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小题不大做 高考数学选择题、填空题的解题技巧(教师用)


…………………………………………….…目录……….……………………………………… 高考数学选择题、填空题的解法 ...................................................................................................... 1 一、直接法 .................................................................................................................................. 1 二、特例法 .................................................................................................................................. 2 三、数形结合 ........................................................................................................................... 5 四、估值判断 .............................................................................................................................. 7 五、排除法(代入检验法) ...................................................................................................... 8 填空题的解法 .................................................................................................................................... 10 一、直接法 ................................................................................................................................ 10 二、特殊化法 ............................................................................................................................ 11 三、数形结合法 ........................................................................................................................ 12 四、等价转化法 ........................................................................................................................ 13

高考数学选择题、填空题的解法 一、直接法
所谓直接法,就是直接从题设的条件出发,运用有关的概念、性质、定理、法则和公式等知 识,通过严密的推理和计算来得出题目的结论。 【 例 1 】 已 知 f ( x) 与 g ( x) 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 与 偶 函 数 , 若

f ( x) ? g ( x) ? log2 ( x2 ? x ? 2), 则 f (1) 等于(

)A, ?

1 2

B,

1 2

C,1

D,

3 2

【解析】此题可以先求出函数 f ( x ) 的解析式,然后求解,也可以直接求 f (1) ,选 B π 【例 2】函数 y=sin?3-2x?+sin 2x 的最小正周期是 ( ? ? 【解析】y= π )A. B.π C.2π D.4π 2

π 3 1 cos 2x- sin 2x+sin 2x=sin?2x+3?,T=π,选 B. ? ? 2 2
2

【例 3】 全国Ⅰ理 8) 06 抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离的最小值是 ( A、



4 3

B、

7 5

C、

8 5
2

D、3
2

【解析】设直线 4 x ? 3 y ? m ? 0 与 y ? ? x 相切,则联立方程知 3x ? 4 x ? m ? 0 ,令 ? ? 0 ,

有m ?

4 ,∴两平行线之间的距离 d ? 3

4 ?8 ? (? ) 3 3 ?4
2 2

?

4 ,选 A 3

1

【例 4】 圆 x +2x+y +4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2 的点共有( A.1 个 B.2 个
2 2 2

2

2



C.3 个

D.4 个 圆心(-1,-2)到直

【解析】将圆的方程化为(x+1) +(y+2) =(2 2 ) ,∴ r=2 2 .∵ 线 x+y+1=0 的距离 d=
| ?1 ? 2 ? 1 | 2

= 2 ,恰为半径的一半.故选C.

【例 5】设 F1、F2 为双曲线 F1PF2 的面积是(

x2 2 o -y =1 的两个焦点,点 P 在双曲线上满足∠F1PF2=90 ,则△ 4

)A.1

B. 5 /2

C.2

D. 5

【解析】 S? F1PF2 =1,选A.或者直接用结论求解:在椭圆中 S? F1PF2

? b 2 tan

?F1 PF2 ,在 2

双曲线中 S? F1PF2

? b 2 cot
2 2

?F1 PF2 2
)A.
2 2

【例 6】 椭圆 mx +ny =1 与直线 x+y=1 交于 A、B 两点,过 AB 中点 M 与原点的直线斜 率为
m 2 ,则 的值为( n 2

B.

2 3 3

C.1

D.

3 2

【解析】 命题: “若斜率为 k(k≠0)的直线与椭圆 交于 A、B 的中点,则 k·kOM=-

x2 y2 x2 y2 + 2 =1(或双曲线 2 - 2 =1)相 2 a b a b

b2 b2 (或 k·kOM= 2 ),(证明留给读者)在处理有关圆锥曲 ” a2 a

线的中点弦问题中有着广泛的应用.运用这一结论,不难得到:解
1 n =- m ∴ m =-k ·k =1· 2 = 2 ,故选A. - AB OM 1 n n 2 2 m



kAB·kOM=-

b2 = a2

二、特例法
包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置、特殊函数、特殊数列、特殊图形等,代入或者 比照选项来确定答案。这种方法叫做特值代验法,是一种使用频率很高的方法。 【例 1】若函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则 y ? f (2 x) 的对称轴是( A、 x ? 0 B、 x ? 1 C、 x ? )

1 2

D、 x ? 2

2 【解析】因为若函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,作一个特殊函数 y ? ( x ?1) ,则 y ? f (2x) 变为

y ? (2 x ?1)2 ,即知 y ? f (2 x) 的对称轴是 x ?

