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数学建模第二章作业答案章绍辉


习题 2 作业讲评 1. 继续考虑 2.2 节的“汽车刹车距离”案例,请问“两秒准 则”和“一车长度准则”一样吗?“两秒准则”是否足够安全? 对于安全车距,你有没有更好的建议?( “两秒准则” ,即后车司 机从前车经过某一标志开始,默数 2 秒之后到达同一标志, 而不 管 车 速 如 何 . 刹 车 距 离 与 车 速 的 经 验 公 式

d ? 0.75v ? 0.082678v2 ,速度单位为 m/s,距离单位为 m)
解答 (1) “两秒准则”表明前后车距与车速成正比例关系. 引 入以下符号: D ~ 前后车距(m) ~ 车速(m/s) ;v ; 于是“两秒准则”的数学模型为 D ? K2v ? 2v . 与“一车长度准 则”相比是否一样,依赖于一车长度的选取.
2 比较 d ? 0.75v ? 0.082678v 与 D ? 2v ,得:

d ? D ? ? 0.082678v ?1.25? v
所以当 v ? 15.12 m/s (约合 54.43 km/h)时,有 d<D,即前后车 距大于刹车距离的理论值, 可认为足够安全; v ? 15.12 m/s 时, 当 有 d>D,即前后车距小于刹车距离的理论值,不够安全. 也就是 说, “两秒准则”适用于车速不算很快的情况. 另外, 还可以通过绘图直观的解释 “两秒准则” 够不够安全. 用以下 MATLAB 程序把刹车距离实测数据和“两秒准则”都画 在同一幅图中(图 1).

v=(20:5:80).*0.44704; d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048.*d2; k1=0.75; k2=0.082678; K2=2; d1=[v;v;v].*k1; d=d1+d2; plot([0,40],[0,K2*40],'k') hold on plot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':k') plot([v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2) title('比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则') legend('两秒准则','刹车距离理论值',... '刹车距离的最小值、平均值和最大值',2) xlabel('车速 v(m/s)') ylabel('距离(m)') hold off
比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则 180 160 140 120 两秒准则 刹车距离理论值 刹车距离的最小值、平均值和最大值

距 离 ( m)

100 80 60 40 20 0

0

5

10

15

20 25 车 速 v( m/s)

30

35

40

图1

(2)用最大刹车距离除以车速,得到最大刹车距离所需要 的尾随时间(表 1) ,并以尾随时间为依据,提出更安全的“t 秒 准则” (表 2)——后车司机根据车速快慢的范围,从前车经过 某一标志开始,默数 t 秒钟之后到达同一标志. 表 1 尾随时间 车速(mph) 车速(m/s) 最大刹车距离(m) 尾随时间(s) 20 8.9408 13.411 1.5 25 11.176 17.831 1.5955 30 13.411 23.774 1.7727 35 15.646 29.413 1.8799 40 17.882 37.795 2.1136 45 20.117 46.482 2.3106 50 22.352 56.693 2.5364 55 24.587 68.732 2.7955 60 26.822 81.686 3.0455 65 29.058 96.469 3.3199 70 31.293 113.39 3.6234 75 33.528 132.74 3.9591 80 35.763 154.23 4.3125 表2 车速(mph) t (s) 0~10 1 t 秒准则 10~35 35~60 2 3

60~75 4

绘制图 2 的 MATLAB 程序: v=(20:5:80).*0.44704; d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048.*d2; k1=0.75; k2=0.082678; d=d2+[v;v;v].*k1; vi=0:40; plot([0,10*0.44704],[0,10*0.44704],'k',... vi,k1.*vi+k2.*vi.*vi,'k:',... [v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2) legend('t 秒准则','刹车距离理论值',... '刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)

hold on plot([10,35]*0.44704,2*[10,35]*0.44704,'k',... [35,60]*0.44704,3*[35,60]*0.44704,'k',... [60,75]*0.44704,4*[60,75]*0.44704,'k') title('t 秒准则,刹车距离的模型和数据') xlabel('车速 v(m/s)') ylabel('距离(m)') hold off
t 秒准则,刹车距离的模型和数据 180 160 140 120
距 离 ( m)

t 秒准则 刹车距离理论值 刹车距离的最小值、平均值和最大值

100 80 60 40 20 0

0

5

10

15

20 25 车 速 v( m/s)

30

35

40

图2

4. 继续考虑 2.3 节“生猪出售时机”案例,假设在第 t 天的 生猪出售的市场价格(元/公斤)为

p(t ) ? p(0) ? gt ? ht 2

(1)

其中 h 为价格的平稳率, h=0.0002. 其它模型假设和参数取值 取 保持不变.

