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7[1].3基本不等式及其应用(新人教A版)文


§7.3

基本不等式及其应用

1.基本不等式 ab≤

a+b 2

(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R). b a (2) + ≥2(a,b 同号). a b (3)ab≤? a+b?2 ? 2 ? (a,b∈R).

a2+b2 ?a+b?2 (4) ≥ 2 ? 2 ? (a,b∈R). 3.算术平均数与几何平均数 a+b 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 ,几何平均数为 ab,基本不等式可叙述为两个 2 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 2 p.(简记:积定和最小) p2 (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 .(简记:和定积最大) 4

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1 (1)函数 y=x+ 的最小值是 2. x a+b 2 (2)ab≤( ) 成立的条件是 ab>0. 2 4 π (3)函数 f(x)=cos x+ ,x∈(0, )的最小值等于 4. cos x 2 ( × ( × ( × ) ) )

x y (4)x>0 且 y>0 是 + ≥2 的充要条件. y x 1 (5)若 a>0,则 a3+ 2的最小值为 2 a. a (6)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R). 1 2.当 x>1 时,关于函数 f(x)=x+ ,下列叙述正确的是 x-1 A.函数 f(x)有最小值 2 C.函数 f(x)有最小值 3 答案 C 3.若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是 A.a2+b2>2ab 1 1 2 C. + > a b ab 答案 D 解析 ∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A 错误. 对于 B、C,当 a<0,b<0 时,明显错误. b a 对于 D,∵ab>0,∴ + ≥2 a b ba ·=2. ab B.a+b≥2 ab b a D. + ≥2 a b B.函数 f(x)有最大值 2 D.函数 f(x)有最大值 3

( × ( × ( √ ( )

) ) )

(

)

1 1 4.设 x,y∈R,a>1,b>1,若 ax=by=3,a+b=2 3,则 + 的最大值为 x y A.2 答案 C 3 B. 2 C.1 1 D. 2

(

)

1 1 解析 由 ax=by=3,得:x=loga3,y=logb3,由 a>1,b>1 知 x>0,y>0, + =log3a+log3b x y =log3ab≤log3? a+b?2 1 1 ? 2 ? =1,当且仅当 a=b= 3时“=”成立,则x+y的最大值为 1. 1 |a| + 取得最小值. 2|a| b

5.(2013· 天津)设 a+b=2,b>0,则当 a=________时, 答案 -2 解析 由于 a+b=2,所以 |a| ≥2 b

1 |a| a+b |a| a b |a| b + = + = + + ,由于 b>0,|a|>0,所以 + 2|a| b 4|a| b 4|a| 4|a| b 4|a|

b |a| 1 |a| 1 5 1 |a| · =1, 因此当 a>0 时, + 的最小值是 +1= ; 当 a<0 时, + 的 最 4|a| b 2|a| b 4 4 2|a| b

b |a| ? ?4|a|= b , 1 3 1 |a| 3 小值是- +1= .故 + 的最小值为 ,此时? 4 4 2|a| b 4 ? ?a<0,

即 a=-2.

题型一 利用基本不等式求最值 1 1 例 1 (1)已知 x>0,y>0,且 2x+y=1,则 + 的最小值为________; x y 2x (2)当 x>0 时,则 f(x)= 2 的最大值为________. x +1 思维启迪 1 1 利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换 . 如第 (1) 问把 + 中的 x y

“1”代换为“2x+y”,展开后利用基本不等式;第(2)问把函数式中分子分母同除“x”, 再利用基本不等式. 答案 (1)3+2 2 (2)1

解析 (1)∵x>0,y>0,且 2x+y=1, 1 1 2x+y 2x+y ∴ + = + x y x y y 2x y 2x =3+ + ≥3+2 2.当且仅当 = 时,取等号. x y x y 2x 2 2 (2)∵x>0,∴f(x)= 2 = ≤ =1, 1 2 x +1 x+ x 1 当且仅当 x= ,即 x=1 时取等号. x 思维升华 (1)利用基本不等式求函数最值时,注意“一正、二定、三相等,和定积最大,