1 ,选 C 2

2

【例 2】△ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, OH ? m(OA ? OB ? OC) , 则 m 的取值是( )A、-1 B、1 C、-2 D、2 【解析】特殊化处理,不妨设△ABC 为直角三角形,则圆心 O 在斜边中点处,此时有

????

??? ??? ??? ? ? ?

???? ??? ??? ??? ? ? ? OH ? OA? OB? OC, m ? 1 ,选 B
【例 3】已知定义在实数集 R 上的函数 y=f(x)恒不为零,同时满足 f(x+y)=f(x)· f(y),且当 x>0 时, f(x)>1, 那么当 x<0 时, 一定有( )A. f(x)<-1 B. -1<f(x)<0 C. f(x)>1 D. 0<f(x)<1 x x +y x y 【解析】取特殊函数.设 f(x)=2 , 显然满足 f(x+y)=f(x)·f(y)(即 2 =2 ·2 ),且满足 x>0 时,f(x)>1,根据指数函数的性质,当 x<0 时,0<2x<1,即 0<f(x)<1.答案:D 【例 4】 .若动点 P、Q 在椭圆 9x2+16y2=144 上,且满足 OP⊥OQ,则中心 O 到弦 PQ 的距离 OH 必等于( 20 )A. 3 23 B. 4 12 C. 5 4 D. 15
2

【解析】选一个特殊位置(如图),令 OP、OQ 分别在长、短正半轴上,由 a =16 12 2 ,b =9 得,OP=4,OQ=3,则 OH= .根据“在一般情况下成立,则在特殊情况下也成立” 5 可知,答案 C 正确.

4x ? 1 【例 5】 (2010 重庆理数)(5) 函数 f ? x ? ? 的图象( 2x
A. 关于原点对称 【解析】 f (? x) ?

)

B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称

4?x ? 1 1 ? 4 x ? ? f ( x) 2?x 2x

? f (x) 是偶函数,图像关于 y 轴对称

通过特殊值法即可,即 f (1) ? f ( ?1) ?
2

5 选D 2
1 2a

【例 6】过抛物线y= a x (a> 0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 FP 与 FQ 的长分别是p、q,则

1 1 ? =( p q

). A. 2a B.

C. 4a D.

4 a

【解析】由题意知,对任意的过抛物线焦点 F 的直线,

1 1 ? 的值都是 a 的表示式,因而取 p q

抛物线的通径进行求解,则p=q=

1 1 1 4 ,所以 ? = ,故应选 D. 2a p q a

【例 7】已知等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项 和为( ) A.130 B.170 C.210 D.260 【解析】解法 1:特殊化法。令 m=1,则 a1=S1=30,又 a1+a2=S2=100 ∴a2=70 ∴等差数列的公差 d=a2–a1=40,于是 a3=a2+d=110 故应选 C 解法 2,利用等差数列的求和公式 Sn ? An ? Bn( A, B是常数) 求解
2

3

【例 8】 (08 江西卷 6) 函数 y ? tan x ? sin x ? tan x ? sin x 在区间 (

? 3?
2 , 2

) 内的图象是 (
y



y

y

y
?
2

?

3? 2

? 2

?

3? 2

2 -

?
? 2

2 -

?
? 2

o ?2 -

x

o

?
A

?

o ?2 -

x

?

