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独立重复实验与二项分布


2.2.3 独立重复实验与二项分布
教学目标: 知识与技能:理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布,并能解答一些简单的实际问题。 过程与方法:能进行一些与 n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。 情感、态度与价值观:承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文 价值。 教学重点:理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布,并能解答一些简单的实际问题 教学难点:能进行一些与 n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1 事件的定义:随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; 必然事件:在一定条件下必然发生的事件; 不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件
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2.随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率

m 总是接近 n

某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P ( A) . 3.概率的确定方法: 通过进行大量的重复试验, 用这个事件发生的频率近似地作为它的概率; 4 .概率的性质:必然事件的概率为 1 ,不可能事件的概率为 0 ,随机事件的概率为

0 ? P (A ) ? 1 ,必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形
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5 基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果(事件 A )称为一个基本事件 6.等可能性事件:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都
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相等,那么每个基本事件的概率都是

1 ,这种事件叫等可能性事件 n m n
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7.等可能性事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果都是等可 能的,如果事件 A 包含 m 个结果,那么事件 A 的概率 P ( A) ?
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8.等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件 A 和事件 B 是可以进行加法运算的
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10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件. P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 一般地: 如果事件 A1 , A2 ,?, An 中的任何两个都是互斥的, 那么就说事件 A1 , A2 ,?, An 彼此互斥
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11.对立事件:必然有一个发生的互斥事件. P( A ? A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? P( A) 12.互斥事件的概率的求法:如果事件 A1 , A2 ,?, An 彼此互斥,那么

P( A1 ? A2 ? ? ? An ) = P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An )

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13.相互独立事件:事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生的概率没有影响,这样 的两个事件叫做相互独立事件
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若 A 与 B 是相互独立事件,则 A 与 B , A 与 B , A 与 B 也相互独立 14.相互独立事件同时发生的概率: P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

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一般地,如果事件 A1 , A2 ,?, An 相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率,等于每个 事件发生的概率的积, P( A1 ? A2 ??? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ??? P( An )
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二、讲解新课: 1 独立重复试验的定义: 指在同样条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验 2.独立重复试验的概率公式: 一般地,如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P ,那么在 n 次独立重复试验中这个
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k k 事件恰好发生 k 次的概率 Pn (k ) ? Cn P (1 ? P) n?k .

它是 ? (1 ? P) ? P ? 展开式的第 k ? 1 项
n

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3.离散型随机变量的二项分布: 在 一 次 随 机试 验 中,某 事 件可 能 发生 也 可能 不 发 生,在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数 ξ 是一个随机变量. 如果在一次试验中某事件发 生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是
k k n ?k (k=0,1,2,?,n, q ? 1 ? p ) . Pn (? ? k ) ? Cn p q ,

于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下: ξ 0
0 0 n Cn pq

1
1 1 n ?1 Cn pq

? ?

k
k k n?k Cn p q

? ?

n
n n 0 Cn p q

P

k k n?k 由 于 Cn p q 恰好是二项展开式 0 0 n 1 1 n?1 k k n ?k n n 0 (q ? p) n ? Cn p q ? Cn p q ? ? ? Cn p q ? ? ? Cn p q

中 的 各 项的 值, 所 以称 这样 的 随 机变 量 ξ 服从 二项 分 布 ( binomial distribution ) ,
k k n?k 记 作 ξ ~ B ( n , p ) ,其中 n , p 为参数,并记 Cn p q =b(k;n,p).

三、讲解范例: 例 1.某射手每次射击击中目标的概率是 0 . 8.求这名射手在 10 次射击中, (1)恰有 8 次击中目标的概率; (2)至少有 8 次击中目标的概率. (结果保留两个有效数字.) 解:设 X 为击中目标的次数,则 X~B (10, 0.8 ) . (1)在 10 次射击中,恰有 8 次击中目标的概率为

8 P (X = 8 ) = C10 ? 0.88 ? (1 ? 0.8)10?8 ? 0.30 .

(2)在 10 次射击中,至少有 8 次击中目标的概率为 P (X≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )
8 9 10 C10 ? 0.88 ? (1 ? 0.8)10?8 ? C10 ? 0.89 ? (1 ? 0.8)10?9 ? C10 ? 0.810 ? (1 ? 0.8)10?10

? 0.68 .
例 2. (2000 年高考题)某厂生产电子元件,其产品的次品率为 5%.现从一批产品中任 意地连续取出 2 件,写出其中次品数 ξ 的概率分布. 解:依题意,随机变量 ξ ~B(2,5%).所以,
2 0 1 P(ξ =0)= C 2 (95%) =0.9025,P(ξ =1)= C 2 (5%)(95%)=0.095, 2 2 P( ? ? 2 )= C 2 (5%) =0.0025.