积定和最小”. (2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式,可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平 方等技巧进行变形,使之能够使用基本不等式. x y (1)已知正实数 x,y 满足 xy=1,则( +y)· ( +x)的最小值为________. y x x y + (2)已知 x,y∈R ,且满足 + =1,则 xy 的最大值为________. 3 4 答案 (1)4 (2)3 x y y2 x2 解析 (1)依题意知,( +y)( +x)=1+ + +1≥2+2 y x x y x y 取等号,故( +y)· ( +x)的最小值为 4. y x x y (2)∵x>0,y>0 且 1= + ≥2 3 4 题型二 不等式与函数的综合问题 例 2 (1)已知 f(x)=32x-(k+1)3x+2,当 x∈R 时,f(x)恒为正值,则 k 的取值范围是( ) xy x y ,∴xy≤3.当且仅当 = 时取等号. 12 3 4 y2 x2 × =4,当且仅当 x=y=1 时 x y

A.(-∞,-1) C.(-1,2 2-1)

B.(-∞,2 2-1) D.(-2 2-1,2 2-1)

x2+ax+11 (2)已知函数 f(x)= (a∈R),若对于任意 x∈N*,f(x)≥3 恒成立,则 a 的取值范围 x+1 是________. 思维启迪 对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数,然后通过求最值得参数范围. 8 答案 (1)B (2)[- ,+∞) 3 解析 (1)由 f(x)>0 得 32x-(k+1)· 3x+2>0, 2 2 2 解得 k+1<3x+ x,而 3x+ x≥2 2(当且仅当 3x= x, 3 3 3 即 x=log3 2时,等号成立), ∴k+1<2 2,即 k<2 2-1. x2+ax+11 8 (2)对任意 x∈N*,f(x)≥3 恒成立,即 ≥3 恒成立,即知 a≥-(x+ )+3. x x+1 8 17 设 g(x)=x+ ,x∈N*,则 g(2)=6,g(3)= . x 3 ∵g(2)>g(3),∴g(x)min= 17 8 8 .∴-(x+ )+3≤- , 3 x 3

8 8 ∴a≥- ,故 a 的取值范围是[- ,+∞). 3 3 思维升华 (1)a>f(x)恒成立?a>(f(x))max, a<f(x)恒成立?a<(f(x))min; (2)求最值时要注意其中变量的条件,有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性. 1 若不等式 x2+ax+1≥0 对于一切 x∈(0, )成立,则 a 的最小值是 2 A.0 答案 C 解析 方法一 设 f(x)=x2+ax+1, a 则对称轴为 x=- . 2 a 1 当- ≥ ,即 a≤-1 时, 2 2 1 1 5 f(x)在(0, )上是减函数,应有 f( )≥0?a≥- , 2 2 2 5 ∴- ≤a≤-1. 2 a 1 当- ≤0,即 a≥0 时,f(x)在(0, )上是增函数, 2 2 B.-2 5 C.- 2 D.-3 ( )

应有 f(0)=1>0 恒成立,故 a≥0. a 1 当 0<- < ,即-1<a<0 时, 2 2 a a 2 a2 a2 应有 f(- )= - +1=1- ≥0 恒成立, 2 4 2 4 故-1<a<0. 5 综上,a≥- ,故选 C. 2 1 1 方法二 当 x∈(0, )时,不等式 x2+ax+1≥0 恒成立转化为 a≥-(x+ )恒成立. 2 x 1 1 又 φ(x)=x+ 在(0, )上是减函数, x 2 1 5 ∴φ(x)min=φ( )= , 2 2 1 5 ∴[-(x+ )]max=- , x 2 5 ∴a≥- . 2 题型三 基本不等式的实际应用 例 3 某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱, 正面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米长造价 45 元,顶部每平方米造价 20 元, 求:仓库面积 S 的最大允许值是多少?为使 S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么 正面铁栅应设计为多长? 思维启迪 把铁栅长、砖墙长设为未知数,由投资 3 200 元列等式,利用基本不等式即可求 解. 解 设铁栅长为 x 米,一侧砖墙长为 y 米,则顶部面积 S=xy,依题设,得 40x+2×45y+ 20xy=3 200,由基本不等式得 3 200≥2 40x· 90y+20xy=120 xy+20xy=120 S+20S,则 S +6 S-160≤0,即( S-10)( S+16)≤0,故 0< S≤10,从而 0<S≤100,所以 S 的最大允 许值是 100 平方米,取得此最大值的条件是 40x=90y 且 xy=100,解得 x=15,即铁栅的长 应设计为 15 米. 思维升华 对实际问题,在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘,一