3? 2

x o

?
B

3? 2

x
C
D

? 【解析】利用特殊值 x= 代入即可 答案选 D 4

【例 9】 (06 北京卷)设 f (n) ? 2 ? 24 ? 27 ? 210 ? ? ? 23n?10 (n ? N ) ,则 f ( n) 等于( (A)



2 n (8 ? 1) 7

(B)

2 n?1 (8 ? 1) 7

(C)

2 n? 3 (8 ? 1) 7

(D)

2 n? 4 (8 ? 1) 7

【解析】依题意, f ( n) 为首项为 2,公比为 8 的前 n+4 项求和,根据等比数列的求和公式可

2(1 ? 84 ) 2(84 ? 1) ? 得 D 。 另外特例法解,设 n=0,则 f (0) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 所以选 D 1? 8 7
4 7 10

【例 10】 全国Ⅱ) (10 如果等差数列 ?an ? 中,a3 ? a4 ? a5 ? 12 , 那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? ( (A)14 (B)21 (C)28 (D)35



【解析】 直接利用等差数列的性质可解, 由已知得 3a4 ? 12 , 所以 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? 7a4 ? 21 也可以设 a3 ? 3, a4 ? 4, a5 ? 5,?an ? n ,可以求出前 7 项和 【例 11】 (10 年安徽理)设 abc>0 ,二次函数 f ( x ) ? ax ? bx ? c 的图像可能是(
2



【解析】特例法即可,取 a ? b ? c ? 1和a ? 1, b ? c ? ?1即可选出 D 【例 12】 f(x)为定义在 R 上的奇函数, x≥0 时, 设 当 f(x)= 2 +2x+b(b 常数), f(-1)=( 则
x



4

(A) 3 (B) 1

(C)-1 (D)-3【解析】由f (0) ? 0, 得出b ? ?1 然后可求出选 D

三、数形结合
“数缺形时少直观,形少数时难入微”---华罗庚。画出图形或者图象能够使问题提供的 信息更直观地呈现,从而大大降低思维难度,是解决数学问题的有力策略,这种方法使用得 非常之多。 【例 1】(2008 陕西文、理) 双曲线
?

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 ,b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 , a 2 b2

过 F 作倾斜角为 30 的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为 1



)A. 6

B. 3

C. 2

D.

3 3

做出图形即可求出答案 B

【例 2】 (07 江苏 6)设函数 f ( x ) 定义在实数集上,它的图象关于直线 x ? 1 对称,且当 x ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 1,则有( C、 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) )A、 f ( ) ? f ( ) ? f ( )

1 3

3 2

2 3

B、 f ( ) ? f ( ) ? f ( )

2 3

3 2

1 3

2 3

1 3

3 2

D. f ( ) ? f ( ) ? f ( )

3 2

2 3

1 3

【解析】当 x ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 1, f ( x ) 的图象关于直 线 x ? 1 对称,则图象如图所示。这个图象是个示意图,事实 上,就算画出 f ( x) ?| x ? 1| 的图象代替它也可以。由图知, 符合要求的选项是 B, 【例 3】若 P(2,-1)为圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( A、 x ? y ? 3 ? 0 B、 2 x ? y ? 3 ? 0 C、 x ? y ? 1 ? 0 D、 2 x ? y ? 5 ? 0 )

【解析】画出圆和过点 P 的直线,再看四条直线的斜率,即可知选 A

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 【例 4】 (07 辽宁)已知变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? 1 ,则 的取值范围是( x ?x ? y ? 7 ? 0 ?
A、 ? , 6 ? 5 【解析】把



?9 ?

? ?

B、 ? ??, ? ? ? 6, ?? ? 5

? ?

9? ?

C、 ? ??,3? ? ?6, ???