(1) 试比较(1)式与(2.3.1)式,解释新的假设和原来的假设 的区别与联系; (2)在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润; (3)作灵敏度分析,分别考虑 h 对最佳出售时机和多赚的 纯利润的影响; (4)讨论模型关于价格假设的强健性. 解答一(用 MATLAB 数值计算) (1)比较(1)式与(2.3.1)式,(1)式表明价格先降后升,(2.3.1) 式假设价格匀速下降,(1)式更接近实际(图 3). 两个假设都满 足 p?(0) ? ? g ,在最佳出售时机附近误差微小(图 4). 绘图的程序 p=@(t)12-0.08*t+0.0002*t.^2; figure(1) n=400; plot([0,n],[12,12-0.08*n],'k:',... 0:.1:n,p(0:.1:n),'k') axis([0,400,0,20]) title('模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较') legend('p(0) - g t (1)式',... 'p(0) - g t + h t^2 (2.3.1)式') xlabel('t(天)') ylabel('p(元/公斤) ') figure(2) n=20; plot([0,n],[12,12-0.08*n],'k:',... 0:.1:n,p(0:.1:n),'k') title('模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较') legend('p(0) - g t (1)式',... 'p(0) - g t + h t^2 (2.3.1)式') xlabel('t(天)'), ylabel('p(元/公斤) ')

模 型 假 设 (1)式 与 (2.3.1)式 的 比 较 20 p(0) - g t 18 16 14 p(0) - g t + h t
2

(1)式 (2.3.1)式

p( 元 /公 斤 )

12 10 8 6 4 2 0

0

50

100

150

200 t( 天 )

250

300

350

400

图3
模 型 假 设 (1)式 与 (2.3.1)式 的 比 较 12 p(0) - g t 11.8 11.6 11.4 11.2 11 10.8 10.6 10.4 p(0) - g t + h t
2

(1)式 (2.3.1)式

p( 元 /公 斤 )

0

2

4

6

8

10 t( 天 )

12

14

16

18

20

图4

(2)在(1)式和(2.3.1)式组成的假设下,多赚的纯利润为

Q(t ) ? ? rp(0) ? gw(0) ? c ? t ? ? hw(0) ? gr ? t 2 ? hrt 3
保留 h,代入其他具体数值,得

Q(t ) ? ht 3 ? ?90h ? 0.08? t 2 ?1.6t


Q?(t ) ? 3ht 2 ? ?180h ? 0.16? t ?1.6 ? 0
解得生猪出售时机为

t1 ?

0.16 ?

?180h ? 0.16 ?
6h

2

? 19.2h

? 30 (舍去负根)

多赚的纯利润为

Q1 ? ht13 ? ?90h ? 0.08? t12 ?1.6t1 .
代入 h=0.0002,得 t1 ? 13.829 天, Q1 ? 10.798 元. 或者用 MATLAB 函数 fminbnd 计算,脚本如下: C=@(t)3.2*t; w=@(t)90+t; p=@(t,h)12-0.08*t+h*t.^2; Q=@(t,h)p(t,h).*w(t)-C(t)-90*12; Qh=@(t)-Q(t,0.0002); t1=fminbnd(Qh,0,30) Q1=Q(t1,0.0002) 为帮助理解,可用以下脚本绘制图 5: figure(2) tp=0:250; plot(tp,Q(tp,0.0002),'k') title('纯利润 Q') xlabel('t(天)') ylabel('Q(元) ')

纯利润Q 100

0

-100

Q( 元 )

-200

-300

-400

-500

-600

0

50

100 t( 天 )

150

200

250

图5

?t t S (t , h) ? (3)用以下 MATLAB 脚本计算灵敏度 ?h h 和 S (Q, h) ? ?Q Q ?h h ,将结果列表.

结论:h 的微小变化对 t 和 Q 的影响都很小 Qh=@(t)-Q(t,0.0002*1.01); [tn,Qn]=fminbnd(Qh,0,30); (tn-t1)/t1/0.01 (-Qn-Q1)/Q1/0.01 Qh=@(t)-Q(t,0.0002*1.05); [tn,Qn]=fminbnd(Qh,0,30); (tn-t1)/t1/0.05 (-Qn-Q1)/Q1/0.05 Qh=@(t)-Q(t,0.0002*1.1); [tn,Qn]=fminbnd(Qh,0,30); (tn-t1)/t1/0.1 (-Qn-Q1)/Q1/0.1

表3
h ? ?h

数值计算最佳出售时机 t 对 h 的灵敏度
?h h (%)
t ? ?t

?t t (%)

S (t , h) ?