般地,每个表示实际意义的代数式必须为正,由此可得自变量的范围,然后再利用基本不 等式求最值. (1)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件, x 则平均仓储时间为 天, 且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备 8 费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品 A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件 ( )

(2)某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价 p%,第二次提价 q%;方 p+q 案乙:每次都提价 %,若 p>q>0,则提价多的方案是________. 2 答案 (1)B (2)乙 解析 (1)设每件产品的平均费用为 y 元,由题意得 800 x y= + ≥2 x 8 800 x ·=20. x 8

800 x 当且仅当 = (x>0),即 x=80 时“=”成立,故选 B. x 8 (2)设原价为 1,则提价后的价格为 方案甲:(1+p%)(1+q%), p+q 2 方案乙:(1+ %) , 2 因为 ?1+p%??1+q%?≤ 1+p% 1+q% p+q + =1+ %, 2 2 2

p+q 且 p>q>0,所以 ?1+p%??1+q%?<1+ %, 2 p+q 2 即(1+p%)(1+q%)<(1+ %) , 2 所以提价多的方案是乙.

忽视基本不等式等号成立的条件致误

典例:(10 分)(1)(2012· 浙江)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( 24 A. 5 28 B. 5 C.5 D.6

)

3 (2)函数 y=1-2x- (x<0)的最小值为________. x 易错分析 (1)对 x+3y 运用基本不等式得 xy的范围,再对 3x+4y 运用基本不等式,利用 不等式的传递性得最值; 3 (2)没有注意到 x<0 这个条件误用基本不等式得 2x+ ≥2 6. x 1 3 解析 (1)由 x+3y=5xy 可得 + =1, 5y 5x 1 3 所以 3x+4y=(3x+4y)( + ) 5y 5x 9 4 3x 12y 13 = + + + ≥ +2 5 5 5y 5x 5 3x 12y 13 12 · = + =5, 5y 5x 5 5

1 当且仅当 x=1,y= 时取等号,故 3x+4y 的最小值是 5. 2 3 3 (2)∵x<0,∴y=1-2x- =1+(-2x)+(- )≥1+2 x x - 6 时取等号,故 y 有最小值 1+2 6. 2 3 ?-2x?· =1+2 6,当且仅当 x= -x

答案 (1)C (2)1+2 6 温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值,一定要注意应用条件; (2)尽量避免多次使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证等号成立的条件一致.

方法与技巧 1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能, 常常 用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择 好利用基本不等式的切入点. 2.对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等, a+b 2 a2+b2 a+b 例如:ab≤( )≤ , ab≤ ≤ 2 2 2 立的条件和等号成立的条件. 失误与防范 1.使用基本不等式求最值,“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可. 2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. a2+b2 (a>0,b>0)等,同时还要注意不等式成 2

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1.已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为 1 A. 3 答案 B 解析 ∵0<x<1,∴1-x>0. ∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3? 1 B. 2 3 C. 4 2 D. 3 ( )

?

x+1-x?2 3 = . 2 ? 4

1 当且仅当 x=1-x,即 x= 时取等号. 2 1 2.若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a 等于 x-2 A.1+ 2 C.3 答案 C 1 1 解析 f(x)=x+ =x-2+ +2. x-2 x-2 ∵x>2,∴x-2>0. ∴f(x)=x-2+ 1 +2≥2 x-2 1 ?x-2?· +2=4, x -2 B.1+ 3 D.4 ( )

1 当且仅当 x-2= ,即 x=3 时,“=”成立. x-2 又 f(x)在 x=a 处取最小值.∴a=3. 3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时速为 v,则 A.a<v< ab a+b C. ab<v< 2 答案 A s s 解析 设甲、乙两地相距 s,则小王往返两地用时为 + , a b 从而 v= 2s 2ab = . s s a+b + a b B.v= ab a+b D.v= 2 ( )