D、 ?3,6?

y 看作可行域内的点与原点所在直线的斜率,不难求得答案 ,选 A。 ) x
2

【例 5】曲线 y ? 1 ? 4 ? x ( x ? ??2, 2 ?) 与直线
5

y ? k ( x ? 2) ? 4 有两个公共点时, k 的取值范围是(
A、 (0,

) D、 (

5 ) 12

B、 ( , )

1 1 4 3

C、 (

5 , ?? ) 12

5 3 , ) 12 4

【解析】事实上不难看出,曲线方程

2 y ? 1 ? 4 ?x ( x ? ? ?, 2 )图 象 为 ? 2 的

x2 ? ( y ?1)2 ? 4(?2 ? x ? 2,1 ? y ? 3) ,表示以(1,0)为圆心,2 为半径的上半圆,如图。
直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 过定点(2,4) ,那么斜率的范围就清楚了,选 D 【例 6】函数 y ?| x | (1 ? x) 在区间 A 上是增函数,则区间 A 是( A、 ?? ?,0? )

B、 ?0, ? 2

? 1? ? ?

C、 ?0,???

D、 ? ,?? ?

?1 ?2

? ?

【解析】作出该函数的图象如右,知应该选 B 【例 7】 (06 湖南理 10)若圆 x2 ? y2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上至少有三个不同的点到直线 、

l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角 ? 的取值范围是( )
A、 ?

?? ? ? , ?12 4 ? ?

B、 ?

? ? 5? ? , ?12 12 ? ?

C、 ?

?? ? ? , ?6 3? ?

D、 ? 0,

? ?? ? 2? ?

【解析】圆方程化为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? (3 2)2 ,由题意知,圆心到直线 的距离 d 应该满足 0 ? d ? 2 ,在已知圆中画一个半径为 2 的同心圆,则过原点的直线

l : ax ? by ? 0 与小圆有公共点,∴选 B。
【例 8】方程 cos x ? lg x ? 0 的实根的个数是( )A、1 B、2 C、3 D、4

【解析】在同一坐标系中分别画出函数 cosx 与 lgx 的图象,如图,

由两个函数图象的交点的个数为 3,知应选 C 【例 9】(07 天津理 7)在 R 上定义的函数 f ( x ) 是偶函数,且 f ( x) ? f (2 ? x) 。若 f ( x ) 在区 间[1,2]上是减函数,则 f ( x ) ( )

A、在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 B、在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 C、在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 D、在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数

6

【解析】 f ( x ) 是抽象函数,因此画出其简单图象即可得出结论,如下左图知选 B)

【例 10】 (05 年四川)若 a ? A、 a ? b ? c

ln 2 ln 3 ln 5 ,b ? ,c ? ,则( ) 2 3 5 B、 c ? b ? a C、 c ? a ? b D、 b ? a ? c

【解析】 构造斜率即可, 构造函数 y ? ln x 上的三点 (2,ln 2),(3,ln 3),(5,ln 5) 和原点的斜率 B。

【例 11】(10 年湖北)设集合 A= {( x, y ) |
[ 来源:学科网 ZXXK]

x2 y 2 ? ? 1} ,B= {( x, y) | y ? 3x } ,则 A∩B 的子集的 4 16

个数是 ( ) A. 4 B.3 C.2 D.1 【解析】考查集合的意义与数形结合思想,及一个有限集的子集的个数,在同一直角坐标系 中画出

x2 y 2 ? ? 1 和 y ? 3x 的图像,知道图像有两个公共点,所以 A∩B 元素有 2 个,所以 4 16

子集有 4 个,选 A 【例 12】(10 年湖北)若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是 ( ) A. ? ?1,1 ? 2 2 ? B.

?

?

?1 ? 2 2,1 ? 2 2 ? C. ? ?

?1 ? 2 2,3? ? ?

D.

?1 ? 2,3? ? ?

