? 2 , PC ? 7 有
?( x ? 3 ) 2 ? 1 ? z 2 ? 4 2 2 2 ? 2 2 x?z? 3 P( 3,0, 3) ( x ? 3 ) ? z ? 7 ? 3 3 ,解得 ,∴ 3

………… 9 分

AP ? (?
则有

4 3 2 3 ,0, ) 3 3 ,设平面 PAB 的法向量为 n ? (a, b, c) ,

? ? AP ? n ? 0 ? z ? 2x ? ? ? AB ? n ? 0 y ? 3 x ,故可取 n ? (1, 3,2) 由? ,即 ?

……… 12 分

又易取得平面 ABC 的法向量为 (0,0,1) ,并设二面角 P ? AB ? C 的大小为 ? ,

cos? ?


(0,0,1) ? (1, 3 ,2) 1? 8

?

2 ? ?? 2 ,∴ 4

? ∴二面角 P ? AB ? C 的大小为 4 .

…………………14 分

?x ? 1?2 ? y 2
21.解: (Ⅰ)设点 M ? x, y ? ,则据题意有

x?4

?

1 2

y P

D E

x y ? ?1 ?化简得 4 3
A O

2

2

F

B

x

x y ? ?1 3 故曲线 C 的方程为 4 ,…………5 分
(Ⅱ)如图由曲线 C 方程知 A?? 2,0?, B?2,0? ,在点 B 处的切线方程为 x ? 2 . 以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 证明如下:由题意可设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 2) (k ? 0) . 则点 D 坐标为 (2, 4k ) , BD 中点 E 的坐标为 (2, 2k ) .

2

2

? y ? k ( x ? 2), ? 2 ?x y2 ? ?1 2 2 2 2 ? 4 3 ? 由 得 (3 ? 4k ) x ? 16k x ? 16k ? 12 ? 0 .
( x0 , y0 )

设点 P 的坐标为

,则

?2 x0 ?

16k 2 ? 12 3 ? 4k 2 .

6 ? 8k 2 12k x0 ? y0 ? k ( x0 ? 2) ? 2 3 ? 4k , 3 ? 4k 2 . 所以
因为点 F 坐标为 (1, 0) ,

……………………………7 分

k??


1 3 (1, ? ) 2 时,点 P 的坐标为 2 ,点 D 的坐标为 (2, ? 2) .
2 2

直线 PF ? x 轴,此时以 BD 为直径的圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 与直线 PF 相切.

k??


y 4k 1 k PF ? 0 ? x0 ? 1 1 ? 4k 2 . 2 时,则直线 PF 的斜率

所以直线 PF 的方程为 点 E 到直线 PF 的距离

y?

4k ( x ? 1) 1 ? 4k 2 .

d?

8k 4k ? 2k ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 16k 2 ?1 (1 ? 4k 2 ) 2
BD ? 2 R ? 4 k


2 k ? 8k 3 1 ? 4k 2 ? ? 2|k | 1 ? 4k 2 |1 ? 4k 2 | .

又因为

故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 综上得,当直线 AP 绕点 A 转动时,以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.………15 分

f ' ( x) ?
22 解:(Ⅰ) 令 f ' ( x) ? 0 可得 x ?

x(2 ln x ? 1) ln 2 x
e .列表如下:

x
f ??x ? f ?x ?

?0,1?


?1, e ?
减 0

e

?
+ 增

e ,??

?

极小值

单调减区间为 ?0,1? , 1, e ;增区间为

?

?

?

e ,?? .------------5 分

?

f ' ( x) ?
(Ⅱ)由题,

( x ? a)( 2 ln x ? ln 2 x

a ? 1) x

h( x) ? 2 ln x ?
对于函数

a 2x ? a ?1 h' ( x ) ? x x2 ,有

∴函数 h( x ) 在

a a (0, ) ( ,?? ) 2 上单调递减,在 2 上单调递增

x ? x 2 ? x3 ∵函数 f ( x) 有 3 个极值点 1 ,

2 a a a? hmin ( x) ? h( ) ? 2 ln ? 1 ? 0 e, 2 2 从而 ,所以
当 0 ? a ? 1 时, h(a) ? 2 ln a ? 0 , h(1) ? a ? 1 ? 0 ,

