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河北衡水中学2009届高三第二次模拟试卷理科数学


河北衡水中学 2009 届高三第二次模拟试卷 数学 (理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,时间 120 分钟. 参考公式:如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A ? B)=P(A) ? P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率是

Pn (k ) ? C nk P k (1 ? P ) n ?k
球的表面积公式 球的体积公式

S ? 4?R 2

(R 表示球的半径) (R 表示球的半径)

V ?

4 ?R 3 3

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序

号填涂在答题卡上) 1.已知集合 M ? ? x x ? 1? , P ? ? x x ? t? ,若 M ? P ? ? ,则 t (A) t ? 1 (B) t ? 1 (C) t ? 1 (D) t ? 1

2. 已知平面上三点 A、B、C 满足 | AB |? 3, | BC |? 4, | CA |? 5, 则 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值等 于 (A)25 3.复数 z ? A.0 (B)24 (C)-25 (D)-24

m ? 2i ,则实数 m 的值为 ? (3 ? i ) ,若 z 为实数, 1? i
B.-4 C.-6 D.-8

4. 设EF是两条异面线段AB、CD的公垂线,当线段AB绕着直线EF在空间旋转并与EF保持垂直时,下列 三个命题正确的个数是 ①直线AB与直线CD所成角的大小不变. ②直线AB与直线CD的距离不变. ③以A、B、C、D为顶点的四面体的体积不变. A.0 B.1 C.2 D.3

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5.若存在 x ? ? ?2,3? ,使不等式 2 x ? x ? a 成立,则实数 a 的取值范围
2

(A) ? ??, ?8 ?

(B)

? ??, ?3?

(C) (??,1]

(D) (?8,??)

6.直线 x cos1400 ? y sin 400 ? 1 ? 0 的倾斜角是

(A) 400

(B) 500

(C) 1300

(D) 1400

7.AB 是抛物线 y 2 ? 2 x 的一条焦点弦,|AB|=4,则 AB 中点 C 的横坐标是

(A)2
n

(B)

1 2

(C)

3 2

(D)

5 2

2 ? ? 8.若二项式 ? 3 x 2 ? 3 ? (n ? N * ) 展开式中含有常数项,则 n 的最小取值是 x? ?
(A)4 9.已知数列{ a n }中, a n ? (B)6 (C) 7 (D)8

en , 则下列结论中正确的是 n!
(B)数列{ a n }为递减数列 (D)数列{ a n }从某项递增

(A) 数列{ a n }为递增数列 (C) 数列{ a n }从某项递减
2 2

10.椭圆 ax ? by ? 1 与直线 y ? 1 ? x 交于 A、B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为

3 a , 则 的值为 2 b

(A)

3 2

(B)

2 3 3

(C)

9 3 2

(D)

2 3 27

11.定义在 R 上的函数 y=f(x)满足: f(-x)=-f(x) f(1+x)=f(1-x) , ,当 x∈[-1,1] 时, f(x)=x3,则 f(2009)的值是 (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2
2 2

12.已知三棱锥 P ? ABC 的三条侧棱两两垂直, 且长分别为 a, b, c ,又 (a ? b )c ? 与底面 ABC 成的角为 60 ,当三棱锥的体积最大时, a 的值为
第 2 页 共 10 页
0

6 ,侧面 PAB

(A)5

(B)3

(C) 2

(D)1

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将正确答案填在试题的横线上) 13.设定点 A(0,1) ,动点 P ? x, y ? 的坐标满足条件 ? 14.在 ?ABC 中,
? x ? 0, 则 PA 的最小值是___________ ? y ? x,

AC ? AB AB

?

1 BC ? BA 3 , ? , 则 AB 的长为 2 2 BA

?1 ? 5 n (n为奇数) ? 15.数列{ a n }中, a n ? ? , S 2 n ? a1 ? a 2 ? ? ? a 2 n ,则 lim S 2 n ? n ?? ?? 2 (n为偶数) ? 5n ?
16.直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数 f (x)的图象恰好通过 k 个格点, 则称函数 f (x)为 k 阶格点函数.下列函数: f ( x) ? sin x ; f ( x) ? ? ( x ? 1) 2 ? 3 ; f ( x) ? ( ) ; ① ② ③
x

1 3

④ f ( x) ? log 0.6 x. 其中是一阶格点函数的有

.(填上所有满足题意的序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? (1)求函数 f (x) 的定义域; (2)求实数 a 的值.

3 sin 4 x ? ? a sin 2 x 在 x ? 时取到最大值. cos 2 x 6

18.(本题满分 12 分) (本题 12 分)在一次国际比赛中,中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制 进行决赛,根据以往战况,中国女排在每一局中赢的概率都是

3 ,已知比赛中,俄罗斯女排先赢 5

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了第一局,求: (1) 中国女排在这种情况下取胜的概率; (2) 设比赛局数为 ? ,求 ? 的分布列及 E? (均用分数作答).

