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2012届考前热点专题训练(6)(函数与导数、不等式2)


2012届考前热点专题训练(6) (函数与导数、不等式2)
班级____ 学号_____姓名_______ 1.设曲线
y ? ? a x ? 1? e
x

在点

A ? x 0 , y1 ?

处的切线为 1 , 曲线

l

y ? ?1 ? x ? e

?x

在点

B ? x0 , y 2 ?

处的切线

? 3? x 0 ? 0, ? 2? l ? ? ,使得 l1 ? l 2 ,则实数 a 的取值范围是 为 2 ,若存在

? 3? 1, ? 2? ? ?
2

. ,则该函数的单

2.已知函数

y ? f

? x ? 上任一点 ? x 0 , f ? x 0 ? ? 处的切线斜率 k
? ?? , 3?

? bx ?b ? R ?

? ? x0 ? 3 ? ? x0 ? 1?

调递减区间为
f

3.已知函数 0 .
f

?x? ?

sin x 2 ? co s x
1 2

? 2? ? ? 2? ? ,? ? ? 0, ? ? 3 ? ? 为减函数,则 b ? 在? 为增函数, ? 3

? x ? ? ln x ?

ax ? 2 x ? a ? 0 ?
2

4.已知函数

存在单调递减区间,则实数 a 的取值范围为

? ? 1, 0 ? ? ? 0, ? ? ?



3 5.方程 x ? 3 x ? m ? 0 在[0,1]上有实数根,则m的最大值是 ___0_____.

? 6.函数 f ( x ) 的定义域为 R , f ( ? 1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ( x ) ? 2 ,则 f ( x ) ? 2 x ? 4 的解集

为____ ( ? 1, ? ? ) ______. 7.若函数f(x)=loga(x3-ax)(a>0,a≠1)在区间(-,0)上单调递增,则a的取值范围是__≤a<1, ________. 8.直线 y ? kx 与曲线 y ? e ________. 9.已知 的取值范围为 答:
|ln x |

?|x?2|
2

有3个公共点时,实数 k 的取值范围是__ (0,1) ,若对一切的 x ? (0,?? ), 2 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,则实数a

f ( x ) ? x ln x , g ( x ) ? ? x ? ax ? 3



? ?? , 4?
2

提示: 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3 ,则
h ( x ) ? 2 ln x ? x ? 3 x ( x ? 0)

a ? 2 ln x ? x ?
h'(x) ?

3 x

,
, x ? ( 0 ,1), h ' ( x ) ? 0

( x ? 3 )( x ? 1) x
2



,则

, h ( x ) 单调递增;

x ? (1, ?? ) , h ' ( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递减.∴ h ( x ) min ? h (1) ? 4 .

∵对一切 x ? ( 0 , ?? ) , 2 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,∴ a ? h ( x ) min ? 4 . 10.设函数
f ( x ) ? x ? 2 ex ? m x ? ln x
3 2

g (x) ?

f ( x) x

,记
]

,若函数 g ( x ) 至少存在一个零点,则实

(?? , e ?
2

1 e

数m的取值范围是____
2

______.
g ( x ) ? a sin(2 x ?
2

?
6

11.已知函数 f ( x ) = x , ( x ? [ ? 2, 2 ]) ,

) ? 3 a , x ? [0,

?

] 2 , ? x1 ? [ ? 2, 2] ,

总 ? x 0 ? [0,

?
2

], 使 得 g ( x 0 ) ? f ( x1 )

成立,则实数 a 的取值范围是
x



【答案】

( ? ? , ? 4] ? [6, ? ? )

12.如图, 从点 交于点
P2 P2

P1 ? 0, 0 ?
P2

Q ? 0,1 ? Q 作 x 轴的垂线交曲线 y ? e 于点 1 , 曲线在 1 点处的切线与 x 轴
Q2

.现从

作 x 轴的垂线交曲线于点
Qn

,依次重复上述过程得到一系列点: .

P1



Q1





Q2

;…;
1? n

Pn



,则

?

n

Pk Q k ?

k ?1

e?e

答: e ? 1
f ( x ) ? x ? 1 ? a ln x ( a ? 0)

13.若函数 则实数 a 的取值范围是 答:
[ ? 3, 0)

对任意

x1 , x 2 ? (0,1]

| f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? 4 |

1 x1

?

1 x2

|

, 都有




1

提示:当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在
0 ? x1 ? x 2 ? 1

,则

x 在 ? 0 ,1 ? 上是减函数,不妨设 1 1 1 1 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? f ( x 2 ) ? f ( x1 ), | ? |? ? x1 x 2 x1 x 2

? 0 ,1 ?

y ?

上是增函数,又函数



| f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? 4 |

1 x1

?