【解析】在同一坐标系中画出曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 (该曲线是以点(2,3)为圆心,2 为半 径的圆不在直线 y=3 上方的部分)与直线 y ? x 的图像,平移该直线,结合图形可求出,选 C

四、估值判断
有些问题,属于比较大小或者确定位置的问题,我们只要对数值进行估算,或者对位置 进行估计,就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。 【例 1】已知 x1 是方程 x ? lg x ? 3 的根, x2 是方程 x ? 10x ? 3 的根,则 x1 ? x2 ? ( A、6 B、3 C、2 D、1 【解析】我们首先可以用图象法来解:如图,在同一 坐标系中作出四个函数, y ? 10 x , y ? lg x , y ? 3 ? x , )

y ? x 的图象,设 y ? 3 ? x 与 y ? lg x 的图象交于点 A,其横
坐标为 x1 ; y ? 10 x 与 y ? 3 ? x 的图象交于点 C,其横坐标 为 x2 ; y ? 3 ? x 与 y ? x 的图象交于点 B, 其横坐标为

3 。 因为 y ? 10 x 与 y ? lg x 为反函数, 2

7

点 A 与点 B 关于直线 y ? x 对称,所以 x1 ? x2 ? 2×

3 =3,选 B。 此属于数形结合法,也算 2

不错,但非最好。现在用估计法来解它:因为 x1 是方程 x ? lg x ? 3 的根,所以 2 ? x1 ? 3, x2 是方程 x ? 10x ? 3 的根,所以 0 ? x2 ? 1, 所以 2 ? x1 ? x2 ? 4, 选 B。 【例 2】已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA=2, 则球面面积是( )A、

16 ? 9

B、 ?

8 3

C、 4?

D、

64 ? 9

【 解 析 】 用 估 计 法 , 设 球 半 径 R , △ ABC 外 接 圆 半 径 为 = 4? R ? 4? r ?
2 2

r?

2 3 ,则 S 3



16 ? ? 5? ,选 D 3


【例 3】如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,

EF ?

3 ,EF 与平面 ABCD 的距离为 2,则该多面体的体积为( 2 9 15 A、 B、5 C、6 D、 2 2

【解析】 该多面体的体积比较难求, 可连接 BE、 问题转化为四棱锥 E-ABCD 与三棱锥 E-BCF CF, 的体积之和,而 VE ? ABCD =6,所以只能选 D 【例 4】 (07 全国Ⅱ理 12)设 F 为抛物线 y 2 ? 4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上的三点,若

??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? FA ? FB ? FC ? 0 ,则 FA ? FB ? FC 等于(

)A、9

B、6

C、4 D、3

【解析】很明显(直觉)三点 A、B、C 在该抛物线上的图形完全可能 如右边所示(数形结合) ,可以估计(估值法)到, FB ? FC 稍大于 MN (通径, 长为 4) ∴ FA ? FB ? FC ? 6 , B。 , 选 当然也可以用定义法: FA ? FB ? FC ? 0 由 可 知 xA ? x B ? x C ? 3 , 由 抛 物 线 定 义 有 FA ? xA ? 1, FB ? xB ? 1, FC ? xC ? 1 , 所 以

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ??? ? ? ?

?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ??? ? ? ? FA ? FB ? FC =6

五、排除法(代入检验法)
它是充分运用选择题中的单选的特征,即有且只有一个正确选项这一信息,通过分析、 推理、计算、判断,逐一排除,最终达到目的的一种解法。 【例 1】(2010 年山东理文)函数 y=2x - x 的图像大致是(
2



8

2 【解析】 因为当 x ? 2或x ? 4时, ? x2 ? 0, 所以排除 B, x ? ?2时, ? x ? C; 2x
x 2

1 ? 4 ? 0, 故 4

排除 D,选 A 【例 2】 (2010 江西理数)9.给出下列三个命题:

1 1 ? cos x x ln 与 y ? ln tan 是同一函数; ②若函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图像 2 1 ? cos x 2 1 关于直线 y ? x 对称,则函数 y ? f ? 2 x ? 与 y ? g ? x ? 的图像也关于直线 y ? x 对称;③若 2
①函数 y ? 奇函数 f ? x ? 对定义域内任意 x 都有 f ? x ? ? f (2 ? x) ,则 f ? x ? 为周期函数。其中真命题是 ( )A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②

【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同,①错误;排除 A、 B,验证③, f ? ?x ? ? f [2 ? (?x)] ? f (2 ? x) ,又通过奇函数得 f ? ? x ? ? ? f ( x) ,所以 f(x) 是周期为 2 的周期函数,选择 C。 【例 3】 (2010 天津理数) (2)函数 f(x)= 2 ? 3 x 的零点所在的一个区间是(
x



(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2) 【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题。 由 f (?1) ?