∵0<a<b,∴ ab<

a+b 2ab 2ab , > =a, 2 a+b 2b

2 1 2ab ∴ < ,即 < ab,∴a<v< ab. a+b ab a+b 1 1 4.若 a>0,b>0,且 ln(a+b)=0,则 + 的最小值是 a b 1 A. 4 答案 C a+b=1 ? ? 解析 由 a>0,b>0,ln(a+b)=0 得?a>0 . ? ?b>0 1 1 a+b 1 1 1 故 + = = ≥ = =4. a b ab ab a+b 2 1 2 ? ? ?2? 2 1 当且仅当 a=b= 时上式取“=”. 2 5.(2012· 福建)下列不等式一定成立的是 1 x2+ ?>lg x(x>0) A.lg? 4? ? 1 B.sin x+ ≥2(x≠kπ,k∈Z) sin x C.x2+1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x +1 答案 C x+y + 解析 应用基本不等式:x,y∈R , ≥ xy(当且仅当 x=y 时取等号)逐个分析,注意基 2 本不等式的应用条件及取等号的条件. 1 1 当 x>0 时,x2+ ≥2· x·=x, 4 2
2 1? 所以 lg? ?x +4?≥lg x(x>0),故选项 A 不正确;

(

)

B.1

C.4

D.8

(

)

运用基本不等式时需保证一正二定三相等, 而当 x≠kπ,k∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项 B 不正确; 由基本不等式可知,选项 C 正确; 1 当 x=0 时,有 2 =1,故选项 D 不正确. x +1 二、填空题

1 1 6.设 x,y∈R,且 xy≠0,则(x2+ 2)( 2+4y2)的最小值为________. y x 答案 9 1 1 1 解析 (x2+ 2)( 2+4y2)=5+ 2 2+4x2y2≥5+2 y x xy 成立. p 7.已知函数 f(x)=x+ (p 为常数,且 p>0),若 f(x)在(1,+∞)上的最小值为 4,则实数 p 的 x-1 值为________. 答案 9 4 1 1 · 4x2y2=9,当且仅当 x2y2= 时“=” x2y2 2

p 解析 由题意得 x-1>0,f(x)=x-1+ +1≥2 p+1,当且仅当 x= p+1 时取等号,因 x-1 9 为 f(x)在(1,+∞)上的最小值为 4,所以 2 p+1=4,解得 p= . 4 8.某公司一年需购买某种货物 200 吨,平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为 2 万元, 一年的总存储费用数值(单位:万元)恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运费与总存 储费用之和最小,则每次购买该种货物的吨数是__________________. 答案 20 200 200 400 解析 设每次购买该种货物 x 吨,则需要购买 次,则一年的总运费为 ×2= ,一年 x x x 400 的总存储费用为 x, 所以一年的总运费与总存储费用为 +x≥2 x 400 400 · x=40, 当且仅当 x x

=x,即 x=20 时等号成立,故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,每次应购买该种 货物 20 吨. 三、解答题 2 9.(1)已知 0<x< ,求 y=2x-5x2 的最大值; 5 8 2 (2)已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求 + 的最小值. x y 1 解 (1)y=2x-5x2=x(2-5x)= · 5x· (2-5x). 5 2 ∵0<x< ,∴5x<2,2-5x>0, 5 5x+2-5x 2 ∴5x(2-5x)≤( ) =1, 2 1 1 1 ∴y≤ ,当且仅当 5x=2-5x,即 x= 时,ymax= . 5 5 5 (2)∵x>0,y>0,且 x+y=1,

8 2 8 2 ∴ + =( + )(x+y) x y x y 8y 2x =10+ + ≥10+2 x y 8y 2x · =18, x y

8y 2x 2 1 当且仅当 = ,即 x= ,y= 时等号成立, x y 3 3 8 2 ∴ + 的最小值是 18. x y 10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池,池的深度一定 (平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为 400 元/米,中间两道隔墙建造单价为 248 元/米,池底建造单价为 80 元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.