1 x2

|

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ?

4 x1

?

4 x2

所以
f ( x2 ) ? 4 x2 ? f ( x1 ) ?

等价于
h(x) ? f (x) ? 4 x


4 x ,

4 x1

? x ? 1 ? a ln x ?

即 则

.设
1 x2 |

| f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? 4 |

1 x1
2

?

等价于函数 h ( x ) 在区间

? 0 ,1 ?

上是减函数.

h ?( x ) ? 1 ?

a x

?

4 x
2

?

x ? ax ? 4 x
2


a ? x? 4

2 x ? ? 0,1 ? ,∴ x ? ax ? 4 ? 0 在 时恒成立,

即 而函数

x 在 y ? x?

x ? ? 0,1 ?
4

y ? x?

4

上恒成立,即 a 不小于
y ? x?

∴ a ? ? 3 ,又

x 在区间 ? 0 ,1 ? 上是增函数,所以 a ? [ ? 3, 0) a?0

x 在区间 ? 0 ,1 ? 内的最大值. 4 x 的最大值为 ? 3 .

,所以



x ?
2

y

2

?1

14.如图,用一块形状为半椭圆
A

4

( y ? 0)

的铁皮截取一个以短轴 BC 为底的等腰梯形 .

ABCD ,记所得等腰梯形 ABCD 的面积为 S ,则 S 的最大值是
B

C
D

x
y

o
3 3

答: 2 提示:设 A D ? 2 x ,
S ? 1 2 ??2x ? 2??2 1? x
2 2

2

则 记 则 当
x ?

? 2 ? x ? 1? 1 ? x

2

?0 ?

x ? 1?



f

? x ? ? 4 ? x ? 1?

?1 ? x ? ? 0 ? x ? 1 ? ,
? 1 ? 2 x ? .令

f

f ? ? x ? ? 8 ? x ? 1?

2

f ?? x? ? 0

x ?

1 2 .

,得
1

0? x?

1 2 时,

f ?? x? ? 0

?x?

? x ?1

单调递增; 2 当

时,

f ?? x? ? 0



f

?x?

单调递减. ∴

1

2 时, 当 二、解答题

f

?x?

取最大值,即 S 取最大值,且最大值为

?1? 3 3 f ? ? ? 2 ?2? .

15.已知函数 f ( x ) ? a ln x ? ax ? 3( a ? R ) . (I)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间;
o (II)若函数 y ? f ( x ) 的图象在点 ( 2, f ( 2 )) 处的切线的倾斜角为45 ,问:m在什么范围取值

时,对于任意的
f ?( x ) ? a x

t ? [1, 2 ]

g (x) ? x ? x [
3 2

m 2

? f ? ( x )]

,函数

在区间

( t , 3)

上总存在极值?

? a ( x ? 0)

15.解: (I)当
a ? 1 时,

f ?( x ) ?

1 x

?1?

1? x x



? 令 f ( x ) ? 0 时,解得 0 ? x ? 1 ,所以 f ( x ) 在(0,1)上单调递增;

? 令 f ( x ) ? 0 时,解得 x ? 1 ,所以 f ( x ) 在(1,+∞)上单调递减.
o (II)因为函数 y ? f ( x ) 的图象在点(2, f ( 2 ) )处的切线的倾斜角为45 ,

? 所以 f ( 2 ) ? 1 .

所以 a ? ? 2 ,
g (x) ? x ? x [
3 2

f ?( x ) ? ?2?

?2 x 2 x ]

?2


? x ?(
3

m 2

m 2

? 2) x ? 2 x
2



g ?( x ) ? 3 x ? ( 4 ? m ) x ? 2
2


g (x) ? x ? x [
3 2

m 2

因为任意的

t ? [1, 2 ]

? f ? ( x )]

,函数

在区间 ( t , 3) 上总存在极值,

所以只需
? 37 3

? g ? ( 2 ) ? 0, ? ? g ? (3) ? 0,

? m ? ?9

解得


b

16.设函数f(x)=lnx,g(x)=ax+ x ,函数f(x)的图像与x轴的交点也在函数g(x)的图像上, 且在此点处f(x)与g(x)有公切线. (Ⅰ)求a、b的值; (Ⅱ)设x>0,试比较f(x)与g(x)的大小.
f (x) ?
16.解: (I)∵

1 x ,

g '( x) ? a ?

b x
2



?a ? b ? 0 1 1 ? a ? ,b ? ? ? a?b ?1 2 2 ∴由题意可得: ? . 1 1 1 1 g (x) ? (x ? ) F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? Inx ? ( x ? ) 2 x ,令 2 x . (11)由(I)可知 1 1 1 1 1 2 1 1 2 F ' ( x ) ? ? (1 ? 2 ) ? ? (1 ? 2 ? ) ? ? (1 ? ) ? 0 x 2 2 x 2 x x x ∵ ,


F ( x)

是(0,+∞)上的减函数,而F(1)=0, 时,

∴当 当x=1时,

x ? ( 0 ,1)

F ( x) ? 0

, 有

f ( x) ? g ( x)
.

