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小题不大做 高考数学选择题、填空题的解法(学生用)


…………………………………………….…目录……….……………………………………… 高考数学选择题、填空题的解法 ...................................................................................................... 1 一、直接法 ........................

.......................................................................................................... 1 二、特例法 .................................................................................................................................. 2 三、数形结合 ........................................................................................................................... 5 四、估值判断 .............................................................................................................................. 7 五、排除法(代入检验法) ...................................................................................................... 8 填空题的解法 .................................................................................................................................... 10 一、直接法 ................................................................................................................................ 10 二、特殊化法 ............................................................................................................................ 11 三、数形结合法 ........................................................................................................................ 12 四、等价转化法 ........................................................................................................................ 13

高考数学选择题、填空题的解法 一、直接法
所谓直接法,就是直接从题设的条件出发,运用有关的概念、性质、定理、法则和公式等知 识,通过严密的推理和计算来得出题目的结论。 【 例 1 】 已 知 f ( x) 与 g ( x) 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 与 偶 函 数 , 若

f ( x) ? g ( x) ? log 2 ( x 2 ? x ? 2), 则 f (1) 等于(

)A, ?

1 2

B,

1 2

C,1

D,

3 2

π 【例 2】函数 y=sin?3-2x?+sin 2x 的最小正周期是 ( ? ?

π )A. B.π C.2π D.4π 2

【例 3】 全国Ⅰ理 8) 06 抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离的最小值是 (
2



A、

4 3

B、

7 5

C、

8 5

D、3

【例 4】 圆 x +2x+y +4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2 的点共有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

2

2



1

【例 5】设 F1、F2 为双曲线 F1PF2 的面积是(

x2 2 o -y =1 的两个焦点,点 P 在双曲线上满足∠F1PF2=90 ,则△ 4

)A.1

B. 5 /2

C.2

D. 5

【例 6】 椭圆 mx2+ny2=1 与直线 x+y=1 交于 A、B 两点,过 AB 中点 M 与原点的直线斜 率为
2 m ,则 的值为( 2 n

)A.

2 2

B.

2 3 3

C.1

D.

3 2

二、特例法 包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置、特殊函数、特殊数列、特殊图形等,代入或者 比照选项来确定答案。这种方法叫做特值代验法,是一种使用频率很高的方法。 【例 1】若函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则 y ? f (2 x) 的对称轴是( A、 x ? 0 B、 x ? 1 C、 x ? )

1 2

D、 x ? 2

【例 2】△ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, OH ? m(OA ? OB ? OC ) , 则 m 的取值是( )A、-1 B、1 C、-2 D、2

????

??? ??? ???? ? ?

【例 3】已知定义在实数集 R 上的函数 y=f(x)恒不为零,同时满足 f(x+y)=f(x)· f(y),且当 x>0 时, f(x)>1, 那么当 x<0 时, 一定有( )A. f(x)<-1 B. -1<f(x)<0 C. f(x)>1 D. 0<f(x)<1

2

【例 4】 .若动点 P、Q 在椭圆 9x2+16y2=144 上,且满足 OP⊥OQ,则中心 O 到弦 PQ 的距离 OH 必等于( 20 )A. 3 23 B. 4 12 C. 5 4 D. 15

【例 5】 (2010 重庆理数)(5) 函数 f ? x ? ? A. 关于原点对称

4x ? 1 的图象( 2x

)

B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称

【例 6】过抛物线y= a x (a> 0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 FP 与 FQ 的长分别是p、q,则

2

1 1 ? =( p q

). A. 2a B.

1 2a

C. 4a D.

4 a

【例 7】 已知等差数列{an}的前 m 项和为 30, 2m 项和为 100, 前 则它的前 3m 项和为 )A. ( 130 B.170 C.210 D.260

【例 8】 (08 江西卷 6) 函数 y ? tan x ? sin x ? tan x ? sin x 在区间 (

? 3?
2 , 2

( ) 内的图象是
y



y

y

y
? 2

?

