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20101228高一数学(3.3直线的交点坐标与距离公式(3课时))


3.3 直线的交点坐标与距离公式

3.3.1 两条直线的交点坐标

问题提出 1.在平面几何中,我们只能对直线作定 性的研究,如平行、相交、垂直等.在平面 直角坐标系中,我们用二元一次方程表示直 线,从而可以对直线进行定量分析,如确定 直线的斜率、截距等.
? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

2.在同一平面内,两条直线之间存 在平行、相交、重合等位置关系,这些 位置关系的基本特征与公共点的个数有 关. 因此,如何将两直线的交点进行量 化,便成为一个新的课题.

知识探究(一):两条直线的交点坐标

思考1:若点P在直线l上,则点P的坐标 (x0,y0)与直线l的方程Ax+By+C=0有什么 关系?

思考2:直线2x+y-1=0与直线2x+y+1=0, 直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的位置 关系分别如何?

思考3:能根据图形确定直线3x+4y-2=0与 直线2x+y+2=0的交点坐标吗?有什么办 法求得这两条直线的交点坐标?
y P

o

x

思考4:一般地,若直线l1:A1x+B1y+C1=0 和l2:A2x+B2y+C2=0相交,如何求其交点 坐标?
几何元素及关系 点A 直线l 代数表示 A (a, b)

l : A x? B y?C ? 0
Aa ? Bb ? C ? 0
点A的坐标是方程组的解
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

点A在直线l上
直线l1与l2的交点是A

思考5:对于两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 和 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,若方程组
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

有惟一解,有无数组解,无解,则两直 线的位置关系如何?

知识探究(二):过交点的直线系

思考1:经过直线l1:3x+4y-2=0与直线l2: 2x+y+2=0的交点可作无数条直线,你能 将这些直线的方程统一表示吗?
y-2=k(x+2)和x=-2 思考2:方程 m(3x ? 4 y ? 2) ? n(2 x ? y ? 2) ? 0 (m,n不同时为0)表示什么图形?

思考3:上述直线l1与直线l2的交点M (-2,2)在这条直线上吗?当m,n为何 值时,方程 m(3x ? 4 y ? 2) ? n(2 x ? y ? 2) ? 0 分别表示直线l1和l2? 思考4:方程 3x ? 4 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0 表示的直线包括过交点M(-2,2)的所 有直线吗?

思考5:方程 m(3x ? 4 y ? 2) ? n(2 x ? y ? 2) ? 0 表示经过直线l1和l2的交点的直线系,一 般地,经过两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0 和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程 可怎样表示? m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0

理论迁移
例1 判断下列各对直线的位置关 系,如果相交,求出其交点的坐标. (1)l1:x ? y ? 0,
l2:x ? 3y ? 10 ? 0 ; 3
6 3 (2) l1:x ? y ? 4 ? 0, l2:x ? 2y ? 1 ? 0;
6 3 (3)l1:x ? 4y ? 5 ? 0, l2:x ? 8y ? 10 ? 0.

例2 求经过两直线3x+2y+1=0和 2x-3y+5=0的交点,且斜率为3的直线 方程. 例3 设直线y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相 交,且交点P在第一象限,求k的取值范 y 围.
B o A x

P

作业:
P109 习题3.3A组:1,3,5. P110 习题3.3B组:1.

3.2.2 两点间的距离

问题提出

1.在平面直角坐标系中,根据直线 的方程可以确定两直线平行、垂直等位 置关系,以及求两相交直线的交点坐标, 我们同样可以根据点的坐标确定点与点 之间的相对位置关系. 2.平面上点与点之间的相对位置关 系一般通过什么数量关系来反映?