1 ? 3 ? 0, f (0) ? 1 ? 0 及零点定理知 f(x)的零点在区间(-1,0)上。 2
2 1 1 2 ,且 (n≥2),则 an 等于( ? ? 3 an?1 an?1 an
) 。

【例 4】数列{an}满足 a1=1, a2=

(A)

2 n ?1

(B)(

2 3

)n-1

(C)(

2 2 n ) (D) 【解析】特殊值法检验即可,选 A 3 n?2

【例 5】 (2008 安徽文)函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ?

?
3

) 图像的对称轴方程可能是(

?
6

B. x ? ?

?
12

C. x ?

?
6

D. x ?

?
12

2

【解析】当自变量取得对称轴时,函数去最值,代入检验可知选 D 【例 6】 (2009 重庆卷文)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为(
2 2 2 2 2 2 2

A. x ? ( y ? 2) ? 1 B. x ? ( y ? 2) ? 1 C. ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 1 D. x ? ( y ? 3) ? 1

9

2 【解析】 解法 1 直接法)设圆心坐标为 (0, b) , ( : 则由题意知 (o ? 1) ? (b ? 2) ? 1 , 解得 b ? 2 ,

故圆的方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1。解法 2(数形结合法) :由作图根据点 (1, 2) 到圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2) ,故圆的方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1解法 3(验证法) :将点(1,2)代入 四个选择支,排除 B,D,又由于圆心在 y 轴上,排除 C。 【例 7】 (10 年全国)已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相 交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为( )

x2 y 2 ? ?1 (A) 3 6

x2 y 2 ? ?1 (B) 4 5

x2 y 2 ? ?1 (C) 6 3

(D)

x2 y 2 ? ?1 5 4

【解析】命题: “若斜率为 k(k≠0)的直线与椭圆

x2 y2 x2 y2 + 2 =1(或双曲线 2 - 2 =1)相交 a2 b a b
2

于 A、 的中点为 M, k·kOM=- B 则

b 15 5 b2 b2 ? 故选 B. (或 k·kOM= 2 ), ∵ kON gk AB ? 2 ? ” 2 a a a 12 4

填空题的解法 一、直接法
这是解填空题的基本方法,它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等 知识,通过变形、推理、运算等过程,直接得到结果。 【 例 1 】 设 a ? (m ? 1)i ? 3 j, b ? i ? (m ?1) j, 其 中 i , j 为 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 , 又

?

?

? ? ?

?

?

?

? ? ? ? (a ? b) ? (a ? b) ,则实数 m =
? ? ?



【 解 析 】 a ? b ? (m ? 2)i ? (m ? 4) j, a ? b ? mi ? (m ? 2) j. ∵ (a ? b) ? (a ? b) , ∴

? ? ?

?

?

? ?

? ?

? ? ? ? ?2 ? ? ?2 ∴m (a ? b) ? (a ? b) ? 0 (m ? 2) j ? [?(m ? 2)2 ? m(m ? 4)]i ? j ? (m ? 2)(m ? 4) j ? 0 , 而
? ? i , j 为互相垂直的单位向量,故可得 m(m ? 2) ? (m ? 2)(m ? 4) ? 0, ∴ m ? ?2 。
a1+a3+a9 【例 2】已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等 比数列,则 =________. a2+a4+a10 a1+a3+a9 3a1+10d 13 【解析】 由已知得 a2=a1a9, ∴(a1+2d) 2=a1(a1+8d), 1=d, ∴a ∴ = = . 3 a2+a4+a10 3a1+13d 16 【例 3】(2008 江苏) f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??

? ? 的最小正周期为 5 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 6?
10

【解析】直接代入公式即可。? T ?

2?

?

?