?t t ?h h

0.000202 0.00021 0.00022

1 5 10

13.886 14.121 14.431

0.41459 2.1176 4.3536

0.41459 0.42352 0.43536

表4
h ? ?h

数值计算多赚的纯利润 Q 对 h 的灵敏度
?h h (%)
Q ? ?Q

?Q Q (%)

S (Q, h) ?

?Q Q ?h h

0.000202 0.00021 0.00022

1 5 10

10.838 11.001 11.214

0.36936 1.8802 3.8479

0.36936 0.37604 0.38479

(4)市场价格是经常波动的,如果价格下跌,往往会止跌 回稳,模型假设(1)式以二次函数来刻画价格止跌回升的变化趋 势, 如果考虑的时间段长达数月, (1)式比(2.3.1)式更接近实际 (见 图 3) ,但是本问题的最佳出售时机不超过 20 天,(1)式与(2.3.1) 式在最佳出售时机附近非常近似(见图 4) ,(1)式导致的模型解 答可以由(2.3.1)式导致的解答加上灵敏度分析所代替. 所以采用 更为简单的(2.3.1)式作为假设更好. 具体分析如下: 由 12 ? ( g ? ?g )t ? p(t , h) ,得

?g 12 ? p(t , h) ? ?1 , g gt

代入 h=0.0002,t=13.82852279,g=0.08,得
?g ? ?0.034571 . g

由于

?t ?g ? S (t , g ) , 根据课本 2.3 节, 代入 S (t , g ) ? ?5.5 , t=10, t g

算得 t ? ?t ? 11.901 ,与 t=13.829 只相差两天. 用于以上分析计算的 MATLAB 脚本: dg_g=(12-p(ts,0.0002))/ts/0.08-1 10+dg_g*10*(-5.5)

解答二(用 MATLAB 的 Symbolic Math Toolbox 的 MuPAD 软 件符号计算) (1)运行以下 MuPAD 语句,绘得图 6 和图 7:
plot(plot::Function2d(12-0.08*t+0.0002*t^2,t=0..400), plot::Function2d(12-0.08*t,t=0..150, LineStyle=Dashed)); plot(plot::Function2d(12-0.08*t+0.0002*t^2,t=0..20), plot::Function2d(12-0.08*t,t=0..20, LineStyle=Dashed),#O);

(1)式表明价格先降后升, 在实际当中有一定道理. 而 (2.3.1) 式假设价格匀速下降. 两个假设都满足 p?(0) ? ? g ,在最佳出售 时机附近误差微小.

图 6 假设(2.3.1)式与(1)式的比较

图 7 假设(2.3.1)式与(1)式的比较

(2) 在(1)式和(2.3.1)式组成的假设下,保留 h,代入其他具 体数值,计算多赚的纯利润. 运行以下 MuPAD 语句:
C:=t->32/10*t: w:=t->90+t:

p:=(t,h)->12-8/100*t+h*t^2: Q:=(t,h)-->expand(w(t)*p(t,h)-C(t)-90*12); plot(plot::Function2d(Q(t,0.0002), t=0..290));
3 2 算得 Q(t , h) ? ht ? 90ht ?

2 2 8 t ? t ,绘得图 8. 25 5

图8

Q(t , 0 . 0 0 的图像 02)

运行以下 MuPAD 语句:
S:=solve(diff(Q(t,h),t),t) assuming h>0; t1:=S[1]; subs(t1,h=0.0002); t2:=S[2]; ts:=subs(t2,h=0.0002); Q2:=Q(t2,h); Qs:=subs(Q2,h=0.0002);

由方程

?Q ? 0 ,解得两根: ?t
t1 ?
16 25 32400h 2 ? 384 h ? 625 ? 4500h ? 4 5

150h
16 4500h ? 25 32400h 2 ? 384 h ? 625 ? 4 5

t2 ? ?