3? 2

? 2

?

3? 2

2o

?
? 2

2 -

?
? 2

?2 x

o

x

?
A

3? 2

x o

?

?

?2 -

o

x

?

3? 2

B

C

D

3

【例 9】 (06 北京卷)设 f (n) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
4 7 10

3n ?10

(n ? N ) ,则 f (n) 等于(
(D)



(A)

2 n (8 ? 1) 7

(B)

2 n?1 (8 ? 1) 7

(C)

2 n?3 (8 ? 1) 7

2 n? 4 (8 ? 1) 7

【例 10】 全国Ⅱ) (10 如果等差数列 ? an ? 中,a3 ? a4 ? a5 ? 12 , 那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? ( (A)14 (B)21 (C)28 (D)35



【例 11】 (10 年安徽理)设 abc>0 ,二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图像可能是(
2



【例 12】 f(x)为定义在 R 上的奇函数, x≥0 时, 设 当 f(x)= 2 +2x+b(b 常数), f(-1)=( 则 (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3

x



4

三、数形结合
“数缺形时少直观,形少数时难入微”---华罗庚。画出图形或者图象能够使问题提供的 信息更直观地呈现,从而大大降低思维难度,是解决数学问题的有力策略,这种方法使用得 非常之多。 【例 1】(2008 陕西文、理) 双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0 ,b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 , a 2 b2

过 F1 作倾斜角为 30? 的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为



)A. 6

B. 3

C. 2

D.

3 3

【例 2】 (07 江苏 6)设函数 f ( x) 定义在实数集上,它的图象关于直线 x ? 1 对称,且当 x ? 1 时, f ( x) ? 3 ? 1 ,则有(
x

) B、 f ( ) ? f ( ) ? f ( )

1 3 2 3 2 3 2 1 3 C、 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 3 2

A、 f ( ) ? f ( ) ? f ( )

2 3 1 3 2 3 3 2 1 D. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 2 3 3

【例 3】若 P(2,-1)为圆 ( x ? 1) ? y ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是(
2 2



A、 x ? y ? 3 ? 0

B、 2 x ? y ? 3 ? 0 C、 x ? y ? 1 ? 0 D、 2 x ? y ? 5 ? 0

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 【例 4】 (07 辽宁)已知变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? 1 ,则 的取值范围是( x ?x ? y ? 7 ? 0 ?
A、 ? , 6 ? 5



?9 ?

? ?

B、 ? ??, ? ? ? 6, ?? ? 5

? ?

9? ?

C、 ? ??,3? ? ? 6, ?? ?

D、 ? 3, 6 ?

【例 5】曲线 y ? 1 ? 4 ? x ( x ? ??2, 2 ?) 与直线
2

y ? k ( x ? 2) ? 4 有两个公共点时, k 的取值范围是(
A、 (0,

) D、 (

5 ) 12

B、 ( , )

1 1 4 3

C、 (

5 , ??) 12
5

5 3 , ) 12 4

【例 6】函数 y ?| x | (1 ? x) 在区间 A 上是增函数,则区间 A 是( A、 ?? ?,0?



B、 ?0, ? 2

? 1? ? ?

C、 ?0,???

D、 ?

?1 ? ,?? ? ?2 ?

【例 7】 (06 湖南理 10)若圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同的点到直线 、
2 2

l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角 ? 的取值范围是( )
A、 ?

?? ? ? , ?12 4 ? ?

B、 ?

? ? 5? ? , ?12 12 ? ?

C、 ?

?? ? ? , ?6 3? ?

D、 ?0,

? ?? ? 2? ?