?
5

? ? ? 10

【 例 4 】 2010 四 川 理数 ) 直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 8 相交 于 A、 B 两点, 则 (

?AB ??

.

【 解 析 】 圆 心 为 (0,0) , 半 径 为 2

2 , 圆 心 到 直 线 x ? 2y ? 5 ? 0 的 距 离 为 d =

| 0?0?5| 1 ? (?2)
2 2

? 5 故?

| AB | ? ? ? ? ??? ? ?? 2 ?? 得|AB|=2 3 ?
【解析】 x ? 1 ? 0 , x ? 1 . ∵ ∴

【例 5】 10 广东理数) 函数 f ( x ) =lg( x -2)的定义域是 ( 9.

二、特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以把题中变化 的不定量用特殊值代替,即可以得到正确结果。 【例 1】 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。若 a、b、c 成等差数列,则

cos A ? cos C ? 1 ? cos A cos C
三角形, cos A ?

。 【解析】特殊化:令 a ? 3, b ? 4, c ? 5 ,则△ABC 为直角

3 3 , cos C ? 0 ,从而所求值为 。 5 5
2 2 ? 2 ?

【例 2】求值 cos a ? cos (a ? 120 ) ? cos (a ? 240 ) ?


?

3 。 2 ???? ??? ??? ??? ? ? ? 【例 3】?ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,OH ? m(OA ? OB ? OC) ,
【解析】题目中“求值”二字提供了信息:答案为一定值,于是不妨令 a ? 0 ,得结果为 则实数 m= 。
?

【解析】当?B ? 90 时, ?ABC 为直角三角形, O 为 AC 中点, AB, BC 边上的高的交点 H 和 B 重合, (OA ? OB ? OC) ? OB ? OH ,? m ? 1 46. 【例 4】 (06 全国卷 I)已知函数 f ( x) ? a ? 【解析】函数 f ( x) ? a ?

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

????

1 ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? ________。 2 ?1
x

1 1 1 . 若 f ( x) 为奇函数,则 f (0) ? 0 ,即 a ? 0 ? 0 ,a= . 2 ?1 2 ?1 2
x

【例 5】若函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),则 f(1),f(2),f(4)的大小关系是 【解析】 由于 f(2+t)=f(2-t),故知 f(x)的对称轴是 x=2。可取特殊函数 f(x)=(x-2)2,即可求得 f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2)<f(1)<f(4)。

11

【例 6】 (2010 江苏卷)5、设函数 f(x)=x(e

x

+ae-x)(x? R)是偶函数,则实数 a=________

【解析】考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x 为奇函数,由 g(0)=0,得 a=-1。

三、数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思形,以形助数,则往往可以简捷地解决问 题,得出正确的结果。 【例 1】 如果不等式 4 x ? x 2 ? (a ? 1) x 的解集为 A,且 A ? {x | 0 ? x ? 2} , 那么实数 a 的取值范围是 数y? 。 【解析】根据不等式解集的几何意义,作函

, 4 x ? x 2 和函数 y ? (a ? 1) x 的图象(如图) 从图上得出实数 a 的范围是

a ? ?2,??? 。
1 【例 2】直线 y=kx+3k-2 与直线 y=- x+1 的交点在第一象限, 4 则 k 的取值范围是________. ]【解析】因为 y=kx+3k-2,即 y=k(x+3)-2,故直线过定点 P(-3,-2),而定直 1 2 线 y=- x+1 在两坐标轴上的交点分别为 A(4,0),B(0,1).如图 所示,求得 <k<1. 4 7 【例 3】若关于 x 的方程 1 ? x 2 =k(x-2)有两个不等实根,则 k 的取值范围是 【解析】 令 y1= 1 ? x 2 ,y2=k(x-2),由图 14-3 可知 kAB<k≤0, 其中 AB 为半圆的切线,计算得 kAB= -

3 3 ,∴<k≤0。 3 3

【例 4】 (2010 辽宁 理数) (14)已知 ?1 ? x ? y ? 4 且 2 ? x ? y ? 3 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的取值 范围是_______(答案用区间表示) 【解析】画出不等式组 ?