因此,次品数 ξ 的概率分布是 ξ 0 0.9025 1 0.095 2 0.0025

P

例 3.重复抛掷一枚筛子 5 次得到点数为 6 的次数记为 ξ ,求 P(ξ >3). 解:依题意,随机变量 ξ ~B ? 5, ? .

? 1? ? 6?

1 ? 1 ? 5 25 5 ?1? ∴P(ξ =4)= C ? ? ? = ,P(ξ =5)= C5 . ? ? = ? 6 ? 6 7776 ? 6 ? 7776
4 5

4

5

∴P(ξ >3)=P(ξ =4)+P(ξ =5)=

13 3888

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例 4.某气象站天气预报的准确率为 80% ,计算(结果保留两个有效数字) : (1)5 次预报中恰有 4 次准确的概率; (2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率 解: (1)记“预报 1 次,结果准确”为事件 A .预报 5 次相当于 5 次独立重复试验, 根据 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率计算公式,5 次预报中恰有 4 次准确的
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4 4 5?4 概率 P ? 0.84 ? 0.41 5 (4) ? C5 ? 0.8 ? (1 ? 0.8)

答:5 次预报中恰有 4 次准确的概率约为 0.41. (2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率,就是 5 次预报中恰有 4 次准确的概率与 5 次 预报都准确的概率的和,即
4 4 5?4 5 P?P ? C5 ? 0.85 ? (1? 0.8)5?5 5 (4) ? P 5 (5) ? P 5 (4) ? C5 ? 0.8 ? (1 ? 0.8)

? 0.84 ? 0.85 ? 0.410 ? 0.328 ? 0.74

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答:5 次预报中至少有 4 次准确的概率约为 0.74. 例 5.某车间的 5 台机床在 1 小时内需要工人照管的概率都是

1 ,求 1 小时内 5 台机床 4

中至少 2 台需要工人照管的概率是多少?(结果保留两个有效数字)

解:记事件 A =“1 小时内,1 台机器需要人照管” ,1 小时内 5 台机器需要照管相当于 5 次独立重复试验
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1 5 3 5 4 4 1 1 1 ? (1 ? ) 4 , 1 小时内 5 台机床中恰有 1 台需要工人照管的概率 P 5 (1) ? C5 ? 4 4
1 小时内 5 台机床中没有 1 台需要工人照管的概率 P 5 (0) ? (1 ? ) ? ( ) , 所以 1 小时内 5 台机床中至少 2 台需要工人照管的概率为

P ? 1? ? P 5 (0) ? P 5 (1)? ? 0.37

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答:1 小时内 5 台机床中至少 2 台需要工人照管的概率约为 0.37 . 点评: “至多” , “至少”问题往往考虑逆向思维法 例 6.某人对一目标进行射击,每次命中率都是 0.25,若使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,至少应射击几次? 解:设要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,应射击 n 次
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记事件 A =“射击一次,击中目标” ,则 P( A) ? 0.25 . ∵射击 n 次相当于 n 次独立重复试验,
n ∴事件 A 至少发生 1 次的概率为 P ? 1 ? P n (0) ? 1 ? 0.75 .