150h

代入 h=0.0002, t1 ? 192.8381439, t2 ? 13.82852279(天). t 2 符 得 合题意, t1 应该舍去(对应的 Q 是负数). t 2 对应的多赚的纯利 润为 10.79837809 元. (3)接着上一小题,运行以下 MuPAD 语句:
subs(diff(t2,h)*h/t2, h=0.0002); //t 对 h 的灵敏度

利用导数算得 t 对 h 的灵敏度:
S (t , h) ? dt h ? ? 0.4124276803 . dh t

运行以下 MuPAD 语句:
subs(diff(Q2,h)*h/Q2,h=0.0002); //Q 对 h 的灵敏度,方法一 subs(diff(Q(t,h),h)*h/Q(t,h),t=ts,h=0.0002); //Q 对 h 的灵敏度,方法二,更简单

用两种方法利用导数算得 Q 对 h 的灵敏度:
S (Q, h) ? dQ h ? ? 0.367739025 . dh Q

结论:h 的微小变化对 t2 和 Q2 的影响都很小. (4)同解答一

5. 继续考虑第 2.3 节“生猪出售时机”案例,假设在第 t 天 的生猪体重(公斤)为

w(t ) ?

w0 wm w0 ? ? wm ? w0 ? e?? t

(2)

其中 w0 ? w(0) ? 90 (公斤) wm ? 270 (公斤) , ,其它模型假设 和参数取值保持不变. (1)试比较(2)式与(2.3.2)式,解释新的假设和原来的假设 的区别与联系(提示:说明当 α (α>0)取何值时,在 t=0 时可以 保持 w?(0) ? r ? 1 ;说明当 t 增大时,猪的体重会如何变化). (2)在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润. (3)参数 wm 代表猪长成时的最终重量,对 wm 做灵敏度分 析,分别考虑 wm 对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响. (4)讨论模型关于生猪体重假设的强健性. 解答一(用 MATLAB 数值计算) (1) 在(2)式中, 为使 w?(0) ? r , 必须 ? w0 (wm ? w0 ) ? wm . 当

wm =270, w0 =90 时,有 ? ? 1 60 .
新假设(2)式是阻滞增长模型,假设生猪体重的增长率是体 重的线性递减函数,于是体重增加的速率先快后慢,时间充分长 后, 体重趋于 wm . 而(2.3.2)式 w(t ) ? w0 ? rt 只假设体重匀速增加. 长时间来看,新假设比原假设更符合实际(图 9). 两个假设都 满足 w?(0) ? r ,在最佳出售时机附近误差微小(图 10).

模 型 假 设 (2.3.2)式 与 (2)式 的 比 较 300

250

价 格 p( 元 /公 斤 )

200

150

100

50 p(0) - g t p(0) - g t + h2 0 0 50 100 150 200 t( 天 ) 250 300 (2.3.2)式 (2)式 350 400

图9
115 p(0) - g t p(0) - g t + h 110
2

(2.3.2)式 (2)式

价 格 p( 元 /公 斤 )

105

100

95

90

0

2

4

6

8

10 t( 天 )

12

14

16

18

20

图 10

(2) 在(2.3.1)式和(2)式组成的假设下,用 MATLAB 函数 fminbnd 计算, 可以求得生猪出售时机为 t=14.434 天, 多赚的纯 利润为 Q=12.151 元. (3) 编程计算 S (t , wm ) ? 结果列表. 表5
wm ? ?wm

?Q Q ?t t 和 S (Q, wm ) ? ?wm wm ,将 ?wm wm

数值计算最佳出售时机 t 对 wm 的灵敏性
t ? ?t

?wm wm (%)

?t t (%)

S (t , wm ) ?

?t t ?wm wm

272.7 283.5 297

1 5 10

14.977 17.057 19.46

3.767 18.173 34.825

3.767 3.6345 3.4825

表6
wm ? ?wm

数值计算多赚的纯利润 Q 对 wm 的灵敏性
Q ? ?Q

?wm wm (%)

?Q Q (%)

S (Q, wm ) ?