; 当

x ? (1, ?? )

时,

F (x) ? 0

, 有

f ( x) ? g ( x)



F ( x) ? 0

,有

f ( x) ? g ( x)

f ( x ) ? c ln x ?

1 2

x ? bx
2

17.设函数

(b , c ? R , c ? 0 )

,且 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点.

(Ⅰ) 若 x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点,求 f ( x ) 的单调区间(用 c 表示) ; (Ⅱ)若 f ( x ) ? 0 恰有两解,求实数 c 的取值范围.
f '( x ) ? c x
f '( x ) ? ( x ? 1)( x ? c ) x

? x?b ?

x ? bx ? c
2

17.解:

x

,又 f '(1) ? 0

所以

且 c ? 1 ,b ? c ? 1 ? 0

(I)因为 x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点,所以 c ? 1 当 0 ? x ? 1 时, f '( x ) ? 0 ;当 1 ? x ? c 时, f '( x ) ? 0 ;当 x ? c 时, f '( x ) ? 0 所以 f ( x ) 的递增区间为 (0,1) , ( c , ? ? ) ;递减区间为 (1, c ) . (II)①若 c ? 0 ,则 f ( x ) 在 (0,1) 上递减,在 (1, ? ? ) 上递增
1
f ( x) ? 0

恰有两解,则

f (1) ? 0

?b?0

?

1 2

?c?0

,即 2

,所以



②若 0 ? c ? 1 ,则

f 极 大 ( x ) ? f ( c ) ? c ln c ?

1 2

c ? bc
2



f 极 小 ( x ) ? f (1) ?

1 2

?b

因为 b ? ? 1 ? c ,则
f极 小 ( x ) ? ? 1 2 ?c

f 极 大 ( x ) ? c ln c ?

c

2

? c ( ? 1 ? c ) ? c ln c ? c ?

c

2

?0

2

2

,从而 f ( x ) ? 0 只有一解;③若 c ? 1 ,则
c
2

f 极 小 ( x ) ? c ln c ?

? c ( ? 1 ? c ) ? c ln c ? c ?

c

2

?0

2

2
? 1 2

,

f极 大 ( x ) ? ?

1 2

?c

, 则 f ( x ) ? 0 只有一

解.综上,使 f ( x ) ? 0 恰有两解的 c 的范围为
a ? (x)= x ? 1 ,a是正常数. 18.已知函数

?c?0



9 ? (x)+lnx,且a= 2 ,求函数f(x)的单调递增区间; (1)若f(x)=

g ( x 2 ) ? g ( x1 )

(2)若g(x)=∣lnx∣+ ? (x),且对任意的x 1 ,x 2 ∈(0,2〕 ,且x 1 ≠x 2 ,都有 <-1,求a的取值范围
f ?? x ?
1
9 2 ? x ? 1?
2

x 2 ? x1

2x

2

? 5x ? 2
2

18.解:⑴

=x -

f ?? x ? ﹥1 ? = 2 x ? x ? 1?
1

1

﹥0 ? x﹥2或0﹤x﹤ 2 ,

所以函数

f ?x ?

的单调增区间为(0, 2 )和(2,+∞).
g ? x 2 ? ? x 2 ? ?g ? x1 ? ? x1

g ? x 2 ? ? g ? x1 ?

?
﹤0,

⑵因为 所以F

x 2 ? x1

﹤-1,所以

x 2 ? x1

? x ? = g ? x ? ? x 在区间(0,2】上是减函数.
a ? x ? F ?? x ? ?
1 x 1 x ? a

? x ? =ln x + x ? 1 ①当1≦x≦2时,F
F ?? x ? ? 0 ? a ?

? x ? 1? 2

?1



? x ? 1? 2
x

? ? x ? 1? ? x ? 3 x ?
2 2

?3


m ?x ? ? x
2

在x∈ ?1, 2

? 上恒成立.

? 3x ?

1 2

?3

m ?? x ? ? 2 x ?

1 x
2

?3



,所以

﹥0(1≦x≦2),

m ?x ? 所以 在[1,2]上为增函数,所以

a ? m ?2 ? ?

27 2

? x ? =-ln x + x ? 1 ②当0﹤x﹤1时,F

a

? x ? F ?? x ? ? ?