( x ,??) (1, x3 ) ∴ 函数 f ( x) 的递增区间有 ( x1 , a) 和 3 ,递减区间有 (0, x1 ) , ( a,1) , ,
此时,函数 f ( x) 有 3 个极值点,且 x2 ? a ;

∴当 0 ? a ? 1 时,

x1 , x3

h( x) ? 2 ln x ?
是函数

a ?1 x 的两个零点,————9 分

? 2 ln x1 ? ? ? ? ?2 ln x3 ? ? 即有 ?

a ?1 ? 0 x1 a ?1 ? 0 x3

,消去 a 有

2 x1 ln x1 ? x1 ? 2 x3 ln x3 ? x3

令 g ( x) ? 2 x ln x ? x , g ' ( x) ? 2 ln x ? 1 有零点

x?
1 e

1 e ,且
,??)

x1 ?

1 e

? x3

∴函数 g ( x) ? 2 x ln x ? x 在

(0,

1

e 上递减,在 2 e
2 e

)

(

上递增

x1 ? x3 ?
要证明

2 e ?

x3 ?

? x1

?

g ( x3 ) ? g (

2 e

? x1 )

? g ?x1 ? ? g ?x3 ? ? 即证

g ( x1 ) ? g ( 2 e

? x1 ) ? g ( x1 ) ? g (

2 e

? x1 ) ? 0

F ? x ? ? g ( x) ? g (
构造函数

? x)

? 1 ? ? F? ? ? ? e ? ? =0 ,

x ? (0,
只 需 要 证 明

1

e 单调递减即可.而

]

F ??x ? ? 2 ln x ? 2 ln(

2 e

? x) ? 2


F ' ' ?x ? ?

2( x(

2 e 2 e

? 2 x) ?0 ? x)

? F ?? x ? 在
2

(0,

1

? 1 ? ? F ?? x ? ? F ? ? ? ??0 e 上单调递增, ? e?

]

∴当 0 ? a ? 1 时,

x1 ? x3 ?

e .————————15 分

丽水市 2012 年高考第一次模拟测试
数学(理科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1-5: DABCB 6-10: CDAAB 二、填空题(每小题 4 分,共 28 分)

4 3 1 (15) 3
(11)

(12) 108 ? 3? (16)

(13) ? 1 (17) 8

(14)

1 45

17 16

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.) (18)解:(Ⅰ) 由题意得: sin C cos B ? sin B cosC ? 4 sin A cos A

sin(B ? C ) ? 4 sin A cos A

sin A ? 4 sin A cos A

? s in A?0

?co s A?

1 ┈┈6 分 4

(Ⅱ) 因为 AB ? AC ? bc cos A ? 所以

1 bc 4

1 bc ? b ? c ? 2 bc 4

bc ? 64 ,又 sin A ?

15 4

1 1 15 S ? bc sin A ? ? 64 ? ? 8 15 2 2 4
当且仅当 b ? c 时, S min ? 8 15 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 14 分 (19)解:(Ⅰ) 设等比数列 ? a n ? 的公比为 q ,等差数列 ? bn ?的公差为 d . 由已知得: a 2 ? 3 q , a3 ? 3 q 2 ,

b1 ? 3, b4 ? 3 ? 2d , b13 ? 3 ? 12 d

?3q ? 3 ? 3d ?q ? 1 ? d ?? 2 ? q ? 3 或 q ? 1 (舍去) ? 2 ?3q ? 3 ? 12 d ?q ? 1 ? 4d
所以, 此时 d ? 2
n 所以, a n ? 3 ,

bn ? 2n ? 1

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6 分

n n n (Ⅱ) 由题意得: c n ? (?1) bn ? a n ? (?1) (2n ? 1) ? 3

S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn

? (?3 ? 5) ? (?7 ? 9) ? ? ? (?1) n?1 (2n ? 1) ? (?1) n (2n ? 1) ? 3 ? 32 ? ? ? 3n
当 n 为偶数时, S n ? n ?

3n ?1 3 3n ?1 3 ? ? ?n? 2 2 2 2 3n ?1 3 3n ?1 7 ? ? ?n? 2 2 2 2

当 n 为奇数时, S n ? (n ? 1) ? (2n ? 1) ?