?Q Q ?wm wm

272.7 283.5 297

1 5 10

13.108 17.121 22.475

7.872 40.897 84.963

7.872 8.1794 8.4963

结论: wm 的微小变化对 t 和 Q 的影响都较小. (4)模型假设(2)式导致的模型解答可以由(2.3.2)式导致的 解答加上灵敏度分析所代替,所以实践中采用更为简单的(2.3.2) 式作为假设即可. 具体分析过程见解答二之(4). MATLAB 脚本:

%% (1) 绘图的程序 w=@(t)90*270./(90+180*exp(-t/60)); figure(1) n=400; plot([0,n],[90,90+n],'k:',... 0:.1:n,w(0:.1:n),'k') axis([0,400,0,300]) legend('p(0) - g t 'p(0) - g t + h^2 (2.3.2)式',... (2)式',4)

title('模型假设(2.3.2)式与(2)式的比较') xlabel('t(天)') ylabel('价格 p(元/公斤) ') figure(2) n=20; plot([0,n],[90,90+n],'k:',... 0:.1:n,w(0:.1:n),'k') legend('p(0) - g t 'p(0) - g t + h^2 xlabel('t(天)') ylabel('价格 p(元/公斤) ') %% (2) 最佳出售时机和多赚的纯利润 C=@(t)3.2*t; (2.3.2)式',... (2)式',2)

w=@(t,m)90*m./(90+(m-90)*exp(-t/60)); p=@(t)12-0.08*t; Q=@(t,m)p(t).*w(t,m)-C(t)-90*12; Qh=@(t)-Q(t,270); ts=fminbnd(Qh,0,30) Qs=Q(ts,270) %% (3) 灵敏度分析 Qh=@(t)-Q(t,270*1.01); [tn,Qn]=fminbnd(Qh,0,30); (tn-ts)/ts/0.01 (-Qn-Qs)/Qs/0.01 Qh=@(t)-Q(t,270*1.05); [tn,Qn]=fminbnd(Qh,0,30); (tn-ts)/ts/0.05 (-Qn-Qs)/Qs/0.05 Qh=@(t)-Q(t,270*1.1); [tn,Qn]=fminbnd(Qh,0,30); (tn-ts)/ts/0.1 (-Qn-Qs)/Qs/0.1 %% (4) 强健性分析 dr_r=(w(ts,270)-90)/ts-1 10+dr_r*10*6.5

解答二(用 MATLAB 的 Symbolic Math Toolbox 的 MuPAD 软 件符号计算) (1)运行以下 MuPAD 语句,算得 ? ? 1 60 :
solve(subs(diff(90*270/(90+(270-90)*E^(-a*t)),t), t=0)=1, a);

运行以下 MuPAD 语句,绘得图 11:
plot(plot::Function2d(90*270/(90+180*E^(-1/60*t)), t=0..400), plot::Function2d(90+t, t=0..180, LineStyle=Dashed), plot::Line2d([0,270],[400,270],LineStyle=Dotted),#O);

运行以下 MuPAD 语句,绘得图 12 :
plot(plot::Function2d(90*270/(90+180*E^(-1/60*t)), t=0..20), plot::Function2d(90+t,t=0..20,LineStyle=Dashed),#O);

(2)式 w(t ) ?

w0 wm 是阻滞增长模型, 假设生猪体 w0 ? ? wm ? w0 ? e?t 60

重的增长率是体重的线性递减函数. 于是,体重 w 是时间 t 的增 函数,体重增加的速率先快后慢,时间充分长后,体重趋于 wm . 而(2.3.2)式 w(t ) ? w0 ? rt 只假设体重匀速增加. 长时间来看, 新假 设比原假设更符合实际. 两假设都满足 w?(0) ? r ,在最佳出售时 机附近误差微小.

图 11 假设(2.3.2)式与(2)式的比较

图 12 假设(2.3.2)式与(2)式的比较

(2)在由(2)式和(2.3.1)式组成的假设下,保留 wm ,代入其 他具体数值,计算多赚的纯利润. 运行以下 MuPAD 语句:

C:=t->3.2*t: w:=(t,wm)->90*wm/(90+(wm-90)*E^(-t/60)): p:=t->12-0.08*t: Q:=(t,wm)-->w(t,wm)*p(t)-C(t)-90*12; plot(plot::Function2d(Q(t,270),t=0..30));

算得 Q(t , wm ) ?