??1 ? x ? y ? 4 表示的可行域,在可行域内平移直线 z=2x -3y,当直线 ?2 ? x ? y ? 3

经过 x-y=2 与 x+y=4 的交点 A (3, 时, 1) 目标函数有最小值 z=2×3-3×1=3; 当直线经过 x+y=-1 与 x-y=3 的焦点 A(1,-2)时,目标函数有最大值 z=2×1+3×2=8. 故(3,8) 【例 5】 (2010 年江西理)13.已知向量 a, b 满足 a ? 1, b ? 2, a 与 b 的

? ?

?

?

?

?

12

夹角为 60°,则 a ? b ? ___ ___________. 【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式,以及 向量三角形法则、余弦定理等知识,如图 a ? OA, b ? OB, a ? b ? OA ? OB ? BA ,由余弦定 理得: a ? b ? 3 【例 6】 10 浙江理数)已 知平面向量 ? , ? (? ? 0, ? ? ? ) 满足 ( 为 120° ,则 ? 的取值范围是__________________ . 【解析】考查平面向量的基础知识和正弦定理的应用等,如图,设

? ?

?

??? ? ?

??? ? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

? ?

? ? 1 ,且 ? 与 ? ? ? 的夹角
C

uuu u uur u r r u r AC ? ? ,AB ? ? , 则在 V ABC 中 ?ACB ? 60o ,根据正弦定理
sin ?ABC 2 3 ? ,即 ? ? ? sin ?ABC , o sin ?ABC sin 60 sin 60o 3 u r
由于 0 ? sin ?ABC ? 1 ,所以,故 0 ?

?

u r

?

u r

B A

? ?

u r

2 3 3

四、等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉” ,将问题等价地转化成便于解决的问题,从而得出 正确的结果。 【例 1】 不论 k 为何实数,直线 y ? kx ? 1 与曲线 x 2 ? y 2 ? 2ax ? a 2 ? 2a ? 4 ? 0 恒有交 。

点,则实数 a 的取值范围是

【解析】题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,或等价于点(0,1)到圆

( x ? a) 2 ? y 2 ? 2a ? 4 ,∴ ? 1 ? a ? 3 。
x2 x3 【例 2】 (2010 江苏)设实数 x,y 满足 3≤ xy ≤8,4≤ ≤9,则 4 的最大值是 y y
2




【解析】 考查不等式的基本性质,等价转化思想。

(

1 1 1 x2 2 x3 x2 1 x3 ) ?[16,81] , 2 ? [ , ] , 4 ? ( )2 ? 2 ? [2, 27] , 4 的最大值是 27。 xy 8 3 y y y y xy
2

【 例 3 】 2010 天 津 理 数 ) 16 ) 设 函 数 f ( x) ? x ?1 , 对 任 意 x ? ? , ?? ? , ( (

?2 ?3

? ?

13

?x? f ? ? ? 4m2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ?m?
【解析】依据题意得

.

3 x2 ? 1 ? 4m2 (x 2 ? 1) ? (x ? 1)2 ? 1? 4( 2 ? 1) x ? [ , ??) 上恒定成 m 在 2 2 m

立,即

1 3 2 3 3 3 2 ? 4m2 ? ? 2 ? ? 1 在 x ? [ , ??) 上恒成立。当 x ? 时函数 y ? ? 2 ? ? 1 取 2 m x x 2 2 x x
5 1 5 3 3 2 ,所以 2 ? 4m ? ? ,即 (3m2 ? 1)(4m2 ? 3) ? 0 ,解得 m ? ? 或m ? 3 m 3 2 2

得最小值 ?

【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题,解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为 最值的方法求解 【例 4】 (2010 重庆理数) (13)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球

16 ,则该队员每次罚球的命中率为____________. 25 16 3 2 【解析】等价转化为求它的对立事件即可,由 1 ? p ? 得p? 25 5
中至多命中一次的概率为

14


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