? 3 n ?1 3 ?n? ? ? 2 2 所以, S n ? ? n ?1 ?3 ? n ? 7 ? 2 ? 2

(n为偶数时)
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 14 分

(n为奇数时)

(20)解:(Ⅰ) 如图建立空间直角坐标系 则 A(0 , 0 , 0) , B(4 , 0 , 0) , C (?2 , 2 3 , 0) , F (0 , 0 , 8) , E (4 , 0 , 8) ,

P(2, 0 , 8) , Q(1,

1 3 3 , 0) , M (0 , 0 , 4) , N (? , , 0) 2 2
z F

设平面 BMN 的法向量 n ? ( x , y , z )

? 9 3 ? y?0 ? n ? BN ? 0 ?? x ? ?? 2 则? , 2 ? n ? BM ? 0 ? ? ?? 4 x ? 4 z ? 0
令 x ? 1, 则 ?

P E M

?y ? 3 3 ?z ? 1

所以 n ? (1, 3 3 , 1)

A

N C

Q

又 PQ ? (?1,

3 , ? 8) ,
x

y

B

而 n ? PQ ? ?1 ? 9 ? 8 ? 0 所以 n ? PQ 又 PQ ? 平面 BMN 所以 PQ // 平面 BMN ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 7 分

(Ⅱ) 假设在线段 AB 上存在点 R ,使平面 PQR ? 平面 BMN 设 R(? , 0 , 0) (0 ? ? ? 4) ,平面 PQR 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 则?

? ? m ? PQ ? 0

?? x ? 3 y1 ? 8 z1 ? 0 ?? 1 ,令 x1 ? 3 ( ? ? 2 ) x ? 8 z ? 0 ? m ? PR ? 0 1 1 ? ?

? y1 ? ? ? 1 ? 则? 3 (? ? 2) ? z1 ? 8 ?

所以 m ? ( 3 , ? ? 1,

3 (? ? 1) ) 8

若平面 PQR ? 平面 BMN ,则 m ? n ? 0



3 ? 3 3 (? ? 1) ?

3 (? ? 2) ?0 8

得: ? ?

18 25 18 ┈┈┈┈┈┈ 15 分 25

所以,存在点 R ,使平面 PQR ? 平面 BMN ,且 AR ?

(21)解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2

9 ?4 ?a2 ? b2 ? 1 ? ?c 1 由已知得: ? ? a 2 ? ? ?c 2 ? a 2 ? b 2 ?
所以椭圆的标准方程为:

?a ? 4 ? 解得 ?b ? 2 3 ?c ? 2 ?

x2 y2 ? ?1 16 12
2 2

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 5 分

(Ⅱ) 因为直线 l : y ? kx ? t 与圆 ( x ? 1) ? y ? 1 相切 所以,

t?k 1? k 2

? 1 ? 2k ?

t 2 ?1 (t ? 0) t

把 y ? kx ? t 代入

x2 y2 ? ? 1 并整理得: 16 12

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? (4t 2 ? 48) ? 0
设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) ,则有

x1 ? x2 ? ?

8kt 3 ? 4k 2 6t 3 ? 4k 2

y1 ? y 2 ? kx1 ? t ? kx2 ? t ? k ( x1 ? x2 ) ? 2t ?
因为, ? OC ? ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 )

所以, C ? ?

?

? 8k t , 2 ? (3 ? 4k ) ?

? 6t ? 2 (3 ? 4k ) ? ? ?

又因为点 C 在椭圆上,

4k 2 t 2 3t 2 ? ?1 所以, (3 ? 4k 2 ) 2 ?2 (3 ? 4k 2 ) 2 ?2
? ?2 ? t2 1 ? 2 1 1 3 ? 4k ( 2 )2 ? ( 2 ) ? 1 t t
所以 (

因为 t 2 ? 0 所以 所以

1 2 1 ) ? ( 2 ) ?1 ? 1 2 t t

0 ? ?2 ? 1

? 的取值范围为 (?1, 0) ? (0 , 1)

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 15 分

(22)解(Ⅰ) 因为 a ? 1 ,所以 f ( x) ?