19.(本题满分 12 分)已知 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和, a1

3 ? , a2 ? 2 ,且 2

Sn?1 ? 3Sn ? 2Sn?1 ? 1 ? 0 ,其中 n ? 2, n ? N * .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)计算 lim

Sn ? n 的值. n?? an

20 .( 本 题 满 分 12 分 )

? 在 直 三 棱 柱 A B C A1 B1C1 中 ,

AC ? BC ? 2, AA1 ? 2 2 , ∠ACB=90°,M是 AA1 的中点, 是 BC1 的 N
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中点。 (1)求证:MN∥平面 A1 B1C1 ; (2)求点 C1 到平面 BMC 的距离; (3)求二面角 B ? C1 M ? A 1 的大小。

21. (本题满分 12 分)已知直线 l 过椭圆 E: x 2 ? 2 y 2 ? 2 的右焦点 F ,且与 E 相交于 P, Q 两点. y (1)设 OR ?

1 ,求点 R 的轨迹方程; (OP ? OQ) ( O 为原点) 2
1 1 的值. ? | PF | | QF |
P o Q F x

(2)若直线 l 的倾斜角为 600 ,求

22 . 本 题 满 分 12 分 ) 设 函 数 f ? x ? ? (

? , ? (? ? ? ), t ? R ,
(1)判断 f ? x ? 在 ?? , ? ? 上的单调性;

4x ? t , 已 知 关 于 x 的 方 程 2 x2 ? tx ? 2 ? 0 的 两 个 根 为 2 x ?1

第 5 页 共 10 页

(2)若 ? ? m ? ? , ? ? n ? ? ,证明 | f ? m ? ? f ? n ? |? 2 | ? ? ? | .

高三年级数学试题(理科)答案
一、 选择题:

BCABC BCCCA CD
第 6 页 共 10 页

二、

填空题

13.

2 2
解答题

14. 2

15.

1 8

16.①②④;

三、

π 17. (1) x 要满足 cos2x≠0, 从而 2x≠kπ + (k∈Z) 2 1 π 因此 f(x)的定义域为{x|x≠ kπ + , (k∈Z)} 2 4 (2)由 f(x)= f(x)= ---------------------(2 分)

3sin4x a 2 +asin x=2 3sin2x+ (1-cos2x) cos2x 2 a 2 a 2 (2 3) +( ) + 2 2 --------------------(6 分)

a a ∴f(x)= 2 3sin2x- cos2x+ ≤ 2 2

a 2 π π a π ∵x= 时, f(x)取到最大值, 则 2 3sin - cos = 12 ? ( ) 6 3 2 3 2
∴ 3-

a 2 a = 12 ? ( ) , 求得 a=-4 4 2
-----------------------(10 分) -----2 分

因此所求实数 a 的值为-4

18. 解: (1)中国女排取胜的情况有两种:一是中国女排连胜三局; 二是中国女排在 2 到 4 局中赢两局,再赢第五局. 所以中国女排取胜的概率为 ( ) ? C3 ( ) ?
3 2 2

2 3 297 --------------4 分 ? ? 5 5 625 2 2 4 3 51 1 2 3 2 (2) P(? ? 3) ? ( ) ? P(? ? 4) ? C 2 ? ? ? ? ( ) 3 ? 5 25 5 5 5 5 125 3 2 3 2 3 270 1 2 ---------------8 分 P(? ? 5) ? C3 ? ? ( ) 2 ? ? C32 ? ( ) 2 ? ? ? 5 5 5 5 5 5 625 ?? 的分布列为:

3 5

3 5

?
P

3

4

5

4 25 4 51 270 534 所以 E? = 3 ? 。 ? 4? ? 5? ? 25 125 625 125

51 125
--------------12 分

270 625

19. (1)如图所示,取 B1C1 中点 D,连结 ND、A1D ∴DN∥BB1∥AA1 又 DN=

D

1 1 BB1 ? AA1 ? A1 M 2 2
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N

∴四边形 A1MND 为平行四边形。 ∴MN∥A1 D 又 MN ? 平面 A1B1C1 AD1 ? 平面 A1B1C1

∴MN∥平面 A1 B1C1 --------------------------4 分 (2)因三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱, ∴C1 C ⊥BC,又∠ACB=90° ∴BC⊥平面 A1MC1 在平面 ACC1 A1 中,过 C1 作 C1H⊥CM,又 BC⊥C1H,故 C1H 为 C1 点到 平面 BMC 的距离。 在等腰三角形 CMC1 中,C1 C=2 2 ,CM=C1M= 6 ∴ C1 H ?

