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1.2.1任意角的三角函数教案



1.2.1 任意角的三角函数
【教学目标】 (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在 各象限的符号) ; (2)理解任意角的三角函数不同的定义方法; (3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分 别用正弦线、余弦线、正切线表示出来; (4)掌握并能初步运用公式一; (5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 【教学重难点】 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ;终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一). 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ;三角函数线的正确理解. 【教学过程】 一、 【创设情境】 y 提问:锐角 O 的正弦、余弦、正切怎样表示? P (a, b) 借助右图直角三角形,复习回顾. r 引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。 错误!未找 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 到引用源。 如图,设锐角 ? 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,那 O M 么它的终边在第一象限.在 ? 的终边上任取一点 y P(a, b) , 它与原点的距离 r ? a2 ? b2 ? 0 . 过 P 作 a的终边

x 轴的垂线 , 垂足为 M , 则线段 OM 的长度为 a , 线 MP b ? ; 段 MP 的长度为 b .则 sin ? ? OP r OM a MP b cos ? ? ? ; tan ? ? ? . OP r OM a

P(x,y)

O

x

思考:对于确定的角 ? ,这三个比值是否会随点 P 在 ? 的终边上的位置的改变而改变呢? 显然,我们可以将点取在使线段 OP 的长 r ? 1 的 特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:

sin ? ?

思考:上述锐角 ? 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以 后, 我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改, 以利推广到任意角呢?本节课就研究 这个问题――任意角的三角函数. 二、 【探究新知】 1. 探究 : 结合上述锐角 ? 的三角函数值的求法 , 我们应如何求解任意角的三角函数值 呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为 1,然后就可以类似 锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称

MP ?b; OP

cos ? ?

OM ?a; OP

tan ? ?

MP b ? . OM a

以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆. 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P ( x, y ) ,那么: (1) y 叫做 ? 的正弦(sine),记做 sin ? ,即 sin ? ? y ; (2) x 叫做 ? 的余弦(cossine),记做 cos? ,即 cos? ? x ; (3)

y y 叫做 ? 的正切(tangent),记做 tan ? ,即 tan ? ? ( x ? 0) . x x

注意:当α 是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边所在) ;当α 不是 锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交 点 P ( x, y ) ,从而就必然能够最终算出三角函数值. 3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角 函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点 P 在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我 们只需计算点到原点的距离 r ?

x 2 ? y 2 ,那么 sin ? ?

y x2 ? y 2

, cos ? ?

x x2 ? y 2

,

tan ? ?

y .所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函 x

数, 又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 故三角函数也可以看成实数为自 变量的函数. 4.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、 余弦和正切函数的定义域填入下表; 再 将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中: 定义域 三角函数 角度制 弧度制 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

sin ?

cos?
tan ?
5.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:

sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos ? tan(? ? 2k? ) ? tan ?
6.三角函数线 设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合, 终边与单位圆相交与点 (其中 k ? Z )

P ( x, y ) ,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或其反向延长线交与点 T . y P
M

y
P A T

T A

o
y

x

o

M
(Ⅰ)

x

(Ⅱ)

T A

y
M A

M

o

x

o

x

P
(Ⅲ)

P T
(Ⅳ)

由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有

sin ? ?

y y x x ? ? y ? MP MP cos ? ? ? ? x ?OM OM r 1 r 1 y MP AT tan ? ? ? ? ? AT x OM OA

我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。 我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM 、AT ,分别叫做角 ? 的正弦线、余 弦线、正切线,统称为三角函数线. 7.例题讲解 例 1.已知角α 的终边经过点 P(2, ?3) ,求α 的三个函数制值。 解:? P(2, ?3) ?r ? 4 ? 9 ? 13

? sin ? ?

?3 3 ?? 13 13 13 2 2 ? 13 13 13
tan ? ? ?3 3 ?? 2 2

cos ? ?

0 (?3, ?4) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值. 变式训练 1:已知角 ? 的终边过点 P

解: sin ? ?

y 4 x 3 y 4 ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? . r 5 r 5 x 3
3? . 2

例 2.求下列各角的三个三角函数值: (1) 0 ; (2) ? ; (3)

解: (1)sin0=0

cos0=1

tan0=0

(2) sin ? ? 0,cos ? ? ?1, tan ? ? 0

3? 3? ? ?1, cos ?0 2 2 5? 变式训练 2:求 3 的正弦、余弦和正切值.
(3) sin 例 3.已知角α 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求α 的三个三角函数值. 解析:计算点到原点的距离时应该讨论 a 的正负. 变式训练 3: 求函数 y ? cos x ? tan x 的值域. 解析:分四个象限讨论. 答案:{2,-2,0} 例 4..利用三角函数线比较下列各组数的大小: 1. sin

cos x

tan x

2? 4? 与 sin 3 5

2.tan

2? 4? 与 tan 3 5

三、 【学习小结】 (1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域; (4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗? (5)三角函数线的做法. 四、 【作业布置】 作业:习题 1.2 A 组第 1,2 题. 五、 【板书设计】 1.2.1 任意角的三角函数 (一)复习引入 (二) 概念形成 (三)例题讲解 小结: 1.三角函数定义 2.三角函数线


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