1 x(1 ? e ?2 x ? 2 ) 2 1 1 1 1 g ( x) ? f ?( x) ? (1 ? e ?2 x ? 2 ) ? x ? (?2) e ?2 x ? 2 ? ? ( ? x) e ?2 x ? 2 2 2 2 2
?2 x ? 2

由 g ?( x) ? 2( x ? 1) e 当

? 0 得 x ?1

1 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , 2

当 x ? 1时, g ?( x) ? 0 所以, g ( x) ? g (1) ? 0

1 1 1 1 ? x ? 0 ,所以, g ( x) ? ? ( ? x) e ?2 x ? 2 ? 2 2 2 2 1 1 所以,当 x ? 时, 0 ? g ( x) ? ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6 分 2 2 1 1 2 x ?2 ?2 x ? 2 (Ⅱ) 由 f ?( xi ) ? ? a( ? xi ) e i ? 0 得: e i ? a(2 xi ? 1) 2 2
又因为 因为方程 e 由 f ( xi ) ? 解得: xi ?
2 x ?2

? a(2 x ? 1) 有两解,所以 a ? 0

1 1 1 1 1 1 4 xi (1 ? a e ?2 xi ? 2 ) ? xi (1 ? ) ? [( 2 xi ? 1) ? ]? ? 2 2 2 xi ? 1 4 2 xi ? 1 2 3

1 2 或 ? xi ? 2 2 3

(ⅰ) 当 x1 ?

1 , 1 ? x2 ? 2 时, 2

?a ? 0 ? ?1 ?e ? 0 ? 无解 ? ?1 ? a ?e 2 ? 3a ?

(ⅱ) 当

2 ? x1 ? 1, 1 ? x2 ? 2 时, 3

?a ? 0 ? 2 ? 1 ? ?e 3 ? a 3 ? ?1 ? a ? ?e 2 ? 3a ?

解得 1 ? a ? 3e

?

2 3

所以,实数 a 的取值范围为 (1, 3e

?

2 3

)

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 14 分

台州中学等联谊学校联考(回头考) 数学(理科)参考答案:
一、选择题 1 B 二、填空题 11、 V ? 4 12、 a ? ?1 13、 n ? 4 14、 an = ? 2 C 3 A 4 B 5 B 6 C 7 C 8 A 9 C 10 D

?3 n ?1 ?2 ? 3

(n ? 1) (n ? 2)
17 、

15 、 40

16 、

? ? ? ? ? 2? 3? ? , U , ? ?4 3? ? ? ? 3 4 ? ?

k ? 1或k ?

15 ? 16 2 15 ? 16 2 或k ? 7 7

三、解答题: 18、解:(Ⅰ)? m = ?sin B, 1 ? cos B ? ,且与向量 n = (2,0)所成角为

? , 3

? 1 ? cos B ? 3
sin B

? 3 sin A ? cos B ? 1
又? 0 ? B ? ?
6

? sin(B ?
6

?
6

)?

1 2

? ? ? B ? ? ? 7?
6

?B?

?
6

?

5? 6

?B ?

2? 3
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, B ?

…………………………..7 分

2? ? ,?A+C= 3 3

1 3 ? ? cos A = sin( ? A) ? sin A ? sin C = sin A ? sin( ? A) = sin A ? 2 2 3 3

? 0? A? ?

?
3



?

?
3

? A?

?
3

?


2? 3

sin( ? A) 3

?

? 3 ? ?? ? 2 ,1? ? ?

?

? 3 ? sin A ? sin C ? ? ? 2 ,1? ? ?
2 2

…………………14 分
2

19、解:(I)由题设知, C4 p (1 ? p) ?

8 , 27 2 , 9

因为 p(1 ? p) ? 0 所以不等式可化为 p(1 ? p) ?

1 2 ? p ? ,即 2 ? 6 p ? 4 . 3 3 1 又因为 6 p ? N ,所以 6 p ? 3 ,即 p ? , 2 1 3 1 所以 p ? ,所以 ? ,所以 n ? 6 . 2 n 2
解不等式得, (II) ? 可取 1,2,3 ,4

………………7 分

1 3 3 1 p(? ? 1) ? , p(? ? 2) ? , p(? ? 3) ? , p(? ? 4) ? 2 10 20 20

? ? 的分布列



?
p

1

2

3

4

1 2

3 10

3 20

1 20

E? ?