3 n 1 n 由题意,令 1 ? 0.75 ? 0.75 ,∴ ( ) ? ,∴ n ? 4 4

1 4 ? 4.82 , 3 lg 4 lg
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∴ n 至少取 5. 答:要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,至少应射击 5 次 例 7.十层电梯从低层到顶层停不少于 3 次的概率是多少?停几次概率最大? 解:依题意,从低层到顶层停不少于 3 次,应包括停 3 次,停 4 次,停 5 次,??,直 到停 9 次 ∴从低层到顶层停不少于 3 次的概率
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1 1 3 1 3 1 6 5 1 5 1 4 9 1 9 P ? C9 ( ) ( ) ? C94 ( ) 4 ( )5 ? C9 ( ) ( ) ? ? ? C9 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 233 3 5 9 1 ? (C9 ? C94 ? C9 ? ? ? C9 )( )9 ? ? 29 ? (C90 ? C9 ? C92 ) ? ( )9 ? (29 ? 46)( )9 ? ? ? 2 2 2 256 k 1 k 1 9?k k 1 9 设从低层到顶层停 k 次,则其概率为 C9 ( ) ( ) ? C9 ( ) , 2 2 2 k 1 9 k ∴当 k ? 4 或 k ? 5 时, C9 最大,即 C9 ( ) 最大, 2 233 答:从低层到顶层停不少于 3 次的概率为 ,停 4 次或 5 次概率最大. 256
例 8.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局就算胜出并停止比赛) . (1)试分别求甲打完 3 局、4 局、5 局才能取胜的概率. (2)按比赛规则甲获胜的概率.

解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为

1 1 ,乙获胜的概率为 . 2 2

记事件 A =“甲打完 3 局才能取胜” ,记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜” , 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜” . ①甲打完 3 局取胜,相当于进行 3 次独立重复试验,且每局比赛甲均取胜
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∴甲打完 3 局取胜的概率为 P ( A) ? C3 ( ) ?
3 3

1 2

1 . 8

②甲打完 4 局才能取胜,相当于进行 4 次独立重复试验,且甲第 4 局比赛取胜,前 3 局为 2 胜 1 负
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∴甲打完 4 局才能取胜的概率为 P( B) ? C3 ? ( ) ?
2 2

1 2

1 1 3 ? ? . 2 2 16

③甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验,且甲第 5 局比赛取胜,前 4 局 恰好 2 胜 2 负
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1 2 1 2 1 3 ? . 2 2 2 16 (2)事件 D =“按比赛规则甲获胜”,则 D ? A ? B ? C , 又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥, 1 3 3 1 ? ? . 故 P( D) ? P( A ? B ? C ) ? P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ? ? 8 16 16 2 1 答:按比赛规则甲获胜的概率为 . 2
∴甲打完 5 局才能取胜的概率为 P(C ) ? C4 ? ( ) ? ( ) ?
2

例 9.一批玉米种子,其发芽率是 0.8.(1)问每穴至少种几粒,才能保证每穴至少有 一粒发芽的概率大于 98% ?(2)若每穴种 3 粒,求恰好两粒发芽的概率. ( lg 2 ? 0.3010 ) 解:记事件 A =“种一粒种子,发芽” ,则 P( A) ? 0.8 , P( A) ? 1 ? 0.8 ? 0.2 , (1)设每穴至少种 n 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98% . ∵每穴种 n 粒相当于 n 次独立重复试验,记事件 B =“每穴至少有一粒发芽” ,则
0 0 n n P(B) ? P n (0) ? Cn 0.8 (1 ? 0.8) ? 0.2 .

∴ P(B) ? 1 ? P(B) ? 1 ? 0.2n . 由题意,令 P( B) ? 98% ,所以 0.2 ? 0.02 ,两边取常用对数得,
n

n lg 0.2 ? lg 0.02 .即 n(lg 2 ? 1) ? lg 2 ? 2 ,
∴n ?

lg 2 ? 2 1.6990 ? ? 2.43 ,且 n ? N ,所以取 n ? 3 . lg 2 ? 1 0.6990

答:每穴至少种 3 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98% . (2)∵每穴种 3 粒相当于 3 次独立重复试验, ∴每穴种 3 粒,恰好两粒发芽的概率为 P ? C3 ? 0.8 ? 0.2 ?? 0.384 ,
2 2

答:每穴种 3 粒,恰好两粒发芽的概率为 0.384

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四、课堂练习: 1.每次试验的成功率为 p(0 ? p ? 1) ,重复进行 10 次试验,其中前 7 次都未成功后 3 次 都成功的概率为(
3 3 ( A) C10 p (1 ? p)7


3 3 ( B ) C10 p (1 ? p)3

(C ) p3 (1 ? p)7

( D) p7 (1 ? p)3

2.10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券,每人购买 1 张,则前 3 个购买者中,恰有一人中奖的 概率为( )
3 ( A) C10 ? 0.72 ? 0.3 1 ( B ) C3 ? 0.72 ? 0.3