【例 8】方程 cos x ? lg x ? 0 的实根的个数是(

)A、1

B、2

C、3

D、4

【例 9】(07 天津理 7)在 R 上定义的函数 f ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? f (2 ? x) 。若 f ( x) 在区 间[1,2]上是减函数,则 f ( x) ( )

A、在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 B、在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 C、在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 D、在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数

【例 10】 (05 年四川)若 a ? A、 a ? b ? c

ln 2 ln 3 ln 5 ,则( ) ,b ? ,c ? 2 3 5 B、 c ? b ? a C、 c ? a ? b D、 b ? a ? c

6

【例 11】(10 年湖北)设集合 A= {( x, y ) | 个数是 (
[

x2 y 2 ? ? 1} ,B= {( x, y) | y ? 3x } ,则 A∩B 的子集的 4 16
D.1



来源:学科网 ZXXK]

A. 4

B.3

C.2

【例 12】(10 年湖北)若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 有公共点,则 b 的取值范围是
2



? ) A. ? ?1 , 1 2 ?2 B. ? ?

?1 ? 2 2 ,? 1 ?

2 ? 2C. ?

?1 ? 2 2 ,?3 ? ?

D.

?1 ? 2, 3? ? ?

四、估值判断
有些问题,属于比较大小或者确定位置的问题,我们只要对数值进行估算,或者对位置 进行估计,就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。 【例 1】已知 x1 是方程 x ? lg x ? 3 的根, x2 是方程 x ? 10 ? 3 的根,则 x1 ? x2 ? (
x



A、6

B、3

C、2

D、1

【例 2】已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA=2, 则球面面积是( )A、

16 ? 9

B、 ?

8 3

C、 4?

D、

64 ? 9

【例 3】如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,

EF ?

3 ,EF 与平面 ABCD 的距离为 2,则该多面体的体积为( 2 9 15 A、 B、5 C、6 D、 2 2



7

【例 4】 (07 全国Ⅱ理 12)设 F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上的三点,
2

若 FA ? FB ? FC ? 0 ,则 FA ? FB ? FC 等于(

??? ??? ??? ? ? ?

?

??? ?

??? ?

??? ?

)A、9

B、6

C、4 D、3

五、排除法(代入检验法) 它是充分运用选择题中的单选的特征,即有且只有一个正确选项这一信息,通过分析、 推理、计算、判断,逐一排除,最终达到目的的一种解法。 【例 1】(2010 年山东理文)函数 y=2x - x 的图像大致是(
2



【例 2】 (2010 江西理数)9.给出下列三个命题:

1 1 ? cos x x 与 y ? ln tan 是同一函数; ②若函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图像 ln 2 1 ? cos x 2 1 关于直线 y ? x 对称,则函数 y ? f ? 2 x ? 与 y ? g ? x ? 的图像也关于直线 y ? x 对称;③若 2
①函数 y ? 奇函数 f ? x ? 对定义域内任意 x 都有 f ? x ? ? f (2 ? x) ,则 f ? x ? 为周期函数。其中真命题是 ( )A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②

【例 3】 (2010 天津理数) (2)函数 f(x)= 2 ? 3x 的零点所在的一个区间是(
x



(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)

8

【例 4】数列{an}满足 a1=1, a2=

1 1 2 2 ,且 (n≥2),则 an 等于( ? ? an?1 an?1 an 3

) 。

(A)

2 n ?1

(B)(

2 3

)n-1

(C)(

2 2 n ) (D) 3 n?2

【例 5】 (2008 安徽文)函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ?

?
3

) 图像的对称轴方程可能是(

?
6

B. x ? ?

?
12

C. x ?

?
6

D. x ?

?
12

【例 6】 (2009 重庆卷文)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为(
2 2 2 2 2 2 2 2



A. x ? ( y ? 2) ? 1 B. x ? ( y ? 2) ? 1 C. ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1 D. x ? ( y ? 3) ? 1

【例 7】 (10 年全国)已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相 交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为( ) (A)

x2 y 2 ? ?1 3 6

(B)

x2 y 2 ? ?1 4 5

(C)

x2 y 2 ? ?1 6 3

(D)

x2 y 2 ? ?1 5 4

9

填空题的解法
一、直接法
这是解填空题的基本方法,它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等 知识,通过变形、推理、运算等过程,直接得到结果。

【 例 1 】 设 a ? (m ? 1)i ? 3 j, b ? i ? (m ? 1) j, 其 中 i , j 为 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 , 又

?