(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过 16 米,试设计污水处理池的长和宽,使总造 价最低,并求出最低总造价. 162 解 (1)设污水处理池的宽为 x 米,则长为 米. x 2×162 总造价 f(x)=400×(2x+ )+248×2x+80×162 x 1 296×100 100 =1 296x+ +12 960=1 296(x+ )+12 960 x x ≥1 296×2 100 x· +12 960=38 880(元), x

100 当且仅当 x= (x>0),即 x=10 时取等号. x ∴当污水处理池的长为 16.2 米,宽为 10 米时总造价最低,总造价最低为 38 880 元. 0<x≤16 ? ? 81 (2)由限制条件知? 162 ∴ ≤x≤16. 8 ? ?0< x ≤16, 100 81 设 g(x)=x+ ( ≤x≤16), x 8 81 g(x)在[ ,16]上是增函数, 8 81 162 ∴当 x= 时(此时 =16), 8 x g(x)有最小值,即 f(x)有最小值,即为 81 800 1 296×( + )+12 960=38 882(元). 8 81 81 ∴当污水处理池的长为 16 米,宽为 米时总造价最低,总造价最低为 38 882 元. 8

B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1.已知 a>0,b>0,若不等式 A.4 答案 B m 3 1 3 1 3b 3a 解析 因为 a>0,b>0,所以由 - - ≤0 恒成立得 m≤( + )(3a+b)=10+ + 恒 a b a b 3a+b a b 成立. 3b 3a 因为 + ≥2 a b 3b 3a · =6, a b B.16 C.9 m 3 1 - - ≤0 恒成立,则 m 的最大值为 3a+b a b D.3 ( )

3b 3a 当且仅当 a=b 时等号成立,所以 10+ + ≥16, a b 所以 m≤16,即 m 的最大值为 16,故选 B. xy 2 1 2 2.(2013· 山东)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当 取得最大值时, + - 的最 z x y z 大值为 A.0 答案 B 解析 由已知得 z=x2-3xy+4y2(*) xy xy 1 则 = 2 = ≤1,当且仅当 x=2y 时取等号,把 x=2y 代入(*)式,得 z= z x -3xy+4y2 x 4y + -3 y x 1 ?2 2 1 2 1 1 1 2y2,所以 + - = + - 2=-? ?y-1? +1≤1. x y z y y y 3.定义“*”是一种运算,对于任意的 x,y,都满足 x*y=axy+b(x+y),其中 a,b 为正实数, 已知 1] 答案 1 2 解析 ∵1]6ab),∴ab≤ . 3 当且仅当 2a=3b,即 a=1 时等号成立, 2 所以当 a=1 时,ab 取最大值 . 3 4.(1)若正实数 x、y 满足 2x+y+6=xy,求 xy 的最小值. x2+7x+10 (2)求函数 y= (x>-1)的最小值. x+1 解 (1)xy=2x+y+6≥2 2xy+6,令 xy=t2, 可得 t2-2 2t-6≥0,注意到 t>0,解得 t≥3 2, . B.1 9 C. 4 D.3 ( )

故 xy 的最小值为 18. (2)设 x+1=t,则 x=t-1(t>0), ?t-1?2+7?t-1?+10 ∴y= t 4 =t+ +5≥2 t 4 t·+5=9. t

4 当且仅当 t= ,即 t=2,且此时 x=1 时,取等号, t ∴ymin=9. 5.经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以 30 天计),第 t 天(1≤t≤30,t∈N+)的旅游人 1 数 f(t)(万人)近似地满足 f(t)=4+ ,而人均消费 g(t)(元)近似地满足 g(t)=120-|t-20|. t (1)求该城市的旅游日收益 W(t)(万元)与时间 t(1≤t≤30,t∈N+)的函数关系式; (2)求该城市旅游日收益的最小值. 解 (1)W(t)=f(t)g(t) 1 =(4+ )(120-|t-20|) t

?401+4t+ t , =? 140 ?559+ t -4t,

100

1≤t≤20, 20<t≤30. 100 ≥401+2 t 100 4t· =441(t=5 时取最小值). t

(2)当 t∈[1,20]时,401+4t+

140 当 t∈(20,30]时,因为 W(t)=559+ -4t 递减, t 2 所以 t=30 时,W(t)有最小值 W(30)=443 , 3 所以 t∈[1,30]时,W(t)的最小值为 441 万元.


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