90wm ?12 ? 0.08t ? ? 3.2t ? 1080 ,绘得图 13. 90 ? ? wm ? 90? e?t 60

图 13

Q(t , 2 7 的图像 0)

运行以下 MuPAD 语句:
T:=solve(diff(Q(t,270),t),t); ts:=T[1]; Qs:=Q(ts,270);

可解出 Q 的驻点的数值解 ts ? 14.43357158 (天) ,根据函数图像 和问题的实际意义,可知这是所求的最佳出售时机,对应的多赚

的纯利润为 Qs ? 12.15129217 元. (3)接着上一小题,运行以下 MuPAD 语句,但是求不出 当 Q(t , wm ) 达到最大值时 t 关于 wm 的函数解析式:
solve(diff(Q(t,wm),t),t);

运行以下 MuPAD 语句:
solve(diff(Q(t,wm),t),wm);

可见当 Q(t , wm ) 达到最大值时 wm 关于 t 的反函数解析式却有 可能求得出,只是 MuPAD 给出的表达式很复杂. 其实可以按如 下步骤推出 wm 关于 t 的反函数解析式:
g1:=diff(Q(t,wm),t)=0;

算得

?Q ? 0 即: ?t

?

3w ? 0.08t ? 12 ?? wm ? 90 ? 7.2wm ? m ? 3.2 ? 0 2 wm ? 90 ? w ? 90 ? ? 90 2et 60 ? m t 60 ? 90 ? t 60 e ? e ?

观察上式,发现分母大于零,而且去分母之后,合并 wm 的 同类项,可以表示为 wm 的二次方程:
g2:=g1*((wm-90)/E^(t/60)+90)^2*25*E^(t/60); //去分母

g2:=collect(g2,wm); //合并 wm 的同类项,t 当作参数

? 80 14400 16200 et 30 ? ? 2 ? ? 38700 ? wm ? 270 ? t 60 ? 3t ? wm ? ? 270t ? t 60 ? e e et 60 ? ? ? ? 648000 et 30 648000 ?1296000 ? ? t 60 ? 0 et 60 e
运行以下 MuPAD 语句,由图像(图 14)可知在实际问题

关心的 0<t<30 范围内,二次项系数 270 ?

80 ? 3t ? 0 : et 60

plot(plot::Function2d((270-80/E^(t/60)-3*t),t=0..100));

图 4 二次项系数的符号

于是,运行以下 MuPAD 语句,解方程:
S:=solve(g2,wm);

MuPAD 给出解的四种情况,其中第一种是二次项系数非零,正 是本问题所要求的解. 但是二次方程有两个根,要检验哪一个根 才是当 Q(t , wm ) 达到最大值时 wm 关于 t 的反函数解析式.
float(subs(S[1][1],t=ts));

算得当 t ? ts 时,有 wm ? ?0.8519704108 ,这是增根,舍去;
float(subs(S[1][2],t=ts));

算得当 t ? ts 时,有 wm ? 270 ,这是要找的根;
wms:=S[1][2]; //当 Q 达到最大值时 wm 关于 t 的反函数解析式

float(subs(1/(diff(wms,t))*wm/t,t=ts,wm=270)); //t 对 wm 的灵敏度,利用反函数求导数

利用反函数求导数算得 t 对 wm 的灵敏度:

S (t , wm ) ?

dt wm 1 wm ? ? ? ? 3.80183985 . dwm t dwm t dt

Q 对 wm 的灵敏度则比较简单,运行以下 MuPAD 语句:
float(subs(diff(Q(t,wm),wm)*wm/Q(t,wm), t=ts,wm=270)); //Q 对 wm 的灵敏度

利用导数算得 Q 对 wm 的灵敏度:
S (Q, wm ) ? dQ wm ? ? 7.786585188 . dwm Q

结论: wm 的微小变化对 t 和 Q 存在一定影响,不算厉害. (4)模型假设(2)式以阻滞增长模型来刻画生猪体重的变 化趋势,如果考虑的时间段长达数月,(2)式比(2.3.2)式更符合实 际,但是本问题的最佳出售时机不超过 20 天,(2)式与(2.3.2)式 在最佳出售时机附近非常近似,(2)式导致的模型解答可以由 (2.3.2)式导致的解答加上灵敏度分析所代替. 所以采用更为简单 的(2.3.2)式作为假设更好. 具体分析如下: 由 90 ? ? r ? ?r ? t ? w(t , wm ) ,得
?r ? w(t , wm ) ? 90 ?r , t

代入 wm ? 270 , t ? ts ? 14.43357158 ,r=1,得

?r ?r ? ? 0.03656535279 . r 1

由于

?t ?r ? S (t , r ) ,根据 2.3 节,代入 S (t , r ) ? 6.5 ,t=10, t r

r=1,算得 t ? ?t ? 12.37674793 ,与 ts ? 14.43357158 只相差两天. 以上计算可以用以下 MuPAD 语句实现:
dr:=float((w(ts,270)-90)/ts-1); 10+dr*10*6.5;


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