?

? ? ?

?

?

?

? ? ? ? (a ? b) ? (a ? b) ,则实数 m =



a1+a3+a9 【例 2】已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等 比数列,则 =________. a2+a4+a10

【例 3】(2008 江苏) f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??

? 的最小正周期为 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 6? 5

?

【 例 4 】 2010 四 川 理数 ) 直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 8 相交 于 A、 B 两点, 则 (
2 2

?AB ??

.

【例 5】 (10 广东理数)9. 函数 f ( x) =lg( x -2)的定义域是

10

二、特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以把题中变化 的不定量用特殊值代替,即可以得到正确结果。 【例 1】 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。若 a、b、c 成等差数列,则

cos A ? cos C ? 1 ? cos A cos C



【例 2】求值 cos a ? cos (a ? 120 ) ? cos (a ? 240 ) ?
2 2 ? 2 ?



【例 3】?ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,OH ? m(OA ? OB ? OC ) , 则实数 m= 。

????

??? ??? ???? ? ?

【例 4】 (06 全国卷 I)已知函数 f ( x) ? a ?

1 ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? ________。 2 ?1
x

【例 5】若函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),则 f(1),f(2),f(4)的大小关系是

【例 6】 (2010 江苏卷)5、设函数 f(x)=x(e

x

+ae-x)(x? R)是偶函数,则实数 a=________

11

三、数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思形,以形助数,则往往可以简捷地解决问 题,得出正确的结果。 【例 1】 如果不等式 4 x ? x ? (a ? 1) x 的解集为 A,且 A ? {x | 0 ? x ? 2} ,
2

那么实数 a 的取值范围是 1 【例 2】直线 y=kx+3k-2 与直线 y=- x+1 的交点在第一象限,则 k 的取值范 4 围是________. ]

【例 3】 若关于 x 的方程 1 ? x =k(x-2)有两个不等实根, k 的取 则
2

值范围是 【例 4】 (2010 辽宁 理数) (14)已知 ?1 ? x ? y ? 4 且 2 ? x ? y ? 3 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的取值 范围是_______(答案用区间表示)

【例 5】 (2010 年江西理)13.已知向量 a, b 满足 a ? 1, b ? 2, a 与 b 的夹角为 60°,则

? ?

?

?

?

?

? ? a ? b ? ___ ___________.

【例 6】 10 浙江理数)已 知平面向量 ? , ? (? ? 0, ? ? ? ) 满足 ? ? 1 ,且 ? 与 ? ? ? 的夹角 ( 为 120° ,则 ? 的取值范围是__________________ . C

12

四、等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉” ,将问题等价地转化成便于解决的问题,从而得出 正确的结果。 【例 1】 不论 k 为何实数,直线 y ? kx ? 1 与曲线 x ? y ? 2ax ? a ? 2a ? 4 ? 0 恒有交
2 2 2

点,则实数 a 的取值范围是



【例 2】 (2010 江苏)设实数 x,y 满足 3≤ xy ≤8,4≤

2

x2 x3 ≤9,则 4 的最大值是 y y




【 例 3 】 2010 天 津 理 数 ) 16 ) 设 函 数 f ( x) ? x ? 1 , 对 任 意 x ? ? , ?? ? , ( (
2

?2 ?3
.

? ?

?x? f ? ? ? 4m2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ?m?

【例 4】 (2010 重庆理数) (13)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球 中至多命中一次的概率为

16 ,则该队员每次罚球的命中率为____________. 25

13


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