CC1 ? AC 4 3 ? .--------------------------8 分 CM 3

(3)在平面 ACC1A1 上作 CE⊥C1M 交 C1M 于点 E,A1C1 于点 F,则 CE 为 BE 在 平面 ACC1A1 上的射影, ∴BE⊥C1M, ∴∠BEF 为二面角 B-C1M-A 的平面角, 在等腰三角形 CMC1 中,CE=C1H=

4 3 BC 3 ? ,∴tan∠BEC= CE 2 3

∴∠BEC=arctan

3 3 ,∴∠BEF= ? -arctan 2 2 3 。--------------12 分 2

即二面角 B ? C1 M ? A1 的大小为 ? -arctan

20.解:①? Sn?1 ? 3Sn ? 2Sn?1 ? 1 ? 0 ? Sn?1 ? Sn ? 2(Sn ? Sn ?1 ) ? 1

? an?1 ? 2an ? 1(n ? 2)
3 又 a1 ? , a2 ? 2 也满足上式,? an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ) 2

------------(2 分)

? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ( n ? N * )
?数列 ?an ? 1? 是公比为 2,首项为 a1 ? 1 ?
1 an ? 1 ? ? 2n ?1 ? 2n ? 2 2
② Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an

1 的等比数列 2

-------------(4 分)

----------------------(6 分)

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? ? 2?1 ? 1? ? ? 20 ? 1? ? ? 21 ? 1? ? ... ? ? 2n ? 2 ? 1? ? ? 2?1 ? 20 ? 21 ? ...2n ? 2 ? ? n
n

?

2n ? 1 ?n 2

-------------------- (9 分)

1 S ?n 2 ?1 2n ? 2 于是 lim n ? lim n ?1 ? lim n ?? n ?? 2 an ? 2 n ?? 1 2 ? 2 2n 1?
21. 解:(1)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), R( x, y)

------------------- (12 分)

x1 ? x2 ? ?x ? 2 ??? 1 ??? ???? ? ? 1 ? OR ? (OP ? OQ) ? ( x, y ) ? [( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 )] ? ? 2 2 ? y ? y1 ? y2 ? 2 ? 2 x 由 x2 ? 2 y 2 ? 2 ? ? y 2 ? 1 ,易得右焦点 F (1,0) 2
当直线 l ? x 轴时,直线 l 的方程是: x ? 1 ,根据对称性可知 R(1,0) 当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) 代入 E 有 (2k 2 ? 1) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0

(2 分)

? ? 8k 2 ? 8 ? 0 ;
于是 R( x, y ) :

4k 2 2k 2 ? 1 x ?x 2k 2 ; x? 1 2 ? 2 2 2k ? 1 x1 ? x2 ?

(5 分)

y ? k ( x ? 1)

消去参数 k 得 x 2 ? 2 y 2 ? x ? 0 而 R(1,0) 也适上式,故 R 的轨迹方程是 x 2 ? 2 y 2 ? x ? 0 (2)设椭圆另一个焦点为 F ' , 在 ?PF ' F 中 ?PFF ' ? 1200 ,| F ' F |? 2, 设 | PF |? m ,则 | PF ' |? 2 2 ? m 由余弦定理得 (2 2 ? m)2 ? 22 ? m2 ? 2 ? 2 ? m ? cos1200 ? m ? 同理,在 ?QF ' F ,设 | QF |? n ,则 | QF ' |? 2 2 ? m 也由余弦定理得 (2 2 ? n)2 ? 22 ? n2 ? 2 ? 2 ? n ? cos600 ? n ? (8 分)

2 2 2 ?1

2 2 2 ?1
(12 分)

于是

1 1 1 1 2 2 ? 1 2 2 ?1 ? ? ? ? ? ?2 2 | PF | | QF | m n 2 2

注:其它方法相应给分,利用焦半径较简单.

第 9 页 共 10 页

22.解:(1) f ' ? x ? ?

4( x 2 ? 1) ? (4 x ? t ) ? 2 x ?2(2 x 2 ? tx ? 2) ? ( x 2 ? 1)2 ( x 2 ? 1) 2

(3 分)

由于当 x ?[? , ? ] 时 2 x 2 ? tx ? 2 ? 2( x ? ? )( x ? ? ) ? 0 , 所以 f '( x) ? 0 ,故 f ? x ? 在 ?? , ? ? 上是增函数 (2)当 ? ? m ? ? , ? ? n ? ? 时,并由①得 (4 分)

f ?? ? ? f ? m ? ? f ? ? ? , f ?? ? ? f ? n ? ? f ? ? ? ? ?[ f ? ? ? ? f ?? ?] ? f ? m ? ? f ? n ? ? f ? ? ? ? f ?? ? ?| f ? m ? ? f ? n ? |? f ? ? ? ? f ?? ?

(6 分)

4? ? t 4? ? 2(? ? ? ) 2 t ? ? ? ?2? . ?? ? ? ? , ?? ? 1 ? f ?? ? ? 2 ? ?1 ? 2 ? ?? ? 2
同理 f ? ? ? ? ?2? . 于是 f ? ? ? ? f ?? ? ?| f ? ? ? ? f ?? ? |? 2 | ? ? ? | 从而有 | f ? m ? ? f ? n ? |? 2 | ? ? ? | . (12 分) (10 分)

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