(C )

3 10

( D)

1 3 A72 ? A3 3 A10

3.某人有 5 把钥匙,其中有两把房门钥匙,但忘记了开房门的是哪两把,只好逐把试开, 则此人在 3 次内能开房门的概率是 ( )
3 A3 ( A) 1 ? 3 A5 1 1 2 A32 ? A2 A3 ? A2 (B) ? 3 3 A5 A5

3 2 3 2 1 ? ( )1 ? ( ) 2 ( D) C32 ? ( ) 2 ? ( ) ? C3 5 5 5 5 3 4.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为 : 2 ,比赛时均能正常发挥技
术水平,则在 5 局 3 胜制中,甲打完 4 局才胜的概率为( )
3 2 3 1 ( ) ( ) ( D ) C4 3 3

3 (C ) 1 ? ( ) 3 5

3 2 ( A) C32 ( )3 ? 5 5

3 2 ( B ) C32 ( ) 2 ( ) 5 3

3 3 3 2 ( ) ( ) (C ) C 4 5 5

5.一射手命中 10 环的概率为 0.7,命中 9 环的概率为 0.3,则该射手打 3 发得到不少于 29 环的概率为 . (设每次命中的环数都是自然数) 6.一名篮球运动员投篮命中率为 60% ,在一次决赛中投 10 个球,则投中的球数不少于 9 个的概率为 . 7.一射手对同一目标独立地进行 4 次射击,已知至少命中一次的概率为

80 ,则此射手的 81

命中率为 . 8.某车间有 5 台车床,每台车床的停车或开车是相互独立的,若每台车床在任一时刻处于 停车状态的概率为
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1 ,求: (1)在任一时刻车间有 3 台车床处于停车的概率; (2)至少有一 3

台处于停车的概率 9.种植某种树苗,成活率为 90%,现在种植这种树苗 5 棵,试求: ⑴全部成活的概率; ⑵全部死亡的概率; ⑶恰好成活 3 棵的概率; ⑷至少成活 4 棵的概率
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10. (1)设在四次独立重复试验中,事件 A 至少发生一次的概率为
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80 ,试求在一次试验中 81

事件 A 发生的概率 (2)某人向某个目标射击,直至击中目标为止,每次射击击中目标的概 率为

1 ,求在第 n 次才击中目标的概率 3
2. D 3. A 4. A

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答案:1. C

5. 0.784

6. 0.046

7.

2 3

3 8.(1) P5 ? 3? ? C5 ? ?? ? ?

?1? ? 2? ? 3? ? 3?

3

2

40 ? 2 ? 211 (2) P ? B ? ? 1 ? P B ? 1 ? C55 ? ? ? 243 ? 3 ? 243
5 ⑵ C5 0.15 ? 0.00001 ;

??

5

5 9.⑴ C5 0.95 ? 0.59049 ;

3 3 2 ⑶P 5 ? 3? ? C5 0.9 ? 0.1 ? 0.0729 ;

⑷P?P 5 ? 4? ? P 5 ? 5? ? 0.91854

10.(1) P ?

2 3

(2) P ?

1 2 n ?1 ?( ) 3 3
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五、小结 :1.独立重复试验要从三方面考虑 第一:每次试验是在同样条件下进行 第二: 各次试验中的事件是相互独立的 第三,每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么 不发生 2. 如果 1 次试验中某事件发生的概率是 P , 那么 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次
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k k 的概率为 Pn (k ) ? Cn P (1 ? P) n?k 对于此式可以这么理解:由于 1 次试验中事件 A 要么发
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生,要么不发生,所以在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生 k 次,则在另外的 n ? k 次中 A 没 有发生,即 A 发生,由 P( A) ? P , P( A) ? 1 ? P 所以上面的公式恰为 [(1 ? P) ? P]n 展开
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式中的第 k ? 1 项,可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系 六、课后作业:课本 58 页 练习 1、2、3、4 第 60 页 习题 2. 2 B 组 2、3
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七、板书设计(略) 八、课后记: 教学反思:
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1. 理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布,并能解答一些简单的实际问题。 2. 能进行一些与 n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。 3. 承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。


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