1 x

?

a

? x ? 1? 2
2

?1


1 x ?3


F ?? x ? ? 0 ? a ?

F ?? x ? ? 0 ? a ?

? x ? 1? 2
x
2

? ? x ? 1? ? x ? 3 x ?
2

-

? x ? 1? 2
x
1 x

? ? x ? 1? ? x ? 3 x ?
2

1 x

?3

x

2

? x?

1 x

?1

=

在x∈(0,1)上恒成立.

? ? 令t x =

x

2

? x?

? 1 ? t ?? x ? ? 2 x ?

1 x
2

?1

? ? ﹥ 0,所以 t x 在( 0,1)上为增函数,所 以

a ? t ?1 ? ? 0

27

,综上: a 的取值范围为 a ≧ 2
f ( x) ? 1 2 x ? a ln x
2

(a ? R )

19.已知函数

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)设 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 x ,若 g ( x ) 在 [1, e ] 上不单调且仅在 x ? e 处取得最大值,求 a 的取 值范围.
f (x) ? x ?
'

a x

?
'

x ?a
2

( x ? 0)

解: (1)

x

若 a ? 0 ,则 f ( x ) ? 0 ,所以此时只有递增区间( 0 , ?? ) .
' 若 a ? 0 ,当 f ( x ) ? 0时,得 x ?

a

当 f ( x ) ? 0时,得 0 ? x ?
'

a

所以此时递增区间为( a ,?? ) ,递减区间为(0, a ) .
g (x) ? x ?
'

a x

?2?

x ? 2x ? a
2

( x ? 0)

(2)

x

,设 h ( x ) ? x ? 2 x ? a ( x ? 0 )
2

若 g ( x ) 在 [1, e ] 上不单调,则 h (1) h ( e ) ? 0 ,? ( 3 ? a )( e ? 2 e ? a ) ? 0
2

? 3 ? a ? e ? 2e .
2

? 只要 g ( e ) ? g (1) 同时 g ( x ) 仅在 x ? e 处取得最大值, 即可
a ? e
2

? 2e ?
在x ? 1

5 2 . ? a 的范围:

(3,

e

2

? 2e ?

5 2

)

得出:
f ( x) ? ax

2
x ?b
2

2

20.已知函数

处取得极值2.

(1)求函数 f ( x ) 的表达式; (2)当 m 满足什么条件时,函数 f ( x ) 在区间 ( m , 2 m ? 1) 上单调递增?

(3)若

P (x0 , y0 )

f (x) ?

ax x ? b 图象上任意一点,直线 l 与
2

f (x) ?

ax x ? b 的图象切于
2


2

点P,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.
f ?( x ) ? a ( x ? b ) ? ax ( 2 x ) (x ? b)
2 2

解: (1)因为
f (x) ? ax

.

而函数

x ? b 在 x ? 1 处取得极值2,
2

? a (1 ? b ) ? 2 a ? 0 ? f ? (1) ? 0 ?a ? 4 ? ? a ? 2 ? ? ? b ?1 f (1) ? 2 所以 ? , 即 ?1 ? b 解得 ? 4x f (x) ? 2 1 ? x 即为所求 所以 .

f ?( x ) ?

4 ( x ? 1) ? 8 x
2

2

(2)由(1)知

( x ? 1)
2

2

?

? 4 ( x ? 1)( x ? 1) (1 ? x )
2 2

? x ? ? 1, x 2 ? 1 令 f ( x ) ? 0 得: 1

则 f ( x ) 的增减性如下表: x (-∞,-1) 负 f ?( x )
f ( x)

(-1,1) 正

(1,+∞) 负

可知, f ( x ) 的单调增区间是[-1,1],
?m ? ?1 ? ?2m ? 1 ? 1 ? ?1 ? m ? 0. ?m ? 2m ? 1 所以 ?

所以当 m ? ( ? 1, 0 ] 时,函数 f ( x ) 在区间 ( m , 2 m ? 1) 上单调递增, (3)由条件知,过 f ( x ) 的图象上一点P的切线 l 的斜率 k 为:
k ? f ?( x 0 ) ?
t ? 1 1 ? x0
2

4 (1 ? x 0 )
2

(1 ? x )
2 0

? 4?

? 1 ? x0 ? 2
2

(1 ? x )
2 0

2

? 4[

2 (1 ? x )
2 0 2

?

1 1 ? x0
2

]



,则 t ? ( 0 ,1] ,
1 4 ) ?
2

k ? 8 (t ?

1 2 的图象性质知:

此时,
t ? 1 4 时,



k min ? ?

1 2 ;

k ? 4 当 t ? 1 时, max

所以,直线 l 的斜率 k 的取值范围是

[?

1 2

,4 ]

b


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