知识探究(一):两点间的距离公式

思考1:在x轴上,已知点P1(x1,0)和 P2(x2,0),那么点P1和P2的距离为多少? |P1P2|=|x1-x2|

思考2:在y轴上,已知点P1(0,y1)和 P2(0,y2),那么点P1和P2的距离为多少? |P1P2|=|y1-y2|

思考3:已知x轴上一点P1(x0,0)和y轴上 一点P2(0,y0),那么点P1和P2的距离为 多少? y P2
o

P1
2 2

x

| PP2 |? x0 ? y0 1

思考4:在平面直角坐标系中,已知点 P1(2,-1)和P2(-3,2),如何计算点P1和 P2的距离? y P2
o

M
2 2

P1
2

x

| PP2 |? PM ? P2 M ? 5 ? 3 ? 34 1 1
2

思考5:一般地,已知平面上两点P1(x1, y1)和P2(x2,y2),利用上述方法求点P1 和P2的距离可得什么结论? y P2
o

M
2

P1

x

| PP2 |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 1

2

思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时,上 y 述结论是否成立? P2 P1 P2
o

P1

x

思考7:特别地,点P(x,y)与坐标原点的 距离是什么?
| OP |? x ? y
2 2

知识探究(二):距离公式的变式探究

思考1:已知平面上两点P1(x1,y1)和 P2(x2,y2),直线P1P2的斜率为k,则 y2-y1可怎样表示?从而点P1和P2的距离 公式可作怎样的变形?
| P P2 |?| x2 ? x1 | ? 1 ? k 1
2

思考2:已知平面上两点P1(x1,y1)和 P2(x2,y2),直线P1P2的斜率为k,则 x2-x1可怎样表示?从而点P1和P2的距 离公式又可作怎样的变形?
1 | P P2 |?| y2 ? y1 | ? 1 ? 2 1 k

| P P2 |?| x2 ? x1 | ? 1 ? k 1

2

1 ?| y2 ? y1 | ? 1 ? 2 k

思考3:上述两个结论是两点间距离公式 的两种变形,其使用条件分别是什么?

思考4:若已知 x1 ? x2 和 x1 ? x2 ,如何 求 | x2 ? x1 |?
| x2 ? x1 |? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2
2

理论迁移

例1 已知点 A(?1,2) 和 B(2, 7 ) , 在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并求 |PA|的值. 例2 设直线2x-y+1=0与抛物线 2 y ? x ? 3x ? 4 相交于A、B两点,求|AB|的 值.

例3 证明平行四边形四条边的平方 和等于两条对角线的平方和.
y D (b, c) C (a+b, c) x

A(0,0)

B(a,0)

用“坐标法”解决有关几何问题的 基本步骤:
第一步;建立坐标系, 用坐标系表示有关的量 第二步:进行 有关代数运算

第三步:把代数运算结果 “翻译”成几何关系

作业: P106练习:1,2. P110习题3.3A组:6,7,8.

3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离

问题提出

1.直角坐标平面上两点间的距离公 式是什么?它有哪些变形? 2.构成平面图形的基本元素为点和 直线,就距离而言有哪几种基本类型? 3.已知平面上三点A(-2,1),B(2, -2),C(8,6),若求△ABC的面积需要解 决什么问题?

4.我们已经掌握了点与点之间的距 离公式,如何求点到直线的距离、两条 平行直线间的距离便成为新的课题.

知识探究(一):点到直线的距离

思考1:点到直线的距离的含义是什么? 在直角坐标系中,若已知点P的坐标和直 线l的方程,那么点P到直线l的距离是否 确定? 思考2:若点P在直线l上,则点P到直线l的 距离为多少?若直线l平行于坐标轴,则 点P到直线l的距离如何计算?

思考3:一般地,设点P(x0,y0)到直线l: Ax+By+C=0的距离为d,试设想d的值与 哪些元素有关? 思考4:你能设计一个方案求点P(x0,y0) 到直线l:Ax+By+C=0的距离吗?
y B Q

P o

A l

x

思考5:根据上述分析,点P(x0,y0)到直 线l:Ax +By +C=0的距离为:
d? | Ax0 ? By0 ? C | A ?B
2 2

这是点到直线的距离公式.当直线l平行 于坐标轴时,公式是否成立?

知识探究(二):两平行直线的距离

思考1:两条平行直线的相对位置关系常 通过距离来反映,两平行直线间的距离 的含义是什么?
A

B

思考2:你有什么办法求两条平行直线之 间的距离?

思考3:直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2: A2x+B2y+C2=0平行的条件是什么? 思考4:根据上述思路,你能推导出两平 行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0 (C1≠C2)之间的距离d的计算公式吗?
y l1 l2

d?
o

| C1 ? C2 | A2 ? B 2

P

x

理论迁移

例1 求点P(-1, 2)到直线 l : 3x ? 2 的距离.
例2 已知点A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0),求△ABC的面积.
y

A h B
x

C
o

例3 已知直线 l1 : 2x ? 7 y ? 8 ? 0 和 与 l2 : 6x ? 21y ? 1 ? 0,l1与l2是否平行?若平 行,求l1与l2的距离.

例4 已知直线l过点 A(0, 10) ,且原点 O到直线l的距离为 5,求直线l的方程.

作业: P110习题3.3A组: 9,10. 习题3.3B组:2,4,5.


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