1 3 9 1 7 ? ? ? ? . 2 5 20 5 4

……………14 分

20、解法一: (Ⅰ)证明:在四棱锥 P ? ABCD 中,因 PA ? 底面 ABCD , CD ? 平面 ABCD , 故 PA ? CD . ∵ AC ? CD,PA ? AC ? A ,∴CD ? 平面 PAC . 而 AE ? 平面 PAC ,∴CD ? AE . …………………4 分 (Ⅱ)证明:由 PA ? AB ? BC , ?ABC ? 60° ,可得 AC ? PA . ∵ E 是 PC 的中点,∴ AE ? PC . 由(Ⅰ)知, AE ? CD ,且 PC ? CD ? C ,所以 AE ? 平面 PCD . 而 PD ? 平面 PCD ,∴ AE ? PD . ∵ PA ? 底面 ABCD,PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD ,AB ? AD , ∴ AB ? PD .

又∵ AB ? AE ? A ,综上得 PD ? 平面 ABE .

…………………9 分

(Ⅲ)过点 A 作 AM ? PD ,垂足为 M ,连结 EM .则(Ⅱ)知, AE ? 平面 PCD , AM 在平面 PCD 内的射影是 EM ,则 EM ? PD . P 因此 ?AME 是二面角 A ? PD ? C 的平面角. M 由已知,得 ?CAD ? 30° .设 AC ? a , E 可得

PA ? a,AD ?

2 3 21 2 a,PD ? a,AE ? a. 3 3 2
2 3 a 2 7 . 3 ? a 7 21 a 3
14 . 4

A

D

B

C

在 Rt△ADP 中,∵ AM ? PD ,∴ AM · PD ? PA · AD ,
· AD 则 AM ? PA ? PD a ·

在 Rt△AEM 中, sin AME ? AE ? AM 所以二面角 A ? PD ? C 的正切值为 7 .

………………15 分

解法二: (Ⅰ)证明:以 AB、AD、AP 为 x、y,z 轴建立空间直角坐标系,设 AB=a.

Q ?ABC ? 60o,AB ? BC, ??ABC是正三角形
??BAC ? 60o, ??DAC ? 30o, ? AD ? 2 3 a 3

P E
A F M D
C

?a 3 ? ? 2 3 ? ?C ? , a , 0 , D 0, a , 0 ? ? ? ?2 2 ? ? ?,P ? 0, 0, a ? , 3 ? ? ? ? ?a 3 a? ?E? ? 4 , 4 a, 2 ? ? ? ?

B

uuu r ? a r ?a ? uuu 3 3 a? ? CD ? ? ? , a , 0 , AE ?? ? ? 2 6 ? ? 4 , 4 a, 2 ? ? ? ? ? ?

uuu r uuu r a2 a2 ? CD ? AE ? ? ? ? 0,? CD ? AE 8 8
(Ⅱ)证明: Q B ? a, 0, 0 ? ,? AB ? ? a, 0, 0 ? , 又 PD ? ? 0,

…………………5 分

uuu r

uuu r

? ? ?

? 2 3 a, ? a ? ? 3 ?

uuu r uu u r uuu r uuu r a2 a2 ? PD ? AB ? 0, PD ? AE ? ? ? 0 2 2
? PD ? AB, PD ? AE
又AB I AE ? A,? PD ? 平面ADE
…………………9 分

(Ⅲ)设平面 PDC 的法向量为 n ? ? x, y , z ?

r

? 2 3 ay ? az ? 0 ? 3 则? ? ? ? a x ? 3 ay ? 0 ? 6 ? 2

r ? ? 2y= 3 z 即? ? n ? 1, 3, 2 ? 3x ? y ?

?

?
1 u r r ,sin m, n ? 7 2 2

又平面 APD 的法向量是 m ? ?1, 0, 0 ? ,? cos m, n ?

u r

u r r

2 2

u r r tan m, n ? 7 ,所以二面角 A ? PD ? C 的正切值是 7
21、解:(Ⅰ)∵PF1⊥x 轴, ∴F1(-1,0),c=1,F2(1,0),

…………………15 分

( )? |PF2|= 2 ?
2 2

3 2

5 ,2a=|PF1|+|PF2|=4,a=2,b2=3, 2
…………………4 分

椭圆 E 的方程为:

x2 y2 ? ? 1; 4 3

(Ⅱ)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由 PA ? PB ? ? PO 得

3 3 3 )+(x2+1,y2- )= ? (1,), 2 2 2 3 所以 x1+x2= ? -2 ? 0 ,y1+y2= (2- ? ) ? 0 ………① 2
(x1+1,y1又 3x1 ? 4 y1 ? 12 , 3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ,
2 2 2 2

两式相减得 3(x1+x2)(x1-x2)+ 4(y1+y2)(y1-y2)=0………..② 以①式代入可得 AB 的斜率 k=

y1 ? y 2 1 ? 为定值; x1 ? x 2 2

……………9 分

(Ⅲ)设直线 AB 的方程为 y=
2 2

1 x+t, 2
△=3(4-t2),

与 3x ? 4 y ? 12 联立消去 y 并整理得 x2+tx+t2-3=0, AB|= 1 ? k | x1 ? x 2 |? 1 ?
2

1 15 ? 3(4 ? t 2 ) ? ? 4 ?t2 , 4 2
,

点 P 到直线 AB 的距离为 d=

2|t ?2| 5

△PAB 的面积为 S=

3 1 ? 4 ? t 2 | t ? 2 | , ………10 分 |AB|× d= 2 2

设 f(t)=S2= ?

3 4 3 (t -4t +16t-16) (-2<t<2), 4
81 , 4

f’(t)=-3(t3-3t2+4)=-3(t+1)(t-2)2,由 f’(t)=0 及-2<t<2 得 t=-1. 当 t∈(-2,-1)时,f’(t)>0,当 t∈(-1,2)时,f’(t)<0,f(t)=-1 时取得最大值

9 .此时 x1+x2=-t=1= ? -2, ? =3. ………………15 分 2 1 22、解:(Ⅰ) f ?( x) ? b ln x ? (bx ? c) ? x 1 1 b f ?( ) ? 0 ,∴ b ln ? ( ? c) ? e ? 0 ,即 ?b ? b ? e ? c ? 0 ,∴ c ? 0 e e e ∴ f ?( x) ? b ln x ? b ,又 f ?(1) ? 1 ,∴ b ln1 ? b ? 1 ,∴ b ? 1 综上可知 b ? 1 ,c ? 0 f ( x) ? x ln x ,定义域为 x >0, f ?( x) ? ln x ? 1
所以 S 的最大值为 由 f ?( x) <0 得 0< x <

1 1 ) ……………6 分 ,∴ f ( x) 的单调减区间为 (0, e e

(Ⅱ)先证 5 f ( 即证 5 ?

3 p ? 2q ) ? 3 f ( p) ? 2 f ( q) 5

3 p ? 2q 3 p ? 2q ? ln ? 3 p ln p ? 2q ln q 5 5 3 p ? 2q 5q ? 2q ln 即证: 3 p ln 5p 3 p ? 2q 3 ? 2t 2t 5t q ? ? ln 令t ? ,∵ p >0, q >0 ,∴ t >0,即证 ln p 5 3 3 ? 2t 3 ? 2t 2t 5t 3 ? 2t 2 2t 令 h(t ) ? ln 则 h(t ) ? ln ? ? ln ? t ln(5t ) ? ln(3 ? 2t ) 5 3 3 ? 2t 5 3 3 5 2 2 2t 5 2 2t 2 ∴ h?(t ) ? ? ? ln(5t ) ? ? ? ln(3 ? 2t ) ? ? 3 ? 2t 5 3 3 5t 3 3 3 ? 2t
? 2 3 ? 2t ln 3 5t

3 ? 2t >0,即 h?(t ) >0 5t h (t ) 在(0,1)上递增,∴ h (t ) < h (1) =0, 3 ? 2t ② 当 3 ? 2t < 5t ,即 t >1 时, ln <0,即 h?(t ) <0 5t h (t ) 在(1,+∞)上递减,∴ h (t ) < h (1) =0, ③ 当 3 ? 2t = 5t ,即 t =1 时, h (t ) = h (1) =0 3 ? 2t 2t 5t ? ? ln 综合①②③知 h(t ) ? 0 即 ln 5 3 3 ? 2t 3 p ? 2q ) ? 3 f ( p) ? 2 f ( q) 即5 f ( 5
① 当 3 ? 2t > 5t ,即 0< t <1 时, ln

又 5?( ∴

3 p ? 2q 2 ?6( p ? q) 2 ) ? (3 p 2 ? 2q 2 ) ? ?0 5 5 3 p ? 2q 2 5?( ) ? 3 p 2 ? 2q 2 5

综上可得 5 g (

3 p ? 2q ) ? 3 g ( p) ? 2 g (q) 5

……………14 分


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